Mapas de escoamento ou cartas de fluxo

Mapas de escoamento ou cartas e fluxo são instrumentos gráficos em que dados de entrada como, por exemplo, as velocidades superficiais dos fluidos, são utilizados para a determinação do padrão de escoamento (forma como as fases que compõem o escoamento estão distribuídas) em um determinado meio a ser estudado, que pode ser um tubo ou duto.

Assim, pode-se dizer que não há carta de fluxo experimental genérica para escoamentos de dois fluidos imiscíveis. Foi necessário, então, o desenvolvimento de modelos que pudessem prever de forma genérica tais fronteiras. Uma das modelagens utilizada é a fenomenológica, (HEWITT, 1978); baseada em observações experimentais correlações são propostas e ajustadas empiricamente para representarem os fenômenos observados. Tais modelos têm previsto com boa aproximação as fronteiras de transição, além de queda de pressão e fração volumétrica. A seguir, serão apresentadas algumas cartas de fluxo da literatura.

2.2.3.1 Cartas de fluxo gás-líquido

A primeira carta de fluxo foi proposta por Baker (1954) e foi feita a partir de dados experimentais de escoamentos ar-água e ar-óleo na horizontal, onde os eixos são baseados nos fluxos mássicos (G) de cada fase, multiplicados por fatores que levam em consideração as massas específicas, viscosidades e tensões interfaciais das fases.

Figura 2.7 – Carta de fluxo de Baker (1954) (G1: fluxo mássico de líquido, G2: fluxo mássico de gás).

Outra carta de fluxo experimental, para escoamentos gás-líquido na horizontal, foi apresentada por Mandhane, Gregory e Aziz (1974). A carta tem como dados de entrada as velocidades superficiais de água e ar. A grande desvantagem de tal carta é o fato de os dados

de entrada serem dimensionais, limitando sua utilização em outros escoamentos, que não os utilizados para seu desenvolvimento.

Figura 2.8 – Carta de fluxo de Mandhane, Gregory e Aziz (1974).

Taitel e Dukler (1976), utilizando modelagem fenomenológica, como por exemplo velocidade de propagação de bolhas em meio contínuo, entre outros fenômenos, propuseram uma série de correlações para as fronteiras de transição do escoamento ar-água em tubulações na horizontal. A carta de fluxo foi feita baseada em grandezas adimensionais do escoamento (Figura 2.9), tais mapas adimensionais são interessantes, pois são genéricos, ou seja, aplicáveis para uma diversidade de tubulações e fluidos (gás-líquido).

Figura 2.9 – Carta de fluxo para escoamento horizontal de Taitel e Dukler (1976).

Em 1980, Taitel, Barnea e Dukler (1980) usando modelagem fenomenológica, propuseram correlações para previsão das fronteiras entre padrões de escoamento em escoamentos gás-líquido na vertical; a carta de fluxo é baseada nas velocidades superficiais do escoamento, sendo o mapa dimensional. Assim existe a necessidade de adequação do mapa a cada condição de diâmetro de tubo, razão de viscosidade e massa específica dos fluidos com os quais se trabalha.

Figura 2.10 – Carta de fluxo para escoamento vertical de Taitel, Barnea e Dukler (1980), para escoamento água- ar em tubulação de 25 mm.

2.2.3.2 Cartas de fluxo líquido-líquido

Para escoamentos líquido-líquido, as mesmas observações feitas para escoamentos gás-líquido são válidas. Os primeiros mapas apresentados foram feitos de forma experimental, e ainda hoje há mapas experimentais. Como os dados em escoamentos líquido-líquido são escassos, esta é uma das lacunas que ainda vem sendo preenchidas pela literatura. Em geral os mapas experimentais são confrontados com modelagens de fronteiras de transição propostas por alguns autores como Trallero (1995) e Brauner e Maron (1992b).

As cartas de fluxo em escoamentos líquido-líquido são em geral baseados nas velocidades superficiais das fases ou componentes, ou seja, são cartas dimensionais; assim, ter-se-ia um mapa para cada par de fluidos utilizados.

Rodriguez e Oliemans (2006) propuseram cartas de fluxo para escoamentos óleo leve- água, com pontos experimentais e previsões baseadas na teoria de Trallero (1995). Os mapas foram feitos para diversas inclinações com tubulação de 82,8 mm e um óleo de 7,17 mPa.s. Alguns mapas propostos são apresentados na Figura 2.11.

Figura 2.11 – Carta de fluxo de Rodriguez e Oliemans (2006) para escoamento água-óleo: (a) horizontal, (b) -5° e (c) 5°.

Para altas razões de viscosidade, em escoamento horizontal foi proposta uma carta experimental por Bannwart et. al (2004). Devido à alta razão de viscosidade os padrões dispersos não ocorrem.

Figura 2.12 – Carta de fluxo de Bannwart et al. (2004) para escoamento horizontal.

Para escoamentos de água e óleo em razões de viscosidade intermediárias, será apresentada neste trabalho uma nova carta de fluxo experimental que mescla os padrões observados para baixas e altas razões de viscosidade. Será possível a observação de uma região de escoamento intermitente e escoamento anular.

Será apresentada também uma nova fronteira de transição do escoamento estratificado ondulado para outros padrões, baseada nas características da onda interfacial deste regime e na teoria da estabilidade hidrodinâmica linear.

2.3 Modelagem unidimensional para previsão de fronteiras de transição em escoamentos bifásicos de fases separadas gás-líquido e líquido-líquido

O escoamento de fases separadas compreende os padrões anular e estratificado. Tais padrões de escoamento são comumente modelados pelo modelo de dois-fluidos

parietais são necessárias. O estudo da estabilidade de tais padrões de escoamento é feito a partir desse modelo matemático.

Análises fenomenológicas de escoamentos gás-líquido foram apresentadas por Taitel e Dukler (1976) para determinar a transição de padrões de escoamento em escoamentos gás- líquido horizontal, partindo da análise do escoamento estratificado com interface lisa. A partir desta análise a carta de fluxo da Figura 2.9 foi gerada. Tal artigo é base para diversos artigos que propõem novas teorias para previsão de fronteiras de transição.

Para escoamento gás-líquido na vertical, um dos artigos mais importantes, relativo à transição de padrões de escoamento, é o de Taitel, Barnea e Dukler (1980), onde esses apresentaram modelos de transição, assim como uma carta de fluxo fenomenológica (Figura 2.10).

Na linha dos modelos unidimensionais genéricos de escoamento bifásico baseados no modelo de dois fluidos de Ishii (1975), pode-se citar os trabalhos de Jones e Prosperetti (1985) e Prosperetti e Jones (1987). Jones e Prosperetti (1985) estudaram a aplicação da teoria da estabilidade linear a escoamentos unidimensionais com modelos simplificados. Em seu trabalho, equações algébricas que descrevem fenômenos como forças de arrasto são acopladas ao modelo, ao invés da utilização de derivadas de ordens superiores. Eles encontraram um critério de estabilidade que não depende do comprimento de onda da perturbação interfacial, o que é claramente não físico. Assim, de acordo com os autores, o modelo desta maneira é incompleto e há a necessidade da inclusão de termos de derivadas de ordem superior para que efeitos de tensão interfacial, por exemplo, sejam estudados. Desta forma, a análise da estabilidade de padrões de escoamento a partir do modelo de dois fluidos unidimensional deve ser feita utilizando o modelo completo, sem simplificações. A partir destas conclusões, Jones e Prosperetti (1987) usaram o modelo de dois fluidos completo para descrever escoamentos bifásicos. Este modelo leva em consideração termos de derivadas de ordem superior dos termos de pressão e velocidades das fases, incluindo efeitos de tensão interfacial, viscosidade e adição de massa; no entanto, para análises de estabilidade, no limite de ondas longas, a adição de tais efeitos não apresenta nenhuma melhoria no critério de estabilidade proposto.

A partir dos trabalhos de Jones e Prosperetti, a utilização do modelo de dois fluidos unidimensional se mostrou uma ferramenta potente para análise da estabilidade de escoamentos bifásicos, sendo largamente utilizada para previsão de fronteiras de transição.

Nesta linha, têm-se artigos como o de Crowley, Wallis e Barry (1992), que estudaram a transição do padrão de escoamento estratificado para o padrão de escoamento golfadas em

apresentam uma nova teoria, baseada no método das características, para análise da estabilidade e transição de padrões de escoamento.

Ainda sobre escoamentos gás-líquido e previsão de fronteiras de transição, têm-se os artigos de Brauner e Maron (1991) apresentando a transição do padrão de escoamento gás- líquido estratificado para padrões não estratificados, partindo do modelo de dois fluidos unidimensional e utilizando a teoria da estabilidade linear temporal para a análise.

Ardron (1980) utilizou o modelo de dois fluidos unidimensional para análise de escoamentos gás-líquido estratificado. A partir da modelagem, analisou velocidades de onda e regiões de estabilidade, encontrando boa concordância com soluções exatas. Assim, o artigo propõe que o modelo de dois fluidos é uma boa ferramenta para análise de escoamentos de fases separadas.

Barnea (1991) utilizou o modelo de dois fluidos unidimensional para análise da estrutura do escoamento anular. Para a análise de problemas transientes, dividiu a tubulação em diversas “células”, aplicando diferenças finitas e assim analisando o escoamento.

Um modelo para a análise do padrão de escoamento bifásico anular, para dois líquidos imiscíveis é apresentado por Brauner (1991). O modelo apresentado trata de muitas situações em escoamentos bifásicos, laminar-laminar, turbulento-turbulento ou mistura de regimes de escoamento. Os resultados de perda de pressão e fração volumétrica foram confrontados com dados experimentais, mostrando boa concordância.

Brauner e Maron (1992a) estudaram a transição do padrão de escoamento estratificado líquido-líquido, partindo do modelo de dois fluidos unidimensional, para modelagem do escoamento, e a teoria da estabilidade linear temporal, para análise de estabilidade. Os autores apresentam uma relação da estabilidade hidrodinâmica com o problema formado por equações diferenciais parciais hiperbólicas; a estabilidade estaria relacionada a um sistema de equações que possua velocidades características reais, onde estas variam constantemente com as variáveis de entrada.

O estudo da transição de diversos padrões de escoamento líquido-líquido a partir do modelo de dois fluidos e da teoria de estabilidade linear, i.e., a procura da curva de estabilidade neutra para cada padrão de escoamento e comparações com dados experimentais foi apresentado por Brauner e Maron (1992b).

através de seus parâmetros, o modelo é sensível à estrutura do escoamento e ao mesmo tempo tais parâmetros ajudam na estabilização das equações diferencias governantes do escoamento. Zhou e Podowski (2001) utilizaram o modelo de dois fluidos para o estudo de instabilidades hidrodinâmicas em escoamentos bifásicos em sistemas de ebulição. O modelo foi implementado utilizando duas abordagens, uma no domínio da freqüência e outro no domínio do tempo. Ambas se mostraram satisfatórias na previsão da estabilidade do escoamento, quando confrontadas com dados experimentais.

Grassi, Strazza e Poesio (2008) validaram por experimentos a utilização de modelos para aplicação em escoamentos bifásicos. Um dos modelos validados foi o de dois fluidos para o escoamento anular vertical líquido-líquido, mostrando que o modelo representa satisfatoriamente a física do escoamento, tendo boa concordância com os dados experimentais de queda de pressão bifásica e fração volumétrica.

Issa e Kempf (2003) simularam o crescimento de instabilidades em um escoamento estratificado gás-líquido levando à formação do padrão pistonado. Tal simulação foi realizada com a utilização do modelo de dois fluidos unidimensional transiente. De acordo com os autores, apesar da simplicidade da modelagem utilizada foi possível capturar o fenômeno de transição entre padrões de escoamento. A comparação com dados experimentais da literatura mostrou boa concordância. Ademais, de acordo com os autores a possibilidade da utilização de tal modelo minimiza a necessidade da utilização e desenvolvimento de modelos fenomenológicos para transição de padrões de escoamento.

Outro efeito importante, adicionado ao modelo de dois fluidos unidimensional (RODRIGUEZ e CASTRO, 2013) são os efeitos de tensão interfacial e molhabilidade, onde o ângulo de contato dos fluidos relacionados à superfície onde estão aderidos é levado em consideração. De acordo com tais autores devido à molhabilidade e tensão interfacial, o perímetro molhado por cada uma das fases pode ser alterado, resultando em um maior ou menor atrito com a parede e entre as fases, o que altera sobremaneira as previsões de queda de pressão e fração volumétrica. Ainda de acordo com os autores, tais efeitos, como esperado, são mais proeminentes em escoamentos líquido-líquido.

A grande maioria dos trabalhos até aqui apresentados modela o escoamento bifásico de fases separadas a partir do modelo de dois fluidos e apresenta a utilização de tla modelo para previsão de fronteiras de padrões de escoamento. Assim, a aplicação de um modelo de dois fluidos unidimensional rigoroso encontra aplicação óbvia no escoamento em tubulações. A abordagem unidimensional tem importância indiscutível em uma grande variedade de

disciplinas tradicionais da engenharia e em inúmeras circunstâncias é capaz de capturar os efeitos preponderantes de um fenômeno multidimensional.