Amplitude, comprimento de onda e velocidade da onda interfacial

As principais características de uma onda são a sua amplitude (), comprimento de onda () e velocidade (c). A amplitude é definida como a dimensão da diferença entre o vale e o pico da onda, neste caso pode-se utilizar o vale à esquerda ou à direita, ou a média entre as duas dimensões, como utilizado neste trabalho (Figura 4.17). O comprimento de onda é o comprimento entre dois vales ou dois picos consecutivos de uma mesma onda (Figura 4.18).

Figura 4.17 – Amplitude () de uma onda genérica.

Figura 4.18 – Comprimento de onda () de uma onda genérica.

Figura 4.19 – Ondas defasadas no tempo, para cálculo de velocidade de onda (correlação cruzada).

A velocidade superficial de óleo utilizada no experimento variou de 0,02 a 0,18 m/s e a velocidade superficial de água variou de 0,05 a 0,23 m/s, em 4 inclinações diferentes (horizontal, +5°, +10°, -5°).

A primeira providência tomada foi a comparação das velocidades de onda obtidas experimentalmente com as velocidades in situ das fases. Era esperada, de acordo com a literatura (WALLIS, 1969), que a velocidade de onda estivesse sempre entre as velocidades das fases, assim, a Figura 4.20 foi feita para apresentar tal comparação.

É observado que a velocidade da onda interfacial está sempre entre as duas velocidades in situ. Isto corrobora a afirmação da literatura de que os limitantes inferior e superior da velocidade da onda seriam as velocidades in situ das fases, caso contrário, a estabilidade do escoamento não pode ser garantida.

Nos escoamentos líquido-líquido observa-se uma grande relação entre diversos fatores, entre eles pode-se citar efeitos de inércia, relacionados à velocidade relativa entre as fases; efeitos gravitacionais, relacionados à gravidade e densidade das fases; efeitos capilares e de molhabilidade, relacionados à tensão interfacial e ângulo de contato entre as fases; e finalmente, efeitos relacionados à viscosidade das fases. No caso específico do escoamento estratificado, percebe-se que a curvatura da interface, a velocidade relativa, efeitos gravitacionais e a viscosidade das fases são importantes na manutenção do escoamento e da interface do mesmo. Percebeu-se que as características da onda interfacial poderiam ser correlacionadas aos fatores anteriormente citados através de grupos adimensionais. Assim dois grupos adimensionais são propostos, um número de Froude modificado para correlacionar a razão da velocidade da onda pela velocidade da mistura e um número de Weber modificado para correlacionar a razão de aspecto da onda (razão do comprimento da onda pela amplitude da mesma).

Figura 4.20 – Comparação da velocidade de onda experimental (c) com as velocidades in situ das fases (Vw e Vo).

O número de Froude relaciona forças inerciais (velocidade relativa entre as fases) e forças gravitacionais. O número de Froude proposto é dado por:





* cos w o car V V Fr g  y   (4.1)

onde Vw e Vo são, respectivamente, a velocidade in situ da água e do óleo, g é a aceleração da gravidade,  é o ângulo de inclinação da tubulação e ycar é uma dimensão característica.

O número de Weber é usado na análise de escoamentos onde há uma interface entre os mesmos, em especial os casos onde há curvatura. Ele representa a razão entre forças inerciais e de tensão superficial/interfacial. O número de Weber modificado proposto é dado por:





2 * Vw Vo ycar We      (4.2)

onde  é a diferença de massa específica entre o óleo e a água e  é a tensão interfacial água-óleo. A dimensão característica (y ) é definida por:

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 c Vw Vo V el oci dad e [m /s] Uws+Uos [m/s]

4

car w

D

y   (4.3)

onde w é a fração volumétrica de água, calculada pela relação proposta por Rodriguez e Baldani (2012) e D é o diâmetro interno da tubulação. Importante ressaltar que apesar de a viscosidade não ser apresentada nas equações, esta está indiretamente relacionada quando do cálculo das velocidades in situ e dimensão característica, sendo este efeito importante nos dois grupos adimensionais.

Utilizando estes adimensionais as Figuras 4.21 e 4.22 apresentam os dados experimentais de razão de aspecto e velocidade da onda interfacial, respectivamente.

Figura 4.21 – Razão de aspecto da onda interfacial em função do número de Weber modificado.

Da Figura 4.21 e da análise do número de Weber modificado (Eq. 4.2), pode-se afirmar que o aumento da velocidade relativa entre as fases acarreta aumento do número de Weber e, de acordo com o gráfico, ocorre uma diminuição da razão de aspecto, ou seja, um aumento da amplitude e diminuição do comprimento de onda da onda medida. Em termos de balanço de forças, pode-se concluir que ondas com razão de aspecto maior representam ondas em que gotículas podem ser arrancadas da interface mais facilmente, devido às forças inerciais. Devido à maior velocidade relativa (desestabilizante), essas forças se sobrepõem as forças restauradoras viscosas e capilares (estabilizantes), as últimas relacionadas à tensão interfacial, levando a um maior nível de instabilidade, o que corrobora as observações

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 0 10 20 30 40 50 60   Weber  0,15 635, 21_e We 9,58     

experimentais, em que escoamentos com números de Weber maiores estão próximos à transição do padrão estratificado ao padrão estratificado com mistura na interface.

Figura 4.22 – Razão da velocidade de onda interfacial pela velocidade da mistura em função do número de Froude modificado.

A velocidade da onda foi relacionada ao número de Froude modificado (Eq. 4.1), neste caso a velocidade da onda adimensionalizada pela velocidade da mistura cresce com o aumento do número de Froude. Visto que o número de Froude relaciona forças inerciais (desestabilizantes) com forças gravitacionais (estabilizantes), um aumento do número de Froude está relacionado com um maior grau de instabilidade do escoamento. Assim como proposto por Wallis (1969), existe uma velocidade de onda cinemática limite em um escoamento estável. De acordo com a Figura (4.22), a curva assintótica apresenta uma relação limite em torno de 1,5 para a velocidade de onda adimensionalizada. Esta relação estaria relacionada à velocidade de onda crítica proposta por aquele autor.

Infere-se dos gráficos que as correlações exponenciais baseadas nos adimensionais propostos parecem capturar bem as características da onda interfacial. Tais relações serão utilizadas nos modelos de estabilidade hidrodinâmica do escoamento estratificado líquido- líquido, para verificar a influência das mesmas.

Esperava-se que os dados de razão de aspecto e velocidade de onda adimensional também pudessem ser apresentados em função dos grupos adimensionais de Froude e Weber,

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8  



0,48



  2, 49 Fr 1,56 ws os c  e  U U c/ (U w s+U o s) Froude

há uma tendência definida de crescimento ou decrescimento, sendo observada apenas uma nuvem de pontos, assim tais relações não foram apresentadas.

No documento Fenômeno de transição espacial do escoamento óleo pesado-água no padrão estratif... (páginas 119-124)