Requisitos Pr´aticos para Campos de Velocidades

Como discutido acima, a discretiza¸c˜ao do dom´ınio de um novo projeto deve ser obtida, sempre que poss´ıvel, a partir da discretiza¸c˜ao corrente aplicando-se (3.9). Al´em da justificativa te´orica, efeitos n˜ao- lineares imprevistos nos funcionais de performance do sistema podem surgir de altera¸c˜oes na topologia da malha ou da precis˜ao do gerador de malhas. Observa-se que a precis˜ao aceita por um gerador

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de malhas externo em seus dados de entrada pode ser limitada e menor que a perturba¸c˜ao imposta ao dom´ınio pelo algoritmo de otimiza¸c˜ao: se a perturba¸c˜ao do dom´ınio ´e menor que a precis˜ao do gerador, este passa a fornecer sempre a mesma discretiza¸c˜ao independentemente da geometria fornecida, causando mudan¸ca no comportamento esperado do funcional e perda de continuidade do funcional no limite τ _{→ 0, como observado na Figura 4.1}2. Como a informa¸c˜ao de sensibilidade passa a n˜ao coincidir com as avalia¸c˜oes dos funcionais, a etapa de busca linear do algoritmo de minimiza¸c˜ao ´e bastante prejudicada, exigindo grande n´umero de avalia¸c˜oes da performance do sistema, o que est´a sempre associado `a solu¸c˜ao de sistemas lineares de grandes dimens˜oes no caso de discretiza¸c˜oes em elementos finitos. A ocorrˆencia de buscas lineares com baixa taxa de convergˆencia efetiva3 pode ser considerada como a principal fonte de custo computacional num procedimento de otimiza¸c˜ao.

Figura 4.1: Comportamento num´erico de funcionais de performance determinados a partir de modelos de elementos finitos.

Dessa forma, o campo de velocidades se torna tamb´em uma ferramenta de gera¸c˜ao de malhas e, obviamente, o principal requisito pr´atico para qualquer procedimento desse tipo est´a relacionado `a qualidade dos elementos produzidos. Assumindo que a malha inicial tenha qualidade tal que forne¸ca resultados corretos de an´alise de resposta e sensibilidade, o campo de velocidades deve permitir que essa qualidade n˜ao seja degradada para algum intervalo de modifica¸c˜ao das vari´aveis de projeto. ´E

2_{Um procedimento usual e eficiente de busca linear consiste iniciar-se com um passo grande e seguidamente reduzi-lo}

sempre que os projetos sejam reprovados nos crit´erios do algoritmo de minimiza¸c˜ao (Evsukoff, 1992; Silva, 1997). A perda

da continuidade do funcional, torna imprevis´ıvel o comportamento de algoritmos de determina¸c˜ao de passo ´otimo baseadas

na interpola¸c˜ao dos valores dos funcionais na dire¸c˜ao de busca.

3_{A taxa de convergˆencia te´orica geralmente ´e determinada considerando funcionais expl´ıcitos. No caso de funcionais}

impl´ıcitos associados a resultados de m´etodos num´ericos, a convergˆencia efetiva depender´a do comportamento num´erico

claro por´em que, qualquer que seja o campo de velocidades, sempre haver´a distor¸c˜ao da discretiza¸c˜ao para grandes altera¸c˜oes do dom´ınio e portanto a necessidade de regenera¸c˜ao da malha.

(a) Malha n˜ao perturbada. (b) Perturba¸c˜ao me-

nor que a espessura da camada.

(c) Perturba¸c˜ao maior que a es-

pessura da camada.

Figura 4.2: Perturba¸c˜oes de malha de elementos utilizando campo de velocidades definido em camada unit´aria de elementos adjacente ao contorno parametrizado.

Quando um gerador autom´atico de malhas est´a integrado ao ambiente de otimiza¸c˜ao, a malha pode ser regenerada automaticamente, o que, no entanto, restringe os tipos de elementos que podem ser usados4. Se um gerador n˜ao est´a dispon´ıvel ou n˜ao pode ser aplicado, o processo de otimiza¸c˜ao deve ser interrompido e a malha reconstru´ıda. Campos de velocidades de maior qualidade permitem que os intervalos de modifica¸c˜ao das vari´aveis sejam maiores sem a necessidade de regenera¸c˜ao da malha, sendo esse o caso de campos de velocidades definidos em todo interior do dom´ınio (Yao e Choi, 1989). Campos definidos em apenas uma camada de elementos adjacente ao contorno parametrizado (Fancello, 1993; Seong e Choi, 1987; Silva, 1997) permitem apenas altera¸c˜oes da ordem da espessura da camada (observar as Figuras 4.2(a) e 4.2(b)). ´E importante observar, entretanto, que a possibilidade – maior ou menor – de distorcer os elementos da malha ao se aplicar (3.9) n˜ao tem nenhuma influˆencia na precis˜ao dos c´alculos de sensibilidade, os quais s˜ao efetuados na configura¸c˜ao corrente e portanto antes de qualquer modifica¸c˜ao na malha.

Uma outra exigˆencia est´a relacionada com a manuten¸c˜ao da consistˆencia do dom´ınio do proble-

4_{Geradores autom´aticos geralmente est˜ao restritos a tetraedros ou `a combina¸c˜ao de triˆangulos e quadril´ateros em}

dom´ınios bidimensionais. Entretanto, modelos de estruturas reais muitas vezes incluem associa¸c˜oes de barras, vigas e

equa¸c˜oes de restri¸c˜ao, al´em dos elementos bi e tridimensionais. Tais associa¸c˜oes dificilmente podem ser reconstru´ıdas sem

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ma, ou seja, a seq¨uˆencia de transforma¸c˜oes do dom´ınio discretizado deve coincidir com a seq¨uˆencia de transforma¸c˜oes do dom´ınio cont´ınuo. Formalmente, a transforma¸c˜ao de dom´ınio Tτ induzida pelo campo de velocidades definida em (3.3), deve ser tal que _{B → T}◦ τ(

◦

B) e ∂B → Tτ(∂B) seja respeitado em todos n´os da malha, sendo de especial importˆancia que os n´os do contorno da malha sempre se mantenham sobre o contorno geom´etrico. Considerando que ∂_{B ´e definido de forma param´etrica,} uma solu¸c˜ao poss´ıvel ´e impor que n´os sobre o contorno mantenham sempre as mesmas coordenadas param´etricas durante as itera¸c˜oes de otimiza¸c˜ao (Choi e Chang, 1994). Observa-se, por´em, que isso implica em restringir os movimentos dos n´os localizados sobre o contorno, limitando as possibilidades de parametriza¸c˜ao do problema de otimiza¸c˜ao. Por outro lado, empregando entidades NURBS na defini¸c˜ao de ∂_{B, adotando como vari´aveis as coordenadas de seus pontos de controle e aplicando t´ecnica de} recupera¸c˜ao de coordenadas param´etricas, tem-se recursos bastante flex´ıveis de defini¸c˜ao de vari´aveis de projeto associadas `a geometria. Garante-se ainda coincidˆencia entre malha e geometria em ∂_B atrav´es da pr´opria formula¸c˜ao de campos de velocidade5, sem a necessidade de se impor controles sobre os n´os do contorno.

Uma preocupa¸c˜ao adicional de consistˆencia, n˜ao relacionada diretamente aos campos de velocida- des, consiste em garantir que Tτ n˜ao degenere o dom´ınioB. A ado¸c˜ao de uma parametriza¸c˜ao correta deB, incluindo-se a´ı a defini¸c˜ao conveniente de limites m´aximos e m´ınimos para as vari´aveis de projeto ´e o procedimento recomendado para se evitar as ocorrˆencias de perda de consistˆencia geom´etrica do dom´ınio cont´ınuo. Se a perda de consistˆencia geom´etrica ocorre devido a incorre¸c˜oes na parametriza¸c˜ao, torna-se imposs´ıvel prosseguir com o procedimento de otimiza¸c˜ao. Por´em, se a geometria continua con- sistente e apenas houve perda de consistˆencia na malha, ainda ´e poss´ıvel continuar a seq¨uˆencia de otimiza¸c˜ao se houver recursos autom´aticos de reconstru¸c˜ao da malha, como observado na Figura 4.2(c), na qual a perda de consistˆencia ocorre apenas na discretiza¸c˜ao.

Tamb´em do ponto de vista do desenvolvimento de um ambiente de otimiza¸c˜ao estrutural, ´e funda- mental que a t´ecnica de gera¸c˜ao de campos de velocidades no interior de_{B seja totalmente autom´atica,} n˜ao exigindo nenhuma intera¸c˜ao com o usu´ario durante o ciclo de otimiza¸c˜ao. A determina¸c˜ao de cam- pos de velocidades deve ser ent˜ao baseada num algoritmo gen´erico e reutiliz´avel cujas entradas sejam somente a discretiza¸c˜ao deB e os campos de velocidades no contorno em toda seq¨uˆencia de geometrias produzidas num processo de otimiza¸c˜ao. Por ´ultimo, busca-se tamb´em eficiˆencia computacional como

em qualquer procedimento num´erico.