2.4 Agregados de Antenas
2.4.1 Agregado Linear e Uniforme
Um agregado linear e uniforme ´e composto por um conjunto de elementos idˆenticos em que todos s˜ao excitados com correntes de mesma amplitude e desfasagem progressiva [4].
Na Figura 2.20, est´a representado um agregado linear e uniforme de N elementos, dispostos ao longo do eixo zz, separados por uma distˆancia d e com uma diferen¸ca de fase de α.
Figura 2.20: Agregado Linear e Uniforme de N elementos separados por d e com uma diferen¸ca de fase α.
Para o c´alculo do fator de agregado cada elemento do agregado ser´a considerado como fonte isotr´opica. Posteriormente, o campo total pode ser obtido atrav´es da multiplica¸c˜ao do fator de agregado das fontes isotr´opicas pelo campo de um ´unico elemento que se pretende usar.
Considere-se que se tem uma fonte isotr´opica, com campo E excitado por uma corrente I: E = Ie
−jβr
4πr , I = Ie
jφ (2.22)
Pelo que o agregado ´e linear e uniforme temos que,
I1 = Iejφ1; I2 = Iejφ2; ... IN−1= IejφN −1; IN= IejφN;
com,
(φ2− φ1) = (φ3− φ2) = ... = (φN − φN −1) = α
substituindo em 2.22 , para cada elemento o campo ´e: E1= Iejφ1 e−jβr1 4πr1 ; E2 = Iejφ2 e−jβr2 4πr2 ; EN = IejφN e−jβrN 4πrN ; (2.23)
Atrav´es de uma simplifica¸c˜ao, as fases podem ser apresentadas da seguinte forma:
φ2 = φ1+ α
φ3 = φ2+ α = φ1+ 2α
φN = φN −1+ α = φ1+ (N − 1)α
Admitindo que o campo se situa numa zona distante de radia¸c˜ao, com r d, onde os raios s˜ao paralelos, tem-se uma fase,
θ ≈ θ1≈ θ1 ≈ ... ≈ θn
Em termos de amplitude,
r2 = r1− d cos θ
r3 = r2− d cos θ = r1− 2d cos θ
rN = rN −1− d cos θ = r1− (N − 1)d cos θ
De uma mesma forma temos que,
r1≈ r2 ≈ ... ≈ rn
O campo total produzido pelo agregado ´e igual `a soma dos campos gerados pelos v´arios elementos, isto ´e, ET = N X n=1 En (2.24)
substituindo por cada campo de cada elemento, o campo total ´e dado por:
ET = Iejφ1
e−jβr1
4πr1
| {z }
FE - Fator de Elemento
[1 + ej(βdcosθ+α)+ ... + ej(n−1)(βdcosθ+α)+ ... + ej(N +1)(βdcosθ+α)]
| {z }
FA - Fator de Agregado
(2.25) Atrav´es desta express˜ao pode-se concluir que a equa¸c˜ao do campo total ´e formada pelas duas componentes, o fator de elemento que ´e o diagrama de radia¸c˜ao de uma qualquer antena, e pelo fator de agregado que ´e a fun¸c˜ao do n´umero de elementos N, distanciados por d e com desfasamento α, resultando no princ´ıpio da multiplica¸c˜ao (dos diagramas), permitindo obter o diagrama de radia¸c˜ao do agregado.
O fator de agregado pode ser escrito de uma maneira mais compacta,
F A =
N
X
n=1
ej(n−1)Ψ , Ψ = βdcosθ + α (2.26) esta express˜ao por tratar-se de uma progress˜ao geom´etrica de N termos pode ser simpli- ficada e normalizada obtendo a seguinte express˜ao,
|F A|n= sin(N
Ψ 2)
N sin(Ψ2) , Ψ = βdcosθ + α (2.27) Caso o ponto de referˆencia seja o ponto m´edio f´ısico do conjunto (regi˜ao do lobo principal) sendo os valores de Ψ baixos, o fator ´e ainda simplificado e aproximado em,
|F A|n= sin(N
Ψ 2)
NΨ2 , Ψ = βdcosθ + α (2.28)
Figura 2.21: Fator de agregado para v´arios valore de N.
Como pode-se confirmar o fator agregado al´em de variar com a distˆancia e o desfasamento entre elementos tamb´em varia com a quantidade de elementos utilizados, como se observa na Figura 2.21. Pelo que as varia¸c˜oes vis´ıveis leva a tirar v´arias conclus˜oes:
1. Quanto maior for o n´umero de elementos menor ser´a a abertura do lobo principal. 2. Um aumento do n´umero de elementos leva a um aumento do n´umero de lobos se-
cund´arios.
3. O n´ıvel relativo dos lobos secund´arios diminui com o aumentos do n´umero de elementos. Na continua¸c˜ao deste estudo, o Apˆendice A.2 apresenta um c´odigo desenvolvido em MA- TLAB, com a representa¸c˜ao do Fator de agregado e implica¸c˜ao no diagrama de radia¸c˜ao. C´alculo dos Nulos do Agregado
Os nulos do fator de agregado aparecem quando o numerador da fun¸c˜ao |F A|n´e zero, mas
o determinante 6= 0, portanto temos que,
sin(NΨ 2) = 0 ⇔ N Ψ 2Z = ±nπ ⇔ Ψ = ± 2nπ N n = 1, 2, ... e n 6= N, 2N, 3N, ... (2.29) A dire¸c˜ao para qual ocorrem os nulos ´e,
βd cos θn+ α = ± 2nπ N ⇔ θn= ± cos −1[λ(±2nπN − α) 2πd ] n = 1, 2, ... e n 6= N, 2N, 3N, .. (2.30)
Para um agregado transversal, os ˆangulos que correspondem `as dire¸c˜oes dos nulos s˜ao: θn= ± cos−1(
nλ
N d) n = 1, 2, ... e n 6= N, 2N, 3N, .. (2.31) J´a para um agregado longitudinal, podemos ter o feixe orientado em diferentes dire¸c˜oes, em que θ = 0◦ ou θ = 180◦. Os ˆangulos que correspondem `as dire¸c˜oes dos nulos para cada situa¸c˜ao s˜ao:
Feixe orientado na dire¸c˜ao θ = 0◦ (α = -β d), substituindo em 2.30
θn= ± cos−1(−
nλ
N d + 1) n = 1, 2, ... e n 6= N, 2N, 3N, .. (2.32) Feixe orientado na dire¸c˜ao θ = 180◦ (α = +β d), substituindo em 2.30
C´alculo dos M´aximos do Agregado
Na express˜ao 2.28, o parˆametro ”n”n˜ao pode tomar valores de N, 2N,..., porque nestas condi¸c˜oes o denominador tamb´em ´e zero, o que leva a uma indetermina¸c˜ao. Para resolu¸c˜ao desta indetermina¸c˜ao conclui-se que neste caso se obt´em o m´aximo do fator de agregado. Assim temos que, os valores para o qual o fator de agregado apresenta o valor m´aximo, ocorrem quando,
Ψ
2 = ±mπ ⇔ Ψ = ±2mπ m = 0, 1, 2, ... (2.33) isto permite que a dire¸c˜ao do m´aximo seja,
βd cos θmax+ α = ±2mπ ⇔ θmax = ± cos−1[
λ(±2mπ − α)
2πd ] m = 0, 1, 2 (2.34) Com isto, pode-se concluir que a dire¸c˜ao dos m´aximos do agregado depende do espa¸camento entre elementos e da sua diferen¸ca de fase, mas n˜ao depende do n´umero de elementos no en- tanto o n´umero de elementos do agregado vai ditar o m´aximo do fator de agregado.
Agregado Transversal
Neste ponto percebe-se que a dire¸c˜ao de m´aximo varia com a diferen¸ca de fase entre os elementos representada por α, e atrav´es desta vari´avel ´e poss´ıvel controlar o ˆangulo para o qual se deseja que um agregado incida a sua dire¸c˜ao de m´axima radia¸c˜ao. Isto leva que a fase obede¸ca `a seguinte rela¸c˜ao em 2.35, onde pretender-se-`a obter um m´aximo para um ˆangulo θx.
βd cos θmax+ α = ±2mπ ⇔ α = −βd cos θx± 2mπ ⇔ α = −βd cos θx m = 0, 1, 2 (2.35)
Um agregado transversal ´e aquele cujo m´aximo de radia¸c˜ao ´e perpendicular `a orienta¸c˜ao do agregado, ou seja θ = 90◦. Utilizando a condi¸c˜ao feita anteriormente 2.35, pode-se afirmar que,
α = −βd cos 90◦ = 0 (2.36)
Isto leva `a conclus˜ao de que se os elementos de um agregado estiverem em fase (α = 0), a dire¸c˜ao m´axima do agregado ser´a sempre transversal `a orienta¸c˜ao do agregado.
Uma nota importante dada em [4] para agregados transversais, ´e que para evitar que surjam outros m´aximos al´em do m´aximo principal ´e necess´ario que a escolha do maior espa¸camento entre os elementos do agregado seja menor que o comprimento de onda (dmax<
λ).
Na Figura 2.22 temos um exemplo deste tipo de agregado.
Figura 2.22: Exemplo de um agregado transversal com 6 elementos isotr´opicos orientados ao longo do eixo Oz e espa¸cados de λ /4.
Agregado Longitudinal
Um agregado longitudinal ´e um agregado cujo m´aximo de radia¸c˜ao ´e normal `a orienta¸c˜ao do agregado. Neste caso, surgem duas possibilidades de orientar o feixe, para θ = 0◦ ou θ = 180◦.
α = −βd cos 0◦= −βd α = −βd cos 180◦ = +βd (2.37) Com isto pode-se afirmar que para se obter um m´aximo de radia¸c˜ao num agregado lon- gitudinal a diferen¸ca de fase entre os diversos elementos tem de ser igual ao espa¸camento el´etrico entre estes. Uma diferen¸ca de fase negativa leva a um m´aximo para θ = 0 e uma diferen¸ca de fase positiva origina um m´aximo para θ = 180◦.
A mesma nota importante dada para os agregados transversais, tamb´em ´e dada para os agregados longitudinais, no entanto nestes ´ultimos, para n˜ao existirem outros m´aximos al´em do m´aximo principal ´e necess´ario que o espa¸camento m´aximo entre elementos deve ser menor que meio comprimento de onda (dmax< λ/2). Na Figura 2.23, pode-se observar um exemplo
Figura 2.23: Exemplo de um agregado longitudinal com 6 elementos isotr´opicos orientados ao longo do eixo Oz e espa¸cados de λ /4.
N´ıvel do primeiro lobo secund´ario
A ocorrˆencia do primeiro lobo secund´ario do fator de agregado acontece aproximadamente para, NΨ 2 ≈ ± 3 2π ⇔ Ψ 2 ≈ ± 3 2 π N
ou seja, partindo da express˜ao de |F A|npode-se obter o n´ıvel do primeiro lobo secund´ario.
|F A|n= sin(NΨ2) N sin(Ψ2) = sin(±3π2 ) N sin(2N3π) = 1 N sin(2N3π) (2.38)
Largura de feixe a meia potˆencia
O conceito de largura de feixe a meia potˆencia foi inicialmente introduzido nesta tese nas caracter´ısticas do diagrama de radia¸c˜ao de uma antena. Neste ponto iremos perceber mais concretamente o significado deste conceito. Esta ´e uma da caracter´ıstica importante do fator de agregado onde a sigla que a traduz ´e LFMP, no entanto no meio liter´ario acaba por ser mais conhecida pela sua sigla inglesa HPBW (half power beam width).
A LFMP ´e definida pela diferen¸ca entre os ˆangulos para os quais a densidade de potˆencia radiada ´e metade da densidade de potˆencia radiada segundo a dire¸c˜ao de m´aximo. Em termos de campo el´etrico, metade da potˆencia corresponde a um campo com um valor √1
2 do valor
m´aximo.
Como o campo el´etrico ´e expresso pelo fator de agregado (FA), pode-se a partir da ex- press˜ao 2.28 obter aproximadamente a dire¸c˜ao de m´aximo. Assim, considerando um N elevado esta equa¸c˜ao vale √1
2 para N Ψ
2 ≈ ±1, 391, portanto temos que os ˆangulos para as quais ocorrem
as dire¸c˜oes de meia potˆencia (θh) s˜ao dados por:
Ψ = ±2, 782
N (2.39)
Pelo que a dire¸c˜ao do m´aximo ´e dada pela equa¸c˜ao 2.40, donde se obtˆem os ˆangulos θh
que correspondem `as dire¸c˜oes de meia potˆencia. βd cos θh+ α = ± 2, 782 N ⇔ θh= cos −1[(±2, 782 N − α) λ 2πd] (2.40)
Sendo a fun¸c˜ao sim´etrica em torno do seu m´aximo, a LFMP Θh corresponde a:
Θh = 2||θm| − |θh|| (2.41)
Para o caso de um agregado transversal, α = 0 e θm= 90◦ tem-se que,
θh = cos−1(±
2, 782λ
2πdN ) (2.42)
Θh= 2|90◦− |θh|| (2.43)
Para o caso de um agregado longitudinal, com α = +βd e θm= 180◦ tem-se que,
θh = ± cos−1(1 − 2, 782λ 2πdN ) α=+βd θm=0◦ (2.44) Sendo a LFMP Θh dada em graus por,
Θh = 2|θh| α=+βd θm=0◦ (2.45)
Largura de feixe entre os primeiros nulos
A Largura de feixe entre os primeiros nulos (LFEN) tamb´em abordada j´a anteriormente e mais conhecida por FNBW (first null beam width) ´e definida pela diferen¸ca entre os ˆangulos pelos quais s˜ao escolhidos pelas dire¸c˜oes dos primeiros nulos do diagrama de radia¸c˜ao.
Atrav´es da express˜ao 2.30, calculamos a dire¸c˜ao dos nulos e pela 2.31 calculamos o ˆangulo para a essa mesma dire¸c˜ao.
θn= ± cos−1(
nλ
N d) n = 0, 1, 2, ... e n 6= N, 2N, 3N, ..
Tendo isto sabe-se ent˜ao que para um agregado transversal, α = 0 e θm = 90◦, a largura
de feixe entre os primeiros nulos (FNBW) ´e dada por:
Θh = 2||90◦− |θn|| (2.46)
J´a para um agregado longitudinal, com α = +βd e θm= 180◦, tem-se que,
Θh = 2|θn| α=+βd θm=0◦ (2.47)
Directividade
A directividade de uma antena foi um conceito j´a abordado anteriormente. Neste ponto incidir-se-`a sobre o c´alculo da directividade para agregados lineares e uniformes.
Com base em [4] e [5], a Tabela 2.1 aproxima a f´ormula do c´alculo da directividade para agregados transversais e longitudinais.
Tabela 2.1: Directividade para os diferentes tipos de agregados.
Agregado Directividade
Transversal ≈ 2N dλ , d < λ
Longitudinal ≈ 4N dλ , d < λ2(1 −2N1 )