Ajuste do modelo

Na presente seção, o modelo em elementos finitos, apresentado previamente na seção 3.3, será calibrado. No contexto deste trabalho, calibrar o modelo significa adequá-lo a reproduzir, tão fidedignamente quanto possível, a resposta dinâmica da viga analisada. Neste sentido, se se observar as equações do modelo em elementos finitos da seção 3.3 (equações (3.32)-(3.36)), ver-se-á que embora determinados parâmetros (por exemplo, os parâmetros geométricos 𝑎, 𝑏 e 𝐿) possam ser prontamente obtidos, outros parâmetros necessitam de um método mais acurado de investigação para serem determinados. Em geral é este o caso dos parâmetros vinculados às características intrínsecas do material, ou destas derivados, como ocorre, por exemplo, com o módulo de elasticidade, 𝐸, e também com os coeficientes do amortecimento estrutural proporcional, 𝛼 e 𝛽.

Sendo assim, na presente seção buscar-se-á atribuir valores aos principais parâmetros físicos, sejam da viga em si, sejam de seu material constituinte, presentes no equacionamento do modelo em elementos finitos. Inicia-se, pois, pelos parâmetros geométricos supracitados, 𝑎, 𝑏 e 𝐿. Acerca de 𝑎 e 𝑏, respectivamente, espessura e altura da viga, destaca-se que, dada a característica de repetibilidade inerente da medição destes parâmetros, optou-se por aferi-los algumas vezes em pontos distintos ao longo do comprimento da viga. Dos valores obtidos, tomou-se então a média como o valor real para o parâmetro, doravante denotado por 𝑎̅ ou 𝑏̅, isto é, espessura e altura médias, respectivamente. Naturalmente, fazer corresponder aos diferentes parâmetros, quando possível, valores médios permitia não só tomá-los de forma global, isto é, minimizando-se particularidades locais, como ainda permitia reduzir-se o erro associado às medições em si. Para o comprimento 𝐿, a Figura 5.1 evidencia as extremidades arredondadas da viga. Neste contexto, tomou-se para 𝐿 o maior comprimento possível para a viga, obtido a partir da maior distância entre suas extremidades (à esquerda e à direita, na Figura 5.1), o que coincidiu, aproximadamente, com o comprimento ao longo da linha média da face anterior da viga.

Assim, a espessura média 𝑎̅ (direção 𝑋) e a altura média 𝑏̅ (direção 𝑍), foram aferidas utilizando-se um paquímetro analógico com precisão de 0,05mm. Observa-se, no entanto, que, uma vez que a viga aqui analisada era, originalmente, uma serra cuja aresta de corte (dentada) fora removida, as aferições de sua altura (ao longo de seu comprimento, direção 𝑌) apresentaram dispersão mais significativa que as correspondentes aferições de sua espessura.

Tabela 5.1: Aferições da espessura 𝑎 da viga. Aferição 𝑎 (mm) 1 0,70 2 0,70 3 0,80 4 0,80 5 0,80 6 0,80 Média 0,77 Desvio padrão 0,05

Tabela 5.2: Aferições da altura 𝑏 da viga. Aferição 𝑏 (mm) 1 39,80 2 39,80 3 39,90 4 40,00 5 39,70 Média 39,84 Desvio padrão 0,11

Já para o comprimento 𝐿 da viga, adotando-se a maior distância entre as arestas opostas ao longo de sua maior dimensão, obteve-se: 𝐿 = 550𝑚𝑚 (aferidos com uma régua com precisão de 1mm).

A seguir, aferiu-se a massa da viga em balança de precisão (com acuidade de 0,01g).

Tabela 5.3: Aferições da massa 𝑀 da viga. Aferição 𝑀 (g) 1 250,77 2 250,74 3 250,78 4 250,82 Média 250,78 Desvio padrão 0,03

Neste momento, as propriedades de aferição direta da viga estavam todas determinadas. Contudo, restavam importantes parâmetros a serem ainda quantificados. Dentre estes, figurava o volume da viga, que pôde ser estimado por meio do software CREO

2.0, no qual uma representação fidedigna da viga e de suas características (extremidades

arredondadas e furos) foi desenhada e, a partir desta, o volume 𝑉 = 16495,6𝑚𝑚3 foi extraído. A Figura 5.1 permite comparar a viga em si (suspensa por fios de nylon® para análise modal, na condição livre-livre) à sua representação no software (vista frontal).

(a)

(b) Espessura média: 0,77mm

Figura 5.1: (a) Viga suspensa por fios de nylon® (poliamida) para análise modal na condição livre-livre. Vista de sua face anterior; (b) Representação da viga e de suas características geométricas no software CREO 2.0.

Então, a partir da massa média 𝑀̅ e do volume estimado 𝑉 da viga, pôde-se determinar outra importante propriedade: sua densidade 𝜌.

𝜌 =𝑀̅

𝑉 = 6768,4𝑘𝑔/𝑚3 = 6,7684𝑔/𝑐𝑚3 (5.1)

Como se pode observar, a densidade do material constituinte da viga aqui analisada encontra-se razoavelmente abaixo do valor empregado por Pilotto (2013 e 2015),

7,90 g/cm3; e de valores representativos tabelados para os tipos mais tradicionais de aço (como os aços-carbono e aços de baixa liga, 7,85 g/cm3, ou mesmo os aços inoxidáveis, 7,65 g/cm3 a 8,00 g/cm3, segundo Callister Jr., 2008). Assim, partindo-se do que ocorrera com a densidade do material da viga, poder-se-ia supor que suas demais propriedades também não corresponderiam a valores tabelados ou previamente empregados. Isto de fato ocorreu ao se avaliar o módulo de elasticidade dinâmico da viga. Dinâmico, naturalmente, porque buscava-se modelar fidedignamente a resposta, dinâmica, desta, isto é, sua resposta oscilatória, traduzida, sinteticamente, no domínio da frequência.

Assim, para a próxima propriedade avaliada, o módulo de elasticidade dinâmico 𝐸 da viga em flexão, empregou-se a norma ASTM E1876-09, a qual estabelece um procedimento simples de ensaio para se caracterizar diretamente o componente analisado. A técnica apresentada pela norma pode ser consultada em maiores detalhes no apêndice A. Por ora, basta-nos sintetizar o que propõe a norma. Segundo esta, o elemento analisado deve ser biapoiado em suportes que distem 0,224𝐿 de cada uma de suas extremidades (Figura 5.2). 𝐿, como anteriormente, denota o comprimento da viga. A partir desta montagem, deve-se posicionar o transdutor (por exemplo, de deslocamento ou aceleração), que será utilizado para se determinar a primeira frequência ressonante fundamental (ou fundamental

frequency) 𝑓_𝑓 do elemento. Se o transdutor empregado não demandar contato com o elemento, deverá ser posicionado num anti-nó, isto é, num ponto de máxima amplitude da resposta em flexão desejada (por exemplo, ponto M1 na Figura 5.2), a qual será produzida por meio de um impacto no ponto central do elemento (ponto X1 na Figura 5.2). Neste trabalho, empregou-se um sensor de deslocamento laser da marca Wenglor modelo YP06MGVL80 (apresentado no apêndice D) e obteve-se a frequência fundamental 𝑓_𝑓= 12,125𝐻𝑧 (vide apêndice A).

Figura 5.2: Montagem proposta na norma ASTM E1876-09 para se determinar o módulo de elasticidade dinâmico, em flexão, na direção vertical, de um determinado elemento.

Antes, contudo, de se determinar o módulo de elasticidade desejado, deve-se observar que a norma ASTM E1876-09 supracitada pressupõe a utilização de um elemento regular e homogêneo, com seção transversal constate ao longo de todo seu comprimento. Claramente não é este o caso da viga da Figura 5.1. Assim, foi necessário buscar um comprimento equivalente 𝐿𝑒𝑞 para a viga supondo-se que esta apresentasse seção transversal constante (em outras palavras, desprezando-se os furos e as extremidades arredondadas da viga original). Matematicamente, buscava-se 𝐿𝑒𝑞 tal que:

𝑉 = 𝑎̅𝑏̅𝐿𝑒𝑞 ⟺ 𝐿𝑒𝑞 = 𝑉

𝑎̅𝑏̅ = 539,82𝑚𝑚 (5.2)

Então, pôde-se partir ao equacionamento apresentado na norma. Segundo esta, 𝐸 pode ser obtido a partir de:

𝐸 = 0,9465 (𝑀̅𝑓𝑓 2 𝑏̅ ) (

𝐿3𝑒𝑞

𝑎̅3) 𝑇1 (5.3)

Na equação (5.3), 𝑇₁, segundo a norma ASTM E1876-09, é um “fator de correção para modos fundamentais de flexão, a considerar a espessura finita do elemento, o coeficiente de Poisson e assim por diante” (p. 6). Ainda segundo a norma, quando o comprimento do componente analisado é maior ou igual a 20 vezes sua espessura, 𝑇1 é dado por:

𝑇₁ = [1,000 + 6,585 ( 𝑎̅ 𝐿_𝑒𝑞)

2

] (5.4)

Aplicando-se os valores já conhecidos, sucessivamente, às equações (5.4) e (5.3), obtém-se 𝐸 = 138,77𝐺𝑃𝑎.

Apesar do valor relativamente baixo encontrado para o módulo de elasticidade dinâmico do material, cumpre observar que a mesma consideração feita para a densidade (em relação a trabalhos precedentes e dados tabelados) não pode aqui ser repetida, uma vez que não foram feitos testes suficientes para se determinar o módulo de elasticidade estático do material da viga (o qual poderia ser comparado a valores tabelados para aços, por exemplo). Pode-se, contudo, afirmar que o valor atribuído no presente trabalho para 𝐸 é consideravelmente menor que o valor adotado por Pilotto em seus trabalhos (2013 e 2015), 211GPa.

Antes de prosseguir, destaca-se que a norma ASTM E1876-09 foi empegada para obtenção apenas do módulo de elasticidade dinâmico da viga. Entretanto, nos itens subsequentes deste trabalho, aparecerá não apenas a viga mas também o munhão, o qual foi modelado utilizando-se o módulo de elasticidade adotado por Pilotto (2013 e 2015), 189GPa.

Por último, resta avaliar a constante 𝛽 do amortecimento proporcional (uma vez que se supôs 𝛼 = 0 na seção 3.3). Não por acaso, deixou-se para estimar 𝛽 por último. Este parâmetro não só é mais sensível a questões externas à viga (como por exemplo, as condições de montagem), como também possui um caráter de ‘ajuste fino’. Em outras palavras, uma vez minimizadas as incertezas acerca dos outros parâmetros do modelo, utilizou-se 𝛽 essencialmente para ajustar as amplitudes dos picos das funções de resposta em frequência do modelo às respectivas amplitudes das FRFs empíricas.

Todavia, uma vez que 𝛽 demonstrou ser sensível às condições de montagem, foi traçada uma estratégia de determinação deste parâmetro a passos sucessivos. Em outras palavras, o ajuste de 𝛽 foi construído ao longo da análise de quatro casos subsequentes, em que o primeiro caso consistia na configuração mais simples possível, e sempre se atribuía a

um caso posterior algo que não havia sido considerado no caso anterior. Assim, seria possível avaliar comparativamente o avanço progressivo dos valores de 𝛽, à medida que novos elementos fossem introduzidos ao sistema. A se saber, os quatro casos avaliados foram:

1. Análise modal da viga (apenas) na condição livre-livre;

2. Análise modal da viga, agora com munhão acoplado, ainda na condição livre-livre;

3. Análise modal do conjunto viga-munhão engastado;

4. Análise da viga engastada com munhão e shaker acoplados.

Para os três primeiros casos, uma análise modal completa foi realizada. Por completa, entenda-se: escolheu-se um determinado nó da malha para posicionamento do acelerômetro (cuja massa foi aferida e acrescentada no nó correspondente da malha do modelo em elementos finitos). A seguir, utilizando-se um martelo de impacto com ponteira de aço e célula de carga acoplada (Figura 5.3), excitou-se a viga em diferentes nós, inclusive no nó em que estava o acelerômetro (condição conhecida usualmente por excitação no

driving point). Nesta etapa do trabalho, foram empregados um acelerômetro da marca B&K,

modelo 4508 (cuja documentação encontra-se no apêndice D), com massa média de 4,76g e uma célula de carga, também produzida pela B&K, modelo 8200, com massa média de 21,66g, cuja documentação, novamente, consta no apêndice D.

Desta forma, diferentes funções de resposta em frequência foram obtidas, uma para cada ponto de excitação, de cada um dos três primeiros casos analisados. Deve-se, contudo, observar que, para os casos em que foi empregado o martelo de impacto, os testes foram repetidos ao menos cinco vezes e os resultados aqui apresentados são, naturalmente, a média de sucessivos impactos sobre um mesmo ponto (mantidas as respectivas posições dos transdutores empregados). Os resultados de cada caso podem ser conferidos na Figura 5.4. Nesta, optou-se por apresentar apenas um exemplo representativo de cada caso (naturalmente, aquele que apresentou melhor concordância entre as respostas experimentais e simuladas). Contudo, no apêndice B, o leitor poderá conferir, na íntegra, o conjunto de dados obtido.

Figura 5.3: Martelo de impacto com ponteira de aço e célula de carga acoplada. Utilizado para análise modal, reiterando-se ao menos cinco vezes um mesmo impacto.

(b) Viga com munhão, livre-livre. 𝛽 = 1 × 10−6_.

(c) Viga com munhão, engastada. 𝛽 = 2 × 10−6_.

Figura 5.4: Funções de resposta em frequência simuladas comparadas às correspondentes respostas em frequência obtidas, nas condições especificadas em cada item, por análise modal com martelo de impacto. Resultados experimentais são médias de sucessivos impactos.

Nas Tabelas 5.4 a 5.6, apresentadas a seguir, compara-se as frequências de pico simuladas às respectivas frequências obtidas empiricamente para cada um dos casos da Figura 5.4.

Tabela 5.4: Comparativo de frequências de pico para a viga livre-livre com acelerômetro (excitação nó 21). 𝛽 = 1 × 10−6_. Frequência experimental (Hz) Frequência simulada (Hz) Erro (%) 12,2 11,5 5,68 33,0 32,4 1,70 62,7 61,8 1,31 104,8 104,0 0,76 155,6 154,5 0,71 215,9 215,1 0,37 291,7 290,3 0,48 367,2 365,5 0,46 470,5 468,7 0,38

Tabela 5.5: Comparativo de frequências de pico para a viga com munhão e acelerômetro acoplados, ainda livre-livre (excitação nó 16). 𝛽 = 1 × 10−6_.

Frequência experimental (Hz) Frequência simulada (Hz) Erro (%) 12,2 11,3 7,00 30,7 29,8 2,80 59,0 58,3 1,19 103,4 101,9 1,45 150,5 148,9 1,06 200,5 199,0 0,75 298,2 300,2 0,67 370,9 365,7 1,40 435,6 440,3 1,08

Tabela 5.6: Comparativo de frequências de pico para a viga engastada com munhão e acelerômetro acoplados (excitação nó 18). 𝛽 = 2 × 10−6_.

Frequência experimental (Hz) Frequência simulada (Hz) Erro (%) 2,6 2,5 0,16 10,9 10,9 0,46 33,8 33,3 1,21 72,4 72,8 0,64 120,8 120,4 0,33 190,4 191,6 0,63 287,3 287,2 0,03 385,5 394,2 2,26 437,2 434,7 0,57

Embora a Figura 5.4 e as Tabelas 5.4-5.6 ilustrem a precisão do modelo em representar a resposta do sistema real a diferentes condições, ilustram, também, por outro lado, a limitação de se vincular, a um determinado caso, um valor único para 𝛽. Em outras palavras, aqui se ilustra as limitações da técnica de amortecimento proporcional: para cada caso, tomou-se um valor conservador para 𝛽, de modo a se assegurar que nenhum pico de amplitude do modelo subestimasse seu correspondente pico real, medido. Naturalmente que este processo demandava o estabelecimento de uma determinada faixa de frequências de interesse, a qual foi tomada no intervalo de 0Hz a 500Hz. A escolha deste intervalo também foi feita em favor da segurança: o controlador apenas atuará até 100Hz. Entretanto, o controle ainda não era o foco. O foco nesta etapa era a calibração do modelo. E para esta, quanto maior a faixa de frequências em que o modelo apresentasse concordância às FRFs medidas, melhor. Contudo, a adoção de um valor para 𝛽 a não subestimar os picos das altas frequências da faixa implicava um modelo que superestimava os picos a baixas frequências. É notável na Figura 5.4 que a diferença de amplitude entre as curvas simuladas e as empíricas, nas regiões dos picos de ressonância, vai diminuindo à medida que a frequência avança. Assim, o ideal seria empregar alguma técnica de amortecimento modal, ajustado modo a modo, para se incluir ao modelo todas as nuances verificadas experimentalmente. Todavia, uma tal análise fugiria ao escopo deste trabalho, e ademais a Figura 5.4 (e a integridade dos dados comparativos, apêndice B) evidenciam que o modelo calibrado pela técnica do amortecimento proporcional conseguia reproduzir satisfatória e seguramente a

resposta dinâmica do sistema estudado. Deste modo, manteve-se a técnica de amortecimento proporcional.

É interessante, contudo, observar que, dos itens (a) e (b) para o item (c) da Figura 5.4, houve uma sensível variação no valor atribuído ao coeficiente 𝛽. Este fato deve ser atribuído a uma outra característica intrínseca da adoção do amortecimento proporcional: toda e qualquer forma de amortecimento existente no sistema real (de forma interna) ou a sobre ele atuar (de forma externa) deve ser contabilizada, no modelo, pela matriz global de amortecimento, diretamente dependente de 𝛽. Assim, ao se introduzir o engaste, é intuitivo conjecturar que este tenha acrescentado amortecimento ao sistema, que agora está de certa forma mais rígido e sob a influência de novos efeitos dissipativos, como uma possível oscilação limitada na extremidade limite do engastamento, para fora do qual a viga se projeta, em balanço. Estes efeitos, naturalmente, não teriam outra maneira de serem introduzidos ao modelo aqui adotado a não ser pelo coeficiente 𝛽 que, então, foi novamente acrescido de forma sucessiva até se encontrar um valor a estabelecer o ajuste das curvas do modelo às curvas empíricas de resposta em frequência.

Uma dúvida poderia surgir naturalmente neste ponto: se a inclusão do engaste tornou necessário elevar 𝛽, por que também não o fez a inclusão do munhão? Acerca do munhão, acredita-se que a superposição da matriz de rigidez deste à matriz de rigidez da viga, no modelo, tenha sido suficiente para elevar o amortecimento (𝛽[𝐾]) tanto quanto necessário. Já a técnica numérica de inserção do engaste pressupõe acrescentar rigidez aos graus de liberdade engastados apenas após ter sido determinada a matriz de amortecimento do sistema pelo método do amortecimento proporcional. Assim, os efeitos de amortecimento do engaste apenas poderiam ser atribuídos ao modelo variando-se 𝛽. Cumpre observar, contudo, que o munhão foi montado à viga de forma peculiar: as faces do munhão, antes de serem parafusadas umas às outras, foram coladas à superfície da viga. Assim, quaisquer movimentos relativos entre a viga e o munhão, que poderiam, potencialmente, introduzir novos efeitos dissipativos, foram eliminados, de tal forma que o sistema resultante (acoplado) viga-munhão passou a se comportar como um sistema de um único corpo.

O mesmo procedimento de colagem de faces não foi aplicado ao engaste, pois este não apenas foi projetado para abrigar a viga com (sensível) interferência, como também

os parafusos empregados na montagem do engaste garantiriam o aperto necessário à imobilidade da viga em seu interior.

(a) (b)

Figura 5.5: Excitador (shaker) da marca B&K modelo 4809, número de série 2237280, utilizado nos testes.

Por último, para o caso 4 (análise da viga engastada com munhão e shaker acoplados) o procedimento de ensaio foi mais sucinto, não sendo necessário realizar uma análise modal completa. Em vez disso, acoplou-se o excitador (shaker, Figura 5.5) na posição escolhida para este nos ensaios com o controlador (posição detalhada mais a frente), ao mesmo tempo em que se tomou um nó para posicionamento do acelerômetro (nó 28, aproximadamente metade do comprimento total da viga). Para este ajuste de posições, representado na Figura 5.6, buscou-se avaliar qual a melhor forma de conectar o excitador à estrutura. Buscava-se, naturalmente, a montagem que menos influenciasse a resposta dinâmica do sistema original viga engastada-munhão, desejando-se, no limite, eliminar por completo a possibilidade de acoplamento do excitador à estrutura.

Neste contexto, o livro de Maia e Silva (1997) sobre análise modal experimental foi consultado. Segundo estes autores, é convencional posicionar o transdutor de força diretamente acoplado à estrutura, e simultaneamente conectado ao excitador por meio de uma haste metálica flexível (ou stinger). Entretanto, para análise de estruturas leves, em que o carregamento de massa proveniente do transdutor de força possa modificar sensivelmente a resposta dinâmica que se deseja obter, Maia e Silva (1997) propõem uma condição

alternativa de montagem, que consiste em acoplar o transdutor de força diretamente na saída do excitador. Então, a conexão deste conjunto à estrutura é feita por meio da haste flexível (stinger). Nesta configuração podem ocorrer menores efeitos de carregamento de massa sobre a estrutura analisada. A Figura 5.7 ilustra ambas as montagens aqui descritas. Observa- se, ao cabo, que tanto na Figura 5.6, quanto na Figura 5.7, é possível visualizar um conector de alumínio entre a célula de carga e a estrutura (montagens (a) e (b), da Figura 5.7) e entre o stinger e a estrutura (itens (c) e (d) da mesma figura). Este conector tinha, como sua própria denominação sugere, a função de conectar os componentes (por rosca) à estrutura (por cola). Isto é, para evitar modificar a viga, por exemplo fazendo-se nela novos furos, optou-se por adotar uma peça que pudesse ser colada (e, portanto, pudesse ser empregada em qualquer nó) que fosse, ao mesmo tempo, dotada de rosca para acoplamento do sistema de excitação.

Figura 5.6: Montagem utilizada para análise modal de viga engastada com munhão e excitador acoplados. Detalhe para o posicionamento adotado para o acelerômetro. Análise modal obtida a partir de excitação com ruído branco.

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 5.7: (a)-(b) Montagem padrão excitador-stinger-célula de carga-estrutura; (c)-(d) Montagem alternativa (como apresentado em Maia e Silva, 1997) excitador-célula de carga-

stinger-estrutura para minimizar efeitos de carregamento sobre a estrutura analisada.

Ambos os casos de posicionamento do transdutor de força foram analisados, obtendo-se, para cada um, uma função de resposta em frequência. Tais funções foram, então, comparadas à FRF simulada da viga a considerar, como massas concentradas em um único nó, o conector de alumínio (1,36g), o stinger (29,29g) e o transdutor de força (ou célula de

carga, 21,66g). Em outras palavras, somou-se aos graus de liberdade do nó 10 (nó correspondente à posição do excitador), um total de 52,31g (aproximadamente 21,91% da massa combinada de viga e munhão). Seria de se esperar, pois, que por mais que se tentasse minimizar, a influência do carregamento de massa resultante do acoplamento do excitador seria evidente. Assim, na Figura 5.8 optou-se por apresentar também as FRFs do conjunto viga-munhão excitado por martelo de impacto e também do modelo simulado, sem se considerar a massa concentrada do excitador. Deste modo, será possível perceber que, corretamente, ambas as curvas (experimentais e simuladas) apresentarão uma mesma tendência ao se considerar o acoplamento do excitador.

Figura 5.8: Comparação entre funções de resposta em frequência obtidas e simuladas com martelo e excitador, destacando-se o posicionamento do transdutor de força (célula de carga). 𝛽 = 2 × 10−6_.

Conforme ilustra a Figura 5.8, para frequências até 200Hz, o acoplamento do excitador à estrutura não é excessivamente relevante. Contudo, para frequências acima de 200Hz, vê-se que a resposta do sistema praticamente é outra, não havendo profunda influência da montagem (célula de carga na saída do shaker ou mesmo diretamente na estrutura) sobre esta. Todavia, a Figura 5.8 evidencia haver uma ligeira maior correspondência entre a resposta simulada considerando-se os efeitos de carregamento de

massa sobre a estrutura e a resposta empírica com a montagem do transdutor de força na saída do excitador. Assim, adotar-se-á esta montagem para os ensaios realizados a seguir.

Tabela 5.7: Comparativo de frequências de pico para a viga engastada com munhão, shaker e acelerômetro acoplados (excitação nó 10). 𝛽 = 2 × 10−6_.

Martelo de impacto (Hz) Modelo com massa acoplada (Hz)

Célula na estrutura Célula na saída do excitador Frequências (Hz) Diferença para modelo (%) Frequências (Hz) Diferença para modelo (%) 2,6 2,5 2,7 5,70 2,7 5,70 - - 6,5 - 7,5 - 10,9 10,9 11,9 8,02 11,8 7,23 33,7 33,3 34,8 4,06 34,5 3,36 72,3 72,3 74,2 2,44 73,6 1,71 120,8 118,9 120,6 1,41 120,3 1,16 190,5 187,5 183,8 2,01 184,0 1,90 285,7 248,5 233,7 6,33 238,9 4,02 388,6 296,4 295,4 0,34 295,3 0,37 435,8 425,6 430,3 1,09 430,3 1,09

A Tabela 5.7 confirma os resultados da Figura 5.8. Cumpre apenas observar que as frequências de 6,5Hz e 7,5Hz que apareceram nas montagens com excitador são frequências que não pertencem ao sistema analisado. Dada a montagem do shaker, pendurado por cabos de aço a uma estrutura elevada, este apresentava movimento pendular