sistemas PDM
O algoritmo CMA multiusuário, apresentado na secção 3.3.1, é o método mais comum para equalização em sistemas ópticos com multiplexação de polarização. Nesta aplicação particular, o sistema a ser equalizado, descrito pela equação 2.29, é um sistema linear MIMO 2x2. Utiliza-se então um equalizador MIMO FIR com quatro filtros complexos de comprimento L. A figura 3.5 exibe um esquema deste equalizador, onde ˜sx[n] e ˜sy[n] são estimativas após a equalização dos sinais
transmitidos sx[n] e sy[n].
Figura 3.5: Equalizador MIMO FIR de um sistema PDM
Aplicando a equação 3.28 para este caso 2x2, obtemos a seguinte regra de atualização do MUCMA
wx(n + 1) = wx(n) + µrx[n] ( ˜ sx[n](|˜sx[n]|2− R2) + ¯γ L X δ=0 rxy(δ)˜sx[n − δ] ) ,(3.29) wy(n + 1) = wy(n) + µry[n] ( ˜ sy[n](|˜sy[n]|2− R2) + ¯γ L X δ=0 rxy(δ)˜sy[n − δ] ) ,(3.30)
onde os vetores wx e wy são dados por:
wx= [wxx wyx],
wy= [wxy wyy].
3.5
Sumário
Neste capítulo introduzimos os principais critérios e algoritmos de equalização adaptativa, tanto supervisionada quanto não-supervisionada. Apresentamos a derivação destes algoritmos para o caso SISO, e, em seguida, expandimos estes resultados para equalizadores MIMO, como os que são utilizados para a separação e equalização dos sinais em sistemas ópticos com multiplexação de polarização. Este desenvolvimento culminou com a descrição do CMA multiusuário, o algoritmo mais comum neste tipo de sistema, que tem como princípio utilizar independentemente o critério CM em cada saída do equalizador, porém penalizando a correlação entre os sinais obtidos, na tentativa de evitar singularidades. Como mencionado na secção 3.3.1, a inclusão deste termo de descorrelação na função custo do critério CM reduz, porém não elimina, a possibilidade de singularidade dos sinais equalizados. Isso depende fortemente do valor do peso de descorrelação, ¯γ, e da correlação entre os sinais recebidos. Por outro lado, aumentar o valor de ¯γ para evitar singularidades tem impacto negativo sobre a velocidade de convergência e desempenho do equalizador no que se refere ao erro quadrático médio.
Resultados experimentais em (H. Zang, Z. Tao, L. Liu,S. Oda, T. Hoshida, J. C. Rasmussen, 2009), utilizando sistemas back-to-back, mostraram que o efeito do ângulo do PBS de recepção sobre a correlação dos sinais leva a uma maior probabilidade de perda de fontes quando o MUCMA é utilizado. Porém, dentre os efeitos tratados na seção 2.5, a correlação entre sinais recebidos depende principalmente da perda dependente de polarização. Além de diversos efeitos indesejáveis, a PDL pode causar uma atenuação maior em apenas um dos sinais transmitidos. O sinal não atenuado predomina sobre as duas misturas recebidas e compromete a separação por meio do MUCMA. Uma proposta para solucionar o problema de singularidade nestes sistemas é realizar a etapa de separação antes da etapa de equalização, utilizando um critério mais poderoso que evitar a correlação linear das misturas. A proposta deste trabalho é realizar a demultiplexação de polarização por meio de algoritmos desenvolvidos para separação cega de fontes, assunto abordado no próximo capítulo
4
Separação Cega de Fontes
No capítulo 3 vimos a principal técnica de equalização utilizada para a recuperação dos sinais transmitidos em sistemas multiplexados em polarização: o CMA multiusuário. Esta técnica é, na verdade, uma extensão do critério CM aplicado a sistemas SISO, utilizando o artifício de penalizar a correlação entre as saídas do equalizador para evitar a convergência para soluções singulares. A proposta de nosso trabalho é adotar um novo paradigma, em que o processo de separação é encarado como uma etapa independente da equalização.
Realizar a separação dos sinais em um contexto não-supervisionado é um conhecido como Separação Cega de Fontes (BSS - Blind Source Separation), que consiste em recuperar um conjunto de sinais de interesse a partir da observação de suas misturas, sem conhecimento do sistema misturador, e sem dispor de amostras dos sinais originais. A figura 4.1 ilustra um processo de mistura entre P fontes, resultando em M sinais observados. Realizar a separação das fontes requer encontrar um sistema que, utilizando as observações dos sinais misturados, forneça uma boa
estimativa das fontes.
Figura 4.1: Processo genérico de mistura e separação
As técnicas de separação cega de fontes têm encontrado diversas aplicações. Dentre as área de maior interesse estão o processamento de dados biomédicos como eletrocardiograma (ECG) (L. de Lathauwer, B. de Moor, J. Vandewalle, 2000) (J. Lee, K.L. Park, K.J. Lee, 2005), eletroencefalograma (EEG) (C. J. James, O.J. Gibson, 2003) (W. Zhou, J. Zhou, H. Zhao, L. Ju, n.d.), Ressonância Magnética Funcional (fMRI) (S. Dodel, J. M. Herrmann, T. Geisel, 2000), entre outros, onde os sinais captados por sensores são compostos por misturas dos sinais biomédicos de interesse. Processamento de áudio e de imagens também fazem uso de ferramentas de separação de fontes (N. Mitianoudis, M. E. Davies, 2003) (S. Makino, S. Araki, R. Mukai, H. Sawada, 2004) (H. Buchner, R. Aichner, W. Kellermann, 2005). Diversos problemas de sensoriamento também já utilizam técnicas de BSS com sucesso (S. T. Kaplan, 2003) (S. Choi, A. Cichocki, H. M. Park, S.-Y. Lee, 2005). Há também aplicações em comunicações, em especial em sistemas sem-fio de múltiplo acesso (V. Zarzoso, A. K. Nandi, 2004) (C. S. Wong, D. Obradovic, N. Madhu, 2003). É interessante notar que em muitas destas aplicações é impossível ter acesso direto às fontes, inviabilizando o emprego de técnicas supervisionadas.
A motivação em utilizar técnicas de BSS em sistemas multiplexados em polarização é garantir, por meio de critérios mais poderosos que o de descorrelação dos sinais equalizados, a não convergência das saída do equalizador para soluções singulares. Além disso, o modelo linear do canal óptico apresentado no capítulo 2 apresenta características favoráveis à aplicação de técnicas consagradas de separação
de fontes.
Neste capítulo introduziremos os conceitos básicos da separação cega de fontes e de sua principal técnica, a Análise de Componentes Independentes (ICA - Independent Component Analysis). Apresentaremos alguns dos diversos critérios utilizados em ICA e os algoritmos deles derivados.
4.1
Formalização da BSS
Consideremos o processo de mistura ilustrado na figura 4.1 onde a entrada do sistema misturador é o conjunto de amostras de P fontes no instante n, representados pelo vetor s[n], e sua saída é representada pelo vetor de M misturas no instante n, x[n]. O processo de mistura pode ser então representado uma função F(·) das fontes:
x[n] = F (s[n], · · · , s[n − L + 1]) . (4.1)
O sistema separador deve portanto realizar o mapeamento inverso de F (·), supondo que este seja inversível, para recuperar as fontes a partir das misturas. Este modelo não coloca qualquer restrição sobre o processo de mistura, que pode ou não ser linear ou invariante no tempo. Além disso, de forma geral, as misturas são função das amostras da fonte desde o instante atual até L amostras passadas.
Uma descrição tão abrangente do processo de mistura é um dois principais trunfos das técnicas de separação cega de fontes, já que este processo por ser utilizado para modelar diversas situações práticas. No entanto, esta mesma formulação geral evidencia as limitações atuais das técnicas de BSS, já que ainda não existe um método que seja aplicável a todos os processos de mistura que possam ser descritos pela equação 4.1. Ao invés disso, as técnicas consolidadas de separação se concentram em casos particulares da função de mistura. Uma restrição muito frequente é que F (·) seja uma função linear, ou seja, atenda ao princípio da sobreposição. A maioria das soluções encontradas para resolver a separação cega de fontes considera a linearidade da mistura. Alguns casos particulares de misturas não-lineares, em particular as chamadas misturas com não-linearidade posterior, também podem ser resolvidos.
Outro ponto fundamental é saber se as misturas são funções de amostras passadas das fontes, ou seja, se L > 1 na equação 4.1. Esse tipo de mistura é dita com memória, ou convolutiva. Se as misturas são funções dependentes apenas da amostra atual das fontes, ou seja, se L = 1, dizemos que essa é uma mistura instantânea.
O caso mais simples de mistura, e onde a maioria das soluções de BSS estão concentradas, é a mistura linear e instantânea. Neste caso, F (·) é reduzida a uma matriz de mistura AP ×M, e o vetor de observações é expresso por:
x[n] = As[n]. (4.2)
Considerando que a matriz A é inversível, o sistema separador também pode ser descrito como um matriz WM ×P, de forma que:
W= A−1, (4.3) y[n] = WAs[n] = s[n], (4.4)
onde o vetor y[n] corresponde à estimativa das fontes.
Em uma mistura linear e convolutiva, existe uma matriz de mistura para cada atraso até L − 1, e o vetor de observações é dado por:
x[n] =
L−1
X
l=0
Als[n − l]. (4.5)
Para realizar a separação, uma estrutura similar com L matrizes de separação deve ser utilizada. A figura 4.2 mostra um esquema de sistemas de misturas lineares convolutivas e instantâneas. Em geral, as técnicas de separação de fontes em misturas convolutivas utilizam extensões de soluções para misturas instantâneas.
Outro ponto de interesse no mapeamento do processo de mistura é a relação entre o número de sinais observados, M, e o número de fontes, P . Quando obtemos um número maior de misturas do que fontes, dizemos que este é um sistema sobre- determinado. Em contrapartida, um processo que resulte em um número menor de
Figura 4.2: Processo de mistura instantânea (a) e convolutiva (b) em um caso com duas fontes e duas misturas
misturas que o de fontes é denominado subdeterminado. Em geral, um processo sobre-determinado é mais fácil de ser resolvido, uma vez que existe mais informação disponível sobre o processo de mistura. A maior parte dos métodos de separação não pode recuperar todas as fontes se o sistema for subdeterminado.