No curto prazo, apenas um dos insumos é variável. O outro é fixo. No longo prazo, os dois insumos são variáveis. Isto ocorre porque, com um maior horizonte de tempo, o produtor consegue alterar os seus fatores de produção, fazendo com que ele possa adequar melhor estes insumos à produção.
O fato de nós mudarmos para o longo prazo (e termos todos os insumos variáveis) trará algumas diferenças relevantes na análise da produção.
Função de produção
Já vimos como funciona a produção no curto prazo, com apenas um insumo variável e o outro fixo. Vimos como se comportam os gráficos do produto total, do produto marginal e do produto médio.
A partir de agora, vamos trazer uma abordagem mais algébrica.
Vimos no tópico anterior que a Produção é função de dois insumos: o capital e o trabalho. Algebricamente:
q = f(K,L)
A expressão matemática acima diz que a Produção será função do capital e do trabalho, considerando a tecnologia fixa. Ou seja, como a tecnologia é constante, ela não interfere no nível de produção. Para aumentar a produção a produção ao máximo possível, as únicas alternativas são, portanto, alterar as quantidades de capital (K) e de trabalho (L). Mexendo no K e no L, conseguiremos mudar o nível de produção, da mesma forma como vimos no tópico passado. Lembre-se que a tecnologia é considerada constante no modelo, ok?
Na teoria da Produção, a tecnologia é considerada constante.
Para expressar a produção de uma firma, o mais comum é utilizarmos as funções Cobb-Douglas12, que possuem o seguinte formato:
𝑌(𝐾, 𝐿) = 𝐾𝑎𝐿𝑏
Nesta função, “Y” é a produção total. K é o capital. L é o trabalho. “a” e “b” são números positivos, que expressam o quanto que K e L influenciam na produção. É possível achar também uma representação desta função produção considerando a tecnologia. Como a tecnologia é fixa, ela seria representada algebricamente por uma constante. Olhe só:
12 Elas recebem esse nome porque foram testadas pela primeira vez pelo economista Paul Douglas e pelo matemático Charles Cobb com dados da construção naval.
𝑌(𝐾, 𝐿) = 𝐴. 𝐾𝑎𝐿𝑏
Assim, o “A” seria a representação da tecnologia. Como a tecnologia é fixa, o valor de A também não se altera. Se a questão do seu concurso não mencionar a tecnologia, considere que A = 1.
Pois bem, vamos fazer um exemplo para calcular quanto seria a produção total caso “a” e “b” fossem iguais a 0,5. K fosse igual a 256 e L fosse igual a 400. Substituindo os valores na equação, teríamos:
𝑌 = 𝐾𝑎𝐿𝑏 𝑌 = (256)0,5. (400)0,5
𝑌 = √256. √400
Aqui, lembre, lá do seu ensino médio, que elevar um número a 0,5 é o mesmo que extrair a raiz quadrada dele. Portanto, 2560,5 = √256. Continuando para extrair a raiz quadrada dos números:
𝑌 = √256. √400 𝑌 = 16.20 = 320
Portanto, neste exemplo, a produção total seria 320. Se nós alterássemos os valores de K, L ou de “a” ou “b”, chegaríamos a um nível de produção diferente.
Para fins de concursos públicos, há uma propriedade das funções Cobb-Douglas que é muito interessante.
Ela nos diz que quando a soma dos expoentes “a” e “b” é igual a 1, nós temos retornos constantes de escala. Para exemplificar o que são esses retornos constantes de escala, vamos quadruplicar a quantidade de K e L. Ou seja, vamos fazer com que K seja igual a 1024 (256.4) e L seja igual a 1600 (400*4). Vamos ver qual seria o produto total?
𝑌 = (256. 𝟒)0,5. (400. 𝟒)0,5 𝑌 = (1024)0,5. (1600)0,5
𝑌 = √1024. √1600 = 32.40 = 1280
Portanto, quando K = 256 e L = 400, temos Y = 320. Já quando K = 1024 e L = 1600, temos Y = 1280. Até aqui nada novo. O interessante é que 320 vezes 4 é 1280!!!
Ou seja, quando nós pegamos K e L e multiplicamos por 4, “Y” também foi multiplicado por 4. Em outras palavras, nós temos que: Y.4 = 4.K0,5.L0,5.
Essa situação, onde nós quadruplicamos os insumos (K e L) e também quadruplicamos a produção é chamada de Retornos Constantes de Escala13. Assim, retornos constantes à escala acontecem quando nós
13 Também chamada de Rendimentos Constantes à Escala. Mesma coisa.
aumentamos os insumos em uma proporção (duplicamos, triplicamos, quadruplicamos) e a produção aumenta na mesma proporção (duplica, triplica, quadruplica).
Agora, por que isso acontece?
Isto acontece porque a soma dos expoentes “a” e “b” é igual a 1. Ou seja, quando “a” e “b” é igual a 1, nós temos retornos constantes à escala (se aumentarmos os insumos, a produção cresce na mesma proporção).
O que aconteceria se a soma dos expoentes fosse maior que 1? Neste caso, nós teríamos retornos crescentes à escala. Ou seja, teríamos uma situação na qual se nós dobrássemos os insumos, teríamos uma produção que mais que dobraria.
Vamos supor que K = 256 e L = 400, mas que “a” = 1 e “b” = 1. Olhe só o que aconteceria:
𝑌 = 𝐾𝑎𝐿𝑏
𝑌 = (256)1. (400)1 = 256.400 = 102400
Agora, vamos multiplicar a produção por 2. Portanto, K = 512 e L = 800. Recalculando:
𝑌 = 𝐾𝑎𝐿𝑏
𝑌 = (512)1. (800)1 = 512.800 = 409600
Se estivéssemos numa situação de retornos constantes à escala, se nós dobrássemos os insumos, teríamos exatamente o dobro de produção. Esta situação ocorreria se a+b = 1. Ou seja, se a produção era 102400, em retornos constantes à escala, nós esperaríamos ver uma produção total de 204800, caso dobrássemos os insumos.
Mas não foi isso que aconteceu aqui!
Repare na situação acima. Neste caso, a = 1 e b = 1. Portanto a+b = 2. E olha só que interessante. Quando nós dobramos os insumos, a produção MAIS que dobrou. Ou seja, nós dobramos os insumos e a produção quadruplicou. Esta é a situação de retornos crescentes à escala. Aumentamos os insumos em uma proporção, e a produção total aumenta MAIS que proporcionalmente. Isto ocorre porque a+b é maior do que 1.
Uma última situação possível é quando a+b é menor do que 1. Neste caso, nós temos retornos decrescentes à escala. Se dobrássemos os insumos, a produção total MENOS que dobraria.
Resumindo, temos o seguinte para funções de Produção Cobb-Douglas (e apenas para Cobb-Douglas):
• Se a+b > 1, temos retornos crescentes à escala (dobramos os insumos, mais que dobra a produção)
• Se a+b = 1, temos retornos constantes à escala (dobramos os insumos, dobra a produção)
• Se a+b < 1, temos retornos decrescentes à escala (dobramos os insumos, menos que dobra a produção)
Produto Marginal
O produto marginal é o tanto que uma unidade do insumo variável acrescenta na produção. Se, ao adicionarmos um trabalhador a mais, a produção sobre de 15 para 30, o Pmg é 15.
Produto Marginal é o acréscimo de produção causado pela utilização de um insumo a mais na produção.
Algebricamente, o Pmg pode ser entendido como a variação na produção (ΔQ) dividido pela variação no fator variável. Se este fator for o trabalho, teremos variação no trabalho14 (ΔL), portanto:
𝑃𝑚𝑔𝐿 =𝛥𝑄 𝛥𝐿
Olhe novamente a tabela com os dados da Fazenda de José e Maria:
Quantidade de trabalho (L)
Quantidade de
Capital (k) Produto Total (Y) Produto marginal (Pmg)
Produto Médio (Pme)
0 5 0 0 0
1 5 5 +5 5
2 5 15 +10 7,5
3 5 30 +15 10
4 5 40 +10 10
5 5 48 +8 9,6
6 5 52 +4 8,66
7 5 52 0 7,42
8 5 50 -2 6,25
9 5 48 -4 5,33
10 5 42 -6 4,2
Quando estávamos com 1 trabalhador, a produção era 5. Se mudarmos para dois trabalhadores, a produção será 15.
A variação na produção, ΔQ, é “final menos inicial”. Portanto, ΔQ = 15 – 5 = 10.
Já a variação no fator variável, que no caso é a do trabalho ΔL, será: ΔL = 2-1 = 1.
Para calcular o produto marginal, basta dividirmos uma variação pela outra. Assim:
14 Lembre que todo cálculo de variação é “Final menos Inicial”.
𝑃𝑚𝑔𝐿 =𝛥𝑄
𝛥𝐿 = 15 − 5 2 − 1 = 10
1 = 10
Ou seja, o produto marginal quando passamos de 1 trabalhador para 2 trabalhadores é de 10. Isto significa que o acréscimo de 1 trabalhador na produção (de 1 para 2) causou um acréscimo na produção de 10. Mantenha em mente isso: Produto Marginal é o acréscimo de produção causado pela utilização de um insumo a mais na produção.
Como vimos no tópico passado, no curto prazo o Pmg é crescente e, depois de um ponto, ele se torna decrescente. Quando o produto marginal for 0, isso significa que alcançamos a Produção Máxima. Isto porque, quando acrescentamos fatores de produção, estamos aumentando a Produção Total, mas diminuindo o Pmg (já que este se tornou decrescente). Quando Pmg for 0, teremos chegado no máximo da Produção Total. Se continuarmos a acrescentar esse insumo, o Pmg se tornará negativo e teremos DECRÉSCIMO na produção Total.
Portanto, quando Pmg = o, teremos produção total máxima.
Quando Pmg = 0, a Produção Total é máxima.
Produto Médio
O produto médio é a produção por trabalhador. Ou seja, para chegarmos ao produto médio, precisamos apenas dividir a produção total pela quantidade de trabalhadores. De forma algébrica:
𝑃𝑚𝑒 =𝑞
𝐿= 𝑞. 𝐿−1
Sobre a segunda forma de expressar o Produto médio (q.L-1), lembre que todo número (N) elevado a -1 é igual a 𝑁1. Portanto, L-1