Algoritmo 7-13– IREA-M
8. EXPERIMENTOS E RESULTADOS
8.2 Aproximação de Funções de Inclusão em Eletromagnetismo
8.2.2 Análise Comparativa do SNIF-GPA no Problema TEAM 22 com Incertezas
Nesta subseção, os resultados obtidos pelo SNIF-GPA são comparados com os resultados de outras duas técnicas de obtenção de modelos aproximados, são elas: Redes Neurais com Funções de Base Radial (RBF-NN - Radial Basis Function Neural Networks) e Universal Kriging (MENDES et al., 2012a; MENDES et al., 2012b). A comparação dos resultados foi realizada com base em dois critérios: i) qualidade das expressões aproximadas, medida em termos do MSE, e ii) adequação à otimização robusta intervalar, que é medida pela largura do intervalo da saída da função de inclusão obtida. A importância do segundo critério está relacionada ao fato de que, quanto mais estreito é o intervalo de saída, mais precisos serão os resultados e, além disso, mais rápida será a avaliação da função de inclusão pelos algoritmos intervalares.
As RBF-NNs foram introduzidas por (BROOMHEAD e LOWE, 1988) e, têm vantagens em relação a outros tipos de redes neurais, por exemplo, melhor capacidade de aproximação, estrutura mais simples e algoritmos de aprendizado mais rápidos. Uma RBF-NN é composta por três camadas: a de entrada, a escondida e a de saída. A camada de entrada é constituída de nós sensoriais. A camada escondida é formada por neurônios de funções de base radial. A camada de saída é linear e fornece a resposta da rede. A função de ativação da camada escondida é normalmente a função Gaussiana e computa a distância Euclidiana entre o sinal de entrada e um vetor parâmetro da rede. Mais detalhes sobre RBF-NN podem ser obtidos em (BRAGA et al., 2007). A RBF-NN utilizada nesta seção é gerada pela função newrb disponível no ANN Toolbox do Matlab®. A função newrb cria uma RBF- NN adicionando um neurônio por vez. Os neurônios são adicionados até que se atinja a meta de erro ou que o número máximo de neurônios seja alcançado (BEALE et al., 2011). Para a obtenção das aproximações utilizaram-se 100 neurônios na camada escondida, o restante dos parâmetros foi estabelecido pelos valores default da função newrb.
Universal Kriging usa dois conjuntos de funções base. O primeiro conjunto objetiva seguir a
tendência geral da função a ser modelada e, geralmente, é composto de polinômios p(x). O segundo conjunto torna possível seguir as variações ao redor da tendência geral h(x) e, tradicionalmente, é composto por um conjunto de funções de base radial Gaussianas ou multiquadráticas. O resultado
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final é uma combinação linear de funções. No entanto, ressalta-se que os dois conjuntos de funções desempenham diferentes papéis, que são distinguidos na seguinte expressão (LEBENSZTAJN et al., 2004):
𝑦�(𝐱) = 𝐰𝑇𝐡(𝐱) + 𝐜𝑇𝐩(𝐱). (8-25)
Nesta expressão, existem N + m incógnitas: os coeficientes w1, w2, … , wN e c1, c2, … , cm. A fim de se determinar essas incógnitas procede-se em dois estágios: primeiro, assume-se que c1, c2, … , cm são conhecidos e determina-se os valores de w1, w2, … , wN de forma que a combinação linear passe pelos N pontos de medida e, em seguida, ajustam-se c1, c2, … , cm (preservando a passagem pelos pontos de medida) tais que a variação 𝐰𝑇𝐡(𝐱) em torno de 𝐜𝑇𝐩(𝐱) seja a menor possível a fim de se obter a aproximação mais suave permitida.
A partir de (8-25) reescrita sob a forma matricial
y = 𝐇 𝐰 + 𝐏 𝐜
,
(8-26)obtêm-se
𝐜 = [[𝐇−1𝐏]𝑇𝐏]−1[𝐇−1𝐏]𝑇𝐲
e
(8-27) 𝐰 = 𝐇−1[𝐲 − 𝐏 𝐜].
O modelo de Universal Kriging desta subseção utilizou polinômios de segunda ordem para p(x) e funções de base radial multiquadráticas para h(x), como explicado em (ALOTTO et al., 1996a).
As amostras utilizadas para obtenção das aproximações foram as mesmas utilizadas na Subseção 8.2.1. Os resultados com relação ao critério de qualidade das expressões aproximadas para a RBF-NN e Universal Kriging são apresentados nas tabelas 8-16 e 8-17, respectivamente. Verifica-se que as aproximações retornadas tanto pela RBF-NN quanto pelo Universal Kriging são válidas de acordo com o Wilcoxon rank sum test com nível de confiança de 95% (p-valor ≥ 0,05). Além disso, possuem coeficiente de determinação R2 bem próximo de 1. Observa-se que os modelos aproximados obtidos pelo Universal Kriging possuem valores de MSE no treinamento bem próximos de zero. Isso se deve à característica que essa técnica possui de fazer com que o modelo obtido passe por todos os pontos de treinamento. Nota-se, também, que a ordem de magnitude do MSE na validação para o SNIF-GPA, RBF-NN e Universal Kriging é a mesma considerando-se as aproximações geradas para F1, F2 e C1.
TABELA 8-16–RESULTADO DA RBF-NN PARA O PROBLEMA TEAM22.
Valores Obtidos Usando RBF-NN
Treinamento Validação
MSE R2 p-valor MSE R2 p-valor
F1 1,061 0,999 0,952 2,306 0,999 0,890
F2 0,001 0,999 0,961 0,002 0,997 0,772
90
TABELA 8-17–RESULTADO DO UNIVERSAL KRIGING PARA O PROBLEMA TEAM22.
Valores Obtidos Usando Universal Kriging
Treinamento Validação
MSE R2 p-valor MSE R2 p-valor
F1 1E-23 1 0,996 6,464 0,997 0,919
F2 1E-27 1 0,988 0,002 0,995 0,704
C1 1E-26 1 0,997 0,047 0,964 0,992
Na Tabela 8-18 apresenta-se o resultado com respeito ao critério de adequação à otimização robusta intervalar. Os resultados foram obtidos fazendo-se a avaliação intervalar de cada uma das funções de inclusões aproximadas no domínio permitido para R2, h2, e d2 conforme descrito na subseção anterior. Ressalta-se que para o SNIF-GPA, o resultado apresentado é a mediana da largura do intervalo de saída considerando-se todas as dez execuções. Isso foi feito uma vez que o valor de largura de saída das dez expressões obtidas para cada função de otimização F1, F2 e C1 não segue uma distribuição normal de acordo com o teste estatístico Lilliefors. O valor de referência foi computado pela diferença entre os valores máximo e mínimo dos intervalos de saída de F1, F2 e C1, considerando- se as amostras de treinamento e validação. Os resultados mostram que as inclusões aproximadas obtidas pelo SNIF-GPA possuem intervalos de saída significativamente mais estreitos do que as inclusões obtidas pelas outras duas técnicas. Dessa forma, as inclusões geradas pelo SNIF-GPA mostram-se mais adequadas para serem utilizadas em métodos intervalares. Estes resultados não invalidam o uso das inclusões obtidas pelos outros métodos, pois há procedimentos capazes de lidar com inclusões mais largas. Entretanto, esses procedimentos, em geral, consomem tempo computacional considerável e, portanto, devem ser evitados.
TABELA 8-18–RESULTADO PARA O CRITÉRIO DE ADEQUAÇÃO À OTIMIZAÇÃO ROBUSTA INTERVALAR.
Largura do Intervalo de Saída para:
F1 F2 C1
Referência 447,9533 5,3504 5,5030
SNIF-GPA 1,38E+03 71,1565 27,6316
RBF-NN 1,76E+11 1,3E+10 5,19E+10
Universal Kriging 1,08E+05 2,36E+03 1,05E+04
O desenvolvimento do trabalho realizado nesta subseção e na subseção anterior resultou em um artigo intitulado “Appraisal of Surrogate Modeling Techniques: A Case Study of Electromagnetic
Device”, o qual foi aprovado para publicação no periódico IEEE Transactions on Magnetics.