Teoria da estabilidade em escoamentos bifásicos paralelos

Em escoamentos paralelos, pode-se citar a análise da estabilidade de um escoamento com camada cisalhante. Em tal escoamento, tem-se duas fases estratificadas com velocidades

Helmholtz e seus resultados são utilizados até hoje para descrição de escoamentos cisalhantes invíscidos. As instabilidades de Kelvin-Helmholtz tem uma forma característica e estão presentes em diversos processos naturais (Figura 2.13). Estas instabilidades são analisadas pela teoria da estabilidade linear e utilização dos modos normais.

As teorias de estabilidade levam, em geral, a curvas de estabilidade neutra, que poderiam ser relacionadas a fronteiras de transição em um mapa de escoamento, por exemplo, em situações onde o escoamento pode ser definido como estável ou instável em relação a determinados parâmetros. Um caso clássico de curvas de estabilidade neutra são as apresentadas por Schilichting (1979) para o caso de um escoamento em camada limite, uma representação de tais curvas pode ser vista na Figura 2.14. Nesta figura, a estabilidade é dada pelo sinal da parte imaginária da frequência angular (ωi) para um Reynolds (R0) e um número de onda (β) dado, sendo o escoamento instável para ωi positivo e estável para ωi negativo. A curva é delimitada fazendo ωi =0.

Figura 2.14 – Curva de estabilidade neutra para o caso de camada limite (R0 é o número de Reynolds do escoamento e β o número de onda). (ITOH, 2000).

A análise linear de instabilidades se dá a partir da análise da estabilidade de um determinado sistema básico sujeito a perturbações infinitesimais. Caso o sistema seja instável a pequenas perturbações, por suposição, o será também a grandes perturbações. Pequenas perturbações causam oscilações de pequena amplitude; assim sendo, os termos de ordem maior das derivadas, nas equações de movimento, podem ser desprezados. Portanto, as equações são linearizadas e chega-se à definição matemática da análise linear de estabilidade.

Por outro lado, quando os escoamentos estão em regime não permanente ou ocorrem acelerações espaciais significativas, oscilações de grandes amplitudes têm de ser levadas em conta. Entra-se, então, no campo da teoria não linear da estabilidade de escoamentos.

Voltando à análise linear de estabilidade, o ponto seguinte seria determinar o que ocorre a partir da instabilidade. No caso hidrodinâmico, poderia ocorrer a mudança para um novo padrão de escoamento, sendo ele em regime permanente ou transitório. Dentro dos transitórios, podemos ter oscilações periódicas (transientes periódicos), escoamentos caóticos ou turbulentos.

Através da teoria da estabilidade hidrodinâmica é possível levar em conta o efeito de um número de parâmetros sobre a transição do regime laminar ao regime turbulento. Essa teoria tem encontrado inúmeras aplicações importantes, entre elas no projeto de aerofólios de baixo arrasto (aerofólios laminares). A partir da década de 1970, a teoria da estabilidade

casos, transições de padrão de escoamento podem ser atribuídas a instabilidades que resultam da amplificação de uma onda de perturbação na interface das fases. Entretanto, a formidável complexidade dos escoamentos bifásicos não permite, na maioria das vezes, a solução analítica das equações governantes gerais.

O ponto de partida natural para o estudo da geração de ondas em escoamentos bifásicos paralelos de fases separadas é a teoria linear da estabilidade hidrodinâmica. Preservando a analogia com os escoamentos monofásicos, na teoria linear investiga-se como perturbações infinitesimais são amplificadas e como a evolução dessas perturbações está relacionada à transição de um padrão de escoamento bifásico a outro. Essa hipótese permite a linearização das equações em torno do padrão bifásico básico, por exemplo, o padrão estratificado liso ou o padrão anular perfeito (sem ondas). Assim, o ponto de interesse é o sinal da taxa de crescimento de uma perturbação senoidal com certo comprimento de onda. Uma taxa de crescimento negativa significa extinção da perturbação, enquanto que uma taxa de crescimento positiva indica que a perturbação se amplificará e crescerá mais e mais, até a quebra do padrão básico original ou até que efeitos não lineares saturem o crescimento. O efeito de saturação do crescimento de uma perturbação conduz tipicamente à formação de ondas interfaciais de amplitude e comprimento finitos.

Entretanto, a maior desvantagem da teoria linear é que ela considera apenas perturbações infinitesimais, não levando em conta que a instabilidade pode ser gerada por perturbações de amplitude finita, mesmo quando o padrão básico é estável sob perturbações infinitesimais, o que é conhecido como instabilidade subcrítica. Como instabilidade subcrítica ocorre devido à presença de perturbações de amplitude finita ela só pode ser representada por teorias que são de natureza não linear como a teoria fracamente não linear, apresentada por Landau e Lifshitz (1959); esta pode ser considerada como uma correção das aproximações feitas na teoria linear.

O critério de estabilidade dado pela teoria da instabilidade de Kelvin-Helmholtz ainda hoje é utilizado na análise de escoamentos de fases separadas em dutos, levando ao critério de Kelvin Helmholtz invíscido (IKH) (TAITEL e DUKLER, 1976; e MISHIMA e ISHII, 1980) que leva a fronteiras de transição entre padrões de escoamento. No entanto, como dito anteriormente, tal critério não leva em consideração os termos viscosos, que, como será apresentado a seguir, estão relacionados a um dos mecanismos de geração de instabilidades, atuando na geração de vorticidade tornando o escoamento instável, ou estabilizando o escoamento devido à dissipação viscosa. Assim, a partir da necessidade de incorporação

(VKH). Diversos autores chegaram a critério que são equivalentes, dentre os quais pode-se citar o trabalho de Andritsos, Williams e Hanratty (1989) que estudaram o efeito da viscosidade na formação do padrão pistonado em escoamentos gás-líquido; Wallis (1969) apresentou um critério equivalente, baseado na análise de uma onda unidimensional; Crowley, Wallis e Barry (1992) utilizaram a mesma teoria de Wallis (1969) e compararam o critério com dados experimentais, encontrando boa concordância entre os mesmos. Lin e Hanratty (1986) estudaram os efeitos viscosos em critérios de transição de padrões de escoamento em canais, comparando com os critérios de Taitel e Dukler, que apesar de conterem termos viscosos, são bastante empíricos; assim, estes autores propõem uma abordagem menos empírica e um novo critério de transição, equivalente ao VKH. Pode-se citar o trabalho de Barnea (1991) que estudou a estabilidade estrutural do escoamento anular gás-líquido, chegando ao um critério que compara as tensões cisalhantes entre as fases, em suma viscoso e equivalente ao VKH. Por fim, pode-se citar o critério viscoso de Brauner e Maron (1992a) que, utilizando a teoria da estabilidade linear aplicada ao modelo de dois fluidos completo, chegam a um critério viscoso de transição do escoamento estratificado líquido-líquido. Assim, verifica-se que a incorporação dos termos viscosos altera sobremaneira a previsão das fronteiras de transição entre padrões de escoamentos nos escoamentos bifásicos, pois altera o comprimento da onda interfacial.

2.4.2.1 Classificação das instabilidades

Baseado nos mecanismos citados anteriormente pode-se classificar as instabilidades em (DRAZIN e REID, 1981):

 Instabilidade de Rayleigh-Taylor: representada por um escoamento de um fluido mais pesado sobre um mais leve; assim, a força gravitacional age gerando instabilidades. Fonte de instabilidades são tensões normais à interface.

 Instabilidade de Kelvin-Helmholtz (ou de Miles): geração de ondas superficiais por escoamentos cisalhantes. Trata-se de um mecanismo invíscido, inspirado pelo fenômeno de transferência de energia de ventos para ondas em águas profundas.

 Instabilidade induzida por perturbações tangenciais interfaciais: origina-se na interface, dependendo de como velocidade e tensões variam na direção do escoamento.

o Induzida pela viscosidade: aumento das tensões interfaciais tangenciais, por diferença de viscosidade dos fluidos.

o Induzida pela gravidade: aumento das tensões interfaciais normais, devido a diferentes densidades dos fluidos.

o Induzida pela viscosidade e gravidade;

 Instabilidade viscosa: escoamentos monofásicos de Poiseuille em canal tornam-se instáveis a partir de determinado Reynolds. Essa instabilidade, denominada viscosa, ocorre pela condição de não deslizamento na parede e efeitos viscosos no seio da fase. As ondas de perturbação são conhecidas por ondas de Tollmien-Schlichting.

 Instabilidade interna: Combinação de dois ou mais dos fatores desestabilizadores descritos acima.

Assim, as instabilidades em escoamentos bifásicos de fases separadas (paralelos), gás- líquido ou líquido-líquido, podem ser originadas por diversos mecanismos, dentre eles, pode- se citar:

 Efeitos devido à viscosidade (podem ser estabilizadores ou desestabilizadores);

 Tensão interfacial ou superficial, normais (estabilizador) ou tangentes (estabilizador u desestabilizador) à interface;

 Tensão cisalhante (sempre desestabilizador);  Hidrostática;

 Diferença de viscosidade entre os fluidos;

 Diferença de densidade entre os fluidos (pode ser estabilizador ou desestabilizador).

2.4.2.2 Estabilidade espacial e temporal

Criminale, Jackson e Joslin (2003), Drazin (2002) e Drazin e Reid (1981) apresentam a possibilidade do estudo da instabilidade de escoamentos em uma análise espacial e/ou temporal. Uma instabilidade pode ser analisada temporalmente quando seu crescimento/decrescimento ocorre no tempo, para um determinado ponto fixo no espaço

analisado. Com a utilização dos modos normais e considerando o número de onda real (oscilações periódicas no espaço), analisa-se o sinal da parte imaginária da frequência angular (Figura 2.13), sendo que a inversão de sinal (positivo/negativo ou negativo/positivo dependendo de como as perturbações são definidas) indica mudança de um escoamento instável para estável ou vice-versa. Esta é a análise mais utilizada e mais difundida.

No entanto, a maioria das oscilações em fluidos apresenta uma amplitude que é constante no tempo, mas que cresce em alguma direção no espaço. Alguns exemplos são as camadas limites, camadas de mistura, esteiras e jatos. Assim, estes escoamentos são representados por equacionamentos nos quais a parte imaginária da frequência angular é nula (oscilações periódicas no tempo) e o sinal da parte imaginária do número de onda indica a estabilidade/instabilidade do escoamento.

Vale ressaltar que, independentemente do crescimento espacial ou temporal de uma estabilidade, a curva de estabilidade neutra será a mesma para uma análise temporal ou espacial, a não ser pela utilização de dados experimentais, como será apresentado no Capítulo 6 da Tese. Entretanto, com a análise espacial é possível a incorporação de termos como a velocidade da onda interfacial como um dos parâmetros de um critério de estabilidade, como será apresentado no Capítulo 6 deste trabalho.

Um tratamento correto da estabilidade hidrodinâmica espacial foi apresentado por Gaster (1962); este propôs uma correlação entre os fatores de amplificação temporal e espacial baseada na velocidade de grupo das perturbações. De acordo com o autor, há uma relação assintótica entre os crescimentos temporal e espacial das perturbações.