Algoritmo 7-13– IREA-M
8. EXPERIMENTOS E RESULTADOS
8.1 Aproximação de Funções de Inclusão em Problemas de Engenharia de Controle
8.1.3 Aplicação do [I]RMOA-II para Sintonia Robusta do Controlador PID no Problema do Motor de
O processo de encontrar a melhor configuração dos parâmetros de ganho é chamado de tuning ou sintonia, conforme dito na Seção 8.1. Além disso, verificou-se que na literatura os métodos eficientes para realizar a sintonia de controladores PID são formulados como um problema de otimização, o qual tem como objetivo otimizar uma ou mais características da resposta ao degrau unitário e medidas de desempenho relacionadas ao erro no estado estacionário. Diante disso, nesta subseção, apresenta-se o problema multiobjetivo de sintonia com incertezas nos parâmetros de ganho da seguinte forma:
min kp ∈ [10−10,20] ki ∈ [550,650] kd ∈ [10−10,5] max p ∈ [0,0.1] s. a 𝑓1, 𝑓2 𝑔1, 𝑔2, 𝑔3 (8-13)
sendo 𝑓1 o tempo de subida, 𝑓2 o ITAE, 𝑔1 singularidades da análise intervalar (configurações nas quais 𝑓1 ou 𝑓2 retornam not a number ou intervalos complexos devem ser descartadas), 𝑔2 outras singularidades (nem o tempo de subida nem o ITAE podem ser menores que zero) e 𝑔3 para verificar a estabilidade do sistema via critério de Routh-Hurwitz e polinômios de Kharitonov conforme explicado em (SOARES, 2008). Escolheram-se os critérios de tempo de subida e ITAE por serem objetivos mais seguros de serem otimizados dado que características como sobre-sinal e tempo de pico podem não existir, uma vez que nem sempre após a aplicação do degrau unitário há sobre-sinal. A planta utilizada é a do problema de posicionamento do motor de corrente contínua cuja função de transferência é definida pela expressão (8-5). Para 𝑓1 e 𝑓2 utilizaram-se as expressões (8-12) e (8-11), respectivamente. Ambas as expressões foram obtidas pelo SNIF-MOGPA conforme mostrado no fim da Subseção 8.1.2. Ressalta-se que a incerteza p foi inserida nas expressões (8-12) e (8-11) sendo somada a toda ocorrência de cada um dos parâmetros de ganho. Portanto, p é uma incerteza paramétrica. Assim, as funções objetivo e as restrições relativas ao problema (8-13) são dadas por:
𝑓1=
9(kd + p) + 2 sin(kp + p) + �47179100 + �(ki + p) +16952270446279061813219902325555200000 (kd + p)2+ 3(kd + p) + 47179
100
78
𝑓2=(kd + p)(kp + p)2+10000(kd + p) +143907 (kp + p) �(kp + p) − (kp + p)(kd + p)� (kd + p)2�(kd + p) + (kp + p) − (kp + p) (ki + p) � (8-15) 𝑔1= �𝑖𝑠𝑛𝑎𝑛(𝑓1) ∨ 𝑖𝑠𝑛𝑎𝑛(𝑓2) ∨ ~𝑖𝑠𝑟𝑒𝑎𝑙(𝑓1) ∨ ~𝑖𝑠𝑟𝑒𝑎𝑙(𝑓2)� for zero. (8-16) 𝑔2= 𝑓1≥ 0 e 𝑓2≥ 0 (8-17) 𝑔3= (JL)s4+ (JR + BL)s3+ (BR + K2+ K(kd + p)−)s2+ (K(kp + p)+)s + K(ki + p)+ e (JL)s4+ (JR + BL)s3+ (BR + K2+ K(kd + p)−)s2+ (K(kp + p)−)s + K(ki + p)+ satisfizerem Routh-Hurwitz (8-18)sendo que isnan e isreal são funções do toolbox INTLAB (RUMP, 1999). A função isnan retorna 1 se o argumento fornecido for not a number, caso contrário, retorna 0. A função isreal retorna 1 se o argumento fornecido não tiver parte imaginária, caso contrário, retorna 0. Os valores dos parâmetros que aparecem na restrição g3 foram definidos na Tabela 8-1 localizada na Subseção 8.1.1.
Para resolver (8-13) utilizou-se o algoritmo [I]RMOA II proposto em (SOARES, 2008). O [I]RMOA II tem como objetivo envelopar as soluções robustas eficientes. Inicialmente, divide-se o domínio das incertezas P em caixas de acordo com o parâmetro de precisão εp, o qual é associado à largura dessas. Em seguida, faz-se o tratamento das restrições que consiste em determinar o subpavimento viável do espaço de busca quando perturbado por todas as caixas obtidas de P. O espaço de busca X é bisseccionado segundo o parâmetro de precisão εx. Com isso, têm-se caixas que ao serem perturbadas: i) satisfazem todas as restrições; ii) não satisfazem nenhuma das restrições; iii) satisfazem algumas restrições. No primeiro caso, a caixa é incluída no subpavimento viável, no segundo pode-se excluir a caixa, e no último é preciso verificar se a caixa ainda não atingiu εx e, nesse caso, deve-se bisseccioná-la, caso contrário, como a precisão requerida foi alcançada não se pode afirmar que a caixa é totalmente viável ou inviável. O tratamento das restrições é realizado por testes de inclusão, por exemplo, no caso de uma restrição de desigualdade é verificado se o intervalo de saída da caixa está contido no intervalo [−∞, 0]. Por último, o [I]RMOA II calcula o 𝐮max para cada caixa do subpavimento viável quando perturbada por todas as caixas obtidas de P. Dessa forma, é capaz de realizar a exclusão das caixas não robustas via critério de dominância. Ao final da execução do algoritmo as caixas que compõem o envelope sobre as soluções robustas são obtidas. Mais detalhes do [I]RMOA II podem ser consultados em (SOARES, 2008).
Salienta-se que em (SOARES, 2008), visto a dificuldade em obter as funções de inclusão referentes às funções de otimização para um controlador PID, o [I]RMOA II foi aplicado a um problema de sintonia do controlador PD. Assim, nesta tese, uma das contribuições foi tornar o
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[I]RMOA II aplicável a problemas com controladores PID. Nesse caso, utilizaram-se funções de inclusão aproximadas, as quais foram obtidas pela aplicação do Teorema 2 às expressões analíticas para as funções de otimização do problema retornadas pelo SNIF-MOGPA.
O resultado da aplicação do algoritmo [I]RMOA II com 𝐮max para a maximização das incertezas
no problema (8-13) é mostrado na Figura 8-3. Os parâmetros εp= 0,05 e εx= 0,6 são utilizados no algoritmo. Ressalta-se que alguns pontos da fronteira robusta ao serem impressos no gráfico parecem dominados, porém o que ocorre é que valor de 𝑓2 de tais pontos é bem próximo, diferenciando-se apenas em torno da nona casa decimal.
Figura 8-3 – Fronteira robusta do problema (8-13) obtida pelo [I]RMOA-II utilizando-se 𝐮maxcom εx= 0,6 e εp= 0,05.
A Figura 8-4 exibe o espaço das variáveis de decisão com as 617 soluções robustas encontradas pelo [I]RMOA-II. O parâmetro ki tem variação considerável dentro da faixa permitida, o kd tem um valor bem restrito que é de 4,84 em todas as soluções, por fim o kp apresenta alguma variação dentro do domínio. Assim, nesse problema, o parâmetro kd é mais sensível ao efeito das incertezas, uma vez que possui um valor único para todas as soluções robustas encontradas. Os valores dos parâmetros de ganho são exibidos como um escalar, pois pega-se o centro da caixa intervalar.
Figura 8-4 – Soluções robustas no espaço das variáveis de decisão.
2.62 2.64 2.66 2.68 2.7 2.72 2.74 x 10-4 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2x 10 -4 f1 f2 0 5 10 15 20 550 600 6503.5 4 4.5 5 5.5 6 Kd Kp Ki
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A Figura 8-5 mostra a resposta ao degrau unitário considerando-se todas as soluções robustas. Nota-se que o controlador PID apresenta boa sintonia para qualquer uma das configurações robustas escolhidas, as quais, inclusive, conduzem a resultados praticamente idênticos.
Figura 8-5 – Resposta ao degrau unitário das 617 soluções robustas.
O decisor deve utilizar alguma técnica de tomada de decisão para optar por uma das soluções robustas obtidas. Como ilustração escolheu-se a solução kp= 3,28, ki= 573,63 e kd=4,84, para a qual se apresentam os valores das funções objetivo considerando-se o pior caso de atuação das incertezas paramétricas: 𝑓1=2,66e-004 e 𝑓2=4,71e-004.