O fasor ´e uma importante ferramenta matem´atica utilizada para representar e possibilitar opera¸c˜oes de uma maneira mais simplificada de uma forma de onda cont´ınua do tipo senoidal utili- zando um n´umero complexo. Para um sinal cont´ınuo senoidal no tempo com frequˆencia constante e igual a ω0 = 2πf0, o mesmo pode ser representado por um n´umero complexo cuja magnitude
corresponde ao valor eficaz do sinal, e cuja fase corresponde `a fase do sinal no momento da medi¸c˜ao. A representa¸c˜ao fasorial das amostras do sinal ´e obtida utilizando-se a transformada discreta
de Fourier nas amostras obtidas pelos medidores (Phadke et al., 1983) (Phadke & Thorp, 2008). Aliado a esta informa¸c˜ao h´a o fato de se utilizar um sinal de referˆencia de tempo absoluto como por exemplo o (UTC Universal Time Coordinated), possibilitou que os fasores obtidos de locais geograficamente distantes pudessem utilizar uma referˆencia de tempo comum.
Desta forma, a precis˜ao da medida do valor da fase est´a condicionada aos intervalos de tempo entre os pulsos utilizados como referˆencia de tempo, assim por exemplo uma diferen¸ca de tempo de 1µs corresponde a 0,022 graus num sistema de 60 Hz e a 0,018 graus num sistema de 50 Hz.
No caso espec´ıfico das PMUs o sinal de sincronismo utilizado para servir de referˆencia para a obten¸c˜ao dos fasores ´e o pulso de clock do rel´ogio atˆomico utilizado pelo sistema de posicionamento global GPS, cuja precis˜ao ´e da ordem de micro segundos. O sistema de posicionamento global atualmente opera com 24 sat´elites em ´orbita, de forma que a qualquer momento pelo menos 4 deles s˜ao vis´ıveis de qualquer ponto da terra.
A posi¸c˜ao ´e obtida calculando-se o tempo que as respostas do sinal dos 4 sat´elites demoram para chegar no receptor, em rela¸c˜ao ao rel´ogio de precis˜ao interno ao receptor, al´em da informa¸c˜ao da posi¸c˜ao de cada um dos sat´elites bem como da velocidade de propaga¸c˜ao do sinal.
Uma PMU ´e capaz de fornecer n˜ao apenas os fasores da tens˜ao e da corrente, mas tamb´em a frequˆencia e a taxa de varia¸c˜ao de frequˆencia ROCOF (Rate Of Change Of Frequency). Nesta tese discutiremos os aspectos relativos somente aos fasores, entretanto as outras grandezas medidas possuem caracter´ısticas associadas a elas que s˜ao discutidas em detalhes nas diversas normas existentes na literatura.
Uma poss´ıvel representa¸c˜ao de um sinal senoidal cont´ınuo ´e apresentado em (4.1), no qual ´e poss´ıvel observar a dependˆencia com o tempo tanto da amplitude XM(t) do sinal como da
frequˆencia f (t) = g(t) + f0, em que g(t) representa uma fun¸c˜ao da frequˆencia medida com o tempo
e f0 ´e a frequˆencia nominal do sistema.
x(t) = XM(t) cos(2π ˆ f (t)dt + φ) = XM(t) cos(2π ˆ (g(t) + f0)dt + φ) = XM(t) cos(2πf0t + (2π ˆ g(t)dt + φ)) (4.1)
A representa¸c˜ao por sincrofasores para a forma de onda (4.1) ´e dada por:
~
X(t) = X√M(t) 2 e
j(2π´ g(t)dt+φ) (4.2)
Considerando um caso especial em que a amplitude do sinal ´e constante e a fun¸c˜ao da frequˆen- cia com o tempo ´e contante g(t) = ∆f = f − f0, o sincrofasor correspondente ´e:
~
X(t) = X√M 2e
j(2π∆f t+φ) (4.3)
Analisando-se a express˜ao (4.3) ´e poss´ıvel notar certas particularidades na representa¸c˜ao por sincrofasores:
• O sincrofasor gira no plano complexo a uma taxa uniforme ∆f.
• Se a frequˆencia do sinal f for diferente da frequˆencia nominal e menor que 2f0 1, ent˜ao
um conjunto de sincrofasores obtidos em intervalos de tempo regulares T0 = f10, apresentar˜ao
magnitude constante e os valores das fases mudam uniformemente a uma taxa de 2π(f −f0)T0.
• O sincrofasor ´e uma fun¸c˜ao do tempo, deste modo, seu valor ir´a refletir mudan¸cas nos parˆame- tros do sinal medido. Estas mudan¸cas s˜ao consideradas dentro dos algoritmos de estima¸c˜ao do fasor.
O IEEE elaborou uma norma para uniformizar e padronizar os requisitos b´asicos dos equipa- mentos de medi¸c˜ao e dos protocolos de comunica¸c˜ao, as defini¸c˜oes e termos relacionados `a medi¸c˜ao e os crit´erios para a avalia¸c˜ao da qualidade dessa medi¸c˜ao.
A primeira norma foi publicada em 1995 (IEEE Power Engineering Society, 1995). Esta norma foi revisada em 2005 (IEEE Power Engineering Society, 2006), e incluiu, dentre outras mudan¸cas, um crit´erio para a avalia¸c˜ao da qualidade do fasor medido. Este crit´erio permanece at´e hoje na ´
ultima vers˜ao da norma.
A referˆencia (Sykes et al., 2007) apresenta uma revis˜ao dos conceitos desenvolvidos pela revis˜ao da norma de 2005, e em especial uma an´alise da estima¸c˜ao do fasor baseado em transformadas de Fourier quando o sistema opera em uma frequˆencia diferente da nominal, al´em de propor um
1O c´alculo de fasores para frequˆencias fora da nominal gera um erro acumulativo conhecido como vazamento
algoritmo para a corre¸c˜ao do valor do fasor. O fato do sistema poder transitar de uma condi¸c˜ao de regime para outra, e o sincrofasor obtido (4.3) tamb´em ser fun¸c˜ao do tempo, fazem com que os algoritmos utilizados em sua medi¸c˜ao possuam alguma estrat´egia para lidar com o fato de o sistema n˜ao estar exatamente na frequˆencia nominal.
A referˆencia (Martin et al., 2008) realiza uma an´alise da norma de 2005, ressaltando al´em das caracter´ısticas dos sincrofasores durante transit´orios eletromagn´eticos e eletromecˆanicos, a influˆencia de sinais de outras frequˆencias e da sobreposi¸c˜ao dos espectros devido ao processo de amostragem. Al´em disso, a referˆencia faz alus˜ao `as diversas poss´ıveis aplica¸c˜oes das PMUs para a estima¸c˜ao de estado, an´alise de instabilidade de tens˜ao, margem de capacidade de transferˆencia transit´oria, c´alculo de parˆametros de linhas de transmiss˜ao, sistemas de controle e prote¸c˜ao em tempo real, al´em de outras aplica¸c˜oes.
Uma revis˜ao mais recente dividiu a norma em duas partes, uma que trata das quest˜oes relaci- onadas `a sua utiliza¸c˜ao para a medi¸c˜ao (IEEE Power Engineering Society, 2011a), e a outra parte trata das quest˜oes envolvidas na transferˆencia de dados (IEEE Power Engineering Society, 2011b).