Algoritmo

O procedimento computacional envolvido na maximização da função de apti- dão 𝐹 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ..., 𝑥𝑛) no algoritmo genético pode ser descrito pelos seguintes pas-

sos:

1. Escolher um comprimento do vetor adequado para representar as 𝑛 variáveis de projeto do vetor de projeto 𝑋. Definir valores adequados para os seguintes parâmetros: tamanho da população 𝑚, probabilidade de cruzamento 𝑝𝑐, proba-

bilidade de mutação 𝑝𝑚, valor permitido do desvio padrão dos valores físicos da

população 𝑠𝑓𝑚𝑎𝑥, para usar como critério de convergência e número máximo de

gerações 𝑖𝑚𝑎𝑥 para ser usado um segundo critério de convergência.

2. Gerar uma população aleatória de tamanho 𝑚, cada consistindo de uma sequên- cia de comprimento 𝑙 = 𝑛𝑞. Avaliar os valores de aptidão 𝐹 𝑖, 𝑖 = 1, 2, ..., 𝑚, dos vetores 𝑚.

3. Executar o processo de reprodução.

4. Executar a operação de cruzamento usando a probabilidade de cruzamento 𝑝𝑐.

5. Executar a operação de mutação usando a probabilidade de mutação 𝑝𝑚 para

encontrar a nova geração de cordas 𝑚.

6. Avaliar os valores de aptidão 𝐹 𝑖, 𝑖 = 1, 2, ...𝑚, das 𝑚 cordas da nova população. Encontrar o desvio padrão dos valores 𝑚 fitness.

7. Testar a convergência do algoritmo. Se 𝑠𝑓 ≥ 𝑠𝑓𝑚𝑎𝑥, o critério de convergência

é satisfeito e, portanto, o processo pode ser interrompido. Caso contrário, ir ao para o passo 8.

8. Verificar o número máximo de gerações. Se 𝑖 ≤ 𝑖𝑚𝑎𝑥, os cálculos foram realiza-

dos para o número máximo permitido de gerações e, portanto, o processo deve ser interrompido. Caso contrário, aumentar o contador como 𝑖 = 𝑖 + 1 e retornar ao passo 3.

3.3.3 NSGA-II

O NSGA-II é um algoritmo para a otimização multiobjetivo com rápida con- vergência que realiza um ordenamento elitista por não dominância, proposto por Deb et al. (2002), para o qual, a solução consiste em um conjunto de soluções ótimas denominadas fronteira de Pareto (DEB, 1999).

Inicialmente, é criada uma população aleatória de pais 𝑃0 que é ordenada por

não dominância. Cada solução recebe uma condição de classificação igual ao seu nível de não dominância, em que 1 é o melhor nível, 2 é o próximo nível melhor, e assim por diante. Em seguida, através das operações usuais de seleção, cruzamento e mutação são usados para criar uma população filha 𝑄0 de tamanho 𝑁 . No conjunto

𝑅0 são acumuladas as duas populações.

Uma vez que o elitismo é introduzido, será comparada a população atual com as melhores soluções não definidas encontradas previamente, o procedimento é dife- rente após a geração inicial. Primeiramente, é combinado uma população 𝑅𝑡= 𝑃𝑡∪𝑄𝑡.

Então a população 𝑅𝑡, de tamanho 2𝑁 , é ordenada por não dominância. Como todos

os membros da população anterior e atuais estão incluídos em 𝑅𝑡, o elitismo é ga-

rantido. Então, as soluções pertencentes ao melhor conjunto não dominado 𝐹1 são

as melhores soluções na população combinada e devem ser destacadas das outras soluções. Se o tamanho de 𝐹1 for menor que 𝑁 , então, deve se escolher os mem-

bros do conjunto para 𝐹1 a nova população 𝑃𝑡+1. Os membros da população 𝑃𝑡+1

são escolhidos a partir da fronteiras não dominadas pela ordem de sua classificação. Assim, as soluções do conjunto 𝐹2 são escolhidas na sequência, seguidas de solu-

ções do conjunto 𝐹3, e assim por diante. Esse procedimento é continuado até que

nenhum conjunto mais possa ser acomodado. Se o conjunto 𝐹𝑙 é o último conjunto

não dominado, nenhum outro conjunto pode ser acomodado.

Geralmente, a contagem de soluções em todos os conjuntos de 𝐹1 para 𝐹𝑙

seria maior que o tamanho da população. Para escolher exatamente os 𝑁 membros da população, são classificadas as soluções da última fronteira utilizando um operador de comparação e escolhidas as melhores soluções necessárias para preencher todos os espaços da população. Finalmente, na população 𝑃𝑡+1de tamanho 𝑁 é realizada a

seleção, cruzamento, e mutação para criar uma nova população 𝑄𝑡+1 de tamanho 𝑁 .

O processo do NSGA-II é mostrado na Figura 10.

Uma das principais vantagens do NSGA-II refere se ao modo de como são mantidas a diversidade entre as soluções não dominadas. A complexidade computa-

Figura 10 –Estrutura do NSGA-II.

Fonte – (LOBATO, 2008)

cional é obtida com a soma de três cenários, de acordo com Deb et al. (2002):

1. Na ordenação não-dominada é preciso comparar as 2𝑁 soluções com a 2𝑁 − 1 para cada um dos 𝑀 objetivos, 𝑂(𝑀 (2𝑁 )2_);

2. A distância da multidão da pior situação, quando as soluções de 𝑅 estão em 𝐹1,

logo se faz necessário a ordenação para cada um dos objetivos, 𝑂(𝑀 (2𝑁 )𝑙𝑜𝑔(2𝑁 )); 3. Para transferir as soluções de 𝐹1 para 𝑃𝑡+1, são ordenados de acordo com o

operador, 𝑂(2𝑁 𝑙𝑜𝑔(2𝑁 )).

Logo a complexidade total do algoritmo NSGA-II é de ordem 𝑂(𝑀 𝑁2_).

3.3.3.1 Algoritmo

O funcionamento do algoritmo NSGA-II, segundo Konak, Coit e Smith (2006), consiste em uma população pai 𝑃 , que gera uma população filha 𝑄, análogo aos algoritmos genéticos, a seguir é apresentado o algoritmo:

2. Gerar uma população aleatória 𝑃0 de tamanho 𝑁 ;

3. Para produzir uma população descendente 𝑄0, de tamanho 𝑁 , é aplicado a se-

leção, cruzamento e mutação no 𝑃0;

4. Se o critério de convergência 𝐶𝑟 é satisfeito, o algoritmo deve parar e exibir 𝑃𝑡;

5. Combinar populações dos pais 𝑃𝑡e dos descendentes 𝑄𝑡, 𝑅𝑡= 𝑃𝑡∪ 𝑄𝑡;

6. Realizar a ordenação não-dominada em 𝑅𝑡e identificar as diferentes fronteiras:

𝐹1, 𝐹2, ..., 𝐹𝑘;

7. Enquanto 𝑖 = 1, ..., 𝑘, deve-se:

a) Calcular a distância da multidão das soluções de 𝐹𝑖;

b) Caso |𝑃𝑡+1| + |𝐹𝑖| ≤ 𝑁 , a população deve receber as soluções das fronteiras

𝑃𝑡+1 = 𝑃𝑡+1∪ 𝐹𝑖, ou se |𝑃𝑡+1+ 𝐹𝑖| > 𝑁 , deve se incluir as soluções menos

dispersas da multidão (𝑁 − |𝑃𝑡+1)de 𝐹𝑖 em 𝑃𝑡+1;

8. Executar a seleção, cruzamento e mutação para gerar a nova população em 𝑃𝑡+1

para obter uma população descendente 𝑄𝑡+1 de tamanho 𝑁 ;

9. Incrementar o contador 𝑡 = 𝑡 + 1 e retornar ao passo 4, caso 𝑡 ≥ 𝑡𝑚𝑎𝑥 o algoritmo

deve ser encerrado.

3.3.4 Fronteira de Pareto

Na otimização multiobjetivo quando comparada com a otimização de um único objetivo, não se obtém um único resultado, mas um conjunto de soluções ótimas. Este conjunto de soluções ótimas denomina-se conjunto de soluções não-dominadas ou fronteira de Pareto. A principal característica dos elementos da fronteira de Pareto é que a melhora de um objetivo implica em uma degradação de outro no mínimo. Para ilustrar o conceito do fronteira de Pareto, a representação adequada da otimização multiobjetivo é:

min{𝑧1 = 𝑓1(𝑥), 𝑧2 = 𝑓2(𝑥), ..., 𝑧𝑞 = 𝑓𝑞(𝑥)}

sujeito a

𝑔𝑗(𝑥) ≤ 0 𝑗 = 1, 2, ..., 𝑚 (3.24)

onde 𝑧 ∈ 𝑅𝑛 _{é um vetor com 𝑛 variáveis de decisão, 𝑓 (𝑥) é a função objetivo e 𝑋}

é o vetor das variáveis de projeto, 𝑔𝑗(𝑥)representa as restrições de inequalidade nas

variáveis de projeto. 𝑆 representa a área possível no espaço de decisão. 𝑍 caracteriza a região possível no espaço do critério. Assim:

𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅𝑛| 𝑔𝑗 ≤ 0, 𝑗 = 1, 2, ..., 𝑚, 𝑥 ≥ 0} (3.25)

𝑍 = {𝑍 ∈ 𝑅𝑞 | 𝑧1 = 𝑓1(𝑥), 𝑧2 = 𝑓2(𝑥), ..., (3.26)

𝑧𝑞 = 𝑓𝑞(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑆}

Dado 𝑧0 _{∈ 𝑍, é uma solução de Pareto exclusiva se não houver outro ponto 𝑧 ∈ 𝑍 tal}

que:

𝑧𝑘𝑧𝑘0 para 𝑘 ∈ {1, 2, ..., 𝑞} (3.27)

𝑧𝑙 ≥ 𝑧𝑙0 para todos 𝑙 ̸= 𝑘

Uma representação típica dos conjuntos alcançáveis, para um problema com duas funções objetivo é mostrada na Figura 11.

Figura 11 –Fronteira de Pareto para duas funções objetivo.

Fonte – Autoria Própria.

Para exemplificar o uso da fronteira de Pareto, consideramos um projeto de um eixo, em que duas funções objetivos consideradas são a minimização do peso e a maximização da rigidez. Esses objetivos podem são inversamente proporcionais, pois o peso diminuirá a rigidez e vice-versa. Portanto, em uma otimização multiobjetivo, um ponto no espaço de projeto é um ponto ótimo de Pareto se não houver um ponto viável que reduza um critério sem aumentar o valor de um ou mais dos outros critérios (PAPALAMBROS; WILDE, 2000).

4 METODOLOGIA

Neste capítulo, a partir da modelagem cinemática e dinâmica apresentados no capítulo anterior serão estabelecidos os critérios de desempenho do manipulador. Para isto, o espaço de projeto que permite avaliar todas as combinações das variáveis de projeto dentro das restrições estabelecidas será definido. Serão apresentados os critérios de desempenho baseados no modelo cinemático e dinâmico. A seguir, o pro- blema de otimização associado à metodologia de projeto será estabelecido para obter os comprimentos dos elos. E por fim, o procedimento para determinar os parâmetros estruturais e a análise dinâmica do manipulador será definido.

4.1 CRITÉRIOS DE DESEMPENHO

Nesta secção, os critérios de desempenho que serão considerados neste tra- balho serão definidos. Para isto, os atlas de desempenho serão definidos graficamente dentro do espaço de projeto para avaliar a relação do comprimento adimensional dos elos em relação aos critérios de desempenho especificados. Os atlas de desempenho são uma ferramenta importante durante o projeto ótimo de um robô, pois pode-se ana- lisar visualmente a performance do robô para os critérios de desempenho, ajudando consideravelmente na descoberta de um ponto ótimo global ou região ótima para um critério e possíveis regiões de singularidades.

4.1.1 Espaço de Projeto

A definição do espaço de projeto é fundamental para avaliar os critérios de desempenho. Assim, o espaço de projeto estabelece todas as combinações possíveis dos comprimentos adimensionais dos elos.

tadas por Liu, Wang e Pritschow (2006a). O comprimento adimensional dos elos é descrito pela equação (3.7). Os comprimentos adimensionais dos elos devem ser limitados para garantir a conformidade geométrica do robô, assim:

0 < 𝑟1, 𝑟2 < 3 e 0 ≤ 𝑟3 ≤ 1.5 (4.1)

O espaço de projeto é apresentado na Figura 12a considerando os limites da equação (4.1) e sabendo que 𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟3 = 3. Além disso, uma configuração

planar do espaço de trabalho é apresentada na Figura 12b, para isto as coordenadas ortogonais 𝑠 e 𝑡, são definidas como:

𝑠 = 2𝑟1/ √ 3 + 𝑟3/ √ 3 e 𝑡 = 𝑟3 (4.2) (a) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 r1= r2+ r3 r2= r3+ r1 r1= 0 r2= 0 r2= r1 r3= r1+ r2 t s (b)

Figura 12 –Espaço de projeto do mecanismo paralelo planar.

Fonte – Autoria Própria.

Como apresentado na Figura 12b, o espaço de projeto pode ser dividido em várias sub-regiões e essas sub-regiões são delimitada por linhas, onde 𝑟1, 𝑟2 e 𝑟3

devem assumir certos comprimentos. Observa-se que no limite esquerdo do espaço de projeto 𝑟2 = 0, a direita 𝑟1 = 0 e adicionalmente 𝑟3 = 0 no limite inferior. As linhas

pontilhadas no interior do espaço de projeto demonstram a associação de valores específicos que assumem os comprimentos dos elos.