Sumário
4 PROJETO DO CONTROLE
4.3 Projeto e sintonia do controlador PID
Uma vez compreendidos os critérios de eficiência de um controlador e os efeitos de seus termos constituintes (no caso específico de um controlador PID) sobre o sistema, passemos à técnica apresentada por Anantachaisilp, Lin e Allaire (2012) para projeto e sintonia de controladores PID.
Os autores supracitados apresentam uma técnica simples, porém versátil, para projetar um controlador PID. Antes, contudo, de apresentar a técnica em si, cumpre observar que esta se baseia nas informações dinâmicas do sistema a ser controlado, as quais podem ser obtidas ou pelo método de resposta ao degrau ou pelo método de resposta em frequência. Aqui, adotou-se, a partir de Åström e Hägglund (1994, apud Anantachaisilp, Lin e Allaire, 2012), o método de resposta em frequência chamado teste de realimentação por relê para se obter as informações dinâmicas do sistema de interesse.
Figura 4.1: Diagrama de blocos representativo do sistema completo realimentado pelo relê. Detalhe para a ausência de excitação externa à viga flexível, apenas sujeita às forças eletromagnéticas.
Este método consiste em substituir o controlador PID por um relê, conforme demonstra a Figura 4.1. O objetivo do método é, então, aumentando-se a amplitude do relê até o ponto limite de estabilidade do sistema (i. e., seu limiar de instabilidade), determinar o período definitivo 𝑇𝑢 do sinal de saída da planta (isto é, seu período de oscilação neste ponto limite de estabilidade) e o ganho definitivo 𝐾𝑢, que pode, segundo os autores aqui referidos, ser aproximado por:
𝐾𝑢 = 4ℎ
𝜋𝑎 (4.10)
Na equação (4.10), ℎ representa a amplitude do sinal de saída do relê, enquanto 𝑎, neste contexto, denota a amplitude da resposta do sistema (saída da malha fechada). Naturalmente, pode-se observar que a técnica de realimentação pelo relê em muito se aproxima à técnica tradicional de sintonia de controladores, em malha fechada, pelo método clássico de Ziegler-Nichols, que consiste, basicamente, em realimentar a planta apenas com um ganho proporcional variável, o qual é aumentado sucessivamente até também se atingir o limiar de instabilidade do sistema. Neste momento, novamente, o período de oscilação da saída da planta é justamente o período definitivo 𝑇𝑢, e o ganho proporcional primeiro a resultar na periodicidade da resposta da malha fechada é o ganho definitivo 𝐾𝑢. A Figura 4.2 ilustra os parâmetros ℎ e 𝑎 em um resultado típico do teste de realimentação por relê.
Figura 4.2: Resultado típico de um teste de realimentação por relê obtido empiricamente a partir do sinal do sensor indutivo (resposta da malha fechada).
Todavia, até este momento nada se observou acerca do relê. Um relê nada mais é que um componente cujo sinal de saída ou é um valor positivo ou é um valor negativo, conservando-se sempre o módulo deste valor, em concordância ao sinal de entrada do relê. Isto é, suponhamos que a amplitude do sinal de saída do relê (uma tensão, naturalmente) seja 𝑉𝑅. As únicas saídas possíveis para o relê são, então, +𝑉𝑅 ou −𝑉𝑅 (dependendo se o sinal de entrada é positivo ou negativo, respectivamente). Ademais, é possível ajustar o switch do relê, isto é, o valor mínimo a ser alcançado pelo sinal de entrada para que a saída do relê inverta de sinal.
É intuitivo pensar um switch nulo, que significaria, na prática, que no instante em que o sinal de entrada do relê se invertesse (por exemplo, de positivo ficasse negativo), a saída do relê também se invertesse. Entretanto, para evitar que qualquer ruído interfira na resposta do relê ou mesmo que este responda excessivamente às tendências de menor amplitude, usualmente adota-se um percentual não-nulo para o switch do relê. Digamos, então, que seja adotado um switch de 5%. Isto significa que a tensão de saída do relê apenas será invertida quando o sinal de entrada alcançar 5% do valor absoluto da tensão pré- estabelecida de saída, isto é, 5% de 𝑉𝑅. Este procedimento tende a estabilizar o sistema em malha fechada, filtrando eventuais componentes de altas frequências que poderiam deturpar os sinais do relê e também da própria malha fechada. Além disso, como será destacado, uma das grandes vantagens do método do relê é sua versatilidade, isto é, tanto pode ser empregado num modelo computacional, em simulação, quanto diretamente aplicado ao sistema físico que se analisa. Especificamente no caso do sistema físico, em que ruídos sempre estão presentes nos sinais aquisitados e em que sempre existe certo grau de incerteza, seja acerca da montagem, da eficiência dos componentes e sensores, seja acerca das conexões e cabos, um switch não-nulo é a única solução possível para se obter uma resposta periódica do sistema, dentro de certos limites, que permita buscar o ganho definitivo e o período definitivo.
Novamente, se retomarmos a Figura 4.2, perceberemos visualmente o que se observou até este momento: 1) um leve switch (não-nulo, pois) do relê; e 2) uma resposta razoavelmente periódica da planta (da qual seja possível extrair a amplitude 𝑎). Acerca da amplitude da resposta em malha fechada, deve-se ainda observar que, na tentativa de se eliminar efeitos de sobreposição (por exemplo quando a planta responde em duas
frequências distintas), optou-se, na prática, por se fazer uma média da metade de vários valores de tensão pico-a-pico aferidos a partir dos respectivos diagramas de resposta da malha fechada, após certo tempo, ou de simulação ou de estabilização, haver transcorrido (buscando-se garantir assim que o sistema já estivesse em regime permanente).
Como já introduzido, o método de realimentação pelo relê tem como uma de suas principais características sua versatilidade. Em outras palavras, não apenas o método pode ser aplicado a diferentes casos e sistemas, como também, para um mesmo caso ou sistema, adequa-se tanto a uma abordagem computacional quanto a uma abordagem empírica. Neste contexto, de início, os parâmetros dos controladores PID aqui sintonizados o foram a partir do modelo reduzido em elementos finitos, uma vez que, embora este se encontrasse validado, por comparação de funções de resposta em frequência, ao sistema físico analisado, o modelo linearizado para a força eletromagnética do par de bobinas do atuador não se encontrava na mesma condição, isto é, não havia ainda sido validado. Assim, num segundo momento, buscou-se verificar se, de fato, as sintonias obtidas a partir do modelo se repetiam quando o método do relê era diretamente aplicado na bancada de testes. Como se poderá observar no capítulo seguinte de resultados experimentais, mantendo-se as mesmas condições na simulação e na bancada, ambas as sintonias apresentaram razoável concordância.
Por fim, passemos às técnicas apresentadas por Anantachaisilp, Lin e Allaire (2012) para obtenção dos parâmetros 𝐾𝑃, 𝐾𝐼 e 𝐾𝐷 dos controladores PID a partir do período definitivo 𝑇𝑢 e do ganho definitivo 𝐾𝑢 da resposta do sistema em malha fechada.
Os autores apresentam cinco diferentes maneiras sistemáticas para sintonia de controladores PID a partir das informações de 𝐾𝑢 e 𝑇𝑢. Cada maneira vale-se de um diferente equacionamento, isto é, de uma diferente proporcionalidade dos parâmetros 𝐾𝑃, 𝐾𝐼 e 𝐾𝐷 em relação a 𝐾𝑢 e 𝑇𝑢. Cumpre observar que todos os cinco métodos de sintonia aqui reproduzidos já foram devidamente testados, inclusive por diversos outros autores, e demonstraram sua eficiência.
1. Método de Ziegler-Nichols (ZN): um dos métodos clássicos e fundamentais de sintonia de controladores PID. Como se é amplamente sabido, o método de
Ziegler-Nichols resulta em controladores agressivos, de resposta rápida, que tendem, contudo, a produzir grandes sobressinais (overshoot);
2. Método modificado de Ziegler-Nichols para haver apenas algum sobressinal (Some Overshoot, SO): este método e o próximo são apenas modificações do método clássico de Ziegler-Nichols. Ambos focam na redução do sobressinal que, como já observado, é excessivo na sintonia ZN. Para isto, apostam em ganhos proporcionais menores e maiores constantes de tempo do derivativo para assegurar as condições de estabilidade (vide Tabela 4.1);
3. Método modificado de Ziegler-Nichols para não haver qualquer sobressinal (No Overshoot, NO): já apresentado no item anterior, difere da modificação SO por, ao invés de permitir algum sobressinal, não permitir nenhum;
4. Método de Tyreus-Luyben (TL): este método tem por objetivo melhorar a robustez do controlador, focando para tanto na função de sensibilidade deste;
5. Método de Shinskey (SH): novamente, um método que é modificação direta do método de Ziegler-Nichols e que também aposta na redução do ganho proporcional para se sintonizar um controlador menos agressivo.
Uma vez elucidados os diferentes métodos de sintonia, a Tabela 4.1 a seguir condensa as fórmulas para obtenção de 𝐾𝑃, 𝑇𝐼 e 𝑇𝐷 a partir de 𝐾𝑢 e 𝑇𝑢. 𝑇𝐼 e 𝑇𝐷 são, respectivamente, as constantes de tempo dos termos integral e derivativo. As relações matemáticas entre os ganhos integral e derivativo e o ganho proporcional e as respectivas constantes de tempo são dadas por:
𝑇𝐼 =𝐾𝑃 𝐾𝐼 ⟺ 𝐾𝐼 = 𝐾𝑃 𝑇𝐼 (4.11𝑎) 𝑇𝐷 = 𝐾𝐷 𝐾𝑃 ⟺ 𝐾𝐷 = 𝐾𝑃𝑇𝐷 (4.11𝑏)
Tabela 4.1: Ganhos do controlador PID em função do ganho crítico 𝐾𝑢 e do período crítico 𝑇𝑢, ambos para a malha fechada, em cada uma das sintonias.
Método 𝐾𝑃 𝑇𝐼 𝑇𝐷 ZN 0,60𝐾𝑢 0,50𝑇𝑢 0,125𝑇𝑢 SO-OV 0,33𝐾𝑢 0,50𝑇𝑢 0,330𝑇𝑢 NO-OV 0,20𝐾𝑢 0,50𝑇𝑢 0,330𝑇𝑢 TL 0,46𝐾𝑢 2,20𝑇𝑢 0,159𝑇𝑢 SH 0,25𝐾𝑢 0,50𝑇𝑢 0,120𝑇𝑢
Uma vez que os controladores estejam sintonizados, deve-se avaliar a estabilidade da malha fechada com cada um deles. Para tanto, uma análise da parte real dos autovalores da malha fechada fez-se necessária. Se o maior valor das respectivas partes reais de cada um dos autovalores for negativo, então a estabilidade da malha fechada é garantida (característica de decaimento de sua resposta). Este teste foi aplicado a cada controlador sintonizado a partir da resposta do modelo em elementos finitos.
Um outro ponto deve ser esclarecido ainda nesta seção, qual seja: os parâmetros do controlador dependem, como se poderia supor, do posicionamento do atuador ao longo do comprimento da viga e também da posição (relativa a este) do sensor de deslocamento considerado para alimentar o controlador (seção 3.4.3).
Acerca da influência do posicionamento de sensor e atuador em relação à viga, deve-se comentar que em trabalho precedente a este, Martin (2015), demonstrou-se que: 1) dada a aplicação proposta para o caso analisado (braços robóticos flexíveis) e as restrições de montagem do atuador (air-gaps de 2 mm a 5 mm), não era conveniente posicioná-lo longe demais da extremidade engastada da viga; e 2) uma vez definida a posição do atuador, o sensor de deslocamento, a alimentar o controlador, deveria ser posicionado o mais próximo possível daquele. No limite, isto é, na condição ideal de controle colocado, é conhecido o deslocamento do ponto sobre o qual se aplica o esforço de controle, minimizando-se a chance de existir alguma não-correspondência (seja em amplitude, seja em fase) entre o sinal medido e o sinal do controlador. Naturalmente, dadas as restrições de montagem da bancada de testes (vide seção 5.4), não foi possível se trabalhar com o controle colocado. Isto é,
aferiu-se o deslocamento da viga em uma dada posição e aplicou-se o esforço de controle em outra.
Antes de encerrar a presente seção, vale ressaltar que a sintonia dos controladores respondeu, em parte, pela necessidade de se reduzir o modelo em elementos finitos. De fato, não era prudente iniciar a busca pelo controlador PID ideal para o sistema físico a partir deste, isto é, aplicando-se diretamente o relê à bancada, uma vez que não havia nenhum palpite, sequer acerca das ordens de grandeza dos parâmetros 𝐾𝑃, 𝐾𝐼 e 𝐾𝐷. Assim, não só foi necessária uma sequência primeira de simulações, buscando-se um conjunto inicial de parâmetros, como a partir destes, devia-se aumentar sucessivamente o ganho do relê até se atingir a instabilidade do sistema, a qual em diversos casos apenas se manifestava para um tempo suficientemente longo de simulação, em geral, acima de 500s. Neste contexto, a utilização do modelo completo em elementos finitos, embora mais apropriada, implicava uma lentidão excessiva às simulações. Foi neste momento que a redução do modelo passou a ser empregada, permitindo uma diminuição drástica no tempo demandado para as simulações iterativas de busca pelos parâmetros ideais dos controladores, os quais seriam validados, a posteriori, na própria bancada de testes.