Segunda sessão: Apresentação e análise prévia

A segunda sessão é composta por três atividades. Estas atividades visam a exploração da Geometria Hiperbólica no modelo de disco de Poincaré, e levam os sujeitos à formulação de conjecturas baseadas em suas explorações empíricas.

Atividade 1

Abaixo estão enunciados alguns teoremas da Geometria Euclidiana. Utilizando o Cabri- géomètre, verifique quais deles também são válidos na Geometria Hiperbólica, justificando sempre sua resposta.

1. A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º . 2. Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. 3. Os ângulos internos de um triângulo eqüilátero medem 60º .

4. Teorema de Pitágoras: em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

5. Todo triângulo inscrito numa semi-circunferência é retângulo. 6. Podemos inscrever uma circunferência em qualquer triângulo dado.

7. O ponto de intersecção das medianas divide cada uma delas na razão 2 para 1 a partir do vértice.

Quadro 3.3: Atividade 1 da segunda sessão

O objetivo principal da atividade 1 é verificar se os professores apresentam justificativas para o fato de alguns teoremas da Geometria Euclidiana serem (ou não) válidos na Geometria Hiperbólica. Dentre os teoremas que não são válidos na Geometria Hiperbólica, alguns podem ser

considerados enunciados equivalentes ao quinto postulado de Euclides (incluindo alguns da apresentação inicial) e outros enunciados que fazem uso do quinto postulado de forma não direta. Espera-se, assim, que os professores relacionem ou identifiquem a equivalência desses enunciados, para conseguirem justificar a não validade na Geometria Hiperbólica. Espera-se também que os sujeitos percebam que os teoremas válidos na Geometria Hiperbólica não dependem do quinto postulado.

Para a justificativa de que em um triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes utilizam-se os casos de congruência de triângulos, LLL ou LAL, que fazem parte das proposições da Geometria Absoluta. E a justificativa para o teorema 6 “podemos inscrever uma circunferência em qualquer triângulo dado”, é feita a partir da definição de bissetriz, e pela prova de que em todo triângulo as bissetrizes dos ângulos internos se encontram num único ponto, chamado incentro.

Os teoremas 1, 3, 4, 5 e 7 não são verdadeiros na Geometria Hiperbólica, o que pode ser justificado pelo fato de suas demonstrações utilizarem diretamente ou indiretamente o quinto postulado de Euclides, e necessitarem da existência e unicidade da reta paralela em sua prova.

Com essa atividade, poderemos perceber se os professores recorrem à propriedades e conceitos do modelo hiperbólico de Poincaré ou se ficam restritos a observações e justificativas baseadas na reprodução dos objetos na tela do computador.

Atividade 2

O jesuíta Gerolamo Saccheri (1667-1733) em sua tentativa de provar o 5º Postulado de Euclides criou um quadrilátero que ficou conhecido como Quadrilátero de Saccheri. Este quadrilátero tem dois ângulos retos e os dois lados perpendiculares à base, congruentes entre si. Seja ABCD um quadrilátero de Saccheri, AB é o lado base, AD e BC são os lados

Construa esse quadrilátero no do modelo do disco de Poincaré. O que você percebe sobre os outros dois ângulos? Justifique sua resposta.

Quadro 3.4: Atividade 2 da segunda sessão

Um dos objetivos dessa segunda atividade é caracterizar/construir quadriláteros na Geometria Hiperbólica. Apresentaremos o quadrilátero de Saccheri, por meio de uma definição em linguagem natural, e pedimos sua construção no modelo de disco de Poincaré. Pretendemos verificar se os professores percebem e conseguem justificar que nesse quadrilátero, em que os ângulos da base são retos e os dois lados são congruentes, os outros dois ângulos são congruentes e agudos. Esperamos somente a justificativa da congruência dos ângulos, pois a justificativa para os ângulos serem agudos envolve conceitos da Geometria Hiperbólica, que os professores podem não conhecer. Portanto, não esperamos justificativas completas ou provas formais nesse caso.

Para provar a congruência dos ângulos ADC e BCD, pode-se traçar as diagonais AC e BD. Essas diagonais são congruentes pois os triângulos ABD e BAC, pelo caso de congruência LAL, são congruentes. Assim, tomando os triângulos ACD e BDC, percebe-se que também são congruentes pelo caso LLL. Portanto, os ângulos ADC e BCD são congruentes.

Para construírem o quadrilátero de Saccheri, os professores podem criar um segmento AB, traçar as perpendiculares por A e B (para garantir que os ângulos da base sejam retos), definir um ponto sobre uma das perpendiculares e, depois, utilizando o compasso hiperbólico, transferir a medida para a outra perpendicular, garantindo a congruência dos lados. A figura abaixo mostra o quadrilátero de Saccheri no modelo de disco de Poincaré. Os ângulos da base

AB são retos, e os lados AD e BC são congruentes. Medindo os outros dois ângulos, pode-se perceber que eles são congruentes e agudos.

Figura 3.1: Quadrilátero de Saccheri na Geometria Hiperbólica

Atividade 3

Assim como Saccheri, Johann Heinrich Lambert (1728-1777), um suíço-alemão, tentou provar o 5º Postulado por um argumento indireto. Ele começou com um quadrilátero com três ângulos retos, chamado Quadrilátero de Lambert.

Construa um quadrilátero de Lambert.

Quadro 3.5: Atividade 3 da segunda sessão

Na terceira atividade, apresentamos o quadrilátero de Lambert, que contém três ângulos retos. Nesta atividade, esperamos que os professores percebam que é possível a construção desse quadrilátero, pois para sua existência não é necessário que dois lados sejam congruentes. Acreditamos que os professores vão ter dificuldades para verificar isto pois, na atividade anterior, verificaram que se os ângulos da base são retos, os outros dois são congruentes e agudos, e este apresenta três ângulos retos. Nesta atividade, pode ocorrer também uma dificuldade em “fechar” o quadrilátero, conforme o exemplo na figura abaixo.

Figura 3.2: Tentativa de construir o Quadrilátero de Lambert

Se os professores construírem primeiro os três ângulos retos, podem conjecturar que não existe o quadrilátero de Lambert na Geometria Hiperbólica, mas se eles manipularem a construção, irão perceber que em algum momento, as retas se interceptam formando o vértice D do quadrilátero de Lambert. Esperamos que, depois de verificarem a existência, os professores tentem construir um quadrilátero que seja sempre de Lambert, conforme a figura 3.3 Para isso, deverão construir um segmento AB, a reta perpendicular a AB pelo ponto A, a reta perpendicular a AB pelo ponto B, e criar um ponto C sobre esta última perpendicular. Por fim, o ponto D será a intersecção da reta perpendicular a AB pelo ponto A, com a reta perpendicular a essa reta que passa por C.