Interval Robust Multi-Objective Evolutionary Algorithm – Minimax

Nesta seção, descreve-se o algoritmo evolucionário proposto para resolver o problema de otimização robusta estabelecido na Subseção 2.1.1. O algoritmo é denominado Interval Robust Multi-Objective

Evolutionary Algorithm – Minimax (IRMOEA-M). Sua estrutura geral assemelha-se com aquela

encontrada nos algoritmos evolucionários multiobjetivo tradicionais, pois apresenta os mecanismos de seleção, cruzamento, mutação e elitismo. No entanto, o IRMOEA-M possui uma característica peculiar que é a incorporação de mecanismos capazes de realizar o tratamento de incertezas pela abordagem robusta minimax via análise intervalar.

7.3.1 Estrutura Geral do IRMOEA-M

Inicialmente, apresentam-se as características gerais do algoritmo.

Espaço de incerteza: A formulação do problema a ser resolvido deve descrever como cada incerteza

age no problema, além disso, o intervalo de variação de cada um dos parâmetros de incerteza deve ser fornecido. Dessa forma, constrói-se um subpavimento para o espaço de incerteza do problema de acordo com Algoritmo 7-6.

População inicial: Para representação dos indivíduos foi utilizada a codificação real. A população

inicial é formada por pontos escolhidos aleatoriamente no domínio permitido para cada uma das variáveis de decisão.

Avaliação dos indivíduos: Realizada via operações intervalares a fim de avaliar o indivíduo frente a

cada uma das caixas do subpavimento de incerteza. Portanto, requer a função de inclusão para cada uma das funções objetivo do problema. Na avaliação do indivíduo, o processo de maximização da influência das incertezas pode ser feito por meio do ponto ideal de maximização 𝐮max ou da fronteira ideal de maximização 𝐅max, o que deve ser definido previamente, pois há peculiaridades no uso de cada um (e.g., a forma de computar dominância e distância da multidão).

Tratamento de restrições: Realizado por meio da avaliação intervalar das funções de restrição,

sendo assim, faz-se necessário ter a função de inclusão para cada uma das restrições do problema. O Algoritmo 7-10 descreve o processo de tratamento de restrições, que recebe como entrada um indivíduo 𝐱 e as caixas do subpavimento de incerteza. Como saída tem-se o valor das violações para as restrições, se o valor for zero significa que 𝐱 é factível, pois nenhuma restrição é violada para nenhuma das caixas do subpavimento de incerteza. No Algoritmo 7-10, para um dado 𝐱 e para cada restrição, é verificado se o limite superior do intervalo de saída dessa restrição é menor ou igual a zero, considerando-se todas as caixas do subpavimento. Nesse caso, não ocorre violação, caso contrário, há violação da restrição. Dessa forma, o indivíduo 𝐱 é penalizado de acordo com o nível de violação em cada restrição pela expressão presente no passo 4 do algoritmo. A violação das restrições é o primeiro critério utilizado para fazer o ranking dos indivíduos. Quanto maior a violação das restrições, pior é o ranking do indivíduo.

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Algoritmo 7-10– Tratamento de restrições para o indivíduo 𝐱.

Ordenação por não dominância: Realizada pela divisão em fronteiras de não dominância como

proposto no algoritmo NSGA-II (DEB et al., 2002). Se a maximização da influência das incertezas é feita pelo ponto ideal de maximização 𝐮max, utiliza-se a Definição 2-4 para verificar a dominância. Caso, se use a fronteira ideal de maximização 𝐅max a dominância é verificada pela Definição 7-4.

Distância da multidão: Feita conforme proposto no algoritmo NSGA-II (DEB et al., 2002). Todavia,

se a maximização da influência das incertezas é feita pela fronteira ideal de maximização 𝐅max, há necessidade de reduzir cada fronteira não-dominada pertencente a 𝐅max para um único ponto de referência antes de aplicar o algoritmo de distância da multidão. Nesta tese, definiu-se tal ponto de referência como sendo o valor médio em cada uma das dimensões considerando-se todos os pontos que compõem a fronteira não-dominada em questão.

Ranking dos indivíduos: Realizado de acordo com a violação das restrições, ordenação por não

dominância e distância da multidão. Inicialmente, faz-se o tratamento das restrições. Em seguida, realiza-se a ordenação por não dominância dos indivíduos factíveis. Por último, computa-se a distância da multidão para indivíduos pertencentes a uma mesma fronteira de não dominância.

Elitismo e geração de novos indivíduos: A escolha dos indivíduos que participam das operações

evolucionárias foi realizada pelo método de torneio. O simulated binary crossover e polynomial

mutation foram os operadores utilizados no cruzamento e mutação, respectivamente (DEB e

AGRAWAL, 1995). A estratégia elitista consistiu em juntar a população corrente com a população filha obtida pela aplicação dos operadores evolucionários e realizar o ranking nessa população de acordo com a violação das restrições, dominância e distância da multidão. Feito isso, os indivíduos com melhor ranking (até o limite máximo permitido para a população) seguem para a população seguinte.

O IRMOEA-M é descrito no Algoritmo 7-11. Os parâmetros de entrada requeridos pelo IRMOEA- M são: número de gerações, número de indivíduos na população, domínio das variáveis de decisão, tamanho do torneio, processo de maximização da influência das incertezas, intervalo dos parâmetros de incerteza, ε_p que indica o nível de precisão desejado no subpavimento de incerteza, funções de inclusão para as funções objetivo e restrições, probabilidade de cruzamento e probabilidade de mutação.

1. funcao violacao = tratamento_restricoes (𝐱, {[𝐩]₁, ..., [𝐩]_𝑛𝑠}) 2. Para j = 1 até n_g // Para cada restrição 𝑗 do problema.

2.1. Para i = 1 até ns // Para cada caixa [𝐩]i do subpavimento de incerteza.

2.2. wi = �gj�(𝐱, [𝐩]i)+ // Guarda em 𝑤𝑖 o pior valor da restrição j para cada caixa [𝐩]𝑖. 2.3. Fim Para.

2.4. pior_gj = max(𝐰); // Guarda o pior valor da restrição j considerando todo o 3. Fim Para. // subpavimento de incerteza dado por {[𝐩]₁, ..., [𝐩]_ns}. 4. violacao = 1000 × �∑ max�0, pior_g𝑛_j=1g _j��2 // Calcula a violação das restrições.

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Algoritmo 7-11– IRMOEA-M.