CFICA

Um possível método para realizar a separação de misturas lineares e convolutivas, nas quais o vetor observado é resultado da combinação linear de L amostras das fontes, é dividir o problema em um conjunto de L misturas lineares instantâneas, cada uma relativa a um atraso temporal de zero à L. Cada uma das matrizes de separação pode ser encontrada por um método qualquer de ICA para misturas instantâneas, e os sinais recuperados são recombinados por um filtro linear para recompor os sinais fontes. Porém, processo de separação via ICA possui

ambiguidades de permutação e escala na obtenção das matrizes, que devem ser resolvidas para a recuperação das fontes (D. Yellin, E. Weinstein, 1994).

O algoritmo CFICA (Convolutive FastICA) (J. Thomas, Y. Deville, S. Hosseini, 2004) utiliza este método baseado no domínio do tempo para a separação de misturas convolutivas, empregando o FastICA para resolver cada matriz de mistura instantânea de forma independente. Assim como no FastICA, ao utilizar o CFICA os dados observados devem ser previamente branqueados. Porém, é necessário que nesta versão convolutiva o processo de branqueamento seja espaço-temporal, ou seja, que as amostras do vetor

˜

x= [x1(n) · · · x1(n − L) · · · xm(n) · · · xm(n − L)], (4.35)

onde o índice m denota à m-ésima mistura observada, sejam descorrelacionadas entre si. Sobre estes sinais branqueados é aplicado o método de extração serial de fontes utilizando o FastICA, recuperando o chamado processo de inovação, ei da i-ésima

fonte, a menos de um fator de escala e de um atraso. O processo de inovação é a parcela de informação contida em uma amostra do sinal que não pode ser inferida com base em um conjunto de amostras anteriores, de forma semelhante ao erro de predição. A fonte é recuperada quando este processo de inovação passa por um filtro de coloração, cik, obtido de modo a reduzir o erro quadrático médio entre o k-ésimo

sinal de mistura e o processo de inovação ei. Este filtro pode ser encontrado por

meio do critério de Wiener, dado para este caso por

cik = R−1ei peixk. (4.36)

A i-ésima fonte recuperada e então dada por

yi = cik ⊗ ei (4.37)

onde ⊗ denota a operação de convolução. A contribuição desta fonte é removida de todas as amostras do vetor de misturas, antes que um novo processo de extração se inicie para a próxima fonte.

4.5

Sumário

Neste capítulo apresentamos a principal ferramenta para separação cega de fontes, a análise de componentes independentes. Esta técnica se baseia nas hipóteses que as fontes são sinais não-gaussianos independentes entre si, e que o processo de mistura é linear. Sob estas restrições, recuperar um conjunto de sinais independentes a partir das misturas leva à recuperação das fontes. Interessante notar que estas restrições são geralmente satisfeitas em sistemas de comunicações ópticas com multiplexação de polarização, o que permite o uso de algoritmos baseados em ICA para a recuperação dos sinais transmitidos. Conforme o modelo do canal apresentado no capítulo 2, o processo de mistura em tais sistemas é, de forma geral, convolutivo. Isso leva a necessidade de empregar algoritmos de separação mais complexos e menos eficientes. Uma alternativa, proposta em nosso trabalho, é utilizar um processo de separação para misturas instantâneas em conjunto com equalização dos sinais, baseando-se para isso em um modelo simplificado do canal. Uma descrição do processo de separação utilizando este conceito e um conjunto de simulações avaliando seu desempenho são mostrados no capítulo 5.

5

Aplicação de ICA em Sistemas Ópticos

PDM

O foco deste trabalho é aplicar algoritmos baseados em análise de componentes independentes para promover a separação de sinais em sistemas ópticos com multiplexação de polarização, acreditando que isso poderia melhorar o desempenho destes sistemas, em especial aumentando sua robustez a perda de sinais transmitidos devido à presença de PDL. Propomos um modelo de mistura simplificado de canal que considera que o processo de mistura dos sinais transmitidos é instantâneo, o que permite o uso de conceituados métodos de separação de fontes. Neste capítulo, avaliamos desempenho obtido através desta abordagem por meio de simulações comparativas, verificando os limites da técnica proposta em função dos principais fenômenos de distorção presentes na fibra.

5.1

Modelo de Mistura em Sistemas PDM

O modelo do canal fornecido na seção 2.6, e reproduzido aqui por conveniência, indica contudo que o canal promove uma mistura linear convolutiva dos sinais, o que requer algoritmos de separação adequados para este tipo de mistura.

" rx[n] ry[n] # = " hT xx[n] hTxy[n] hT yx[n] hTyy[n] # " s_x[n] s_y[n] # ejφ+ " ηx[n] ηy[n] # . (5.1)

Contudo, esta categoria de algoritmos não possui a mesma eficiência que os métodos voltados para misturas instantâneas, além de apresentarem uma complexidade computacional muito maior. O caráter convolutivo da mistura é introduzido pela PMD, que causa alargamentos temporais diferentes dos sinais em cada polarização. Na ausência desta dispersão os filtros lineares hxx[n], hxy[n],

hyx[n] e hyy[n] passam a descrever apenas o efeito da PDL, que introduz misturas

instantâneas, e da dispersão cromática, que, de acordo com o modelo fornecido na seção 2.5.1, causa o mesmo alargamento temporal dos sinais em ambas polarizações. Propusemos então um modelo simplificado de mistura baseado nesse cenário, considerando que cada sinal transmitido passa por um filtro linear que modela os efeitos da dispersão cromática, descrito pelo vetor hCD, e, em seguida, sofre uma

mistura linear instantânea, representada pela matriz A, levando em conta o efeito da PDL. O modelo do canal é então reduzido a

" rx[n] ry[n] # = A " hT_CD 0 0 hT_CD # " sx[n] sy[n] # ejφ+ " ηx[n] ηy[n] # . (5.2)

Este modelo permite realizar um processo de separação instantâneo, revertendo os efeitos da mistura e da PDL, e posterior equalização da dispersão cromática sobre os sinais separados. A figura 5.1 exibe o modelo simplificado do canal e a estrutura do equalizador.

Este modelo foi baseado na hipótese de que a dispersão cromática presente nos dois modos de polarização é semelhante. De fato, os modelos presentes na literatura não diferenciam a CD em cada uma das polarizações. É razoável, porém, assumir

Figura 5.1: Modelo simplificado do canal e estrutura de separação

que existam diferenças sutis entre os parâmetros de dispersão em cada polarização, devido às mesmas imperfeições de fabricação que originam a PMD. Deste modo é possível que o modelo proposto perca sua validade a partir de um dado limite de dispersão cromática. Em contrapartida, embora o modelo assuma a ausência de PMD, é provável que o processo de separação e equalização através da estrutura proposta seja viável para valores baixos de PMD.

Estes limites foram determinados a partir de simulações utilizando dois algoritmos diferentes para a etapa de separação instantânea, o FastICA e o JADE. Estes dois algoritmos foram escolhidos por possuírem considerável reputação na comunidade de separação cega de fontes, não só por sua robustez em diversos cenários mas também pela velocidade de convergência em relação ao custo computacional. Realizamos a equalização dos sinais recuperados através do algoritmo CMA. A estrutura do sistema de separação e equalização assume, portanto, um aspecto similar ao modelo de canal simplificado, com uma matriz de separação e dois filtros lineares.

Outra abordagem, mais clássica, é considerar o processo convolutivo da mistura e utilizar uma estrutura convencional para a separação de misturas com memória. Seguindo este conceito, utilizamos o algoritmo CFICA para a separação de misturas convolutivas, seguindo com a equalização por meio do CMA.