Projeto ótimo de um manipulador paralelo planar de dois graus de liberdade

DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE MECÂNICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

VICTOR RENAN BOLZON

PROJETO ÓTIMO DE UM MANIPULADOR PARALELO PLANAR DE

DOIS GRAUS DE LIBERDADE

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

CORNÉLIO PROCÓPIO

2018

PROJETO ÓTIMO DE UM MANIPULADOR PARALELO PLANAR DE

DOIS GRAUS DE LIBERDADE

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecâ-nica da Universidade Tecnológica Fede-ral do Paraná – Câmpus Cornélio Procó-pio, como requisito para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecâ-nica.

Orientador: Prof. Dr. Fabian Andres Lara Molina

CORNÉLIO PROCÓPIO

2018

Projeto ótimo de um manipulador paralelo planar de dois graus de liberdade / Victor Renan Bolzon. – 2018.

90 f. : il. color. ; 31 cm.

Orientador: Fabian Andres Lara Molina.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Cornélio Procópio, 2018.

Bibliografia: p. 79-82.

1. Manipuladores (Mecanismo).2. Projetos ótimos (Estatísticas).3. Elastômeros. 4. Engenharia Mecânica – Dissertações. I. Molina, Fabian Andres Lara, orient. II. Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. III. Título.

CDD (22. ed.) 620.1

Biblioteca da UTFPR - Câmpus Cornélio Procópio

Bibliotecários/Documentalistas responsáveis: Simone Fidêncio de Oliveira Guerra – CRB-9/1276

Programa de Pós -Graduação em Engenharia Mecânica

Av. Alb erto Carazzai, 1640 - 86.300-000- Cornélio Procópio – PR.

Tel. +55 (43) 3520-3939 / e-mail: ppgem-cp@utfpr.edu.b r / www.utfpr.edu.br/cornelioprocopio/ppgem

Título da Dissertação Nº 025:

“Projeto Ótimo de um Manipulador Paralelo de Dois

Graus de Liberdade

”

.

por

Victor Renan Bolzon

Esta dissertação foi apresentada como requisito parcial à obtenção do grau de MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA – Área de Concentração: Ciências Mecânicas, linha de pesquisa: Dinâmica De Sistemas Mecânicos, pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – PPGEM – da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR – Câmpus Cornélio Procópio, às 10h do dia 05 de março de 2018. O trabalho foi aprovado pela Banca Examinadora, composta pelos professores:

__________________________________

Prof. Dr. Fabian Andres Lara Molina

(Orientador – UTFPR - CP)

__________________________________

Profa. Dra. Sandra Mara Domiciano

(UTFPR - CP)

_________________________________

Prof. Dr. Ricardo Breganon

(IFPR – Campus Jacarezinho)

Visto da coordenação: __________________________________

Prof. Dr. Vagner Alexandre Rigo

Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica UTFPR Câmpus Cornélio Procópio

Agradeço, em primeiro lugar, a Deus que iluminou o meu caminho durante esta caminhada.

Gostaria de agradecer o professor Dr. Fabian pela confiança, pela oportuni-dade de trabalhar neste tema e incentivo que tornaram possível a conclusão deste trabalho.

Aos professores do PPGEM, por todo o conhecimento, suporte e ensinamen-tos que foram o alicerce para o meu desenvolvimento acadêmico e realização deste trabalho.

Depois a minha família, em especial aos meus pais João Roberto e Lisete, e minha irmã Isabela, pelo apoio, dedicação, amor, carinho e compreensão, sem vocês nada disso seria possível.

A minha namorada, Ana Carolina, por toda a força, companheirismo, apoio e principalmente com paciência para enfrentar os problemas.

Leandro Martins, Erik, Daniel, William e Felipe Bertola muito obrigado pelas trocas acadêmicas, por todos os cafés feitos no laboratório e por todas as conversas.

BOLZON, V. R. Projeto Ótimo de Um Manipulador Paralelo Planar de Dois Graus de Liberdade. Dissertação de Mestrado em Engenharia Mecânica – Área: Sistemas Di-nâmicos – Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Cornélio Procópio, 2018. Este trabalho visa propor um procedimento alternativo para o projeto ótimo de um manipulador paralelo planar flexível de dois graus de liberdade, utilizando índices de desempenho baseado em critérios cinemáticos e dinâmicos simultaneamente. A mo-delagem cinemática e dinâmica completa permite estabelecer o tamanho do espaço de trabalho e o desempenho elastodinâmico, respectivamente. Baseado nos critérios de desempenho será apresentada também uma metodologia para realizar o projeto do manipulador solucionando o problema de otimização multiobjetivo para obter os com-primentos dos elos. Inicialmente, os critérios de desempenho são otimizados separa-damente. E em seguida, será realizada uma otimização multiobjetivo para solucionar o projeto ótimo multiobjetivo. Os Algoritmos Genéticos foram utilizados como uma fer-ramenta para solução dos respectivos problemas de otimização. Os resultados dessa otimização permitiram encontrar o conjunto de soluções ótimas denominada fronteira de Pareto. Esses resultados foram analisados para determinar os parâmetros estrutu-rais do manipulador paralelo para encontrar a solução mais adequada para a aplica-ção desejada. A construaplica-ção do protótipo do manipulador paralelo planar foi realizada a partir dos parâmetros ótimos determinados.

Palavras-chaves: Projeto Ótimo, Manipulador Paralelo, Índice de Desempenho Elas-todinâmico, Espaço de Trabalho, Otimização Multiobjetivo.

BOLZON, V. R. Optimal Design of a Planar Parallel Manipulator of Two Degrees of Freedom. MSc. Thesis, Federal Technological University of Paraná. Cornélio Procópio, 2018.

This work aims at proposing an alternative procedure for the optimal design of a flexible planar parallel manipulator of two degrees of freedom by using performance indexes based on kinematic and dynamic criteria simultaneously. The complete kinematic and dynamic models allow establishing the workspace size and the elastodynamic perfor-mance, respectively. The manipulator design methodology, based on the performance criteria, is obtained by solving a multiobjective optimization problem. The optimal de-sign variables derived from the optimization process are the optimal links lengths. In the optimal design procedure, initially, the performance criteria will be optimized sep-arately. Then, a multiobjective optimization will be performed to obtain the optimal multiobjective design. The Genetic Algorithms were used as a tool to solve the corre-sponding optimization problems. The results of these optimizations allowed to find the set of optimal solutions denominated the Pareto Front. These results were analyzed in order to determine the structural parameters of the parallel manipulator to find the most suitable configuration for the desired application. Once the optimal and suitable parameters were established, it was carried out the construction of the prototype of the parallel planar manipulator.

Key-words: Optimal Design, Parallel Manipulator, Elastodynamic Performance, Workspace, Multiobjective Optimization.

Figura 1 – Componentes de um sistema robótico. . . 23

Figura 2 – Componentes de um manipulador robótico. . . 24

Figura 3 – Manipulador paralelo 3-PRC.. . . 28

Figura 4 – Modelo do manipulador de três graus de liberdade no Adams○R_{. . . 29}

Figura 5 – Protótipo do manipulador 5 barras. . . 29

Figura 6 – Protótipo do manipulador de dois graus de liberdade PKM. . . 30

Figura 7 – Robô paralelo planar de dois graus de liberdade. . . 37

Figura 8 – Espaço de trabalho útil e 𝑀 𝐼𝐶. . . 40

Figura 9 – Cadeia cinemática com flexibilidade na junta ativa. . . 41

Figura 10 – Estrutura do NSGA-II. . . 52

Figura 11 – Fronteira de Pareto para duas funções objetivo. . . 55

Figura 12 – Espaço de projeto do mecanismo paralelo planar. . . 57

Figura 13 – Atlas do raio do MIC, 𝑟𝑀 𝐼𝐶. . . 58

Figura 14 – Atlas de desempenho elastodinâmico. . . 60

Figura 15 – Análise dinâmica. . . 63

Figura 16 – Comprimentos dos elos durante a otimização do espaço de tra-balho. . . 65

Figura 17 – Otimização do espaço de trabalho e desempenho elastodinâmico. 65 Figura 18 – Comprimento dos elos durante a otimização do desempenho elastodinâmico. . . 66

Figura 19 – Otimização do desempenho elastodinâmico e espaço de trabalho. 67 Figura 20 – Fronteira de Pareto no espaço de critério. . . 68

Figura 21 – Fronteira de Pareto no espaço de projeto. . . 68

Figura 22 – Representação dos manipuladores. . . 70

Figura 23 – Desempenho elastodinâmico dentro do espaço de trabalho. . . 71

Figura 24 – Modelo 3D CAD do robô paralelo de dois graus de liberdade. . . 72

Figura 25 – Vista frontal e lateral do robô. . . 73

Figura 26 – Posição, velocidade e aceleração durante a trajetória. . . 74

Figura 27 – Torques dos atuadores durante a execução da trajetória. . . 75

Figura 28 – Primeira cadeia cinemática construída. . . 76

Figura 29 – Projeto e juntas fabricadas. . . 76

Tabela 1 – Parâmetros do Algoritmo Genético . . . 65

Tabela 2 – Parâmetros utilizados no NSGA-II. . . 67

Tabela 3 – Valores da função objetivo obtidos e as variáveis correspondentes. 69 Tabela 4 – Comprimento adimensionais dos elos . . . 70

Tabela 5 – Propriedades gerais dos elos. . . 73

Tabela 6 – Premissas da escolha dos motores do projeto . . . 74

3-PRC Robô com juntas prismáticas, angulares e cilíndricas 3-RRR Robô com três juntas angulares

GAS Algoritmos Genéticos

GDL Graus de Liberdade

CAD Desenho assistido por computador

ISO Organização Internacional para Normalização MIC Círculo Máximo Inscrito

MIW Espaço de trabalho Máximo Inscrito

NSGA-II Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II

¯

𝑟𝑖 Comprimento dos elos

¯

𝑥𝑝 Posição do efetuador final no eixo x

¯

𝑦𝑝 Posição do efetuador final no eixo y

𝜏 Torque das juntas

𝜏𝑎 Torque das juntas ativas

𝜃𝑖 Vetor do torque nas juntas ativas e passivas

𝜃𝑚 Posição angular dos motores antes da flexibilidade das juntas ativas

𝜆𝑒 Critério de desempenho elastodinâmico

C𝑖 Matriz de Coriolis

D Matriz dinâmica

f𝑖 Vetor do atrito das juntas passivas e ativas

f𝑝 Atrito nas juntas passivas

f𝑘𝑎 Torque elástico nas juntas ativas

f𝑘𝑖 Torque elástico das juntas ativas

f𝑘𝑝 Torque elástico nas juntas passivas

f𝑘 Torque elástico nas juntas

J Matriz Jacobiana

KC Matriz de rigidez nas coordenadas cartesianas

K Matriz de rigidez

MC Matriz de massa nas coordenadas cartesianas

M Matriz de massa M𝑖 Matriz de inércia

p Ponto de localização do efetuador final 𝜃𝑎𝑖 Ângulos das juntas ativas

𝐵𝑖 Localização das juntas passivas

𝐶𝑟 Critério de Convergência NSGA-II

𝑐𝑎𝑖 Cosseno de 𝜃𝑎𝑖

𝑑𝑗𝑖 Centro de massa dos elos

𝑓 (𝑋) Função objetivo 𝐹 (𝑥𝑛) Função de aptidão

𝐹1 Soluções do melhor conjunto não dominado

𝑔𝑗 Restrições de inequalidade

𝑖 Contador 1

𝑖𝑚𝑎𝑥 Número máximo de gerações

𝐼𝑧𝑗𝑖 Momento de inércia dos elos

𝑗 Contador 3

𝑘𝑖 Mola de torção elástica

𝑘𝑖 Rigidez adimensional dos elos

𝑘𝑡 Rigidez das juntas

𝑙𝑗 Restrições de igualdade

𝑚 Tamanho da população 𝑚𝑡 Massa dos elos

𝑚𝑗𝑖 Massa adimensional dos elos

𝑁 Tamanho da população 𝑛 Dimensão da matriz ou vetor 𝑂 Ponto de referência fixo 𝑃0 População de pais

𝑝𝑐 Probabilidade de cruzamento

𝑅𝑡 População combinada

𝑟𝑀 𝐼𝐶 Raio do Círculo Máximo Inscrito

𝑠𝑎𝑖 Seno de 𝜃𝑎𝑖

𝑠𝑓𝑚𝑎𝑥 Desvio Padrão máximo para o critério de convergência

𝑡 Contador 2

𝑊 Espaço de Trabalho Dimensional 𝑊𝑛 Espaço de Trabalho Adimensional

𝑋 Vetor de projeto 𝑥𝑛 Variáveis de projeto

𝑟𝑖 Comprimento adimensional dos elos

𝑥𝑝 Posição do efetuador final no eixo x adimensionalizadas

𝑦𝑝 Posição do efetuador final no eixo y adimensionalizadas

∆x Deslocamento incremental do corpo rígido ∆¨𝜃 Vetor da aceleração das juntas

∆ ˙𝜃 Vetor da velocidade das juntas ∆𝜏 Vetor perturbação no sistema ∆𝜃 Vetor do deslocamento das juntas

𝜆𝑖 Conjunto de Autovalores da Matriz dinâmicaD

𝜑𝑖 Conjunto de Autovetores da Matriz dinâmicaD

Lista de ilustrações . . . . 8 Lista de tabelas . . . . 9 1 INTRODUÇÃO. . . 16 1.1 PROBLEMA DA PESQUISA . . . 17 1.2 JUSTIFICATIVAS . . . 18 1.3 OBJETIVOS . . . 19 1.3.1 Objetivo Geral . . . 19 1.3.2 Objetivos Específicos . . . 20

1.4 ORGANIZAÇÃO DESTE TRABALHO . . . 20

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . 22

2.1 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS ROBÓTICOS . . . 22

2.1.1 Sensores . . . 23 2.1.2 Controlador . . . 23 2.1.3 Efetuador Final . . . 24 2.1.4 Atuadores . . . 25 2.1.5 Elos. . . 25 2.1.6 Classificação de Robôs . . . 26 2.2 REVISÃO DE TRABALHOS . . . 26

2.2.1 Modelagem de Manipuladores Paralelos . . . 27

2.2.2 Projeto e Construção de Robôs . . . 28

2.2.3 Projeto Ótimo de Manipuladores Paralelos . . . 30

3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA . . . 32

3.1 METODOLOGIA DE PROJETO DE ROBÔS . . . 32

3.1.1 Processos para o Desenvolvimento de um Manipulador. . . 32

3.1.2 Critérios de Desempenho . . . 33

3.2 MODELAGEM DO ROBÔ PARALELO . . . 36

3.2.1 Modelo Cinemático. . . 37

3.2.1.1 Matriz Jacobiana . . . 38

3.2.1.2 Espaço de Trabalho . . . 38

3.2.2 Modelo Dinâmico . . . 39

3.2.2.1 Dinâmica das Cadeias Cinemáticas . . . 40

3.2.2.2 Modelo Dinâmico Completo . . . 42

3.3 OTIMIZAÇÃO . . . 43

3.3.1 Definições de um Problema de Otimização . . . 44

3.3.1.1 Vetor de Projeto . . . 45

3.3.1.2 Restrições de Projeto . . . 45

3.3.2.2 Algoritmo. . . 49 3.3.3 NSGA-II . . . 50 3.3.3.1 Algoritmo. . . 52 3.3.4 Fronteira de Pareto . . . 53 4 METODOLOGIA . . . 56 4.1 CRITÉRIOS DE DESEMPENHO . . . 56 4.1.1 Espaço de Projeto. . . 56

4.1.2 Critério Baseado no Espaço de Trabalho . . . 58

4.1.3 Critério de Desempenho Elastodinâmico . . . 58

4.2 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA DA OTIMIZAÇÃO . . . 60

4.3 DIMENSIONALIZAÇÃO DOS PARÂMETROS ESTRUTURAIS . . . 61

4.4 ANÁLISE DINÂMICA. . . 62

5 RESULTADOS. . . 64

5.1 MAXIMIZAÇÃO DO ESPAÇO DE TRABALHO . . . 64

5.2 MAXIMIZAÇÃO DA PERFORMANCE ELASTODINÂMICA . . . 66

5.3 OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO . . . 67 5.4 PROJETO ESTRUTURAL . . . 71 5.5 ESTUDO DINÂMICO . . . 73 5.6 CONSTRUÇÃO DO PROTÓTIPO. . . 75 6 CONCLUSÕES . . . 78 6.1 TRABALHOS FUTUROS . . . 78 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . 80

ANEXOS

84

ANEXO B – TRAJETÓRIA PARA ANÁLISE DINÂMICA . . . 89

1 INTRODUÇÃO

Os robôs estão presentes em muitos aspectos na vida humana. Eles podem substituir seres humanos em ambientes perigosos, apresentam alta precisão e repeti-tividade em suas tarefas, e além disso podem trabalhar por dias sem descanso.

Um robô paralelo é constituído por um efetuador final com n graus de liber-dade e de uma base fixa, unidos entre si por ao menos duas cadeias cinemáticas independentes. A atuação ou movimento das cadeias cinemáticas ocorre através de n atuadores (MERLET, 2006).

Devido as suas características, as aplicações de robôs paralelos são bem am-plas, podem-se destacar: simuladores de voo (STEWART, 1965) simuladores veicular (ZHANG; ZHANG, 2013), treliças ajustáveis articuladas (XU; FAN; LI, 2001), sensores de força e torque (RANGANATH et al., 2004) e máquinas industriais (PIERROT et al., 2009). Adicionalmente, em virtude de sua alta precisão são utilizados como robôs cirúrgicos (WAPLER et al., 2003). Os robôs paralelos apresentam algumas vantagens potenciais em relação aos robôs seriais, tais como baixa inércia, alta velocidade de operação, alta rigidez e melhor precisão de posicionamento (TSAI, 1999). Em contra-partida, estes têm um espaço de trabalho reduzido e singularidades cinemáticas no interior do espaço de trabalho (GOGU, 2008).

Para que os robôs desempenhem sua tarefa da melhor forma possível, o pro-jeto do manipulador robótico visando uma performance superior deve ser realizado com base nos critérios de desempenho. Para realizar o projeto de um robô paralelo, existem basicamente duas abordagens diferentes, tentativa e erro e o projeto ótimo. A primeira consiste em modificar manualmente os parâmetros geométricos do meca-nismo e depois avaliar o desempenho após cada modificação, até que seja obtido um mecanismo que seja considerado satisfatório. Esta abordagem depende muito da in-tuição e experiência. E o número de parâmetros necessários para definir a geometria de um manipulador paralelo dificulta o uso dessa técnica.

geometria do mecanismo, utilizando técnicas de otimização, como por exemplo Algo-ritmos Genéticos (GAO et al., 2010), Enxame de Partículas (KUCUK, 2013), Evolução Diferencial (WANG; HAO; CHENG, 2008), Algoritmos Genéticos Multiobjetivo (BOU-NAB, 2016), NSGA-II (DANESHMAND et al., 2016), entre outros, de modo que um ou vários critérios de desempenhos sejam otimizados. Para melhor compreender e comparar o desempenho de robôs paralelos, são definidos critérios de desempenhos propostos para caracterizar suas propriedades (KHALIL et al., 2007).

O projeto ótimo de robôs paralelos tem como objetivo determinar os parâ-metros estruturais, como por exemplo, as dimensões dos elos a fim de alcançar um desempenho ótimo com base em critérios de desempenho preestabelecidos. Muitos trabalhos propostos previamente na literatura sobre projeto ótimo de robôs paralelos consideraram diferentes metodologias e critérios de desempenho a serem otimiza-dos. Os principais critérios de desempenho considerados consistem na otimização da rigidez (GAO et al., 2010), maximização da destreza cinemática (HOSSEINI; DA-NIALI; TAGHIRAD, 2011), minimização do consumo energético (KUCUK, 2013), oti-mização do torque dos atuadores (SAAFI; LARIBI; ZEGHLOUL, 2017), otioti-mização do desempenho dinâmico (LARA-MOLINA; KOROISHI; DUMUR, 2016), maximização do espaço de trabalho (YUN; LI, 2011), entre outros.

1.1 PROBLEMA DA PESQUISA

O projeto ótimo dos robôs paralelos é uma área de pesquisa amplamente es-tudada na atualidade que visa determinar os parâmetros construtivos do robô para otimizar seu desempenho. Consequentemente, muitos trabalhos têm sido desenvol-vidos com o objetivo de otimizar critérios de desempenho específicos resultando em um projeto ótimo de um robô, que considera um único objetivo (CHABLAT; WENGER, 2003) (KUCUK; BINGUL, 2005) (ALESSANDRO; ROSARIO, 2014). Alternativamente, diversos autores têm desenvolvido o projeto multiobjetivo de manipuladores rígidos (DANESHMAND et al., 2016) (ABDOLSHAH et al., 2017) e considerando unicamente

critérios de desempenho dinâmicos (GAO et al., 2010) (ALESSANDRO; ROSARIO, 2014).

No entanto, este trabalho propõe desenvolver uma nova abordagem para o projeto ótimo de um manipulador paralelo planar com juntas ativas flexíveis. Para isto, critérios de desempenho serão estabelecidos com base na cinemática e dinâmica do robô paralelo. Através dos critérios estabelecidos, será definido um problema de oti-mização multiobjetivo para obter os parâmetros geométricos do robô paralelo. Esses parâmetros serão avaliados para a elaboração do projeto final do manipulador com o objetivo da construção do protótipo.

1.2 JUSTIFICATIVAS

A utilização de robôs na indústria cresceu muito nos últimos anos com o avanço tecnológico obtido através das pesquisas realizadas. Porém, para que um robô seja utilizado industrialmente é preciso que apresente características como alta precisão, velocidade e bom desempenho dinâmico. Apesar das vantagens oferecidas por manipuladores paralelos, que serão abordadas no próximo capítulo, a extensa pesquisa na área levou à conclusão de que apresentam um espaço de trabalho limi-tado e com configurações singulares (TSAI, 1999).

Alguns robôs industriais são construídos maciços, para aumentar a rigidez e assim, movem-se a velocidades inferiores à frequência natural fundamental do sis-tema devido às limitações no torque do atuador. Entretanto, um manipulador robótico mais leve pode ter vantagens, como maior velocidade, melhor eficiência energética e maior relação peso e carga. No entanto, em altas velocidades de operação, as forças inerciais aumentam, que podem levar a uma deformação considerável dos braços, gerando fenômenos de vibração indesejados (WANG; GAO, 2003).

Muitos trabalhos foram desenvolvidos neste sentido para otimizar o desempe-nho dos robôs paralelos. Carbone et al. (2008) utilizaram uma otimização multiobjetivo com algoritmos genéticos para obter uma solução numérica eficiente no planejamento

da trajetória de um robô paralelo de três graus de liberdade, como critérios ótimos foram definidas a energia gasta pelos atuadores e tempo de viagem da trajetória do robô. Kucuk e Bingul (2005) elaboraram o projeto ótimo de um robô serial, encon-trando as dimensões dos braços com a finalidade de otimizar o espaço de trabalho. Alessandro e Rosario (2014) otimizaram a performance elastodinâmica de um robô delta com o objetivo de diminuir a primeira frequência natural da estrutura do robô pa-ralelo. Abdolshah et al. (2017) estudaram o projeto ótimo de um manipulador paralelo com cabos flexíveis que otimiza simultaneamente dois critérios de desempenho: rigi-dez e destreza. Daneshmand et al. (2016) realizaram o projeto ótimo de um manipu-lador paralelo esférico, através da otimização multiobjetivo do critério de performance cinestático e o espaço de trabalho.

A modelagem é fundamental para que se conheça não somente as caracterís-ticas cinemácaracterís-ticas do manipulador, mas a dinâmica envolvendo o comportamento dos atuadores e as forças que agem no manipulador.

Visando um melhor desempenho, faz-se necessário o uso de uma otimiza-ção multiobjetivo com os critérios de desempenho preestabelecidos para que sejam conhecidos e possíveis erros de projetos evitados computacionalmente, o que acaba diminuindo os custos do desenvolvimento do projeto e de falha. Tornando o manipu-lador robótico competitivo industrialmente.

1.3 OBJETIVOS

1.3.1 Objetivo Geral

O objetivo principal desse trabalho é definir um procedimento alternativo para realizar o projeto ótimo do manipulador paralelo de dois graus de liberdade, visando obter os parâmetros dimensionais para a construção de um protótipo.

1.3.2 Objetivos Específicos

∙ Desenvolver a modelagem cinemática e dinâmica do manipulador paralelo de dois graus de liberdade;

∙ Utilizar o software Matlab○R _{para realizar a implementação computacional da}

mo-delagem cinemática e dinâmica do manipulador paralelo de dois graus de liber-dade;

∙ Definir os critérios de desempenho que serão utilizados na otimização dos parâ-metros estruturais do manipulador;

∙ Realizar o projeto ótimo mediante uma otimização multiobjetivo seguindo os cri-térios de desempenho definidos;

∙ Analisar os resultados obtidos com as simulações realizadas, otimização mul-tiobjetivo, o projeto do protótipo para a construção do manipulador paralelo de dois graus de liberdade;

∙ Fazer uma análise dinâmica para o dimensionamento dos motores e definição de componentes a serem utilizados;

∙ Desenvolver o projeto do manipulador e elaborar o modelo 3D CAD;

∙ Construir o protótipo experimental, com base no modelo CAD e nos resultados da otimização multiobjetivo.

1.4 ORGANIZAÇÃO DESTE TRABALHO

Este trabalho está organizado em 6 capítulos. No segundo capítulo será apre-sentada uma revisão bibliográfica e também serão abordados trabalhos relacionados com o tema desta dissertação. No capítulo 3 é apresentada a modelagem do robô utilizado nesta contribuição e a definição das técnicas de otimização utilizadas e seus

respectivos termos. O capítulo 4 definirá a metodologia que será utilizada para atingir o escopo deste trabalho, serão apresentados os critérios de desempenho e a definição do problema da otimização associado do projeto ótimo. No capítulo 5 serão apresenta-dos os resultaapresenta-dos. Finalmente, no último capítulo apresentará as considerações finais e conclusões deste trabalho.

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Este capítulo realiza uma introdução sobre sistemas robóticos apresentando conceitos fundamentais abordados no trabalho. Adicionalmente, uma revisão sobre trabalhos relacionados ao tema desta contribuição será apresentada.

2.1 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS ROBÓTICOS

Com base na definição da Organização Internacional para Normalização (ISO 8373:2012), um robô é um "mecanismo atuado programável em dois ou mais eixos com um grau de autonomia, movendo-se em seu ambiente, para realizar tarefas pre-tendidas". Segundo a designação da Robotics Institute of America, um robô é um manipulador multifuncional reprogramável projetado para mover materiais, partes, fer-ramentas ou dispositivos específicos através de movimentos variáveis programados para o desempenho de uma variedade de tarefas (JAZAR, 2010). Um robô pode ser definido também, como um dispositivo mecânico controlado que muitas vezes substitui ou pode substituir parcialmente um trabalhador no meio industrial. Em casos onde são necessários alta velocidade e precisão dos movimentos ou em ambientes inadequa-dos a presença humana. Embora a versatilidade inadequa-dos robôs não seja igual a inadequa-dos seres humanos, são muito mais flexíveis e universais do que as máquinas automatizadas. Um sistema robótico é representado, como pode ser observado na Figura 1, basi-camente pelos seguintes componentes: o manipulador robótico, sistema de controle, efetuador final, computador e sensores.

Na Figura 2, pode-se observar com mais detalhes os componentes de um manipulador robótico e a seguir são descritas as funcionalidades de cada um dos componentes.

Figura 1 –Componentes de um sistema robótico.

Fonte – Autoria Própria.

2.1.1 Sensores

Os sensores são elementos utilizados para detectar e coletar informações so-bre a condição dos manipuladores. Segundo Craig (2005), sensores podem ser agru-pados em dois grupos: Sensores internos que medem variáveis dentro da estrutura do robô. Estes podem incluir sensores de posição, velocidade e força. Sensores ex-ternos que reúnem informações sobre o ambiente do robô. Fazem parte desse grupo os sensores de visão e toque.

2.1.2 Controlador

O controlador contém todos os dispositivos necessários para direcionar, rota-cionar e mover os elos do robô, a base e o efetuador final. Os robôs são ativados por algum tipo de computador, desde microprocessadores até minicomputadores. Os robôs avançados requerem processamento contínuo e cálculos. No entanto, isso

re-Figura 2 –Componentes de um manipulador robótico.

Fonte – Autoria Própria.

quer computadores de alta velocidade. De acordo com Jazar (2010), os controladores têm três funções:

1. Função de informar, que consiste em coletar e processar as informações obtidas através dos sensores.

2. Função de decidir, que implica em planejar o movimento geométrico da estrutura do robô.

3. Função de comunicação, que engloba a organização da informações do robô e de seu meio.

2.1.3 Efetuador Final

Em um sistema robótico, o efetuador final é normalmente localizado no fim do braço do robô. Ele é responsável por auxiliar o manipulador robótico a realizar tarefas como transporte, manipulação ou usinagem. Os efetuadores finais mais comuns são garras, pinças, ferramentas e captadores de vácuo.

2.1.4 Atuadores

De acordo com Craig (2005), antigamente os atuadores mais utilizados eram os hidráulicos e pneumáticos. Eles desenvolviam força suficiente para acionar as juntas sem um sistema de redução. Porém, atuadores hidráulicos requerem muitos equipamentos como: bombas, acumuladores, mangueiras e válvulas. E com o avanço de novas técnicas de controle, o atrito causado pelos seus selos, tornou os atuadores hidráulicos inferiores.

Os atuadores pneumáticos, embora tenham algumas vantagens, eles são muito difíceis de controlar com precisão, devido a compressibilidade do ar e o nível elevado de atrito nos seus selos.

Portanto, os atuadores mais utilizados em robôs são os atuadores elétricos. Apesar de não ter a mesma relação peso e potência que atuadores hidráulicos e pneumáticos, a facilidade, sua controlabilidade e interface torna o seu uso interessante para manipuladores robóticos.

2.1.5 Elos

Os elos são responsáveis por posicionar o efetuador final em relação à base, ou seja, um robô consiste em vários elos ligados por juntas. Um elo robótico é um membro que tem movimento relativo em relação aos outros elos. Do ponto de vista cinemático, se dois ou mais membros estiverem conectados e não houver movimento relativo entre eles, são considerados um único elo. Alguns autores se referem aos elos como braços ou utilizam o termo em inglês links (OLIVEIRA et al., 2008) (LARA-MOLINA, 2008).

2.1.6 Classificação de Robôs

Existem várias formas de classificar robôs, uma delas é utilizar sua estrutura cinemática para a classificação. Existem três arquiteturas básicas para robôs mani-puladores. Elas são caracterizadas pelo tipo de cadeias cinemáticas que conectam o efetuador final do manipulador a base através dos elos. As três arquiteturas básicas do robô são:

∙ Seriais; ∙ Paralelos; ∙ Híbridos.

A comparação das características dos manipuladores é importante para iden-tificar a melhor aplicabilidade de cada um, levando em consideração as particularida-des mecânicas e também os problemas de controle. Os manipuladores seriais, em termos mecânicos, são compostos por atuadores nas suas partes móveis, que resul-tam em momentos de inércia relativamente altos. Nos manipuladores paralelos, todos os atuadores são montados próximos a base, possibilitando assim uma redução da massa nas suas partes móveis. Isso implica, que os manipuladores paralelos apre-sentam características dinâmicas superiores em relação aos manipuladores seriais (LARA-MOLINA, 2008).

2.2 REVISÃO DE TRABALHOS

Nesta seção será apresentado uma revisão relacionada a trabalhos relaci-onados à modelagem, projetos, construção e otimização de robôs paralelos. Com o objetivo de apresentar uma perspectiva dos trabalhos relacionados e que foram desen-volvidos recentemente, abordando principalmente os conceitos básicos, aplicações e os métodos que são empregadas nestes problemas.

2.2.1 Modelagem de Manipuladores Paralelos

A modelagem cinemática descreve o movimento do mecanismo. No entanto, o movimento é produzido por forças e torques, logo elas não podem ser ignoradas na modelagem. O modelo dinâmico é responsável por descrever essas forças no sis-tema, que sofrem mudanças ao longo de um determinado movimento. A modelagem é um procedimento fundamental para o projeto de um robô, pois é utilizada para a simulação computacional do movimento do robô, elaboração das leis de controle ade-quadas e avaliação do desempenho dinâmico do projeto. Muitas contribuições têm proposto novas formulações para realizar o modelo dinâmico, alguns trabalhos serão apresentados a seguir.

Martins et al. (2003) realizaram a modelagem dinâmica de sistemas com es-truturas mecânicas e atuadores diferentes. Foram consideradas as diferentes geome-trias e propriedades dos materiais utilizados em cada um dos manipuladores para a realização da modelagem. Então, foram validadas as modelagens através de simula-ções, tal como algumas comparações de desempenho dos manipuladores diferentes. Li e Xu (2006) desenvolveram o projeto de um novo manipulador paralelo translacional de 3 graus de liberdade, chamado 3-PRC. Apresentaram então a mo-delagem completa do manipulador, que através de análises do modelo cinemático, permitiu um projeto de um manipulador em que fossem eliminadas todas as singulari-dades e fosse isotrópico. O desenho do manipulador 3-PRC, pode ser observado na Figura 3.

Em relação ao estudo dinâmico da plataforma de Stewart-Gough, Liu, Li e Li (2000) implementaram no software Matlab○R_{, a formulação da dinâmica direta da}

Pla-taforma de Stewart-Gough baseada na equação de Kane, onde são fornecidas forças para cada atuador e condições iniciais de posição e velocidade inicial, encontrando então a posição e a orientação do manipulador e para os atuadores são encontradas as velocidades lineares e posições de cada um.

Figura 3 –Manipulador paralelo 3-PRC.

Fonte – (LI; XU, 2006)

uma aproximação chamada momento generalizado, que é usado para calcular a com-ponente cinética da força generalizada agindo em cada parte rígida do manipulador.

2.2.2 Projeto e Construção de Robôs

No projeto de um robô são definidos os parâmetros geométricos, materiais e as tarefas que o robô executará, com o objetivo de construir um protótipo. Assim, cri-térios de desempenho devem ser considerados para avaliar o desempenho do projeto, por exemplo, critérios baseados nas análises cinemáticas, vibracionais, dinâmicas e assim por diante. Portanto, alguns trabalhos que desenvolveram o projeto ótimo de robôs serão discutidos para destacar as metodologias que foram utilizadas.

Li et al. (2003) apresentaram a formulação dinâmica de um robô paralelo de três graus de liberdade através da formulação de Newton-Euler, onde o robô apre-senta dois graus de liberdade translacional e um rotacional. É analisado, em primeiro lugar, a cinemática inversa de forma fechada. E de acordo com as restrições cine-máticas das pernas e da plataforma é definido um algoritmo para solucionar as forças do atuador. Para validar os resultados das simulações matemáticas são comparados com os resultados do software Adams○R_{. O modelo implementado no Adams}○R_{, pode}

ser visto na Figura 4.

Figura 4 –Modelo do manipulador de três graus de liberdade no Adams○R _.

Fonte – Adaptado de (LI et al., 2003)

Campos et al. (2010) desenvolveram o projeto e a construção de um protótipo de um robô paralelo 5 barras para executar a função pick and place, para o projeto foi proposto que os elos do robô deveriam ter o mesmo tamanho. Neste trabalho os autores mostram detalhes da construção do protótipo que podem ser visto na Figura 5.

Figura 5 –Protótipo do manipulador 5 barras.

Fonte – (CAMPOS et al., 2010)

Zhang e Zhang (2013) apresentaram um novo manipulador paralelo de dois graus de liberdade com três pernas que é utilizado como simulador veicular. Antes da construção do protótipo, que pode ser observado na Figura 6, foram estudados a

cinemática e o espaço de trabalho do mecanismo e construído um modelo através do software Catia○R_.

Figura 6 –Protótipo do manipulador de dois graus de liberdade PKM.

Fonte – (ZHANG; ZHANG, 2013)

2.2.3 Projeto Ótimo de Manipuladores Paralelos

Nesta seção, diversos trabalhos que utilizaram ou propuseram metodologias de otimização dos critérios de desempenho para realizar o projeto ótimo de robôs paralelos são apresentados. O projeto ótimo desses robôs implica basicamente no ajuste adequado das variáveis de projeto para encontrar uma relação conveniente entre os critérios de desempenho estabelecidos.

Para realizar o projeto cinemático ótimo de um robô paralelo PRRRP, Liu, Wang e Pritschow (2006b) analisaram o desempenho do manipulador, que é atuado verticalmente através de dois atuadores lineares. Para o projeto, foram utilizados gráfi-cos de desempenho como é feito na maioria dos projetos industriais. Foram definidos e investigados critérios de desempenho para avaliar o espaço de trabalho, precisão do controle, velocidade, capacidade de carga e rigidez. Com base nos gráficos gerados, foi possível identificar a região ótima, que é a intersecção dos resultados dos gráficos de performances.

Oliveira et al. (2008) utilizaram o Método dos Objetivos Ponderados e o Mé-todo do Critério Global para fazer o projeto ótimo de um manipulador paralelo 3R, que

possui três juntas rotacionais. A otimização visou maximizar o volume do espaço de trabalho, rigidez do sistema de juntas e a destreza do manipulador. Na otimização do Método dos Objetivos Ponderados cabe ao projetista definir a prioridade de cada uma das funções objetivos. E no Método do Critério Global a solução ótima é um vetor de variáveis de decisão que minimiza algum dos critérios globais.

Xu e Li (2006) desenvolveram um projeto de um nano robô para nano escala de manipulação. Com o objetivo de alcançar um espaço de trabalho máximo sujeito ao critério da destreza, foi realizada uma otimização cinemática dos parâmetros de pro-jetos, para assim poder satisfazer os requisitos operacionais. Foi realizado também, uma análise de elementos finitos para validar a modelagem analítica e a influência dos parâmetros na estrutura do manipulador.

Para otimizar a arquitetura de um robô paralelo projetado para aplicações de usinagem, Chablat e Wenger (2003) fundamentaram-se na otimização do espaço de trabalho com a performance cinoestática estabelecida. Foram estabelecidos critérios de projeto para serem seguidos no desenvolvimento do Orthoglide, um robô paralelo com três juntas fixas paralelas, que são montadas ortogonalmente.

Weihmann, Martins e Coelho (2012) utilizaram uma técnica modificada de evo-lução diferencial para a otimização de um manipulador paralelo 3-RRR, onde o obje-tivo era maximizar uma força que o manipulador poderia aplicar em uma dada direção, assegurando a semelhança com a cadeia cinemática. A abordagem proposta foi va-lidada em um problema de otimização da força, onde a capacidade da força de um manipulador paralelo planar 3-RRR são avaliadas considerando limites de atuação e diferentes modos de montagem.

3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Neste capítulo será apresentado a fundamentação teórica para atingir o es-copo deste trabalho. Inicialmente, se apresentará os fundamentos teóricos da me-todologia para o projeto de robôs e também os critérios de desempenho. Na seção seguinte, o robô paralelo será apresentado e sua modelagem cinemática e dinâmica. Por fim, serão mostradas as técnicas de otimização utilizadas, tais como as definições dos termos, representações e algoritmos.

3.1 METODOLOGIA DE PROJETO DE ROBÔS

Esta seção visa apresentar uma metodologia para iniciar a etapa de projeto com a definição de um plano geral do projeto. Assim, no projeto de um manipulador, serão considerados os requisitos e as restrições de projeto, o robô paralelo deve ser projetado para seguir e satisfazer os critérios e meios de avaliar o desempenho de um manipulador robótico serão estabelecidos. Diferente de máquinas com apenas um grau de liberdade, robôs não são desenvolvidos para realizar apenas uma atividade, mas para desenvolver uma variada gama de tarefas. Portanto, é um desafio na fase de projeto considerar as incertezas de todas as tarefas que o manipulador irá executar.

3.1.1 Processos para o Desenvolvimento de um Manipulador

A partir da definição das premissas funcionais e das especificações de pro-jeto, Angeles e Park (2008) apresentam algumas etapas a serem seguidas durante o projeto de um manipulador robótico:

1. Determinar a estrutura cinemática do manipulador, que deve se considerar pri-meiramente o tipo do robô: paralelo, serial ou híbrido. Em seguida, os tipos das juntas devem ser definidas com base nas cadeias cinemáticas;

2. Estabelecer as dimensões geométricas dos elos, para assim definir a estrutura do robô;

3. Dimensionar todas as juntas e elos, para satisfazer os requisitos de carga es-tática, onde estão incluídos as forças e os momentos das prováveis operações que poderão ser realizadas;

4. Dimensionar as juntas e elos, para satisfazer os requisitos de carga dinâmica, considerando as cargas como efeitos de inércia e dos objetos a serem manipu-lados;

5. Determinar o dimensionamento elastodinâmico de toda a estrutura mecânica, in-cluindo a dinâmica do atuador, para evitar um espectro específico de frequências de excitação nos regimes de operações mais prováveis;

6. Selecionar os atuadores e as transmissões mecânicas para as condições de operação adotadas afim de lidar com a incerteza das tarefas a serem realizadas.

3.1.2 Critérios de Desempenho

De acordo com Angeles e Park (2008), no projeto de um robô o espaço de trabalho é uma consideração importante quando definirmos as características neces-sárias do robô. Este é um problema fundamental no projeto clássico do mecanismo e levanta a questão de como o projetista pode especificar essas características.

Junto ao problema da especificação do espaço de trabalho está o problema da especificação de uma tarefa. No projeto de um mecanismo é comum, de acordo com Angeles e Park (2008), especificar um conjunto de coordenadas no espaço e pro-jetar um mecanismo que consegue atingir essas coordenadas. Ou também pode ser definida, por exemplo, uma lista de coordenadas prioritárias que devem ser atingidas, quando não for possível alcançar todas as coordenadas. Algumas considerações para o dimensionamento de um manipulador, segundo Angeles e Park (2008), são:

1. Atingir exatamente algumas coordenadas pode não ser sempre possível ou de-sejado, em alguns casos, é preferível utilizar uma abordagem ótima que permite determinar as posições, que serão atingidas dentro de um erro mínimo;

2. A análise dos intervalos não permite somente um conjunto discreto das posições desejadas, mas também um espaço de trabalho de seis dimensões a serem atingidos, levando em consideração os erros de fabricação;

3. Um problema que ocorre em mecanismos de um grau de liberdade também pode ocorrer no desenvolvimento de um robô: uma solução de projeto baseada em pontos, pode atingir alguns pontos estabelecidos, mas nem todas podem ser alcançadas com a mesma configuração;

4. Um robô pode ser projetado para alcançar, através do seu efetuador final, algu-mas posições específicas estabelecidas, porém o propósito de um robô é exe-cutar uma série de tarefas.

Existem muitos estudos, conforme Angeles e Park (2008), sobre a relação entre a geometria cinemática do manipulador e seu espaço de trabalho. A maioria dos estudos classificam o espaço de trabalho em dois componentes, o útil e hábil. Dado um ponto de referência p anexado ao efetuador de um robô, o espaço de trabalho útil é definido como o conjunto de pontos no espaço físico que podem ser alcançados por p. O hábil, por outro lado, é o conjunto de pontos que podem ser alcançados por p com orientações arbitrárias do efetuador final.

Segundo Angeles e Park (2008), é importante considerar que o volume de espaço de trabalho de mecanismos espaciais não deve depender de uma referência fixa, ou seja, não deve depender do ponto do braço onde o efetuador final é fixo. Portanto, se o efetuador final for aumentado ou encolhido, então o robô apresentaria o mesmo volume de espaço de trabalho. O volume de espaço de trabalho de um robô depende, então, apenas dos eixos das juntas.

O desempenho elastodinâmico avalia em uma postura específica do robô os modos e frequências naturais da estrutura do robô originados por elementos flexíveis

da estrutura. O modelo linearizado de um robô serial em uma posição dada por 𝜃0,

não considerando o amortecimento é:

MΔ¨𝜃 + KΔ𝜃 = Δ𝜏 (3.1)

Onde M representa a matriz de massa definida positiva (𝑛 x 𝑛). K é definido como a matriz de rigidez (𝑛 x 𝑛) no espaço. ∆𝜃 representa o vetor do deslocamento elástico das juntas. Esses deslocamentos são produzidos, quando as juntas estão bloqueadas no valor 𝜃0e tornando-se assim molas lineares ideais, o robô está sujeito a

uma perturbação ∆𝜏 que neste trabalho é o torque aplicado aos motores, a condições iniciais não nulas, ou a uma combinação das duas.

Sob vibração livre, ou seja, sob um movimento do sistema causado por con-dições iniciais diferentes de zero e uma excitação zero ∆𝜏 , a equação (3.1) pode ser resolvida para ∆¨𝜃:

Δ¨𝜃 = −DΔ𝜃, D = M−1K (3.2)

em que a matriz D, é conhecida como a matriz dinâmica, que determina o compor-tamento do sistema, como os autovalores {𝜆𝑖}𝑛1, que representam as frequências

na-turais do sistema e os autovetores {𝜑𝑖}𝑛1 os vetores modais. Sob condições inicias

[∆𝜃(0), ∆ ˙𝜃(0)]𝑇_{, em que ∆𝜃(0) é proporcional ao enésimo autovetor de D e ∆ ˙𝜃(0) = 0,}

onde o movimento resultante é da forma de ∆𝜃(𝑡) = ∆𝜃(0)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑖𝑡. Alterando as

variá-veis, a equação (3.1) é alterada:

MJ−1Δ¨x + KJ−1Δx = JTΔw (3.3)

Após multiplicar ambos os lados da equação (3.3) por J−1, é obtido o modelo elastodinâmico nas coordenadas cartesianas:

em que o primeiro coeficiente da matriz é a matriz de massa MC nas coordenadas

cartesianas, e o segundo é identificado como KC.

MC= J−TMJ−1 (3.5)

Então, o modelo elastodinâmico em coordenadas cartesianas assume a se-guinte forma:

MCΔ¨x + KCΔx = Δw (3.6)

3.2 MODELAGEM DO ROBÔ PARALELO

Uma representação esquemática do mecanismo do robô paralelo de dois graus de liberdade apresenta-se na Figura 7. O mecanismo possui duas cadeias cinemáticas idênticas. A sua vez, cada cadeia cinemática possui uma junta ativa ou articulada, que está localizada no ponto 𝐴𝑖, e uma junta passiva ou livre, localizada

no ponto 𝐵𝑖 para 𝑖 = 1, 2, além de dois elos rígidos solidários com as respectivas

jun-tas. A flexibilidade é considerada na junta ativa, esta flexibilidade é modelada como uma mola de torção elástica (𝑘𝑖) que acopla os rotores do motor com os elos. Neste

trabalho o mecanismo é considerado como simétrico, então o tamanho dos elos é de-finido como ¯𝑟1, ¯𝑟2, respectivamente. O efetuador final é localizado no ponto p, onde

sua posição é definida mediante as coordenadas cartesianas (¯𝑥𝑝, ¯𝑦𝑝). Um sistema de

referência fixo 𝑂 é definido entre 𝐴1 e 𝐴2, em relação a este sistema de referência é

definida a posição do efetuador final. A aceleração gravitacional atua perpendicular-mente ao plano 𝑥𝑦 que o mesmo plano no qual o manipulador se movimenta.

O comprimento dos elos, conforme observado na Figura 7, é definido por 𝑟1, 𝑟2

e 𝑟3, respectivamente. O comprimento dos elos pode ser definido entre zero e infinito.

No entanto, os comprimentos dos elos são adimensionalizados com a finalidade de realizar a análise e otimização. Então, a variável auxiliar 𝐷 é definida da seguinte forma 𝐷 = (𝑟1+ 𝑟2+ 𝑟3)/3. Consequentemente, os três parâmetros adimensionais, 𝑟𝑖,

Figura 7 –Robô paralelo planar de dois graus de liberdade.

Fonte – (LARA-MOLINA; KOROISHI; DUMUR, 2016)

para 𝑖 = 1, 2, 3, são definidos a seguir:

𝑟1 = 𝑟1/𝐷 𝑟2 = 𝑟2/𝐷 𝑟3 = 𝑟3/𝐷 (3.7)

Com 𝑟1+ 𝑟2+ 𝑟3 = 3.

Além disso, as coordenadas do efetuador final são também adimensionaliza-das da seguinte forma: 𝑥𝑝 = 𝑥𝑝/𝐷 e 𝑦𝑝 = 𝑦𝑝/𝐷.

3.2.1 Modelo Cinemático

O modelo cinemático do robô é usado para resolver a relação de movimento entre as entradas e saídas, como posição, velocidade e aceleração e também os parâmetros da configuração geométrica dos atuadores ou juntas. Para o robô paralelo de dois graus de liberdade, a modelagem cinemática será utilizada para encontrar a relação entre os ângulos do atuador de entrada e a posição de saída do efetuador final.

A posição do efetuador final em relação ao ponto de referência fixo 𝑂 é defi-nida pelo vetor cartesiano p =

[︂ 𝑥𝑝 𝑦𝑝

]︂𝑇

. Da mesma maneira, a posição dos pontos 𝐵𝑖 (para 𝑖 = 1, 2) com relação a sistema de referência fixo 𝑂 é definido pelo vetor

b1 = [︂ 𝑟1cos(𝜃𝑎1) − 𝑟3 𝑟1sin(𝜃𝑎1) ]︂𝑇 e b2 = [︂ 𝑟1cos(𝜃𝑎2) + 𝑟3 𝑟1sin(𝜃𝑎2) ]︂𝑇 , respectiva-mente. 𝜃𝑎1 e 𝜃𝑎2 são os ângulos das juntas ativas. Portanto, a cinemática inversa é

resolvida com base na restrição cinemática: |b𝑖p| = 𝑟2, portanto:

(𝑥𝑝− 𝑟1cos(𝜃𝑎1) + 𝑟3)2+ (𝑦𝑝− 𝑟1sin(𝜃𝑎1))2 = 𝑟22 (3.8)

(𝑥𝑝− 𝑟1cos(𝜃𝑎2) − 𝑟3)2+ (𝑦𝑝− 𝑟1sin(𝜃𝑎2))2 = 𝑟22 (3.9)

3.2.1.1 Matriz Jacobiana

Para derivar a matriz Jacobiana do mecanismo, as equações (3.8) e (3.9) são derivadas em relação ao tempo e escritas na forma matricial:

A ˙𝜃𝑎 = B ˙p (3.10) onde ˙p = [︂ ˙𝑥𝑝 𝑦˙𝑝 ]︂𝑇 , ˙𝜃𝑎 = [︂ ˙ 𝜃𝑎1 𝜃˙𝑎2 ]︂𝑇

e as matrizes 2×2 A e B, são definidas por:

A = ⎡ ⎢ ⎣ 𝑦𝑝𝑐𝑎1− (𝑥𝑝+ 𝑟3)𝑠𝑎1 0 0 𝑦𝑝𝑐𝑎2+ (𝑟3− 𝑥𝑝)𝑠𝑎2 ⎤ ⎥ ⎦ (3.11) B = ⎡ ⎢ ⎣ 𝑥𝑝 + 𝑟3− 𝑟1𝑐𝑎1 𝑦𝑝− 𝑟1𝑠𝑎1 𝑥𝑝− 𝑟3− 𝑟1𝑐𝑎2 𝑦𝑝− 𝑟1𝑠𝑎2 ⎤ ⎥ ⎦ (3.12)

com cos(𝜃𝑎𝑖) = 𝑐𝑎𝑖 e sin(𝜃𝑎𝑖) = 𝑠𝑎𝑖 para 𝑖 = 1, 2. Então, a matriz Jacobiana é definida

como:

J = A−1B (3.13)

3.2.1.2 Espaço de Trabalho

O espaço de trabalho útil é definido como a área que o efetuador final pode alcançar, livre de singularidades. Adicionalmente, o Círculo Máximo Inscrito (𝑀 𝐼𝐶) é um índice útil para avaliar o tamanho do espaço de trabalho. O 𝑀 𝐼𝐶 é inscrito no espaço de trabalho útil e tangente aos limites que definem as singularidades dentro do espaço de trabalho útil (LIU; WANG; PRITSCHOW, 2006c). O espaço de trabalho Máximo Inscrito (𝑀 𝐼𝑊 ) é definido como o espaço de trabalho limitado pelo 𝑀 𝐼𝐶. O

𝑀 𝐼𝐶 é definido mediante as equações apresentadas a seguir:

𝑥2 + (𝑦 − 𝑦𝑀 𝐼𝐶)2 = 𝑟2𝑀 𝐼𝐶 (3.14)

onde 𝑟𝑀 𝐼𝐶 é o raio e (0, 𝑦𝑀 𝐼𝐶)é o centro do 𝑀 𝐼𝐶. Para os casos que 𝑟1+ 𝑟3 < 𝑟2, o

𝑀 𝐼𝐶 é definido por:

𝑟𝑀 𝐼𝐶 = (𝑟1+ 𝑟2− |𝑟1− 𝑟2|)/2

𝑦𝑀 𝐼𝐶 =

√︁

(𝑟1+ 𝑟2+ |𝑟1− 𝑟2|)2/4 − 𝑟23 (3.15)

Para os casos em que 𝑟1+ 𝑟3 > 𝑟2, o raio e o centro do 𝑀 𝐼𝐶 são definidos por:

𝑟𝑀 𝐼𝐶 = |𝑦𝑀 𝐼𝐶| − 𝑦𝑐𝑜𝑙 𝑦𝑀 𝐼𝐶 = (𝑟1+ 𝑟2+ 𝑦𝑐𝑜𝑙)2 − 𝑟32 2(𝑟1+ 𝑟2+ 𝑦𝑐𝑜𝑙) (3.16) com 𝑦𝑐𝑜𝑙 =√︀𝑟21− (𝑟2− 𝑟3)2.

Além disso, o espaço de trabalho útil e o 𝑀 𝐼𝑊 são obtidos considerando três comprimentos diferentes dos elos como especificado a seguir:

∙ Para o caso (a), onde 𝑟1 = 1, 2, 𝑟2 = 1, 0, 𝑟3 = 0, 8, observar (Fig. 8(a));

∙ Para o caso (b), onde 𝑟1 = 1, 7, 𝑟2 = 0, 5, 𝑟3 = 0, 8, observar (Fig. 8(b));

∙ Para o caso (c), onde 𝑟1 = 0, 5, 𝑟2 = 1, 5, 𝑟3 = 1, 5, observar (Fig. 8(c)).

3.2.2 Modelo Dinâmico

A modelagem dinâmica aborda a relação entre as forças, os torques e o mo-vimento do robô. O objetivo da análise dinâmica é construir um modelo matemático para avaliar o desempenho dinâmico do mecanismo. É a base da concepção do sis-tema robótico. Os resultados da simulação podem ser usados para encontrar as forças necessárias, torques do atuador e para otimizar o algoritmo de controle.

Inicialmente, os parâmetros dinâmicos devem ser adimensionalizados. Con-siderando a massa dos elos e a rigidez das juntas, definem-se as variáveis auxiliares

(a) (b)

(c)

Figura 8 –Espaço de trabalho útil e𝑀 𝐼𝐶.

Fonte – Autoria Própria.

𝑚𝑡e 𝑘𝑡assim: 𝑚𝑡= (𝑚1𝑖+ 𝑚2𝑖)/2 e 𝑘𝑡 = (𝑘1+ 𝑘2)/2. Consequentemente, as massas

adimensionais dos elos e a rigidez das juntas adimensionais são definidas como: 𝑚1𝑖= 𝑚1𝑖/𝑚𝑡 𝑚2𝑖= 𝑚2𝑖/𝑚𝑡 𝑚1𝑖+ 𝑚2𝑖= 2

𝑘1 = 𝑘1𝑖/𝑘𝑡 𝑘2 = 𝑘2𝑖/𝑘𝑡 𝑘1+ 𝑘2 = 2

O momento de inércia e o centro das massas dos elos são definidos como uma função das massas adimensionais e comprimento dos elos, portanto: 𝑑1𝑖 = 𝑟1/2, 𝑑2𝑖 = 𝑟2/2,

𝐼𝑧1𝑖 = 1 12𝑚1𝑟 2 1, 𝐼𝑧2𝑖= 1 12𝑚2𝑟 2 2.

3.2.2.1 Dinâmica das Cadeias Cinemáticas

Primeiramente é considerada a dinâmica de somente uma cadeia cinemática. Na Figura 9 é apresentada a cadeia cinemática com as juntas ativas flexíveis.

Figura 9 –Cadeia cinemática com flexibilidade na junta ativa.

Fonte – (LARA-MOLINA; KOROISHI; DUMUR, 2016)

A equação dinâmica de cada cadeia cinemática é obtida através da formu-lação de Lagrange baseado em Khalil e Dombre (2004) e pode ser vista com mais detalhes no anexo A. Portanto, a equação dinâmica de cada uma das cadeias cine-máticas é modelada pela equação a seguir:

𝜏𝑖− f𝑖 = M𝑖(𝜃𝑖) ¨𝜃𝑖+ C𝑖(𝜃𝑖, ˙𝜃𝑖) ˙𝜃𝑖+ f𝑘𝑖 (3.17) onde: ∙ 𝜃𝑚 = [︂ 𝜃𝑚1 𝜃𝑚2 ]︂𝑇

é a posição angular dos motores antes da flexibilidade das juntas ativas.

∙ M𝑖(𝜃𝑖)e C𝑖

(︁ 𝜃𝑖, ˙𝜃𝑖

)︁

são as matrizes de inércia e Coriolis, respectivamente.

∙ f𝑘𝑖 =

[︂

𝑘𝑖(𝜃𝑎𝑖− 𝜃𝑚𝑖) 0

]︂𝑇

é o torque elástico das juntas ativas. ∙ 𝜏𝑖 = (𝜏𝑎𝑖, 𝜏𝑝𝑖)𝑇 é o vetor do torque nas juntas ativas e passivas.

∙ f𝑖 = (𝑓𝑎𝑖, 𝑓𝑝𝑖)𝑇 é o vetor do atrito das juntas ativas e passivas.

∙ 𝜃𝑖 = (𝜃𝑎𝑖, 𝜃𝑝𝑖)𝑇 é o vetor das juntas.

O modelo dinâmico para as duas cadeias cinemáticas é formulado simulta-neamente considerando o modelo das duas cadeias cinemáticas da equação (3.17), assim: M(𝜃)¨𝜃 + C (︁ 𝜃, ˙𝜃)︁ ˙𝜃 + f + f𝑘 = 𝜏 (3.18) com: ∙ 𝜃 = (𝜃𝑇 𝑎, 𝜃 𝑇 𝑝)𝑇, ˙𝜃 = ( ˙𝜃 𝑇 𝑎, ˙𝜃 𝑇 𝑝)𝑇, f = (f𝑎𝑇, f𝑝𝑇)𝑇 e 𝜏 = (𝜏𝑇𝑎, 𝜏𝑇𝑝)𝑇.

∙ f𝑘 = (f𝑘𝑎𝑇, f𝑘𝑝𝑇)𝑇 é o torque elástico nas juntas ativas e passivas, respectivamente.

∙ f𝑘𝑎 = (𝑘1(𝜃𝑎1− 𝜃𝑚1), 𝑘2(𝜃𝑎2− 𝜃𝑚2))𝑇 é o torque elástico nas juntas ativas.

∙ Considerando as juntas passivas: f𝑘𝑝 = (0, 0)𝑇 como não é considerada a

flexibi-lidade e nenhum torque é aplicado nas juntas passivas, então 𝜏𝑝 = (0, 0)𝑇.

∙ f𝑝 = (0, 0)𝑇 é o atrito nas juntas passivas.

∙ M(𝜃) and C(︁𝜃, ˙𝜃)︁são as matrizes de inércia e Coriolis das duas cadeias cine-máticas.

3.2.2.2 Modelo Dinâmico Completo

Finalmente, o modelo dinâmico completo é obtido considerando o acopla-mento das cadeias cinemáticas nas juntas passivas do ponto p. As restrições ci-nemáticas do acoplamento são derivadas da matriz Jacobiana. Utilizando o princípio de D’Alembert e o princípio do trabalho virtual (LE; KANG; SUH, 2013). Assim, os torques das juntas ativas 𝜏𝑎 e o torque das juntas 𝜏 satisfazem a relação:

𝜏𝑎 = Ψ𝑇𝜏 (3.19)

onde Ψ = 𝜕𝜃/𝜕𝜃𝑎, que representa a matriz Jacobiana de todos as juntas em relação

às juntas ativas.

Portanto, a equação dinâmica total é representada como:

onde M𝑡 = Ψ𝑇M(𝜃)Ψe C𝑡= Ψ𝑇M(𝜃) ˙Ψ + Ψ𝑇C

(︁

𝜃, ˙𝜃)︁Ψ.

Como complemento à equação dinâmica total e com a finalidade de realizar a análise dinâmica para o projeto ótimo, considera-se o caso no qual o robô encontra-se em uma posição fixa, sem atrito nas juntas e não é aplicado um torque nas juntas ativas, portanto a equação dinâmica assume as condições enumeradas a seguir: 𝑖) ˙𝜃𝑎 = (0, 0)𝑇, 𝑖𝑖) f𝑎 = (0, 0)𝑇 e, 𝑖𝑖𝑖) 𝜏𝑎 = (0, 0)𝑇. Então, a equação dinâmica (3.20) sob

estas condições é dada por:

M𝑡𝜃¨𝑎+ C𝑡˙𝜃𝑎+ f𝑎+ K(𝜃𝑎− 𝜃𝑚) = 0 (3.21)

A equação dinâmica simplificada (3.21), pode ser representada nas coordena-das cartesianas como apresentado previamente por (ANGELES; PARK, 2008), assim:

J−𝑇M𝑡J−1𝜃¨𝑎+ J−𝑇KJ−1(𝜃𝑎− 𝜃𝑚) = 0 (3.22)

3.3 OTIMIZAÇÃO

Uma das definições de otimização é encontrar a melhor solução para um pro-blema em determinadas circunstâncias. No projeto, construção e manutenção de um mecanismo ou máquina, cabe ao engenheiro tomar decisões para a resolução dos problemas com o menor custo, esforço e obtendo o maior benefício possível. Na otimização, o problema em questão é formalizado na forma matemática e a melhor solução para o problema é encontrada usando algoritmos matemáticos. Papalambros e Wilde (2000) definiram a otimização de projetos da seguinte forma:

1. Selecionar um conjunto de variáveis para descrever as alternativas de projeto; 2. A seleção de um objetivo, expresso em termos das variáveis de projeto, no qual

o objetivo é minimizar ou maximizar;

3. A determinação de um conjunto de restrições, expressas em termos de variáveis de projeto, que devem ser satisfeitas para um projeto adequado;

4. A determinação de um conjunto de valores para as variáveis de projeto, que minimizam ou maximizam o objetivo, enquanto satisfazem todas as restrições.

Na otimização de projetos, existem muitos algoritmos de otimização diferen-tes. E podem ser divididos em métodos com e sem gradiente. Os métodos com gradi-entes foram estudados e na literatura é possível encontrar muitas referências sobre o assunto (CHAPRA; CANALE, 2008). No entanto, os métodos baseados em gradien-tes são adequados para problemas com variáveis contínuas e funções diferenciáveis, pois operam com gradientes das funções do problema. Portanto, no desenvolvimento deste trabalho foram escolhidas as técnicas dos Algoritmos Genéticos e NSGA-II, pois eles não necessitam do conhecimento do gradiente, estão menos sujeitos a resultados ótimos locais e fornecem uma resposta relativamente rápida e barata ao projetista.

No desenvolvimento de um projeto ótimo, as variáveis do projeto devem ser determinadas de acordo com as funções objetivos e restrições. Serão apresentadas a seguir algumas definições que serão utilizadas neste trabalho para realizar o projeto ótimo de um robô paralelo de dois graus de liberdade. Em seguida, serão apresenta-das as técnicas de otimização para maximizar as funções objetivo definiapresenta-das.

3.3.1 Definições de um Problema de Otimização

De acordo com a definição de Rao (2009), um problema de otimização pode ser formulado matematicamente como:

Encontrar o 𝑋 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑥1 𝑥2 .. . 𝑥𝑛 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

que minimiza ou maximiza 𝑓 (𝑋).

Sujeito as seguintes restrições:

𝑔𝑗(𝑋) ≤ 0, 𝑗 = 1, 2, ..., 𝑚

𝑙𝑗(𝑥) = 0, 𝑗 = 1, 2, ..., 𝑝

Em que 𝑋 representa um vetor de dimensão 𝑛, que é chamado de vetor de projeto. 𝑓 (𝑋) é a função objetivo. E 𝑔𝑗(𝑋) e 𝑙𝑗(𝑥) são as restrições de inequalidade

e igualdade, respectivamente. O problema apresentado é chamado problema de oti-mização com restrições. Alguns problemas podem não ter ou considerar restrições e são chamados problemas de otimização sem restrições.

3.3.1.1 Vetor de Projeto

Em Rao (2009), é definido um sistema ou componente de engenharia por um conjunto de quantidades, em que algumas são vistas como variáveis durante o projeto. Normalmente, certas quantidades são definidas no início do projeto e são chamadas de parâmetros preestabelecidos. As outras quantidades são definidas como variáveis no processo de projeto e são chamadas variáveis de decisão ou pro-jeto, 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, 2, ..., 𝑛. As variáveis são representadas juntas pelo vetor de projeto

𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛𝑇.

3.3.1.2 Restrições de Projeto

Nos problemas reais de engenharia, as variáveis de projeto não são esco-lhidas arbitrariamente. As restrições devem ser satisfeitas para produzir um projeto aceitável, que são coletivamente chamadas restrições de projeto. As restrições repre-sentam limitações sobre o comportamento ou o desempenho do sistema são deno-minadas restrições de comportamentos ou funcionais. As restrições que representam limitações físicas nas variáveis de projeto são conhecidas como restrições geométri-cas.

3.3.1.3 Função Objetivo

Os procedimentos de um projeto ótimo convencional visa encontrar um re-sultado aceitável ou adequado que satisfaça os requisitos do problema. Em geral, haverá mais de um resultado aceitável, e o objetivo da otimização é escolher o melhor dos muitos projetos aceitáveis disponíveis. Assim, um critério deve ser escolhido para comparar os diferentes projetos aceitáveis alternativos e assim, selecionar o melhor. O critério em relação ao qual o projeto é otimizado, quando expresso como uma função das variáveis de projeto, é conhecido como função objetivo (RAO, 2009).

Um exemplo de função objetivo para minimização é o peso, em projetos estru-turais aeronáuticos. Nos projetos estruestru-turais de engenharia civil, o objetivo pode ser adotado como a minimização do custo. Em sistemas mecânicos, a maximização da eficiência mecânica pode ser utilizado como um objetivo no projeto. Podem haver ca-sos em que a otimização em relação a um critério particular encontre resultados que podem não ser satisfatórios em relação a outro critério. A seleção da função objetivo pode ser uma das decisões mais importantes no projeto ótimo.

Em alguns casos, pode ser necessário satisfazer mais de um critério simulta-neamente. Por exemplo, um par de engrenagens pode ter que ser projetado para um peso mínimo e uma eficiência máxima ao transmitir uma potência especificada. Um problema de otimização envolvendo múltiplas funções objetivas é conhecido como um problema multiobjetivo. Com múltiplos objetivos, surge uma possibilidade de conflito, e uma maneira simples de lidar com o problema é construir uma função objetiva global como uma combinação linear das funções de múltiplos objetivos conflitantes.

3.3.2 Algoritmos Genéticos

Muitos problemas de projeto ótimos práticos são caracterizados por variáveis discretas e contínuas e espaços de projeto descontínuos e não convexos. Se as téc-nicas de programação não-linear padrão fossem usadas para este tipo de problema,

elas seriam ineficientes, computacionalmente caras e, na maioria dos casos, encon-trariam um ótimo relativo o mais próximo do ponto de partida. Os algoritmos genéticos (GAs) são bem adequados para resolver esses problemas e, na maioria dos casos, eles podem encontrar a solução global otimizada com alta probabilidade. Os GAs fo-ram propostos incialmente por Holland (1992) e é um algoritmo de busca heurística baseado no mecanismo da seleção natural e na genética natural. GAs são utilizados amplamente no campo da engenharia para a resolução de problemas ótimos, como em (IGHOSE et al., 2017) e (AHMADI; AHMADI; FEIDT, 2016), por ser um método robusto e com um bom desempenho.

Em geral, GAs apresentam algumas características essenciais, que o diferen-ciam dos métodos tradicionais de otimização, conforme Rao (2009):

∙ Uma população de pontos (vetores de projeto experimentais) é usada para ini-ciar o procedimento em vez de um único ponto. Se o número de variáveis de projeto for 𝑛, geralmente o tamanho da população é tomado de 2𝑛 a 4𝑛. Uma vez que vários pontos são usados como possíveis soluções, os GAs são menos propensos a ficar presos em um ótimo local;

∙ Os GAs usam apenas os valores da função objetivo. As derivadas não são usadas no procedimento de busca;

∙ Nos GAs as variáveis de projeto são representadas como vetores de variáveis binárias, que correspondem aos cromossomos na genética natural. Assim, o método de busca é naturalmente aplicável para resolver problemas de progra-mação discretos e inteiros;

∙ Em todas as novas gerações, um novo conjunto de vetores são produzidos usando a seleção de pais aleatórios e cruzamento da geração anterior do vetor antigo. Embora aleatórios, os GAs não são técnicas simples de busca aleatória. Eles exploram de forma eficiente as novas combinações com os conhecimentos disponíveis para encontrar uma nova geração com melhor capacidade física ou objetivo.

3.3.2.1 Operações

A solução de um problema de otimização por GAs começa com uma popula-ção de cadeias aleatórias, que denotam a populapopula-ção de vários vetores de projeto. O tamanho da população em GAs 𝑛 geralmente é definido pelo usuário. Cada vetor de projeto é avaliado para encontrar seu valor de aptidão. A população é operada por três processos, chamados de reprodução, cruzamento e mutação, para produzir uma nova população. A nova população é ainda avaliada para encontrar os valores de aptidão e testar a convergência do processo.

Um ciclo de reprodução, cruzamento e mutação e a avaliação dos valores de aptidão é conhecida como uma geração do GAs. Se o critério de convergência não for satisfeito, a população é operada iterativamente pelos três operadores e a nova população resultante é avaliada quanto aos valores físicos. O procedimento é conti-nuado através de várias gerações até que o critério de convergência seja satisfeito ou o número máximo de gerações definidos pelo usuário seja alcançado e o processo encerrado.

A reprodução é a primeira operação aplicada à população para selecionar bons indivíduos da população para formar um grupo de acasalamento. O operador de reprodução, também é chamado de operador de seleção, porque seleciona bons indivíduos da população. O operador de reprodução é usado para escolher os indiví-duos acima da média da população atual e inserir suas múltiplas cópias no acasala-mento com base em um procediacasala-mento probabilístico. Em um operador de reprodução comumente usados, um indivíduo é selecionado a partir do acasalamento com uma probabilidade proporcional à sua aptidão física.

Após a reprodução, o operador de cruzamento é implementado. O objetivo do cruzamento é criar novos indivíduos trocando informações entre os indivíduos do acasalamento ou pais. Muitos operadores de cruzamento foram usados na literatura de GAs. A maioria dos operadores de cruzamento, dois vetores de indivíduos são selecionados aleatoriamente do acasalamento gerado pelo operador de reprodução e

alguns indivíduos são trocados entre os vetores. No processo comumente utilizado, conhecido como operador de cruzamento de ponto único, um local de cruzamento é selecionado aleatoriamente ao longo do comprimento do vetor, e os dígitos binários situados no lado direito do cruzamento são trocados entre os dois vetores. Os dois ve-tores selecionados para participação nos operadores de cruzamento são conhecidos como pais e os vetores gerados pela operação de cruzamento são conhecidos como filhos.

O cruzamento é o operador principal pelo qual novos vetores com melhores valores de aptidão são criados para as novas gerações. O operador de mutação é aplicado nos novos vetores com uma pequena probabilidade de mutação específica.

Existe também o operador de elitismo, que preserva as soluções encontradas anteriormente. Isso significa que a melhor solução não irá desaparecer nas gerações seguintes. Uma forma de implementar elitismo é copiar diretamente 𝑛% das soluções da população atual à população seguinte. O restante das (100 − 𝑛)% soluções é ge-rada usando os operadores genéticos usuais sobre a população atual. Desta forma, as melhores soluções passam diretamente para população seguinte, além de parti-cipar da criação do resto de soluções da população seguinte. Pesquisas mostram que o elitismo pode acelerar significativamente o desempenho da GAs, o que também pode ajudar a prevenir a perda de boas soluções, uma vez que elas são preservadas (ZITZLER; DEB; THIELE, 2000).

3.3.2.2 Algoritmo

O procedimento computacional envolvido na maximização da função de apti-dão 𝐹 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ..., 𝑥𝑛) no algoritmo genético pode ser descrito pelos seguintes

pas-sos:

1. Escolher um comprimento do vetor adequado para representar as 𝑛 variáveis de projeto do vetor de projeto 𝑋. Definir valores adequados para os seguintes parâmetros: tamanho da população 𝑚, probabilidade de cruzamento 𝑝𝑐,