Terceira sessão: Apresentação e análise prévia

Na terceira e última sessão, os professores serão confrontados com atividades de construção no modelo de disco de Poincaré. Esta sessão é composta por cinco atividades. As atividades 1 e 2 são construções euclidianas referentes à transformação "inversão", que será utilizada nas construções de retas hiperbólicas no disco de Poincaré. Assim, elas devem ser realizadas com as primitivas do menu euclidiano. As atividades 3, 4 e 5 são construções de objetos hiperbólicos e, portanto, devem ser consideradas no modelo do disco de Poincaré e utilizam tanto ferramentas do menu hiperbólico quanto do euclidiano.

Atividade 1

a) Construa uma circunferência (C) de centro O e um ponto A fora dela. b) Construa o segmento AO.

c) Construa as retas tangentes à circunferência que passem pelo ponto A.

d) Ligue os pontos de tangência e nomeie B, a intersecção desse segmento com o segmento AO.

e) Investigar a relação métrica entre AO e BO.

Quadro 3.6: Atividade 1 da terceira sessão

Atividade 2

a) Construa uma circunferência (C) de centro O e um ponto A qualquer. b) Construa a reta AO.

c) Construa a reta perpendicular ao segmento AO que passe por O, e nomeie as intersecções dessa reta com a circunferência de C e D.

d) Construa a reta r, perpendicular à reta AC pelo ponto D. e) Nomeie B a intersecção entre as retas r e AO.

g) Investigar a relação métrica entre AO e BO.

Quadro 3.7: Atividade 2 da terceira sessão

As atividades 1 (ponto externo à circunferência) e 2 (ponto qualquer) correspondem à construção do ponto B, inverso de A em relação à circunferência (C). Na primeira atividade, quando manipulamos o ponto A para o interior da circunferência, a construção não é mais válida e, por isso, o ponto inverso deixa de existir. A segunda atividade é

construída para qualquer ponto A, tanto interno quanto externo à circunferência.

O objetivo principal dessas atividades é introduzir o conceito de inversão e a característica do ponto inverso, sem a explicação do pesquisador. Esse conceito é importante para a construção de retas hiperbólicas solicitadas na próxima atividade.

Atividade 3: Construindo retas no modelo do disco de Poincaré

a) reta passando por um ponto

Seja A um ponto qualquer no interior do horizonte h. Construa uma reta hiperbólica, que indicaremos por reta-h, passando por A. Para isso, considere um ponto auxiliar P no horizonte h. A reta-h procurada deve passar por A e P. Construa a mediatriz m de AP e, em seguida, obtenha a intersecção C de m com a reta tangente ao horizonte que passa por P. Este ponto C é o centro da circunferência ortogonal à h passando por A. (justificativa a cargo do leitor!). Obtenha o lugar geométrico da circunferência construída quando P descreve h. O que você pode observar? Faça uma conjectura sobre a construção de circunferências ortogonais a uma circunferência dada.

b) Reta hiperbólica definida por dois pontos distintos

Dados dois pontos distintos X e Y interiores ao horizonte, defina uma macro-construção da

reta-h que passe pelos dois pontos dados no modelo do disco de Poincaré.

Você sentiu alguma dificuldade em fazer essa construção? Se a resposta for positiva, explique o porquê.

Quadro 3.8: Atividade 3 da terceira sessão

Na primeira parte da atividade 3, pedimos a construção da reta hiperbólica, passando por um ponto. Neste caso, usamos o auxílio de um ponto P que pertence ao horizonte (não faz parte do plano hiperbólico) para construir uma circunferência ortogonal ao horizonte, conforme a figura abaixo. Esperamos que os professores não tenham dificuldade em fazer essa construção, pois o exercício indica passo a passo como construir a circunferência ortogonal. O que pode não descartamos é a hipótese de os professores não lembrarem de como construir uma reta tangente a uma circunferência. Se esta hipótese se confirmar, os observadores estão

autorizados pela pesquisadora a auxiliá-los, pois esta construção não é o foco da atividade.

Figura 3.4: Resolução da atividade 3a

Pedimos também a obtenção do lugar geométrico da circunferência construída quando P descreve o horizonte h. O objetivo principal é fazer com que os professores percebam que toda circunferência ortogonal ao horizonte passa pelo ponto A interior ao horizonte e por um ponto fora, que é o inverso de A em relação ao horizonte, conforme a figura abaixo. Se os professores não conseguirem verificar essa relação, não conseguirão continuar com as outras atividades, pois esta é essencial para as próximas construções.

Se os professores conseguirem enxergar que toda circunferência que passa por um ponto dado e pelo seu inverso é ortogonal à circunferência dada, eles não terão dificuldades em construir uma reta definida por dois pontos, que é a construção solicitada na segunda parte da atividade 3. Basta criar dois pontos no plano hiperbólico e o inverso de um deles, utilizando a ferramenta inversão do menu euclidiano, traçar as mediatrizes entre os pontos para achar o centro da circunferência ortogonal e, por fim, criar a macro-construção da reta-h definida por dois pontos.

Atividade 4

Construa um ângulo-h de 60º no modelo do disco de Poincaré. Você sentiu alguma dificuldade em fazer essa construção? Se a resposta for positiva, explique o porquê.

Quadro 3.9: Atividade 4 da terceira sessão

O objetivo principal dessa atividade é fazer com que os professores coloquem em prática os conceitos que acabaram de adquirir com as atividades anteriores, como por exemplo, a construção de retas hiperbólicas. Para realização desta atividade, é fundamental o conceito de medidas de ângulo no modelo de disco de Poincaré. Na apresentação feita pela pesquisadora na primeira sessão foi dado que a medida de um ângulo entre retas hiperbólicas é a medida euclidiana de suas tangentes. Neste caso, os professores deveriam criar um ângulo de sessenta graus, na Geometria Euclidiana, e depois criar as retas hiperbólicas, que são tangentes ao ângulo euclidiano. As figuras abaixo mostram a essa construção passo a passo.

Construção euclidiana do ângulo de 60º , no interior do horizonte

Construção da reta s perpendicular a AB por A, e da reta r perpendicular a AC por A

Criação do ponto A', inverso se A com relação ao horizonte

A mediatriz do segmento AA’ encontra as retas perpendiculares nos pontos D1 e D2 (centro das circunferências ortogonais ao horizonte)

Retas hiperbólicas que formam um ângulo de 60º entre si

Atividade 5

Construa um paralelogramo-h no modelo do disco de Poincaré. Você sentiu alguma dificuldade em fazer essa construção? Se a resposta for positiva, explique o porquê.

Quadro 3.10: Atividade 5 da terceira sessão

Na Geometria Euclidiana, o paralelogramo tem várias propriedades, tais como lados opostos paralelos e congruentes, ângulos opostos congruentes, diagonais se interceptam no ponto médio, entre outras, o que possibilita vários tipos de construções. Somente uma delas, em sua prova, não utiliza o quinto postulado de Euclides.

O objetivo desta atividade é verificar se os professores percebem que existe uma maneira de construir o paralelogramo, utilizando uma definição que independe do quinto postulado. Nesta atividade, os sujeitos podem construir um paralelogramo utilizando a propriedade dos lados opostos paralelos e congruentes, mas será uma construção mole, pois os lados opostos podem ser sempre congruentes, mas nada garante que serão sempre paralelos.

Figura 3.7: Paralelogramo pela propriedade de lados opostos paralelos (construção mole)

Na figura acima, construímos um paralelogramo pela definição de lados opostos paralelos e congruentes e ângulos opostos congruentes. Mas quando deslocamos, por exemplo, o ponto D, o quadrilátero não continua sendo um paralelogramo, pois os lados não se mantém paralelos (cf. figura 3.12).

Figura 3.8: Verificação da construção do paralelogramo-h

Para uma construção robusta de um paralelogramo no modelo de disco de Poincaré, deve-se utilizar como definição de paralelogramo a propriedade de que as diagonais se interceptam no ponto médio, conforme as figuras abaixo.

Figura 3.9: Construção robusta do paralelogramo