1.3.1 Otimiza¸c˜ao de Estruturas Hiperel´asticas N˜ao-Lineares Quasi-Incompress´ıveis
V´arios problemas de otimiza¸c˜ao estrutural podem ser descritos pelo enunciado min f (s,∇s, X; d)
sujeito a
gi(s,∇s, X; d) ≤ 0, i = 1, . . . , Ng, hj(s,∇s, X; d) = 0, j = 1, . . . , Nh,
(1.1)
sendo f a fun¸c˜ao objetivo, gi e hj os funcionais de restri¸c˜ao, e d∈ <N d o vetor de vari´aveis de projeto. Os funcionais f , gi, e hj s˜ao genericamente denominados funcionais de performance, (Arora e Haug, 1979; Arora, 1989). O campo vetorial s ´e a resposta do problema estrutural definido no dom´ınio n˜ao-deformado B ⊂ <3 e X ∈ B ´e um ponto material. De fato, mesmo alguns problemas a rigor multiobjetivos podem ser convenientemente tratados dessa forma.
A regi˜ao Ω na qual todas as restri¸c˜oes s˜ao simultaneamente satisfeitas ´e chamada de regi˜ao vi´avel e ´e escrita como
Ω =nd∈ <N d| gi ≤ 0, hj = 0; i = 1, . . . , Ng, j = 1, . . . , Nh
o
. (1.2)
No enunciado (1.1), f , gi, e hjforam definidos como funcionais impl´ıcitos das vari´aveis de projeto, i.e., esses funcionais dependem da resposta estrutural s, a qual ´e fun¸c˜ao das vari´aveis de projeto. O significado do vetor d depende do tipo de otimiza¸c˜ao a ser executada. No caso de otimiza¸c˜ao topol´ogica, o pr´oprio dom´ınio B ´e a vari´avel de projeto e, nesse caso, os componentes de d controlam a ativa¸c˜ao/desativa¸c˜ao de elementos utilizados na discretiza¸c˜ao deB. Em otimiza¸c˜ao de configura¸c˜ao, os componentes de d parametrizam ˆangulos entre elementos estruturais tais como barras, vigas e placas. No contexto deste trabalho, o vetor d parametriza a forma de B (de topologia fixa) e caracter´ısticas discretas do problema, tais como propriedades de material e propriedades geom´etricas de elementos estruturais. Logo, s ≡ s (B (d) , d), sendo o problema estrutural um subproblema do enunciado de programa¸c˜ao n˜ao-linear18.
18Uma formula¸c˜ao alternativa seria incluir o problema estrutural como uma restri¸c˜ao adicional do enunciado de oti-
miza¸c˜ao e incluir as vari´aveis de resposta estrutural no conjunto de vari´aveis de projeto (Dias et al., 1998; Herskovits
et al., 1998). Entretanto, essa formula¸c˜ao ´e aplic´avel apenas a problemas estruturais revers´ıveis e n˜ao ser´a utilizada neste
1.3. Defini¸c˜ao do Problema 29
Os problemas estruturais a serem considerados neste trabalho s˜ao tema do Cap´ıtulo 2 deste texto e s˜ao descritos genericamente pelo enunciado variacional misto (2.78)
DΠ (s) [δs] = a (x, δx) + b1(δx, p)− l (δx) = 0 b2(x, δp)− g (p, δp) = 0 , sendo s = x p
, x campo vetorial de coordenadas espaciais e p campo escalar de press˜ao hidrost´atica. Observa-se que a (·, ·), b1(·, ·), b2(·, ·) e g (·, ·) s˜ao, geralmente, formas n˜ao-lineares.
Esse enunciado ´e uma forma matem´atica mais conveniente para tratar estruturas cujas proprie- dades f´ısicas de material incluem restri¸c˜oes internas, como ´e o caso da incompressibilidade e quasi- incompressibilidade, caracter´ısticas de s´olidos reais sujeitos `a deforma¸c˜ao finita.
Uma classe importante de algoritmos de solu¸c˜ao de problemas descritos pelo enunciado (1.1), a qual se destaca pela sua eficiˆencia, requer as derivadas de primeira ordem dos funcionais de perfor- mance (Bazaraa et al., 1993; Belegundu e Arora, 1985a; Belegundu e Arora, 1985b; Luenberger, 1989). M´etodos de ordem zero (que utilizam somente os valores dos funcionais) s˜ao recomendados apenas para os casos nos quais a informa¸c˜ao de primeira ordem n˜ao pode ser obtida de forma confi´avel ou quando os funcionais s˜ao n˜ao-diferenci´aveis devido a seu custo computacional extremamente alto (Haslinger e Jedelsk´y, 1996; Huang e Arora, 1997).
A rela¸c˜ao impl´ıcita entre funcionais e vari´aveis de projeto atrav´es das equa¸c˜oes diferenciais do problema estrutural, cuja solu¸c˜ao em casos pr´aticos de interesse requer tratamento num´erico, exige me- todologia espec´ıfica de determina¸c˜ao de gradientes, denominada de an´alise de sensibilidade de projeto. As referˆencias citadas na Se¸c˜ao 1.2.2 mostram que foram desenvolvidas formula¸c˜oes de an´alise de sensibilidade para a grande parte das n˜ao-linearidades estruturais. Por´em, um dos problemas n˜ao consi- derados em an´alise de sensibilidade e otimiza¸c˜ao foi a hiperelasticidade n˜ao-linear quasi-incompress´ıvel pelo MEF. Quando esse m´etodo foi aplicado, tratou-se apenas a restri¸c˜ao de incompressibilidade (Tor- torelli, 1992; Choi e Duan, 2000), muito severa e menos realista. Al´em disso, foram aplicados elementos finitos simples, nos quais o campo de deslocamentos foi interpolado por quadril´ateros ou hexaedros line- ares. Formula¸c˜oes de quasi-incompressibilidade foram apenas consideradas em trabalhos com m´etodo meshfree RKPM (Grindeanu et al., 1998; Kim, 1999).
A quasi-incompressibilidade requer um enunciado variacional modificado e uma formula¸c˜ao mais precisa da fun¸c˜ao de densidade de energia de deforma¸c˜ao, a qual dificulta a deriva¸c˜ao de express˜oes de componentes de tens˜ao e de propriedades tangentes de rigidez. Formula¸c˜oes de an´alise de resposta mais apuradas (Chen e Pan, 1996; Chen et al., 1996; Chen et al., 1997a) n˜ao foram extendidas para an´alise de sensibilidade e otimiza¸c˜ao com o MEF.
Por outro lado, um aspecto muitas vezes negligenciado pela literatura consiste na coerˆencia entre a avalia¸c˜ao da sensibilidade e da t´ecnica de atualiza¸c˜ao da discretiza¸c˜ao de B (Bugeda e Oliver, 1993; Canales et al., 1993; Dufeu et al., 1997; Fancello, 1993; ¨Ozak¸ca et al., 1993; Younsi et al., 1996). A manuten¸c˜ao dessa coerˆencia tem influˆencia na taxa de convergˆencia real observada nos algoritmos de otimiza¸c˜ao de primeira ordem, os quais dependem do grau de precis˜ao dos gradientes dos funcionais de performance na vizinha¸ca de cada ponto do espa¸co de vari´aveis de projeto. Enquanto que no sentido mais estrito o campo de velocidades deveria sempre ser utilizado na atualiza¸c˜ao da malha, ´e ´obvio tamb´em que grandes altera¸c˜oes do dom´ınio podem causar graves distor¸c˜oes nos elementos, degradando a solu¸c˜ao da an´alise de resposta. Nesse caso, uma abordagem ´e interromper a an´alise, redefinir a malha e reiniciar o problema de otimiza¸c˜ao (Choi e Chang, 1994), o que ´e muito restritivo. De outro lado, est˜ao as t´ecnicas nas quais a malha ´e atualizada sem a utiliza¸c˜ao do campo de velocidades tais como a gera¸c˜ao de uma nova malha para o dom´ınio modificado (possivelmente aplicando-se an´alise adapt´avel) ou t´ecnicas de suaviza¸c˜ao de Laplace, cujo objetivo ´e garantir a qualidade da discretiza¸c˜ao. Nesses casos, o comportamento dos funcionais de performance, principalmente na vizinhan¸ca do ponto de avalia¸c˜ao da sensibilidade fica dissociada da previs˜ao linear fornecida pela express˜ao de sensibilidade. Fora dessa vizinhan¸ca, por´em, a informa¸c˜ao de primeira ordem deixa de ser determinante.
Do ponto de vista de uma ferramenta de otimiza¸c˜ao, ´e importante dispor das duas estrat´egias de atualiza¸c˜ao de discretiza¸c˜ao, determinando apenas quando cada uma ´e aplic´avel. Respostas para essas quest˜oes passam pela determina¸c˜ao de campos de velocidades com boas caracter´ısticas para atu- aliza¸c˜ao de discretiza¸c˜oes de dom´ınio, recursos de gera¸c˜ao autom´atica de malhas e t´ecnicas eficientes de verifica¸c˜ao de qualidade de discretiza¸c˜ao. No caso de problemas n˜ao-lineares, t´ecnicas a priori s˜ao mais convenientes devido ao custo da an´alise adapt´avel.
1.3. Defini¸c˜ao do Problema 31
1.3.2 Desenvolvimento de Sistema para An´alise de Resposta, An´alise de Sensibili-
dade e Otimiza¸c˜ao
O desenvolvimento de c´odigo razoavelmente gen´erico para an´alise de resposta de estruturas in- cluindo comportamento n˜ao-linear ´e tarefa complexa. ´E preciso considerar diversas op¸c˜oes de tipos de elementos, materiais, cinem´atica, restri¸c˜oes internas, condi¸c˜oes de contorno, pontos materiais e tipos de algoritmos de solu¸c˜ao. Op¸c˜oes diferentes podem estar presentes num mesmo problema, sendo al- gumas conhecidas em tempo de compila¸c˜ao e outras apenas no momento da execu¸c˜ao. O recurso de otimiza¸c˜ao requer ainda an´alise de sensibilidade, algoritmo de programa¸c˜ao matem´atica, manipula¸c˜ao de descri¸c˜ao geom´etrica, c´alculo de campos de velocidades, atualiza¸c˜ao de malhas e de condi¸c˜oes de con- torno. Somam-se tamb´em preocupa¸c˜oes com extensibilidade, mantenabilidade e, de modo cr´ıtico, com a eficiˆencia num´erica pois certos casos de otimiza¸c˜ao de estruturas n˜ao-lineares podem ser classificados como problemas de computa¸c˜ao de alta performance. O investimento em tempo para implementar e integrar todos esses recursos ´e alto, sendo necess´ario desenvolver o sistema numa seq¨uˆencia de comple- xidade crescente.
Um engano dos primeiros pesquisadores de an´alise de sensibilidade foi considerar desnecess´ario investir em desenvolvimento de c´odigo. Uma das premissas iniciais era que a an´alise de sensibilidade consistia num p´os-processamento da an´alise de resposta de um programa de an´alise de resposta qualquer, considerado como caixa-preta. Essa hip´otese n˜ao se mostrou totalmente verdadeira em problemas n˜ao-lineares, observando-se um per´ıodo relativamente longo entre trabalhos te´oricos pioneiros, tais como (Ryu et al., 1985; Choi e Santos, 1987) que j´a apresentaram conjunto bastante completo de conclus˜oes, e a publica¸c˜ao de resultados num´ericos importantes. Como citado anteriormente, a an´alise de sensibilidade de problemas n˜ao-lineares irrevers´ıveis n˜ao pode ser feita com pacotes fechados pois ´e necess´ario ter acesso a todos os detalhes da execu¸c˜ao da an´alise de resposta. Al´em disso, a execu¸c˜ao eficiente da an´alise de sensibilidade requer que esta seja feita concorrentemente `a an´alise de resposta.
Atualmente, desconsideram-se pr´aticas comprovadas de engenharia de software, as quais possibili- tariam acelerar o desenvolvimento de sistemas atrav´es da aplica¸c˜ao de recursos, bibliotecas e frameworks j´a desenvolvidos, eficientes e de disponibilidade p´ublica, principalmente para atividades acadˆemicas. Tais t´ecnicas de desenvolvimento orientam a organiza¸c˜ao e a compresens˜ao da arquitetura de sistemas, partindo-se de uma vis˜ao global de distribui¸c˜ao de responsabilidades entre m´odulos, identifica¸c˜ao de necessidades e possibilidades de reutiliza¸c˜ao de c´odigos, padr˜oes e bibliotecas.
Neste trabalho s˜ao consideradas apenas n˜ao-linearidades revers´ıveis. Por´em, para que os resul- tados e conclus˜oes aqui obtidos sejam extens´ıveis para problemas irrevers´ıveis, tornou-se necess´ario investir parte do trabalho em t´ecnicas espec´ıficas de desenvolvimento de c´odigo, especialmente na de- fini¸c˜ao de uma arquitetura gen´erica que pudesse ser extendida para outros tipos de problemas. Apenas o investimento em arquitetura permite alcan¸car as promessas de alta produtividade de desenvolvimento de c´odigo prometidas pela tecnologia de orienta¸c˜ao por objetos.
A utiliza¸c˜ao recente de linguagens de modelagem, tais como a UML, em publica¸c˜oes de com- puta¸c˜ao cient´ıfica n˜ao necessaricamente significa uma ˆenfase ou preocupa¸c˜ao maior com arquitetura de sistemas. Arquitetura n˜ao pode ser confundida com modelagem, ainda que parte da arquitetura seja descrita com o aux´ılio de modelos. Al´em disso, grande parte dos trabalhos trazem apenas diagramas de classes, os quais s˜ao diagramas est´aticos, neglicenciando descri¸c˜oes dinˆamicas que realmente descrevam o funcionamento dos sistemas. A ado¸c˜ao de um processo formal de desenvolvimento de software ´e, em geral, a forma mais conveniente de orientar o trabalho na dire¸c˜ao da defini¸c˜ao da arquitetura do sistema, utilizando corretamente os recursos de desenvolvimento dispon´ıveis e produzindo resultados de forma planejada e previs´ıvel.