3.9 Expansão para sistemas não quadrados e ajuste para faixas de operação
5.1.4 Ajuste com faixas para sistema não quadrado 10 × 4 com otimizador
A disposição do sistema operando em faixas para o controle preditivo ocorre principalmente devido ao número negativo de graus de liberdade do sistema, obrigando haver uma maior flexibilidade nas CVs a fim de atingir o objetivo de controle do sistema geral, que possui um número menor de MVs. Quando as CVs encontram-se com uma certa “folga” em relação às faixas é possível incluir no problema targets ou valores de referência para as variáveis manipuladas, que levarão obrigatoriamente o sistema a saturar uma ou mais restrições ou o próprio target.
Como variáveis controladas foram utilizadas as alturas dos níveis dos 4 tanques (ℎ1, ℎ2, ℎ3 𝑦 ℎ4) e as temperaturas dos tanques inferiores (𝑇1 𝑦 𝑇2) e como variáveis
manipuladas as vazões de alimentação (𝑅1 𝑦 𝑅2) e as aberturas das válvulas (𝑥1 𝑦 𝑥2). O
mesmo padrão de distúrbios utilizados nos casos anteriores (Figura 5.6), os mesmos valores para as soft e hard constraints e o mesmo escalonamento considerando todos os cenários quadrados foram utilizados.
Para fazer a inclusão do target para as variáveis manipuladas foi considerado um modelo estendido para o controlador, possuindo assim novas variáveis controladas �𝑅1,𝑠𝑠𝑠, 𝑅2,𝑠𝑠𝑠, 𝑥1,𝑠𝑠𝑠, 𝑥2,𝑠𝑠𝑠�, conforme Figura 5.11.
Figura 5.11: Modelo estendido com targets para as variáveis manipuladas.
As novas variáveis controladas �𝑅1,𝑠𝑠𝑠, 𝑅2,𝑠𝑠𝑠, 𝑥1,𝑠𝑠𝑠 𝑦 𝑥2,𝑠𝑠𝑠� foram incluídas no modelo
do controlador MPC com uma dinâmica muito rápida (instantânea), de forma que os setpoints e os pesos equivalentes à essas CVs representarão targets e os pesos da matriz
𝑊𝑢, respectivamente. Dessa forma, as variáveis manipuladas são também variáveis
controladas e penalizadas em relação a um valor de referência.
A inclusão de targets no problema original é geralmente feita considerando um problema de otimização que visa o custo mínimo para a operação, respeitando as restrições impostas ao problema de controle, que ocorrem nas CVs ao serem consideradas as faixas de operação. Dessa forma, em cada tempo de amostragem, as trajetórias passadas são estimadas, o que modifica os valores das restrições do problema de otimização, devido à presença de distúrbios não medidos, calculando assim o valor ótimo de operação para as MVs e enviando ao controlador esses valores como referência para essas variáveis que ocasionarão um custo mínimo. Esse otimizador além dos targets para as variáveis manipuladas calcula também os valores ótimos para as CVs que iriam ocorrer considerando o ganho estático do modelo do processo (restrições).
Foram considerados duas funções a serem otimizadas: Programação Quadrática (QP) e Programação Linear (LP). O problema QP foi utilizado ao considerar a função custo, Equação 4.13, que relaciona as variáveis de entrada e de saída do problema geral. Já o problema LP foi utilizado ao considerar apenas a parcela da função custo original, referente às entradas do modelo, que não variam com os distúrbios não medidos (que ocorrem nas saídas).
Para o cálculo dos pesos do controlador preditivo com otimizador, através da Equação 3.27, foram utilizados como valores de referência para as MVs os valores ótimos encontrados para o problema de otimização. Os pesos obtidos para a sintonia do controlador preditivo são 𝑊𝑢 = 𝑇𝑖𝑎𝑔[0,1512 × 10−3; 0,0692 × 10−3; 0,0344 × 10−3; 0,0394 × 10−3] ,
𝑊 = 𝑇𝑖𝑎𝑔[0,0680 × 10−3; 0,0077 × 10−3; 0,2125 × 10−3; 0,0175 × 10−3] e
𝜌𝜖 = 0,0099 × 10−3.
As simulações foram feitas, sendo em cada período de amostragem resolvido o problema QP ou LP, calculando a partir do estado atual e passados do sistema quais os valores ótimos necessários para levar ao custo mínimo de operação, respeitando as restrições das variáveis controladas (dadas pelas faixas de operação). A resolução dos problemas de programação quadrática e linear em cada período de amostragem determina o valor ótimo para as MVs respeitando as restrições que variam com os distúrbios enviados ao processo. Essas restrições são estimadas através do ganho estático do processo em malha aberta.
As simulações considerando o problema de otimização quadrático e linear encontram-se nas Figura 5.12 e Figura 5.13, respectivamente.
5.1 Modelo 4 Tanques Esféricos com Aquecimento 79
(a)
(b)
Figura 5.12: Variáveis (a) controladas e (b) manipuladas para sistema não quadrado
(a)
()a
(b)
Figura 5.13: Variáveis (a) controladas e (b) manipuladas para sistema não quadrado
5.1 Modelo 4 Tanques Esféricos com Aquecimento 81
Nas Figura 5.12(a) e Figura 5.13(a) são mostrados também os valores que a planta obteria se estivesse operando com o valor exato do target nas MVs, 𝐶𝐶𝑦𝑛𝑠𝑖𝑚, sem
capturar os efeitos dinâmicos da operação.
Foram feitas outras simulações, considerando apenas distúrbios não medidos enviados aos tanques superiores, 3 e 4, em forma de degraus. Pelo fato dos tanques estarem interconectados, o distúrbio enviado a esses tanques será propagado influenciando os níveis e temperaturas dos outros tanques. O padrão dos distúrbios encontra-se na Figura 5.14 e a simulação do sistema operando com o controlador MPC que foi sintonizado para o caso anterior utilizando os otimizadores QP e LP, encontra-se na Figura 5.15 e Figura 5.16.
(a)
(b)
Figura 5.15: Variáveis (a) controladas e (b) manipuladas para sistema não quadrado com
5.1 Modelo 4 Tanques Esféricos com Aquecimento 83
(a)
(b)
Figura 5.16: Variáveis (a) controladas e (b) manipuladas para sistema não quadrado com
otimizador LP frente à resposta de distúrbio degrau.
Por fim, foi considerado também um distúrbio em forma de rampa, aplicados aos tanques 1 e 2, de forma a observar o comportamento do sistema em relação à sintonia e à utilização do otimizador. Os padrões dos distúrbios encontram-se na Figura 5.17 e as simulações do problema com otimizador encontram-se nas Figura 5.18 e Figura 5.19.
Figura 5.17: Distúrbios não medidos em forma de rampa enviados aos tanques 1 e 2.
5.1 Modelo 4 Tanques Esféricos com Aquecimento 85
(b)
Figura 5.18: Variáveis (a) controladas e (b) manipuladas para sistema não quadrado com
otimizador QP frente à resposta de rampa de distúrbio.
(b)
Figura 5.19: Variáveis (a) controladas e (b) manipuladas para sistema não quadrado com
otimizador LP frente à resposta de rampa de distúrbio.
A simulação considerando o distúrbio em forma de rampa enviado aos tanques inferiores foi feita a fim de verificar o comportamento do otimizador, visto que o target calculado para as MVs possui como restrições o modelo estático do processo (ganho estático), e como esperado, comporta-se melhor considerando distúrbios suaves (lentos), em forma de rampa.