An´alise Modal Est´atica

Como j´a discutido na introdu¸c˜ao deste cap´ıtulo, a an´alise modal est´atica foi um dos primeiros m´etodos de an´alise em regime permanente do problema de instabilidade de tens˜ao (Gao et al., 1992), e se baseia na an´alise dos autovalores ou modos pr´oprios da matriz Jacobiana reduzida reativa do m´etodo de Fluxo de carga de Newton-Raphson.

  ∆P ∆Q  =   ∂gP(V,θ) ∂θ ∂gP(V,θ) ∂V ∂gQ(V,θ) ∂θ ∂gQ(V,θ) ∂V     ∆θ ∆V  =   JP,θ JP,V JQ,θ JQ,V     ∆θ ∆V   (2.4)

Considerando ∆P = 0 e manipulando (2.4) de forma a obter ∆Q = J_RQ∆V ´e poss´ıvel obter a express˜ao para a Jacobiana reduzida reativa J_RQ:

J_RQ= JQ,V − JQ,θJP,θ−1JP,V (2.5)

A matriz J_RQ contem as sensibilidades das potˆencias reativas em rela¸c˜ao `as magnitudes das tens˜oes nas barras do tipo PQ. Os elementos de sua diagonal representam a sensibilidade que a

potˆencia reativa injetada em uma barra tem em rela¸c˜ao `a magnitude da tens˜ao na mesma barra, enquanto os elementos fora da diagonal representam as influˆencias nas magnitudes das tens˜oes das demais barras `a varia¸c˜ao de potˆencia reativa de uma outra barra.

Al´em disso, ao se analisar o comportamento da matriz J_RQao se construir a curva PV, a mesma se torna singular no ponto em que acontece a instabilidade de tens˜ao (da Silva et al., 2002). A analise modal est´atica, procura estudar os autovalores e autovetores de J_RQ nas proximidades do ponto de colapso de tens˜ao de forma a obter informa¸c˜oes a respeito das barras mais sens´ıveis a varia¸c˜oes da magnitude de tens˜ao quando h´a altera¸c˜ao da potˆencia reativa da mesma.

Para se realizar a an´alise, faz-se a decomposi¸c˜ao em autovalores e autovetores obtendo as matrizes de autovalores e os autovetores associados. Cada autovalor ´e chamado de modo do sistema e para cada modo do sistema existe um conjunto de autovetores associado.

Ap´os a decomposi¸c˜ao da matriz ela pode ser expressa por (Kundur, 1994):

J_RQ= ΞΛΨ (2.6)

onde Ξ ´e a matriz dos autovetores direitos, Λ ´e a matriz dos autovalores e Ψ ´e a matriz dos autovetores esquerdos.

Desta maneira, em (2.6) a matriz de autovalores Λ ∈ Cn_{× C}n _{´e uma matriz diagonal cujos}

elementos de sua diagonal λi ∈ C s˜ao os autovalores da decomposi¸c˜ao da matriz JRQ e a cada

autovalor αi tem-se associado um autovetor direito ξi ∈ Rn × 1 que comp˜oe a matriz Ξ e um

autovetor esquerdo ψi ∈ 1 × Rn que comp˜oe a matriz Ψ.

Ξ =      | | | ξ1 · · · ξi · · · ξn | | |      Λ =            α1 0 0 0 0 0 . .. 0 0 0 0 0 αi 0 0 0 0 0 . .. 0 0 0 0 0 αn            Ψ =            −− ψ1 −− ... −− ψi −− ... −− ψn −−           

Da express˜ao (2.6) ´e poss´ıvel escrever ∆Q = ΞΛΨ∆V e utilizando algumas propriedades dessas matrizes ´e poss´ıvel obter (J_RQ)−1_:

Esta express˜ao pode ser escrita da seguinte forma: ∆V = n X i=1 ξiψi αi ∆Q (2.8)

Analisando a express˜ao (2.8) ´e poss´ıvel notar que a sensibilidade dos desvios das magnitudes de tens˜ao das barras ∆V com rela¸c˜ao aos desvios de potˆencia reativa ∆Q s˜ao inversamente pro- porcionais aos modos da matriz (J_RQ)−1_{. Al´em disso, a sensibilidade recebe uma contribui¸c˜ao de}

todos os modos, sendo que os modos que mais contribuem para o valor da sensibilidade s˜ao os que possuem magnitudes mais pr´oximas de zero.

Utilizando a propriedade Ξ−1 _{= Ψ, ´e poss´ıvel reescrever a equa¸c˜ao (2.7) de forma a obter uma}

express˜ao que relaciona o vetor de varia¸c˜oes de tens˜ao modal com o vetor de varia¸c˜oes de potˆencias reativas modal:

Ψ∆V = Λ−1Ψ∆Q _{⇒ v = Λ}−1q (2.9)

No qual v = Ψ∆V ´e o vetor de varia¸c˜oes de tens˜ao modal e q = Ψ∆Q ´e o vetor de varia¸c˜oes de potˆencias reativas modal.

Analisando a express˜ao (2.9) pode se observar que a sensibilidade entre as varia¸c˜oes das tens˜oes modais em rela¸c˜ao `a varia¸c˜oes das potˆencias reativas modais ´e inversamente proporcional `a magnitude dos autovalores da matriz (J_RQ)−1_{, uma vez que Λ}−1 _{´e uma matriz diagonal. Al´em}

disso, ´e poss´ıvel concluir que enquanto o valor da magnitude dos autovalores αi forem positivos,

uma varia¸c˜ao positiva na potˆencia reativa modal acarretar´a em uma varia¸c˜ao positiva na tens˜ao modal, indicando que o sistema continua est´avel em termos de tens˜ao.

Os modos cujas magnitudes est˜ao mais pr´oximas de zero s˜ao chamados de modos cr´ıticos, e quando a magnitude de algum modo atinge o valor zero, a tens˜ao modal colapsa pois uma pequena varia¸c˜ao finita na potˆencia reativa provoca uma mudan¸ca infinita na tens˜ao modal.

Pode-se particularizar a an´alise para cada barra, pode se considerar na express˜ao (2.8) o vetor ∆Q = ek, no qual o vetor elementar ek possui elementos nulos em todas as posi¸c˜oes exceto na

posi¸c˜ao k que ´e igual a 1. Desta forma o vetor ∆Q vai representar uma varia¸c˜ao de potˆencia reativa apenas na barra k, utilizando na express˜ao (2.8 obtˆem-se:

∆V = n X i=1 ξiψi,k αi (2.10)

A express˜ao (2.10) apresenta a sensibilidade da tens˜ao de todas as barras em rela¸c˜ao a uma varia¸c˜ao na potˆencia reativa de uma das barras, um procedimento semelhante pode ser utilizado para se obter a sensibilidade da tens˜ao em uma barra k em rela¸c˜ao `a varia¸c˜ao de potˆencia reativa na mesma barra, obtendo-se:

∆Vk ∆Qk = n X i=1 ξk,iψi,k αi (2.11) ´

E poss´ıvel observar pela express˜ao (2.11) que a sensibilidade n˜ao ´e capaz de fornecer informa- ¸c˜oes a respeito de cada modo que participa do colapso de tens˜ao, mas sim do efeito combinado de todos os modos.

Dependendo das caracter´ısticas da matriz (J_RQ)−1 _{quanto `a sua simetria, os autovalores e}

autovetores ter˜ao caracter´ısticas distintas. Por exemplo, se a matriz (J_RQ)−1 _{for sim´etrica, ent˜ao}

tanto os autovalores como os autovetores ser˜ao reais, al´em disso, os autovetores direito e esquerdo ser˜ao iguais.

As magnitudes dos modos da matriz J_RQ fornecem indicativos a respeito da distˆancia do ponto de opera¸c˜ao ao ponto de colapso de tens˜ao, entretanto quando ´e necess´ario saber a distˆancia do colapso em termos de aumento de demanda que o sistema ainda pode suportar, a informa¸c˜ao mais precisa ´e dada pela MET.

A an´alise modal ´e utilizada para se inferir qualitativamente a respeito da estabilidade de tens˜ao de um dado ponto de opera¸c˜ao, ou mesmo de fornecer informa¸c˜oes nas proximidades do colapso de tens˜ao a respeito das ´areas cr´ıticas do sistema (Bedoya et al., 2008) e sobre qual equipamento est´a contribuindo mais para o fenˆomeno.

Para a an´alise das ´areas cr´ıticas e identifica¸c˜ao dos equipamentos que mais contribuem no modo cr´ıtico dado um ponto de opera¸c˜ao, utiliza-se o fator de participa¸c˜ao da barra, que pode ser obtido da express˜ao (2.11):

F P Ri_k= ξk,iψi,k (2.12)

O fator de participa¸c˜ao da barra F P Ri

k representa a contribui¸c˜ao do modo i na sensibilidade

V-Q da barra k, seu tamanho ´e um indicativo da efic´acia das a¸c˜oes corretivas caso fossem aplicadas na barra em an´alise.

A equa¸c˜ao (2.12) descreve mais especificamente a express˜ao do fator de participa¸c˜ao reativo associado `a sensibilidade V-Q, das barras PQ. Os trabalhos (da Silva et al., 2000) e (da Silva

et al., 2002) apresentam uma generaliza¸c˜ao desse conceito introduzindo o fator de participa¸c˜ao ativo F P Ai

k, que representa a contribui¸c˜ao do modo i na sensibilidade θ-P da barra k.

O fator de participa¸c˜ao ativo pode ser obtido adotando um procedimento similar ao adotado para a obten¸c˜ao da matriz J_RQ, entretanto considerando agora que ∆Q = 0, obtendo:

J_RP = JP,θ− JP,VJ_Q,V−1 JQ,θ (2.13)

Os artigos (da Silva et al., 2000) e (da Silva et al., 2002) realizaram uma an´alise aprofundada a respeito do fator de participa¸c˜ao chegando `a varias conclus˜oes, sendo que algumas das mais importantes est˜ao listadas a seguir:

• As matrizes JRQ e JRP s˜ao singulares no mesmo ponto;

• Explicitou a influˆencia da potˆencia ativa no colapso de tens˜ao;

• As informa¸c˜oes das duas abordagens, ativa e reativa, s˜ao complementares;

• O F P A permite a an´alise de barras PV e PQ, possibilitando a determina¸c˜ao do fator de participa¸c˜ao ativo de geradores;

O m´etodo de an´alise modal e a utiliza¸c˜ao de fatores de participa¸c˜ao foram empregados em diversos estudos que envolviam o problema de estabilidade de tens˜ao, como por exemplo no ge- renciamento do congestionamento dos sistemas de transmiss˜ao (Kopcak et al., 2003), no despacho ´otimo de geradores e esquemas de corte de carga m´ınimo utilizando a margem de estabilidade de tens˜ao como crit´erio (Affonso et al., 2003). No trabalho (Omidi et al., 2009) os autores utilizam os fatores de participa¸c˜ao ativo e reativo como restri¸c˜ao para o problema de despacho de geradores, utilizando tamb´em capacitores shunt para aumento de suporte de reativos.

Uma das desvantagens do m´etodo de an´alise modal, ´e o fato de ele se basear num modelo linearizado do sistema, os resultados provenientes de sua utiliza¸c˜ao s˜ao validos em uma vizinhan¸ca pr´oxima do ponto de opera¸c˜ao em que as matrizes JP

R e J Q

R foram obtidas, desta forma caso

os modos do sistema sejam calculados num ponto de opera¸c˜ao distante do ponto de colapso, as conclus˜oes obtidas utilizando estes modos podem n˜ao ser confi´aveis para a an´alise dos modos envolvidos no colapso de tens˜ao.

Tendo em vista esta caracter´ıstica do m´etodo, o mesmo ´e utilizado para a obten¸c˜ao de dados mais precisos, para cada ponto de opera¸c˜ao, desta forma, uma pr´atica comum, ´e associar a cons- tru¸c˜ao de curvas PV, QV e nos pontos pr´oximos do ponto de colapso realizar a an´alise modal da matriz obtida com um carregamento pr´oximo do m´aximo admiss´ıvel antes que haja um colapso de tens˜ao.

Como as matrizes JP R e J

Q

R s˜ao fun¸c˜oes de v´arios fatores que caracterizam o sistema, como por

exemplo o carregamento, a topologia, os modelos de equipamentos considerados, para que se possa ter uma vis˜ao mais precisa sobre o comportamento dos modos do ponto de vista da estabilidade de tens˜ao, ´e necess´ario que diversas matrizes sejam obtidas, uma para cada ponto da curva PV ou QV.

Em (Kundur, 1994) ressalta-se o esfor¸co computacional ao se lidar com sistemas de grande porte. O elevado n´umero de barras torna o processo de decomposi¸c˜ao para encontrar os autovalores e autovetores bastante custoso. No entanto ´e citado tamb´em uma alternativa que consiste em encontrar somente os 5 ou 10 autovalores mais cr´ıticos, ou seja os com menor magnitude, e seus autovetores associados.

Desta forma ´e poss´ıvel reduzir o esfor¸co computacional e permitir um acompanhamento dos modos do sistema durante a constru¸c˜ao da curva PV, inclusive nas proximidades do ponto de colapso.