Assim como no problema de equalização cega, discutido no capítulo 3, os primeiros resultados na separação cega de fontes não vieram de profundos estudos teóricos, mas foram frutos de trabalhos empíricos. O seu marco inicial é atribuído ao trabalho de Hérault, Jutten e Ans, no qual os autores propuseram um método
de separação baseado em modelos de redes neurais artificiais (J. Hérault, C. Jutten, B. Ans, 1985). A figura 4.3 exibe a estrutura do sistema separador proposto para um caso de duas fontes e duas misturas.
Figura 4.3: Estrutura de separação do método de Hérault, Jutten e Ans Os sinais de saída do sistema de separação são dados pelas equações:
y1 = x1− m21y2, (4.6)
y2 = x2− m12y1. (4.7)
A idéia desta estrutura é remover do sinal x1 a informação referente à fonte
recuperada y2, ponderada pelo peso m21. Este procedimento, aplicado em cada
saída, levaria à separação das fontes. Em um caso com um número qualquer de fontes, e o mesmo número de misturas, a saída é dada por:
y= x − My. (4.8)
onde M representa a matriz de pesos de realimentação mij, com mij = 0 para
i = j, e x e y são, respectivamente, os vetores compostos pelos sinais de entrada e saída do sistema de separação. Utilizando o método do gradiente, os autores obtiveram a seguinte regra de atualização dos pesos de realimentação:
mij[n + 1] = mij[n + 1] − µE{yiyj}. (4.9)
Este algoritmo converge quando E{yiyj} = 0, o que significa a descorrelação
adotada no CMA multiusuário, onde se tenta distanciar as soluções encontradas em cada saída reduzindo a correlação entre elas. No entanto, é possível obter infinitas soluções do processo descrito pela equação 4.9 sem que os sinais obtidos correspondam às fontes, ou seja, garantir a descorrelação não implica na separação. Os autores concluíram que, para que o método funcionasse, seria necessário incluir de alguma forma informações contidas em estatísticas de ordem superior dos sinais, uma vez que a correlação, uma estatística de segunda ordem, não era suficiente. Mesmo sem uma formalização rigorosa, eles modificaram a regra de adaptação, aplicando funções não lineares f(·) e g(·) sobre as saídas do separador, obtendo a seguinte regra de atualização:
mij[n + 1] = mij[n + 1] − µE{f(yi)g(yj)}. (4.10)
Deste modo tentou-se minimizar a correlação não-linear, o que de fato inclui estatísticas de ordem superior. Este novo método mostrou-se eficaz na separação em alguns cenários, sendo a primeira aplicação bem sucedida de separação cega de fontes. Porém a maior contribuição deste trabalho foi evidenciar a necessidade do uso de estatísticas de ordem superior para resolver o problema de BSS, de forma semelhante ao que ocorre na equalização cega.
O trabalho de Pierre Comon (P. Comon, 1994) levou a um entendimento maior sobre como explorar as estatística de ordem superior em separação cega de fontes. A principal contribuição deste trabalho consiste em mostrar que, sob certas condições, recuperar a independência estatística entre as saída do sistema separador acarreta na recuperação das fontes. Para isso, utilizou como base o teorema de Darmoir- Skitovich (A. M. Kagan, Y. V. Linnik, C. R. Rao, 1973). De acordo com este teorema, se s1, s2, · · · , sN formam um conjunto de variáveis aleatórias de média
nula e independentes entre si, e x1 e x2, são variáveis aleatórias dadas por:
x1 = a1s1+ a2s2+ · · · + aNsN, (4.11)
x2 = b1s1+ b2s2+ · · · + bNsN, (4.12)
serão variáveis com distribuição gaussiana.
Observe que a descrição de x1 e x2 fornecida pelo teorema coincide com a
definição de mistura linear instantânea das fontes si. A análise deste teorema leva a
conclusão de que não é possível obter sinais independentes a partir da combinação linear de sinais independentes e não-gaussianos. Se os coeficientes ai e bi descrevem
a resposta combinada da mistura e separação, a independência das saídas só será atingida de o processo de mistura for revertido.
A constatação de que buscar a independência das saídas do separador implica, sobre a hipótese que as fontes são independentes entre si, na recuperação das fontes deu origem ao método conhecido como Análise de Componentes Independentes. Realizar a ICA sobre um vetor de misturas lineares e instantâneas x é encontrar uma matriz de separação W de tal forma que os elementos de
y= Wx, (4.13)
sejam tão estatisticamente independentes quanto possível.
Este resultado, porém, possui duas restrições importantes: a primeira é a linearidade do processo de mistura e separação; a segunda é a restrição quanto à gaussianidade das fontes. De fato, se mais de uma fonte for gaussiana, ou se o processo de mistura for não-linear, é possível obter sistemas lineares que resultem em um vetor y com elementos independentes entre si, porém que não correspondam às fontes.
Assim como na equalização cega, a separação cega de fontes via ICA está sujeita a algumas ambiguidades. A independência dos elementos de y não será afetada se eles forem dispostos em uma ordem arbitrária, ou se forem multiplicados por um fator de escala diferentes. Portanto, o vetor y encontrado será da forma:
y= ΛPs, (4.14)
Onde Λ é uma matriz diagonal contendo os fatores de escala e P é uma matriz de permutação. Em diversas aplicações esta indeterminação de permutação e escala não apresenta maiores complicações. No caso dos sistemas de comunicações o fator
de escala pode ser em geral ignorado, pois sempre podemos realizar a normalização dos sinais após a separação. Já a permutação entre os sinais recuperados implica em indeterminar os destinatários de cada mensagem, o que é um grande inconveniente. Para evitar o problema de permutação é necessário que alguma informação adicional sobre os sinais transmitidos, capaz de diferenciá-los, esteja disponível.
A relação entre independência e a separação das fontes formaliza a necessidade do uso de estatísticas de ordem superior, uma vez que determinar a independência entre duas variáveis aleatórias envolve determinar suas densidades de probabilidade, o que implica no conhecimento de todas as suas estatísticas.