Enxame de Partículas para Problemas com Muitos Objetivos
7.1 ANÁLISE DA CONVERGÊNCIA E DO IGD DOS ALGORITMOS
7.1.2 Análise para o Problema DTLZ3
As Figuras 7.3 e 7.4 apresentam os resultados para o problema DTLZ3. Os valores da mé- trica de convergência para o MOPSO-GD são muito baixos e se aproximam de zero quando o número de objetivos aumenta como é mostrado na Figura 7.3. Analisando a Figura 7.3, observa-se que, em todas as instâncias, a convergência do MOPSO-GD é melhor que a dos outros algoritmos. Com exceção da instância de 5 objetivos, apenas alguns outliers aparecem ao invés da caixa típica dos boxplots, indicando que em algumas execuções o MOPSO-GD não convergiu precisamente para a Frente de Pareto. Para a instância com 50 objetivos, não existem nem outliers. Nessa instância, o valor da convergência do MOPSO-GD foi zero em todas as execuções do algoritmo e por isso seu boxplot não aparece na Figura 7.3.
Os algoritmos MOPSO-CDR e SMPSO obtiveram novamente os piores valores de conver- gência em todas as instâncias do problema. Nesse problema, a convergência alcançou valores na ordem de 102 para esses dois algoritmos. Isso ocorreu porque esse problema é bastante difícil em termos de convergência devido à suas múltiplas Frentes de Pareto locais. O CEGA e o MDFA alcançaram valores similares de convergência em toda as instâncias dos proble- mas. É importante assinalar que à medida que número de objetivos aumenta, os valores de convergência do CEGA e MDFA se tornam cada vez piores, o que não ocorre no MOPSO-GD.
10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 100 102 104 MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
5 Objetivos
Convergência
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
10 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
15 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
20 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
30 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
50 Objetivos
Figura 7.3 Métrica convergência para o problema DTLZ3.
A Figura 7.4 apresenta os valores de IGD dos algoritmos para todas as instâncias do pro- blema. De acordo com essa figura, os valores de IGD do MOPSO-CDR e SMPSO foram no- vamente os piores entre todos os algoritmos. O IGD do CEGA, MDFA e MOPSO-GD foram similares em todas as instâncias. Contudo, observa-se que o IGD do MOPSO-GD é ligeira- mente menor que o do CEGA e do MDFA, principalmente para instâncias com um grande número de objetivos (com mais de 20 objetivos). Em suma, o MOPSO-GD apresenta um me- lhor desempenho que os outros algoritmos em termos de convergência em várias ordens de magnitude e também mostra a menor métrica de IGD que todos os algoritmos (até mesmo melhor que o CEGA e MDFA).
10−1 100 101 102
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
5 Objetivos
IGD
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
10 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
15 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
20 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
30 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
50 Objetivos
Figura 7.4 Métrica IGD para o problema DTLZ3.
7.1.3 Análise para o Problema DTLZ4
As Figuras 7.5 e 7.6 apresentam os resultados para o problema DTLZ4. Para a instância do problema com 5 objetivos, a convergência do CEGA e do MDFA é ligeiramente melhor que o do MOPSO-GD. Contudo, com o crescimento do número de objetivos, a convergência do MOPSO-GD se torna cada vez melhor. A partir de 10 objetivos, muitos valores de convergência são zero e por isso, com exceção de alguns outliers, seus valores não aparecem nas figura. Para acima de 20 objetivos, os boxplots do MOPSO-GD nem aparecem na Figura 7.5. Em termos de IGD, todos os algoritmos apresentam resultados muito similares. Entretanto, vale ressaltar que para a instância de 5 objetivos, o SMPSO e o MOPSO-CDR apresentaram valores mais baixos de IGD que o CEGA, MDFA e MOPSO-GD.
10−12 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 100 MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
5 Objetivos
Convergência
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
10 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
15 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
20 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
30 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
50 Objetivos
7.1 ANÁLISE DA CONVERGÊNCIA E DO IGD DOS ALGORITMOS 97
10−2 10−1 100
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
5 Objetivos
IGD
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
10 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
15 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
20 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
30 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
50 Objetivos
Figura 7.6 Métrica IGD para o problema DTLZ4.
7.1.4 Análise para o Problema DTLZ6
As Figuras 7.7 e 7.8 apresentam os resultados para o problema DTLZ6. O valor da métrica de convergência para o MOPSO-GD é muito menor que a de todos os outros algoritmos em todas as instâncias do problema. Entretanto, é interessante observar que a convergência do MOPSO-GD varia sobre várias ordens de magnitude como indicado pelo tamanho das caixas correspondentes e outliers. Uma razão para isso pode ser o fato de que o problema DTLZ6 é um problema degenerado com muitas Frentes de Pareto locais. Em termos de IGD, de um modo geral, os resultados são similares para todos os algoritmos com exceção do MOPSO-CDR.
10−18 10−15 10−12 10−9 10−6 10−3 100 MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
5 Objetivos
Convergência
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
10 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
15 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
20 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
30 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
50 Objetivos
10−1 100
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
5 Objetivos
IGD
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
10 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
15 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
20 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
30 Objetivos
MOPSOCDR
SMPSO CEGA MDFA
MOPSOGD
50 Objetivos
Figura 7.8 Métrica IGD para o problema DTLZ6.
7.1.5 Discussão dos Resultados para a Convergência e IGD
Os algoritmos MOPSO-CDR e SMPSO foram os que apresentaram piores valores em termos de convergência. Isto está de acordo com a literatura, no que diz respeito as desvantagens da dominância de Pareto. A explicação para essa incapacidade de convergência é que com o aumento do número de objetivos todas as soluções praticamente se tornam não-dominadas e o critério de escolha dos lideres nesses algoritmos é baseado somente no CD. O CD por sua vez privilegia soluções que estão muito longe dos seus vizinhos. Dessa forma, as soluções tendem a divergir uma das outras e assim a convergência para a Frente de Pareto é comprometida nesses algoritmos. Uma explicação desse mesmo fenômeno para o caso do NSGA II pode ser encontrada em [PF03]. O NSGA II assim como o MOPSO-CDR e o SMPSO utiliza o CD como estimador de densidade. Em suma, o MOPSO-CDR e o SMPSO além de não convergirem para a Frente de Pareto por causa da dominância de Pareto, eles podem acabar se afastando dela por causa do CD.
Por outro lado, quando métodos como o do GD e o do MDFA são usados, a convergência é privilegiada. Esse é o caso do MOPSO-GD que apresentou, em geral, uma melhor capacidade de convergência entre os algoritmos comparados. É importante destacar que o MOPSO-GD não tem um mecanismo explícito de diversidade. Por outro lado, a diversidade das soluções é mantida pelo uso da dominância de Pareto. Entretanto, quando o número de objetivos aumenta, a tendência é que as soluções do MOPSO-GD convirjam para um único ponto sobre a Frente de Pareto. No entanto, essa não é uma característica particular do MOPSO-GD; pois o MDFA e principalmente o CEGA tem um comportamento similar. Em suma, apesar da boa capacidade de convergência do MOPSO-GD, CEGA, MDFA, eles apresentam uma dificuldade em comum: todos eles convergem para uma região pequena e específica da Frente de Pareto.