2.3 Antenas patch microstrip
2.3.4 M´ etodos de An´ alise
Surge agora a necessidade de aprofundar o estudo das antenas microstrip e para isso sur- gem modelos anal´ıticos capazes de fornecer um melhor entendimento dos princ´ıpios de funcio- namento do modelo que queremos obter. Isto permite determinar as vantagens e as limita¸c˜oes da estrutura da antena e futuramente reduzir o n´umero de ensaios no processo de desenho de uma nova antena. Esta an´alise n˜ao ´e propriamente simples e direta, devido `a presen¸ca de diel´etricos n˜ao homog´eneos, condi¸c˜oes fronteiras n˜ao homog´eneas, tipos de alimenta¸c˜ao diferentes e toda a estrutura da antena microstrip poder tomar diversas configura¸c˜oes.
Para isso existem m´etodos de an´alise que se dividem em dois grandes grupos:
1. Modelos baseados em m´etodos num´ericos para resolver as equa¸c˜oes de Maxwell aplicadas `
a estrutura;
2. Modelos baseados em estruturas f´ısicas j´a conhecidas aos quais est´a associada uma complexidade moderada.
No primeiro modelo utiliza-se o recurso `as equa¸c˜oes de Maxwell, no entanto a aplica¸c˜ao deste m´etodo exige uma grande capacidade de c´alculo, que obrigatoriamente surge a neces- sidade de recorrer a meios computacionais. Por outro lado, os resultados obtidos por estes m´etodos s˜ao muito pr´oximos da realidade. Surgem exemplos como:
M´etodo dos momentos (MoM)
M´etodo das diferen¸cas finitas (FDTD) 14
M´etodo dos elementos finitos (FEM)
O segundo modelo, ´e bastante mais simples n˜ao tendo a exigˆencia matem´atica como no primeiro modelo no entanto os resultados obtido n˜ao s˜ao t˜ao exatos. Exemplos destes modelos s˜ao:
M´etodo da cavidade
M´etodo da linha de transmiss˜ao
Nesta disserta¸c˜ao optou-se pelo uso do m´etodo da linha de transmiss˜ao para calcular os parˆametros relativos `as antenas microstrip em estudo.
M´etodo da linha de transmiss˜ao
Este m´etodo foi a primeira t´ecnica a ser implementada para analisar uma antena microstrip retangular por Munson em 1974. [9]
Como descrito acima, este m´etodo ´e bastante mais simples mas com pouca precis˜ao nos resultado. No entanto, apresenta um rigor suficiente para estimar a impedˆancia de entrada e a frequˆencia de trabalho da antena em fun¸c˜ao dos seus parˆametros f´ısicos (W, L, h), constante diel´etrica e a posi¸c˜ao do ponto de alimenta¸c˜ao.
Este m´etodo ´e apenas aplic´avel em estruturas retangulares modelando a antena microstrip vis´ıvel na Figura 2.15, num conjunto de fendas estreitas e radiantes, paralelas de comprimento W e largura h, separadas de uma linha de transmiss˜ao de comprimento L e impedˆancia caracter´ıstica Z0.
Figura 2.15: Antena microstrip retangular - fendas radiantes.
Como as dimens˜oes da patch de uma antena microstrip s˜ao finitas ao longo do comprimento e largura existem linhas de campo de fuga fora da parte radiante como ´e vis´ıvel na Figura 2.16. Parˆametros da antena como o comprimento (L), largura (W), altura (h), constante diel´etrica (r) e frequˆencia de ressonˆancia (fr), tanto como a rela¸c˜ao entre si ir˜ao influenciar
as mesmas linhas de campo, fazendo com que o tamanho el´etrico da estrutura da antena seja superior ao seu tamanho f´ısico. Este fen´omeno vai introduzir parˆametros novos como a constante diel´etrica efetiva (ref f), largura efetiva (Wef f) e comprimento efetivo (Lef f).
Figura 2.17: Geometria original de uma antena microstrip (esquerda). Geometria homog´enea, com r substitu´ıdo por ref f (direita).
O parˆametro ref f, pode ser entendido ilustrativamente pela Figura 2.17. E surge devido
ao facto de a parte refletora da antena microstrip com as suas dimens˜oes originais estar acima do plano de massa e incorporado num diel´etrico n˜ao homog´eneo e isso leva a que existam linhas de campo percorrendo os dois meios. Pela defini¸c˜ao, ref f, ´e a constante diel´etrica do material
diel´etrico uniforme de modo que a estrutura da antena inserida no meio homog´eneo tem caracter´ısticas el´etricas idˆenticas, particularmente propaga¸c˜ao constante, como a estrutura real num meio homog´eneo de constante diel´etrica equivalente.
Para valores de frequˆencia relativamente baixos (at´e 10GHz), o valor de ref f ´e aproxi-
madamente constante e dado pela equa¸c˜ao 2.13 [4]. Como o diel´etrico por cima do elemento radiante ´e o ar, os valores de ref f encontram-se dentro dos seguintes limites, 1 < ref f < r.
Por isso, quanto maior for o valor da constante diel´etrica relativamente `a unidade, (r 1),
mais pr´oximo deste vai ser o valor de ref f.
ref f = r+ 1 2 + r− 1 2 1 p1 + 12d/W (2.13)
Devido ao efeito da linhas de campo de fuga referidas anteriormente, o comprimento real da antena ser´a maior (∆L), expresso pela equa¸c˜ao 2.14 [4], e ilustrado na Figura 2.18. Portanto para o c´alculo do comprimento f´ısico (L), ter-se-`a em conta este efeito com o parˆametro do comprimento efetivo (Lef f).
A equa¸c˜ao para o c´alculo de L ´e ent˜ao dada pela express˜ao 2.15 [4].
∆L = 0, 412h (ref f+ 0, 3) (W/h + 0, 264) / [(ref f− 0, 258) (W/h + 0, 8)] (2.14) L = 1 2fr √ ref f √ 0µ0 − 2∆L (2.15) 16
Figura 2.18: Comprimento f´ısico e efetivo de uma antena microstrip.
Para obter uma boa eficiˆencia na antena ´e comum usar como largura (W), dado em [4] e expresso da seguinte forma,
W = 1 2fr √ 0µ0 p 2/(r+ 1) (2.16)
Para o modo de funcionamento T M010 (Transverse Magnetic, modo caracterizado pelo
facto de que o vetor magn´etico (H) ser sempre perpendicular `a dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao e o ´ındice 010 indica o modo com a frequˆencia mais baixa, ou modo dominante), ´e feito o c´alculo da frequˆencia de ressonˆancia, fr [4], dada por,
fr = 1 2Lef f√ref f √ 0µ0 = 1 2(L + 2∆L)√ref f √ 0µ0 (2.17)
A impedˆancia de entrada da antena microstrip, Za [10], pode ser aproximada por,
Za≈ 90 2r r− 1 ( L W) 2(Ω) (2.18)
Caso a impedˆancia seja demasiado elevada e seja necess´ario reduzir o seu valor ´e aplicado um transformador λ/4. Para isso utiliza-se a seguinte f´ormula para o c´alculo da impedˆancia do transformador, onde ZL´e a carga para a qual queremos adaptar o circuito.
Za=
p
ZL× Z0 (2.19)
Figura 2.19: Transformador λ/4.
Z0 = 60 √ ref fln 8d W + W 4d , for W/d ≤ 1 120π √ ref f[W/d+1,393+0,667ln(W/d+1,444)], for W/d ≥ 1 (2.20)
Onde W ´e o valor da largura da patch. Partindo desta f´ormula, caso seja aplicado o transformador λ/4, o valor da largura da patch (W) ´e igual `a largura do transformador (WT).
Para estimar qual o valor de largura de banda para VSWR < 2, [5] ∆f f0 = 16 3√2 r− 1 2 r Lh λW ≈ 3, 77 r− 1 2 r Lh λW (2.21)
Podendo concluir que a largura de banda (∆f ) ´e proporcional `a espessura do substrato (h) e inversamente proporcional `a constante diel´etrica.