Algoritmo de Otimiza¸c˜ao - Analise de sensibilidade, algoritmos de otimização e orientação por

As seguintes propriedades s˜ao observadas em (4.16):

dhexa ≥ 1,

dhexa = 1⇔ θi, ϕi= 90◦, i = 1, . . . , 8, dhexa → ∞, θi, ϕi→ 0◦ ∀i,

dhexa → ∞, θi, ϕi→ 180◦ ∀i.

Deve-se observar, entretanto que as medidas de distor¸cão (4.15) e (4.16) não consideram a razão de aspecto dos elementos.

Em testes numéricos, as medidas (4.12), (4.14), (4.15) e (4.16) se mostraram comparáveis aos recursos de avalia¸cão de qualidade de malhas de softwares comerciais tais como o Ansys, identificando regiões semelhantes de elementos distorcidos (Ferreira, 2002).

4.3 Algoritmo de Otimiza¸c˜ao

Apesar de fornecerem a base téorica para a determina¸cão de pontos de m´ınimo em problemas genéricos, as condi¸cões de Karush-Kuhn-Tucker (Bazaraa et al., 1993) não fornecem um procedimento geral aplicável a uma grande variedade de problemas práticos. Nesse sentido, a utiliza¸cão de ferramentas numéricas de programa¸cão matemática se torna necessária.

No in´ıcio da década de 80, demonstrou-se a necessidade de dispensar aten¸cão especial às caracter´ısticas espec´ıficas dos problemas de otimiza¸cão estrutural (Belegundu e Arora, 1985a; Belegundu e Arora, 1985b; Vanderplaats, 1982). De fato, não é poss´ıvel relacionar a performance de um algoritmo em um problema de programa¸cão matemática com o seu comportamento em problemas de otimiza¸cão de projetos. A razão é que problemas de programa¸cão matemática consistem de fun¸cões expl´ıcitas, de pequena dimensão e pequeno número de m´ınimos locais. Assim, os problemas de programa¸cão matemática são em geral triviais em termos do tempo computacional de análise de resposta e determina¸cão de gradientes. Dessa forma, em tais problemas normalmente se utiliza uma combina¸cão de tempo de CPU, tempo de prepara¸cão, facilidade de uso, etc., como aspectos principais de um código. Conseqüentemente um algoritmo pode parecer muito bom mesmo exigindo centenas de avalia¸cões da fun¸cão objetivo e das restri¸cões para resolver um problema de apenas três ou quatro variáveis. O custo

da aplica¸cão de tal código em um problema que envolva análises complexas de resposta e sensibilidade é proibitivo.

Isto sugere que, em problemas práticos de projeto, somente dois critérios são significativos. Em primeiro lugar, se o algoritmo e sua implementa¸cão são confiáveis em atingir um m´ınimo aproximado a partir de um ponto inicial arbitrário. E segundo, se o programa realiza o menor número poss´ıvel de avalia¸cões das fun¸cões do problema e de seus gradientes.

Um algoritmo é classificado como globalmente convergente se alcan¸ca um m´ınimo local a partir de um ponto inicial arbitrário. Fica evidente a partir dessa defini¸cão que a convergência global é uma indica¸cão de robustez e confiabilidade, mas não de eficiência. Este critério é usado como um ponto básico no estudo dos vários métodos e não deve ser confundido com o problema de determina¸cão de m´ınimo global (Arora et al., 1995). A convergência global é uma exigência importante porque permite utilizar o recurso da otimiza¸cão com confian¸ca. Também é necessário que a implementa¸cão numérica dos algoritmos exibam propriedades de convergência global.

Para exigir um número m´ınimo de avalia¸cões de fun¸cões e gradientes, o algoritmo de minimiza¸cão deve fornecer, em cada itera¸cão, uma dire¸cão de busca eficiente. Isso significa uma dire¸cão que permita máximo descréscimo da fun¸cão objetivo num passo viável sem saturar prematuramente nenhuma restri- ¸cão. Associada a esta caracter´ıstica deve estar um algoritmo de busca linear que tire máximo proveito das informa¸cões numéricas dispon´ıveis no projeto corrente (valores dos funcionais e suas derivadas) na determina¸cão do projeto ótimo de cada itera¸cão.

Neste trabalho, utiliza-se o Método de Pontos Interiores de Herskovits (Herskovits, 1986), o qual consiste de um algoritmo de pontos interiores para otimiza¸cão não-linear sujeita a restri¸cões de igualdade e desigualdade.

Devido à sua caracter´ıstica de convergência global com taxa superlinear quando associado à busca linear imprecisa (Herskovits, 1986; Herskovits e Santos, 1997; Panier et al., 1988), e por gerar uma seqüência de pontos viáveis, tem sido aplicado com sucesso em problemas estruturais (Herskovits e Coelho, 1989; Evsukoff, 1992; Fancello, 1993; Herskovits et al., 1998; Dias et al., 1998; Silva, 1997; Silva e Bittencourt, 1997; Silva e Bittencourt, 1998; Silva e Bittencourt, 1999b; Silva e Bittencourt, 1999a; Silva e Bittencourt, 2000).

4.3. Algoritmo de Otimiza¸c˜ao 133

para determinar a dire¸cão de busca. Além disso, como a seqüência dos multiplicadores de Lagrange das restri¸cões de desigualdade é estritamente positiva, as dire¸cões de busca são sempre dire¸cões de decréscimo da fun¸cão objetivo (Herskovits, 1986). No caso de haver apenas restri¸cões de desigualdade, não há necessidade de nenhuma fun¸cão de penaliza¸cão.

Para obter a dire¸cão de busca a cada itera¸cão, este algoritmo de pontos interiores emprega uma técnica iterativa de ponto fixo na solu¸cão direta do sistema de equa¸cões, nas variáveis primais e duais, obtido das condi¸cões necessárias de otimalidade de Karush-Kuhn-Tucker. O algoritmo é tal que as restri¸cões de desigualdade e a exigência de não-negatividade de seus multiplicadores de Lagrange são satisfeitas a cada itera¸cão, garantido a convergência para pontos de m´ınimo e o respeito estrito às restri¸cões.

A exigência de ser iniciado com projeto viável é uma caracter´ıstica que pode ser criticada, mas que não chega a ser restritiva devido à existência de métodos espec´ıficos para a solu¸cão de sistemas de equa¸cões e inequa¸cões não-lineares (Elwakeil e Arora, 1995).

O algoritmo de busca linear imprecisa implementado apresenta caracter´ısticas de eficiência que o tornam bastante atraente para aplica¸cões de otimiza¸cão estrutural (Evsukoff, 1992; Silva, 1997). O algoritmo busca um passo viável que respeite o decréscimo m´ınimo especificado para fun¸cão em cada passo. Sua hipótese básica é que, na maioria dos problemas de otimiza¸cão, a solu¸cão se localiza sobre o contorno da região viável Ω, ou seja, uma ou mais restri¸cões estarão saturadas. O passo inicial é então determinado através de interpola¸cão linear das restri¸cões: o maior passo positivo que se sature a aproxima¸cão linear do conjunto de restri¸cões é selecionado. Se necessário, esse passo é refinado através de interpola¸cões quadráticas dos funcionais do problema para cumprir as exigências de viabilidade e decréscimo. Os testes numéricos executados com a implementa¸cão atual mostraram que a maior parte das buscas lineares são conclu´ıdas com 1 a 3 avalia¸cões dos funcionais de performance.

Tabela 4.8: Gradientes do funcional de deslocamento máximo (0.0304010 cm). Derivadas parciais de variáveis de forma são avaliadas com dois tipos de campos de velocidades e comparados com valores obtidos por diferen¸cas finitas. AS: análise de sensibilidade. MDF: diferen¸cas finitas usando o respectivo campo de velocidades. A concordância considera o valor MDF como padrão.

Método da Camada Unitária de Contorno Método de Deslocamentos Fict´ıcios do Contorno

AS MDF Concordˆancia % AS MDF Concordˆancia %

-0.0019128591 -0.0019128326 99.998612380646 -0.0019140349 -0.0019140064 99.998510116967 0.0013896411 0.0013896290 99.999125379770 0.0013911530 0.0013911396 99.999032982680 -0.0018746357 -0.0018745966 99.997915589214 -0.0018753953 -0.0018753525 99.997718342300 0.0014995433 0.0014995155 99.998145746558 0.0015002566 0.0015002249 99.997883568543 -0.0009774573 -0.0009774337 99.997589989757 -0.0009784651 -0.0009784415 99.997589744164 0.0007914052 0.0007913868 99.997676001307 0.0007923675 0.0007923481 99.997546748035 0.0009141137 0.0009139925 99.986735277441 0.0009113731 0.0009112448 99.985919166783 -0.0010023199 -0.0010020547 99.973529020722 -0.0010014587 -0.0010011408 99.968247746807 0.0003226029 0.0003226053 99.999244868388 0.0003212260 0.0003212407 99.995424943269 -0.0000529705 -0.0000529443 99.950583835940 -0.0000563482 -0.0000563070 99.926857055047

Tabela 4.9: Gradientes do funcional de deslocamento absoluto máximo na dire¸cão x (0.0105026 cm). Derivadas parciais de variáveis de forma são avaliadas com dois tipos de campos de velocidades e comparados com valores obtidos por diferen¸cas finitas. AS: análise de sensibilidade. MDF: diferen¸cas finitas usando o respectivo campo de velocidades. A concordância considera o valor MDF como padrão.

Método da Camada Unitária de Contorno Método de Deslocamentos Fict´ıcios do Contorno

AS MDF Concordˆancia % AS MDF Concordˆancia %

-0.0007769657 -0.0007769580 99.999006437624 -0.0007772311 -0.0007772225 99.998899224533 0.0005514398 0.0005514401 99.999934006220 0.0005522640 0.0005522635 99.999894366098 -0.0006371690 -0.0006371675 99.999766271296 -0.0006374518 -0.0006374491 99.999572391359 0.0005092594 0.0005092605 99.999767921587 0.0005095050 0.0005095047 99.999928981709 -0.0002957063 -0.0002957079 99.999455898204 -0.0002961793 -0.0002961809 99.999475419802 0.0002427555 0.0002427562 99.999703491220 0.0002429167 0.0002429169 99.999908492771 -0.0000662496 -0.0000662325 99.974231161462 -0.0000658075 -0.0000657903 99.973917727488 0.0000235586 0.0000235319 99.886294218082 0.0000249678 0.0000249424 99.898297670972 -0.0000532753 -0.0000532691 99.988373567158 -0.0000535175 -0.0000535108 99.987416323745 0.0000052251 0.0000052160 99.825858938539 0.0000055858 0.0000055758 99.819993710752

No documento Analise de sensibilidade, algoritmos de otimização e orientação por objetos em hiperelasticidade não-linear (páginas 157-160)