A análise da covariância é assim denominada quando se procede a análise da variância simultaneamente para duas ou mais variáveis. Geralmente, como resultado de um experimento, têm-se uma variável (Y) dependente principal e uma ou mais variáveis (X1,X2,...)
dependentes secundárias denominadas de covariáveis. Considerando-se que, estas covariáveis são correlacionadas entre si e com a variável principal e podem ser ou não dependentes dos tratamentos (de efeito fixo ou de efeito aleatório) a análise da covariância tem as suas aplicações classificadas em: a) auxiliar na interpretação dos dados experimentais; b) decompor a covariância total em componentes; c) controlar o erro e aumentar a precisão da análise de dados; d) ajustar as médias dos tratamentos em função das médias das covariáveis; e) estimar dados perdidos. Algumas destas aplicações serão discutidas a seguir.
10.2 - A covariância como auxiliar na interpretação
Sejam os experimentos em que os tratamentos são qualitativos de efeito fixo, para um delineamento qualquer, em que são avaliadas p variáveis dependentes em cada unidade experimental (UE). Neste caso, para cada UE temos, como resultado da resposta do tratamento i na repetição j, um vetor de observações identificado por [Y1 Y2 Y3 ... Yp]. Neste
vetor, as p variáveis que, podem ser, por exemplo: Y1 = altura média das plantas; Y2 = número
de espigas; Y3 = peso das espigas; ... Yp = peso de grãos, são correlacionadas e representam
as respostas dos tratamentos nas diferentes UEs. A análise da variância simultânea para as p variáveis é denominada de análise da variância multivariada. Assim, as análises vistas nos capítulos anteriores são apenas casos especiais em que uma variável era avaliada (p=1).
Na análise da variância multivariada, para cada causa de variação, temos matrizes de dimensões pxp para: as somas de quadrados (SQ) e somas de produtos (SP); e, para os quadrados médios (QM) e produtos médios (PM). A hipótese a ser testada é sobre a igualdade dos vetores de efeitos de tratamentos. Também há testes para verificar se há significâncias para contrastes entre estimativas de vetores de médias de tratamentos. Em outras palavras, as diferenças entre os tratamentos são testadas simultaneamente para as p variáveis que são correlacionadas. É justamente esta correlação, entre as variáveis dependentes, que torna este procedimento mais vantajoso na avaliação do efeito dos tratamentos, devendo ser usado, nestes casos, apesar da maior complexidade na análise e na interpretação. Ver um exemplo de aplicação de análise multivariada de experimento de consórcio de plantas, na página 338 (Capítulo 9) de Gomes (1990).
Este procedimento é aplicado quando os tratamentos são de efeito aleatório (exemplo: progênies de uma espécie vegetal ou animal), com grau de parentesco conhecido ou simplesmente para diferentes genótipos. O objetivo é obter estimativas de correlação genética, correlação ambiental (ou do erro) e correlação fenotípica (ou total) entre quaisquer duas variáveis avaliadas no experimento.
Vamos supor um experimento com I tratamentos aleatórios (genótipos) no delineamento blocos ao acaso com J repetições e seja Yij uma observação (variável dependente principal) na
UE que recebeu o tratamento i no bloco j e seja Xij a respectiva covariável (variável
dependente secundária). Supomos Y = peso de grãos e X = número de espigas. Temos, então, IJ pares ou vetores [Yij ; Xij] de observações. O modelo matemático, para cada uma das
variáveis, é: Yij = my + byj + tyi + eyij e Xij = mx + bxj + txi + exij com as pressuposições
inerentes ao modelo (ver capítulo 3) e que as covariâncias (byj;bxj), (tyi;txi) e (eyij;exij) não são
nulas.
Análise da variância, com as esperanças matemáticas dos QM's, estão representadas na Tabela 10.1 para a variável Y e na Tabela 10.2 para a variável X. Na Tabela 10.3 está representada a análise da covariância entre as variáveis Y e X com as respectivas esperanças matemáticas dos produtos médios (PM's).
Tabela 10.1 Análise da variância para a variável Y.
CV GL SQ QM E(QM)
Bloco J-1 SQB(Y) QMB(Y) σeY2 + IσbY2
Tratamentos I-1 SQT(Y) QMT(Y) σeY2 + JσtY2
Erro (I-1)(J-1) SQE(Y) QME(Y) σeY2
Tabela 10.2 Análise da variância para a variável X.
CV GL SQ QM E(QM)
Bloco J-1 SQB(X) QMB(X) σeX2 + IσbX2
Tratamentos I-1 SQT(X) QMT(X) σeX2 + JσtX2
Erro (I-1)(J-1) SQE(X) QME(X) σeX2
Tabela 10.3 Análise da covariância para as variáveis Y e X.
CV GL SP PM E(PM)
Bloco J-1 SPB(YX) PMB(YX) σeYX+ IσbYX
Tratamentos I-1 SPT(YX) PMT(YX) σeYX+ JσtYX
Erro (I-1)(J-1) SPE(YX) PME(YX) σeYX
As somas de quadrados (SQ) para as variáveis Y e X são obtidos de maneira usual, como visto no capítulo 3 deste texto. As somas dos produtos (SP) da Tabela 10.3 são obtidos conforme segue:
SP
B YX( ) =I
jY X
j j −(Y X
)
IJ
1
. .
.. .. /
;SP
T YX( ) =J
iY X
i i −(Y X
)
IJ
1
. .
.. .. /
; ( )(
)
SP
E YX=
ijY X
ij ij−
Y X.. .. /IJ
- SPB(YX) - SPT(YX)Os PM são obtidos dividindo-se as SP pelos respectivos graus de liberdade. Lembramos que os SP e PM podem ser positivos ou negativos, dependendo da relação existente entre as variáveis analisadas.
Fazendo-se o equacionamento dos QM e PM com as respectivas estimativas das esperanças matemáticas, pode-se obter as estimativas dos componentes definidos a seguir: a1) Estimativa da variância do erro de Y=σeY2 = QME Y( );
a2) Estimativa da variância de tratamento (genética) de Y =σtY =
(
QMT Y( )−QME Y( ))
/J2 ;
a3) Estimativa da variância fenotípica (total) de
Y=σ
FY2=σ
eY2+σ
2tYb1) Estimativa da variância do erro de X=σeX =QME X( )
2 ;
b2) Estimativa da variância de tratamento (genética) de
X=σ
2tX=(QM
T X( )−QM
E X( ))/J
;b3) Estimativa da variância fenotípica (total) de
X=σ
FX2=σ
eX2+σ
tX2c1) Estimativa da covariância do erro YX =
σˆ
eYX=
PM
E( )YX ;c2) Estimativa da covariância de tratamento (genética) YX =σtYX=
(
PMt YX( )−PME YX( ))
/J;c3) Estimativa da covariância fenotípica (total) YX
=σˆ
FYX=σˆ
eYX+σˆ
tYX.Com as estimativas obtidas para os componentes de variância e covariância pode-se, agora, calcular: coeficientes de correlação, de regressão, de variação, etc. Vejamos algumas aplicações:
a) Coeficiente de correlação genético (de tratamento) (rg):
r
g =σtYX/(
σ σtY.
tX)
. Este coeficienteestima quanto as variáveis X e Y estão correlacionados na população de tratamentos, livre do efeito ambiental (erro experimental). Se for selecionar na população, pelo carácter Y, então, se rg for grande também o carácter X estará sendo modificado (para mais ou para
menos) na população selecionada, isto é, para cada unidade modificada em Y estima-se uma modificação de β
(β σ=
tYX/σ
tY2)
unidades em X.b) Coeficiente de correlação ambiental (re):
r
e=σ
eYX/(σ σ
eY.
eX)
. Este, estima quanto asvariáveis Y e X estão correlacionadas, livres do efeito de tratamentos.
c) Coeficiente de correlação fenotípico (ou total) (rF):
r
F=σ
FYX/(σ σ
FY.
FX)
, estima quanto asvariáveis Y e X estão correlacionados na população.
Sabe-se que V(Y+X) = V(Y)+V(X)+2.Cov(Y;X) e, então, Cov(Y;X)=(V(Y+X)-V(Y)-V(X))/2. Com isto, muitas vezes, para facilitar os cálculos ou na ausência do procedimento de covariância em alguns softwares, pode-se obter a análise da variância para as variáveis Y, X e
Y+X e obter as Somas de Produtos por diferença, como, por exemplo, para tratamentos:
SPT(YX) =(SQT(Y+X) -SQT(Y) -SQT(X) ) /2 e, por idêntico procedimento, obtém-se os SP das
10.4 - Controle do erro e ajustamento das médias
Este procedimento, conhecido por análise da covariância, propriamente dito, é utilizado nas análises de experimentos (qualquer delineamento) com tratamentos de efeito fixo em que a variável dependente principal (Y) é afetada por uma ou mais variáveis dependentes secundárias (X1, X2,...), denominadas covariáveis. Estas covariáveis devem, sob certas
circunstâncias, serem independentes dos efeitos dos tratamentos e são usadas adequadamente para ajustar as médias (Y) de tratamentos, resultando, geralmente, em aumento na precisão do experimento.
Sabemos que a variância de um contraste entre duas médias estimadas
V Z( )
, para'
Z m m= i+ i é obtido por