Ambientes de Geometria Dinâmica

Os softwares de geometria dinâmica não oferecem apenas a possibilidade de efetuar qualquer construção geométrica de modo mais rápido e preciso do que no ambiente papel&lápis, mas também a possibilidade de movimentar e modificar os desenhos, permitindo uma visualização de

propriedades e relações geométricas. Um representante destes softwares, relativamente difundido no Brasil, é o software Cabri-Géomètre.

O Cabri-géomètre, segundo Laborde (1993), apresenta duas características importantes:

♣ a coexistência de primitivas de desenho puro (objetos criados a partir de pontos livres que correspondem, grosso modo, às ferramentas do menu de criação, por exemplo, “ponto”, “reta”, “segmento”, “circunferência”, etc...) e de primitivas geométricas (aquelas que permitem traçar um objeto exprimindo propriedades ou relações geométricas, como “reta perpendicular”, “mediatriz”, “ponto médio”, etc...);

♣ a manipulação direta do desenho, ou seja, a possibilidade de manipular, com o auxílio do mouse, os objetos representados na tela. Essa manipulação é caracterizada essencialmente pela possibilidade de movimentação ou deslocamento de elementos constitutivos dessas representações (o arrastar).

Se uma representação é feita usando as primitivas de desenho puro, isto é, de modo aproximativo, ela perde suas propriedades espaciais aparentes em seu estado original quando deslocamos um de seus elementos de base. Tais construções são, por esta razão, consideradas como construções moles. Se a representação for produzida por meio do uso de primitivas geométricas, que permitem expressar relações e propriedades matemáticas, pode ser considerada como uma construção robusta.

Para melhor ilustrar a diferença entre construções moles e robustas, apresentamos na figura 2.11 dois triângulos retângulos MAR e CÉU construídos no Cabri. O primeiro, triângulo MAR, foi construído por meio de uma primitiva de desenho puro, a ferramenta “Triângulo” e, em seguida, “arrumado” por meio do deslocamento de seus vértices, de forma a se obter um ângulo de 90º . Para o segundo triângulo CÉU, foi utilizada a primitiva

geométrica “reta perpendicular” a um segmento inicial que representa um de seus lados, a fim de garantir a propriedade do triângulo retângulo. Utilizando a ferramenta de verificação “Perpendicular?”, pode-se observar se os catetos dos dois triângulos são perpendiculares entre si, e em ambos os casos, a resposta fornecida por Cabri é positiva.

Figura 2.11: Construção de objetos perpendiculares

Os objetos têm a mesma aparência, mas movimentando um dos vértices livres de cada triângulo, verificamos que o primeiro não mantém a relação de perpendicularidade entre os catetos (construção mole), enquanto que o segundo, construído com a primitiva geométrica “Reta perpendicular” conserva esta propriedade, sendo assim, uma construção robusta.

Figura 2.12: Verificação da robustez da construção

A dualidade do emprego das primitivas de desenho puro e das primitivas geométricas desenvolve o conceito de figura ao facultar a identificação e a elaboração de construções robustas. Já no ambiente papel&lápis, como não é

possível manipular a representação deslocando seus elementos, a verificação é feita exclusivamente pela “leitura” perceptiva do aluno, que pode ou não justificar as etapas usadas durante o traçado. O arrastar das representações feitas na tela do Cabri, tanto moles quanto robustas, podem explicitar as relações e os conceitos que estão em jogo; a manipulação direta resulta no acesso a uma classe de desenhos, o que pode colocar em evidência as propriedades invariantes de tais representações. Este procedimento favorece, então, um trabalho com a figura e não só com o desenho.

Assim, em ambientes informatizados como o do Cabri, conceitos geométricos podem ser geralmente construídos com equilíbrio conceitual e figural porque há um desenvolvimento da possibilidade de percepção das diferentes representações de uma mesma situação, ou de controle das configurações geométricas, o que leva à observação e identificação das propriedades envolvidas e à descoberta de outras mais.

Um dos principais aspectos didáticos que destacamos na utilização dos softwares de geometria dinâmica refere-se à construção de desenhos de objetos, quando o objetivo é o domínio de determinados conceitos por meio de construções. Aliar a parte “concreta” dos conceitos envolvidos, à sua construção (ou ainda a partir de desenhos prontos feitos pelo professor), e descobrir invariantes a partir da experimentação e manipulação de tais representações podem, em um segundo momento, favorecer o trabalho com provas ou justificativas matemáticas dos resultados obtidos experimentalmente.

O uso do “desenho em movimento” pelos alunos possibilita a manipulação do concreto. Essa manipulação, ao evoluir para uma manipulação abstrata, leva os sujeitos a níveis mentais superiores de dedução e rigor e, desta forma, à compreensão da natureza do raciocínio matemático.

Com a manipulação direta de objetos geométricos, o Cabri permite que a geometria se transforme no estudo das propriedades invariantes desses objetos enquanto seus componentes são manipulados na tela: a identificação de uma propriedade geométrica torna-se a descrição de um fenômeno

geométrico acessível à observação nesse novo campo de experimentação (Laborde, 1993).

Assim, o significado de desenho muda, nesses ambientes de geometria dinâmica, uma vez que não nos referimos mais a um único objeto, mas sim a uma classe de objetos que compartilham as mesmas propriedades e características. Gravina&Santarosa (1999, p. 78), em seu artigo intitulado “Aprendizagem da Matemática em Ambientes Informatizados”, cita Hebenstreint (1987): "o computador permite criar um novo tipo de objeto - os objetos ‘concreto-abstratos’. Concretos porque existem na tela do computador e podem ser manipulados; abstratos por se tratarem de realizações feitas a partir de construções mentais”.

Segundo Gravina&Santarosa (1999), podemos dizer que as novas tecnologias oferecem “instâncias físicas” em que a representação passa a ter caráter dinâmico, e isto tem reflexos nos processos cognitivos, particularmente no que diz respeito às concretizações mentais. Um mesmo objeto matemático passa a ter representação mutável, diferentemente da representação estática do tipo permitido pelo "lápis&papel" ou "giz e quadro-negro". O dinamismo é obtido por meio de manipulação direta sobre as representações que se apresentam na tela do computador.

Esse dinamismo e as diferentes maneiras de manipular diretamente as representações na tela do computador foram o foco principal de uma pesquisa que analisa os diferentes modos de “arrastar” sob um ponto de vista cognitivo – é o que passamos a detalhar a seguir.