ExperimentaoII - Lindolfo Storck

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA

CENTRO DE CIÊNCIAS RURAIS

DEPARTAMENTO DE FITOTECNIA

f 1 -α F (5 ;1 8 ) H o H1 α = 0 ,05 Ft = F5 %(5 ;1 8 )=(5 ;1 8 )=(5 ;1 8 )=(5 ;1 8 )=2 ,7 72 ,7 72 ,7 72 ,7 7

EXPERIMENTAÇÃO II

Prof. Tit. Dr. Lindolfo Storck

Prof. Adj. Dr. Sidinei José Lopes

Prof. Adj. Dr. Alessandro Dal´Col Lúcio

1 2 3 4 5 6 7 8 10m C F D A H B G E Bloco 1 9 10 11 12 13 14 15 16 E A G D H C F B Bloco 2 25 26 27 28 29 30 31 32 Bloco J A G C F D E H B 4m --- 32 m ---

Santa Maria, 2004

bosque

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA

CENTRO DE CIÊNCIAS RURAIS

S884e Storck, Lindolfo

Experimentação II / Lindolfo Storck, Sidinei José Lopes, Alessandro Dal’Col Lúcio.

Santa Maria : UFSM, CCR, Departamento de Fitotecnia, 2004. 3.ed. 207p.

1. Experimentação agrícola. 2. Pesquisa agrícola. 3. Estatística agrícola.

4. Agronomia. 5. Estatística experimen-

tal. I. Lopes, Sidinei José; Lúcio, Alessandro DalCol II. Título

CDU: 631/635:519.22/.25

Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Luzia de Lima Sant’ Anna CRB-10/728

Biblioteca Central da UFSM

DEPARTAMENTO DE FITOTECNIA CENTRO DE CIÊNCIAS RURAIS UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 97105-900 Santa Maria, RS Fone: (055)2208179 Todos os direitos reservados

i

Apresentação

Cada vez mais é necessário aumentar a velocidade e reduzir os custos nos processos produtivos, sem perda da qualidade. No ensino, dado ao volume de informações que devem ser transmitidas ao alunos e a velocidade em que novas informações são geradas, é imprescindível que sejam oferecidos aos estudantes um material adequado, completo e compatível com o programa da disciplina em que está matriculado visando completar as atividades de ensino teórico-prático. Assim, este texto deve ser considerado como fundamental para a disciplina de Experimentação II, oferecidos aos alunos de Pós-graduação em Agronomia, Engenharia Florestal, Engenharia Agrícola da UFSM e para outros estudantes do assunto. Este texto não deve ser entendido como um substituto à presença do aluno nas aulas, mas um complemento do que é tratado na mesma.

Sugestões, para melhorar o conteúdo e a apresentação, serão bem recebidas.

Santa Maria, março de 2004 Os autores

SUMÁRIO

página

1 - INTRODUÇÃO . . . 1

1.1 - Aspectos . . . 1

1.2 - Princípios básicos da experimentação . . . 4

1.3 - Pesquisa e experimentação. . . .. . . 7

2 - DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO . . . 9

2.1 - Caracterização e uso . . . . . . 9

2.2 - Modelo matemático e pressuposições . . . . . . 12

2.3 - Estimação dos parâmetros do modelo . . . . . . 13

2.4 - Análise da variância . . . . . . . . . . 15

2.5 - Esperança matemática e interpretação - Tratamento de efeito fixo . . . 16

2.6 - Esperança matemática e interpretação - Tratamentos de efeito aleatório . . . 21

2.7 - Número desigual de repetições por tratamento . . . . . 23

2.8 - Exemplo . . . . . . 24

2.9 - Amostragem na parcela . . . . . . 28

3 - DELINEAMENTO BLOCOS AO ACASO . . . . . . 30

3.1 - Caracterização e uso . . . . . . 30

3.2 - Modelo matemático e pressuposições . . . . . . 32

3.3 - Estimação dos parâmetros do modelo . . . . . . 33

3.4 - Análise da variância e interpretação . . . . . . 34

3.5 - Exemplo . . . . . . . . . 40

3.6 - Parcelas perdidas no delineamento blocos ao acaso . . . . . . . 44

3.7 - Amostragem na parcela . . . 46

4 - DELINEAMENTO QUADRADO LATINO . . . . . . 49

4.1 - Caracterização e uso . . . . . . 49

4.2 - Modelo matemático e estimação dos parâmetros . . . 53

4.3 - Análise da variância . . . . . . 54

4.4 - Testes de hipóteses e interpretação . . . . . . 56

5 – PROCEDIMENTOS PARA COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS DAS MÉDIAS DE

TRATAMENTOS . . . . . . 60

5.1 – Introdução . . . . . . 60

5.2 - Decomposição da SQ de tratamentos em contrastes . . . . . . . 63

5.3 - Teste de Tukey . . . . . . 67

5.4 - Teste de Duncan . . . . . . 70

5.5 - Teste de Scheffé . . . . . . 71

5.6 - Outros métodos . . . . . . 72

6 - INTERPRETAÇÃO DE EXPERIMENTOS COM TRATAMENTOS QUANTITATIVOS 73 6.1 - Introdução . . . . . . 73

6.2 - Método dos polinômios ortogonais . . . 74

6.3 - Método geral . . . . . . 81

6.4 - Estudo da máxima eficiência técnica e econômica . . . 86

6.5 - Algumas considerações em relação a modelos que se tornam lineares por transformação . . . . . . 89

7 - PLANEJAMENTO E CONTROLE DE QUALIDADE DE EXPERIMENTOS . . . 91

7.1 - Controle de qualidade dos experimentos . . . . . . 91

7.1.1 - Considerações sobre o erro experimental . . . . . . . 91

7.1.2 - Importância do erro experimental na análise dos experimentos . . . 91

7.1.3 - Avaliação do erro experimental . . . . . . 93

7.1.4 - Tipos de erros em experimentos . . . . . . 95

7.1.5 - Principais fontes de erro e respectivos cuidados . . . 96

7.2 - Planejamento de experimento . . . . . . 103

7.3 - Um exemplo de projeto de experimento ( fictício) . . . . . . . 108

7.4 - Qualidade na análise dos experimentos . . . . . . . 112

8 - EXPERIMENTOS FATORIAIS 115 8.1 - Introdução 117 8.2 - Experimento bifatorial 117

8.2.1 - Organização dos resultados para a análise 119 8.2.2 - Modelo matemático e estimação dos parâmetros 119 8.2.3 - Conceitos e interpretação dos efeitos principais e da interação 120 8.2.4 - Análise da variância e testes de hipóteses (modelo fixo) 124 8.2.5 - Análises complementares 127

8.2.6 - Superfície de resposta 145 8.2.7- Testes de hipóteses para modelo aleatório 151 8.3 - Experimento bifatorial com parcelas subdivididas 151 8.3.1 - Modelo matemático e estimação dos parâmetros 153 8.3.2 - Análise da variância e interpretações 155

8.3.3 - Análise complementar 157

8.3.4 - Parcelas subdivididas no tempo 164 8.4 - Amostragem em experimentos bifatoriais 165 8.5 - Delineamentos para experimentos com adubação 167

9 - MÉTODO DE HICKS PARA OBTER AS ESPERANÇAS DOS QUADRADOS

MÉDIOS . . . . . . . 173

10 - ANÁLISE DA COVARIÂNCIA . . . 176 10.1 - Introdução . . . . . . . 176 10.2 - A covariância como auxiliar na interpretação 176 10.3 - Decomposição da variância e covariância total 177 10.4 - Controle do erro e ajustamento das médias . . . 179

11 - ANÁLISE CONJUNTA DE EXPERIMENTOS 190

11.1 - Introdução . . . . . . . 190 11.2 - Procedimentos de análise e interpretação 191

12 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . 197

1 - INTRODUÇÃO 1.1 - Aspectos gerais

Experimentação é uma parte da estatística probabilística que estuda o planejamento, execução, coleta dos dados, análise e interpretação dos resultados dos experimentos. Este estudo é importante para todo profissional pesquisador e/ou usuário dos resultados da pesquisa.

A técnica da experimentação é uma ciência que oferece suporte probabilístico ao pesquisador e permite fazer inferências sobre o comportamento de diferentes fenômenos da natureza, com grau de incerteza (margem de erro) conhecido.

O pesquisador necessita dos conhecimentos da técnica experimental para: planejar, executar, avaliar, analisar e interpretar os resultados dos experimentos. Por outro lado, o técnico, usuário dos resultados da pesquisa, deve conhecer a experimentação para entender o experimento e avaliar a confiabilidade dos resultados bem como, permitir melhorias na troca de idéias com os pesquisadores, pelo uso de uma linguagem técnica adequada. Assim, a experimentação é importante para todo o profissional, ligado direta ou indiretamente à pesquisa. Quem não se atualiza, regride, e, ao participar de congressos ou ler revistas de pesquisa para se atualizar, o técnico necessitará de conhecimentos de experimentação.

Diversos fatores do manejo das culturas interferem na quantidade e qualidade do produto final. Para se comprovar na prática um hipótese formulada sobre a superioridade de algum fator de produção, deve-se utilizar a experimentação. Logo, somente através da experimentação uma nova técnica poderá ser divulgada aos produtores, com embasamento científico e sem desperdício de tempo e recursos financeiros, sem comprometimento da credibilidade do pesquisador junto aos produtores.

Uma definição de experimento: " Experimento é um procedimento planejado à partir de uma hipótese, que visa provocar fenômenos em condições controladas, observar e analisar os seus resultados e/ou efeitos".

O termo provocar fenômenos equivale a escolher diferentes maneiras, procedimentos, técnicas etc., ou simplesmente tratamentos, para se resolver um problema. Assim, por exemplo, pode-se "escolher quatro diferentes formas de adubação" de uma cultura (fenômeno provocado = formas de adubação) para verificar com qual destas formas se obtêm maior rendimento (supondo que o problema é a baixa produção desta cultura).

O termo condições controladas se refere a que somente as diferentes alternativas do fator ou fatores em estudo (tratamentos) podem variar, sendo as demais condições mantidos constantes, salvo erros não controláveis. Assim, no exemplo anterior, ficam constantes ou controlados a cultura escolhida, a época e a profundidade de semeadura, o método de preparo do solo, de irrigação, ou seja, o manejo em geral.

O termo planejado indica que o pesquisador mantêm o controle do experimento, registrado em um projeto, sobre as variáveis em estudo. Todas as ações devem ser pré-definidas ou previstas. Deste modo, permite-se que o experimento seja repetido essencialmente sob as mesmas condições, salvo fatores não controláveis, também chamados aleatórios, os quais originam o erro experimental.

Um experimento é constituído basicamente por um conjunto de unidades experimentais sobre as quais são aplicados os tratamentos, de forma casualizada, das quais se obtêm os dados experimentais.

Tratamento - Em experimentação, a denominação “tratamento” se refere a cada uma

das alternativas de um fator em estudo para resolver um dado problema. São os diferentes níveis ou variáveis independentes de um modelo matemático. É a variável que expressa o problema a ser resolvido. Se, por exemplo, o problema do pesquisador é comparar quatro métodos de preparo do solo (métodos M1, M2, M3 e M4) com o tradicional (método MT), o pesquisador tem cinco tratamentos (MT, M1, M2, M3 e M4) que deverão ser avaliados para a comparação.

Num experimento existem dois ou mais tratamentos (deve-se sempre preferir o menor número de tratamentos compatível com os objetivos do estudo) e estes podem ser qualitativos ou quantitativos.

Os tratamentos são denominados qualitativos quando se diferenciam por suas qualidades (fomas, marcas, métodos, tipos, espécies, cultivares, etc.) e são quantitativos quando podem ser ordenados segundo algum critério numérico, como por exemplo: doses de um fertilizante (0, 10, 20, ... kg/ha); doses de defensivos; espaçamentos entre plantas; densidade de semeadura; idade ou tempo; etc. Como estudar o efeito dos tratamentos? - mede-se uma ou mais variáveis denominadas de variáveis resposta, como, por exemplo, altura da planta, diâmetro do caule, rendimento de grãos, incidência de pragas ou moléstias. As variáveis resposta são quase sempre quantitativas, isto é, obtidas por medição ou contagem, que não devem ser confundidas com os tratamentos que são as variáveis que estão sendo comparadas.

Quando os tratamentos são escolhidos pelo pesquisador (de forma que o experimento possa ser repetido com os mesmos tratamentos) estes são denominados fixos (de efeito fixo); é o caso de métodos de irrigação, doses de fertilizantes, cultivares, etc.

Quando os tratamentos são obtidos como uma amostra aleatória de uma população de tratamentos (como nos casos em que os tratamentos são destruídos durante o experimento), não se pode repetir o experimento com os mesmos tratamentos e estes são denominados de "efeito aleatório".

A classificação dos tratamentos em "tratamentos de efeito fixo" ou "tratamentos de efeito aleatório" tem implicação direta na interpretação dos resultados, ou seja, nas inferências sobre a população alvo da pesquisa. Para tratamentos de efeito fixo as conclusões são válidas

somente para os tratamentos estudados, enquanto que para tratamentos aleatórios as conclusões são para toda a população de onde os tratamentos foram retirados aleatoriamente.

Vamos supor um experimento que avalia quatro métodos de irrigação. Sejam M1, M2, M3 e M4 os métodos. Tem-se quatro tratamentos qualitativos. O Experimento é realizado sob condições controladas, isto é, para uma espécie, um tipo de solo, uma época, um nível de adubação, etc. No experimento todos os materiais utilizados e todos os tratos culturais aplicados devem ser uniformes, menos os métodos de irrigação que são os tratamentos de efeito fixo. Assim, os resultados serão válidos para as condições constantes (ou controladas) no experimento.

Este tipo de experimento que estuda somente um fator (método de irrigação) é denominado monofatorial e tem sua amplitude de inferência limitada às condições mantidas uniformes ou constantes. Se, por exemplo, variar o nível de adubação então, os resultados dos métodos de irrigação poderão não ser os mesmos.

Para aumentar a amplitude de inferência dos resultados dos experimentos são usados os tratamentos fatoriais, nos quais dois ou mais fatores, cada um com dois ou mais níveis, são estudados simultaneamente no experimento. Neste caso, os tratamentos são formados pela combinação dos diferentes níveis de cada fator, onde cada fator pode ser de efeito fixo ou aleatório. Seja, por exemplo, um experimento bifatorial, isto é, com dois fatores: fator A = métodos de irrigação e fator B = tipos de preparo do solo e os níveis definidos para o fator A como sendo: A1 = Método 1; A2 = Método 2, ... Aa = Método a, e os níveis para o fator B: B1 =

Tipo 1; B2 =Tipo 2; ... Bb = Tipo b. Temos então "a x b" tratamentos formados pela combinação

de cada nível do fator A com todos os níveis do fator B, ou seja : A1B1; A1B2; ... A1Bb; A2B1;

A2B2; ... A2Bb ; ...AaB1; AaB2; ... AaBb, onde, por exemplo, A2B1 é o tratamento "Método de

irrigação 2 e preparo do solo do Tipo 1".

Observe que aumentando o número de fatores e/ou o número de níveis de cada fator, aumenta o número total de tratamentos. Este fato, muitas vezes, dificulta a condução do experimento sob condições uniformes e, nestes casos, pode-se reduzir o número de tratamentos pelo uso de fatoriais fracionados (incompletos) ou empregar técnicas de confundimento onde apenas algumas combinações de tratamentos são utilizadas em cada bloco (condição controlada homogênea).

Resumindo: tratamento é qualquer procedimento ou conjunto de procedimentos cujo efeito deverá ser avaliado e comparado com outros.

Unidade Experimental - é a menor unidade de um experimento na qual é aplicado um

tratamento. Em experimentos de campo as unidades experimentais são, em geral, denominadas de parcelas. A unidade experimental (UE) poderá ser uma área de campo, um vaso com solo, um animal ou um grupo de animais, uma sementeira, uma "placa de Petri", um tubo de ensaio, uma planta, uma folha da planta, uma máquina, etc.

A escolha do tipo de UE decorre, diretamente, dos tipos de tratamentos que serão avaliados. Por exemplo: para avaliar diferentes produtos no combate ao cupim em madeira, as UE deverão ser pedaços regulares (uniformes) de madeira; para avaliar diferentes tipos de máquina no preparo do solo, as UE deverão ser áreas de campo; para avaliar a fitotoxidade de herbicidas ou fungicidas usamos folhas em plantas vivas; para avaliar tipos de adubos para sementeiras de Pinus, as UE devem ser sementeiras com mudas de Pinus com determinada área.

O número de unidades experimentais de um experimento depende do número de tratamentos e do número de repetições. Posteriormente, verifica-se que para estudarmos o efeito dos tratamentos é necessária a quantificação do erro experimental (variância entre os valores observados nas UE que receberam o mesmo tratamento). Para se obter um estimativa precisa do erro deve-se ter um número razoável de graus de liberdade do erro. Aconselha-se que, em experimentos de campo, o número de UE seja no mínimo igual a 20 para se obter uma precisão razoável.

O tamanho das unidades experimentais está associado ao número de repetições e, em geral, ao fixar o menor tamanho, compatível com a aplicação e/ou avaliação do efeito dos tratamentos, determina-se o número de repetições necessárias para um grau de precisão desejado, o que será visto, posteriormente, em outro capítulo.

1.2 - Princípios básicos da experimentação

Todo trabalho denominado de "experimento", que tem por objetivo comparar tratamentos e concluir sobre o comportamento dos mesmos com margem de erro conhecida, deve seguir os seguintes princípios básicos: Repetição e Casualização. A maneira de se proceder a casualização resulta, segundo alguns autores, num terceiro princípio, o Controle Local. Assim, somente teremos um experimento estatisticamente válido se houver repetição e casualização dos tratamentos sobre as UE.

O princípio da repetição refere-se à aplicação do mesmo tratamento sobre duas ou mais

UE e, o princípio da casualização é a aplicação destes tratamentos aleatoriamente sobre as UE, isto é, sorteando qual a UE que receberá um determinado tratamento em cada repetição.

Não só a indicação de qual tratamento vai receber cada UE, mas também a ordem de execução de qualquer trato cultural ou avaliação a ser realizada no experimento requer casualização.

Seja, por exemplo, o caso de se comparar o crescimento de duas progênies de Figueira (PA = progênie A e PB = progênie B). Se plantarmos duas parcelas de mesma área (10 x 50 m), próximas ou não, sendo uma com PA e outra com PB, o fato de PA produzir mais do que PB pouco significa pois, além do fator progênie, outros fatores podem justificar a maior produção da PA (por exemplo, a PA pode ter sido cultivada em solo de maior fertilidade). Pessoas não ligadas à experimentação acreditam que não há diferenças de ambiente entre UE

contíguas. A prática tem demonstrado, entretanto, que, embora uma área pareça homogênea, as culturas se desenvolvem de forma diferente de um ponto para outro, mesmo sendo muito próximos.

Podemos contornar esse problema, cultivando várias parcelas com PA e várias parcelas com PB e, considerar a média de produção de cada progênie. Neste caso, usamos o princípio da repetição. Este, por si só, não contorna o problema pois, se todas as parcelas cultivadas com a PA estiverem agrupadas propositalmente num local com melhores condições ambientais para a produção do que as parcelas da PB, as diferenças entre as médias de produção das progênies ainda estão confundidas com outros fatores. Assim, torna-se necessário usar, além do princípio da repetição, um segundo princípio, o da casualização ou aleatorização. Alguém pode argumentar que uma distribuição sistemática seguindo, por exemplo, as casas de um tabuleiro de xadrez traria uma melhor distribuição do que aquela obtida por sorteio. A casualização é usada para obter a independência dos erros que é uma exigência dos modelos matemáticos usados pela Estatística na interpretação probabilística dos resultados obtidos no experimento, e deve ser satisfeita caso se pretenda fazer qualquer inferência estatística sobre o comportamento dos tratamentos com base nos dados obtidos.

Admitindo-se que temos quatro parcelas com PA e cinco parcelas com PB e que a distribuição das progênies nas parcelas tenha sido realizada por sorteio. Neste caso, a probabilidade de que a média de PA seja maior do que a média de PB somente devido ao acaso é: P = 4! 5!/ 9! = 1/126 = 0,8 %.

O resultado obtido para as progênies pode de fato provir de simples acaso, isto é, que as duas progênies sejam realmente equivalentes e que a diferença a favor de PA provenha de causas aleatórias, por exemplo, parcelas com PA foram cultivadas em solo de maior fertilidade. Porem, a probabilidade disto acontecer é de 1/126. Logo há uma probabilidade de 125/126 de que o resultado obtido não tenha sido casual e se deva a um fator sistemático como o maior potencial genético da PA.

As repetições são necessárias para estimar o erro experimental e para avaliar de forma mais precisa o efeito de cada tratamento. A casualização leva a obtenção de estimativas imparciais das médias dos tratamentos e do erro experimental. Erro experimental é a variância entre os valores observados nas unidades experimentais que receberam o mesmo tratamento. Consideramos, agora, que todo experimento tem I tratamentos e J repetições e, com isto, I.J = N unidades experimentais. Além disso, I≥≥≥≥2 e J≥≥≥≥2 e, em geral N≥≥≥≥20 (maiores detalhes nos capítulos subsequentes).

A casualização dos I tratamentos sobre as N unidades experimentais pode ser feita sem restrições ou com uma ou mais restrições. Da maneira de fazer a casualização dos tratamentos nas unidades experimentais decorrem os "delineamentos experimentais" (experimental designs - em inglês; diseños experimentales - em espanhol e dispositifs

a) Sem restrição - resulta no delineamento experimental Inteiramente Casualizado no qual, qualquer uma das N unidades experimentais pode receber (por sorteio) qualquer um dos

I tratamentos em qualquer uma das J repetições, pressupondo-se que estas sejam uniformes.

As maneiras práticas de efetuar a casualização serão apresentadas no capítulo que estuda cada delineamento em particular.

b) Uma restrição - ocorre no caso em que não se dispõe de N UE uniformes. Neste caso, devemos organizar J blocos (bloco = conjunto de I UE uniformes), onde cada bloco recebe uma vez todos os I tratamentos. Os J blocos se equivalem às J repetições. Os I tratamentos são casualizados dentro de cada bloco. Neste caso temos o delineamento experimental denominado de Blocos Completos ao Acaso ou simplesmente Blocos ao

Acaso, ou ainda, Blocos Casualizados. Neste delineamento, os blocos podem estar em

condições diferentes ou sofrer manejos diferentes, só não podem ocorrer diferenças dentro de cada bloco, ou seja, entre as UE que receberam os diferentes tratamentos. As diferenças entre blocos podem existir antes do início do experimento (a priori), devido a área experimental desuniforme, ou podem ocorrer durante a execução do experimento (a posteriori), por manejo diferenciado devido, muitas vezes, ao tamanho do experimento (Ex: capina-se ou colhe-se um bloco cada dia ou cada semana).

c) Duas restrições - as UE são agrupadas segundo dois critérios de desuniformidade. Há formação de blocos em dois sentidos, denominados de filas e colunas. Fila é um conjunto de

UE uniformes pelo critério F e coluna é um conjunto de UE uniformes pelo critério C. Cada fila

recebe uma vez cada tratamento, o mesmo ocorrendo para coluna. Assim, o número de filas, colunas e tratamentos serão iguais. Este modo de casualização resulta no delineamento experimental denominado de Quadrado Latino.

Os três delineamentos acima (Inteiramente Casualizado, Blocos ao Acaso e

Quadrado Latino) constituem os delineamentos básicos. Outras formas de casualização com

duas ou mais restrições levam a outros delineamentos, tais como: blocos incompletos (equilibrados ou não), parcelas subdivididas, reticulados, etc.

De modo geral, quanto maior o número de restrições na casualização menor será o número de graus de liberdade associados ao erro experimental e, se esta restrição não é eficiente no sentido de reduzir a variância do erro experimental, pode haver perda de eficiência do experimento. Portanto, a restrição (conhecida como controle local) só deve ser usada quando efetivamente necessária.

1.3 - Pesquisa e experimentação

Pesquisa é um trabalho executado com a finalidade de esclarecer um fato desconhecido ou mal conhecido e envolve os seguintes passos:

a) Formulação de uma hipótese (planejamento de um experimento ou do levantamento de dados com utilização de metodologia científica para testar a hipótese);

b) Obtenção das informações (execução do experimento e/ou coleta dos dados referentes as variáveis em estudo);

c) Análise e interpretação dos resultados do experimento; e d) Concluir ou formular nova hipótese para repetir o ciclo.

A "observação" permite, ao pesquisador, um primeiro conhecimento dos fenômenos em estudo e a dedução de hipóteses que devem ser verificadas.

A seleção de um procedimento de pesquisa depende, em grande parte, da maneira como ela está sendo conduzida e de seus objetivos. Assim, ela pode ser expontânea e/ou planejada (provocada). No caso em que os fenômenos não podem ser provocados e sim, simplesmente observados no tempo e no espaço (expontâneo), como ocorre freqüentemente na medicina, economia, meteorologia, etc. a pesquisa é descritiva e envolve um estudo de amostragem para as devidas inferências sobre a população alvo, com base em estimativas obtidas, com margem de erro conhecida.

Nos casos em que os fenômenos podem ser provocados (biologia, física, química, etc. ) a verificação das hipóteses é feita por meio de experimentos. Neste caso, é necessário que o experimento seja bem planejado e as variáveis observadas devem representar os efeitos dos diferentes procedimentos (tratamentos) que estão sendo avaliados.

A interpretação dos resultados experimentais pode levar à confirmação, à rejeição ou simplesmente a uma alteração da hipótese proposta.

O ciclo permanente: hipótese a testar experimento hipótese nova constitui a base do método científico.

Os vários ciclos da experimentação podem ser classificados em três categorias: a) Experimentos preliminares;

b) Experimentos criteriosos ou intensivos; e c) Experimentos demonstrativos ou extensivos.

Nos experimentos preliminares o pesquisador avalia um grande número de tratamentos e, em geral, usa poucas repetições (apenas alguns tratamentos são repetidos para estimar o erro experimental) com objetivo de descartar os tratamentos menos promissores para trabalhos futuros. Isto ocorre com freqüência nos programas de melhoramento genético de espécies cultivadas, onde um grande número de progênies são obtidas e avaliadas, para selecionar apenas as melhores.

Nos experimentos criteriosos ou intensivos o número de tratamentos é menor e o número de repetições é maior. Há um maior controle do erro experimental permitindo identificar as diferenças entre os tratamentos. Um aspecto importante, neste caso, é que os resultados obtidos num experimento criterioso são válidos apenas para aquele local ("Estação Experimental"), ano, época, manejo, etc., em que se conduziu o experimento. Faz-se

necessário, por isto, repetir o mesmo experimento em vários locais de uma região na qual os resultados devem ser aplicados.

Os experimentos demonstrativos possuem poucas repetições e poucos tratamentos e são conduzidos, geralmente, nas propriedades agrícolas com fins de divulgação de resultados de experimentos intensivos (é uma técnica extensionista). Neste tipo, são comparados os tratamentos (procedimentos) tradicionais com os propostos pela pesquisa. Alem disso, é realizada uma análise econômica da viabilidade de substituir um procedimento usual por um novo e verificada a aceitação dos proprietários e/ou consumidores.

Em geral, as categorias "preliminar" e "demonstrativo" constituem-se de experimentos que não seguem o rigor dos princípios da experimentação, e por isso, geralmente, não são analisados estatisticamente e não serão tratados neste texto.

No Brasil, como em outros países, em geral, a pesquisa agropecuária é financiada e/ou executada, principalmente, por órgãos públicos (Federais, Estaduais ou Municipais). Entre as instituições executoras destacam-se a EMBRAPA, as Universidades, as Secretarias da Agricultura dos Estados e alguns órgãos Estaduais de Pesquisa (EPAMIG-MG, EMPASC-SC, ENGOPA-GO, IAPAR-PR, etc). Os principais órgãos financiadores são o CNPq, FINEP, FIPEC, FAPERGS, e FAPESP. Em menor escala, financiam e/ou executam pesquisa agropecuária as associações de produtores (Cooperativas, Apassul), indústrias, principalmente para culturas industriais ou de exportação (Coopersucar) e, com menor freqüência, os particulares.

2 - DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO 2.1 - Caracterização e uso

Este delineamento é utilizado quando as unidades experimentais (UE) são essencialmente uniformes ou homogêneas, isto é, a variação entre as UE é irrelevante e não existe procedimento lógico para se obter em grupos de UE semelhantes.

A homogeneidade é exigida no tocante ao material, ao ambiente, aos tratos culturais, enfim, a qualquer operação realizada no experimento. O único componente que pode variar, deliberadamente, de uma UE para outra são os tratamentos.

A maior dificuldade reside em decidir se as UE são uniformes ou não uniformes. Em geral, quando não há um critério suficientemente objetivo de classificação das UE em grupos distintos, isto é, que tenha maior uniformidade (menor variância) entre as UE dentro do grupo do que entre grupos, usam-se o delineamento inteiramente casualizado. No entanto, deve-se tomar cuidado pois, muitas vezes, a variação entre as UE é de tal magnitude que dificulta a formação de grupos homogêneos e, neste caso, deve-se abandonar estas UE ou usar um número maior de repetições. Resultados de anos anteriores e/ou de experimentos em branco (sem tratamentos) são úteis para avaliar a homogeneidade das UE. Ver capítulo 7.

A necessidade de UE uniformes implica na utilização deste delineamento em experimentos de laboratório e em casas de vegetação onde o material experimental (solo, substrato, etc.) é inicialmente homogeneizado e posteriormente dividido em porções para formar as UEs (vasos, bandejas, placas de Petri, etc.) sobre as quais são aplicados os I tratamentos em J repetições. No caso de experimentos em casas de vegetação as UE devem ser periodicamente trocadas de lugar de maneira aleatória. Caso isto não seja feito, possíveis variações no ambiente, como a proximidade de janelas, localização no interior ou no exterior da mesa (bordadura), atuariam durante todo o experimento sobre as mesmas UE, aumentando o erro experimental.

Outro uso é na experimentação com animais, principalmente se estes convivem misturados durante o período experimental. Por exemplo, num experimento onde se estuda o efeito de diversos anti-helmínticos, os animais, depois de identificados e dosificados, são soltos no mesmo galpão ou potreiro durante o período de avaliação. Neste caso é assegurada a homogeneidade do ambiente, o que não aconteceria se os animais fossem mantidos em gaiolas ou baias onde poderiam ser introduzidas variações ambientais devido à orientação geográfica ou localização das mesmas. Além da condição ambiental homogênea, para usar o delineamento inteiramente casualizado deve-se, também, utilizar animais homogêneos quanto ao peso, idade, sexo e raça, o que não é fácil de conseguir com animais de grande porte. Por isso, este delineamento é mais utilizado com pequenos animais.

Comparado com delineamentos mais complexos, o delineamento inteiramente casualizado apresenta algumas vantagens, tais como:

a) Qualquer número de tratamentos ou de repetições pode ser usado. O número de repetições também pode variar de um tratamento para outro, intencionalmente (pela falta de UE ou de material) ou por acidente (morte de animal, planta = perda de parcela), sem que isso dificulte a análise. No entanto, deve-se preferir usar o mesmo número de repetições para todos os tratamentos; e,

b) O número de graus de liberdade do erro experimental (resíduo) é o maior possível. Este fato implica em maior precisão do experimento quando as UE são uniformes.

Como se organiza um experimento no delineamento inteiramente casualizado?

Em resumo, temos I tratamentos e J repetições e, por conseguinte, necessitamos de IJ=N UE identificadas de 1 a N. A distribuição dos I tratamentos J vezes nas N UE é feita aleatoriamente de modo que cada UE tenha a mesma probabilidade (p=J/N) de receber um dado tratamento. Vejamos, a seguir, um exemplo.

Seja um experimento que tem por objetivo estudar 4 tipos de cobertura para sementeira de Eucalyptus sp. (ou seja, 4 tratamentos), assim definidos: A = Sem cobertura (apenas solo), B = Solo + casca de arroz, C = Solo + acículas de Pinus trituradas, e D = Solo + matéria orgânica. Usando 5 repetições teremos 20 UE. A UE neste caso é constituída por uma bandeja (30 x 30 x 10 cm) preenchida com solo homogeneizado e semeada com certa quantidade de sementes. As UEs, todas homogêneas, são colocadas sobre uma mesa dentro de uma casa de vegetação devidamente numeradas conforme o esquema abaixo:

1 B 2 C 3 A 4 B 5 A 6 B 7 D 8 C 9 B 10 C 11 A 12 A 13 D 14 A 15 D 16 B 17 C 18 D C 19 20 D

Agora deve-se aplicar os tratamentos, ou seja, as coberturas definidas acima. Existem diversas maneiras práticas de fazer esta distribuição (sorteio). Uma delas é usar uma tabela de números aleatórios existente em livros de estatística. Nesse caso abre-se ao acaso uma página que contenha números aleatórios e, olhando para o lado, coloca-se o dedo num local qualquer da página. A partir do ponto assinalado examinam-se duas colunas de algarismos e anota-se a ordem dos números de 1 a 20 encontrados. Os números repetidos e aqueles maiores que 20 são ignorados. Ao chegar ao fim da coluna reinicia-se no topo da página examinando as duas colunas seguintes até que todos os números tenham sido encontrados. Suponha-se que tenha sido obtida a seguinte seqüência:

12 5 14 11 3 4 16 1 6 9 10 8 19 17 2 13 20 15 18 7

As UE com os 5 primeiros números (12, 5, 14, 11 e 3) receberão o tratamento A, aquelas com os 5 números seguintes (4, 16, 1, 6 e 9) receberão o tratamento B e assim por diante. O

mesmo procedimento pode ser feito usando computador ou mesmo máquinas de calcular que tenham a função RAND.

Outra maneira de fazer o sorteio é com o uso de papéis. Nesse caso os papéis devem ter o mesmo tamanho, a mesma cor e não devem ter sinais especiais que possam influenciar a pessoa que está procedendo ao sorteio. Coloca-se numa urna 5 papéis com a letra A, 5 papéis com a letra B, 5 com a letra C e 5 com a letra D. Mistura-se bem e retira-se um papel de cada vez anotando a letra obtida. Suponha-se que tenha sido obtida a seguinte seqüência:

B C A B A B D C B C A A D A D B C D C D

A letra indica o tratamento que será aplicado na UE. Assim a UE número 1 receberá o tratamento B, a UE número 2 receberá o tratamento C, a UE número 3 receberá o tratamento A e assim sucessivamente.

Examinando o sorteio, alguns podem concluir que a distribuição não foi de todo satisfatória. Certamente haverá parcelas contíguas com o mesmo tratamento. Um pesquisador desavisado será compelido a fazer uma melhor distribuição dos tratamentos, mas esta prática é tecnicamente desaprovada. A matemática pode prever qual a probabilidade de ocorrer qualquer das disposições obtidas pelo sorteio, mas não pode prever qual é a probabilidade do pesquisador obter qualquer disposição por sua própria vontade.

Uma documentação adequada deve ser providenciada (ver capítulo 7 - planejamento de experimentos) incluindo o título da pesquisa (experimento), caracterização dos tratamentos, delineamento, croqui (desenho) de localização das UE numeradas, condições gerais do experimento, e uma tabela semelhante à Tabela 2.1.

Tabela 2.1 - Tabela necessária para cada experimento.

U E Trat. Y1 Y2 Y3...

1 B ... ... ...

2 C ... ... ...

... ... ... ... ...

20 D ... ... ...

Y1, Y2, Y3, ... - são as variáveis a serem medidas.

Aplicam-se, então os tratamentos sobre as UE, conforme a casualização constante no croqui e na Tabela 2.1. Após, inicia-se o processo de avaliação dos efeitos dos tratamentos que, no exemplo, poderiam ser a velocidade de germinação (Y1), a percentagem final de germinação (Y2), a altura (Y3), o diâmetro(Y4) e o peso da planta (Y5) quando estas atingirem certa idade. Estes dados deverão ser analisados para concluirmos sobre os efeitos dos tratamentos, isto é, se ocorrem diferenças ou não.

Porque usar análise estatística?

Seja Y a variável que representa o peso das mudas aos 30 dias após a semeadura exposta na Tabela 2.2.

Tabela 2.2 Resultados referentes ao peso das plantas 30 dias após a semeadura. Repetições

Y

_i

.

Yi. Si2= σi2 Tratamento 1 2 3 4 5 (Soma) (Média) (Variância)

A 31 23 22 45 29 150 30,0 85,0 B 24 19 42 33 33 151 30,2 79,7 C 59 74 43 42 57 275 55,0 173,5 D 54 46 61 37 52 250 50,0 81,5

Média 41,3 104,9

Observa-se que, numericamente, os tratamentos apresentam médias diferentes. Entretanto, nem toda a variação existente nos dados é devida ao efeito dos tratamentos pois, se assim fosse, os valores obtidos em todas as repetições do mesmo tratamento seriam iguais e na verdade não o são. Além do efeito dos tratamentos, manifesta-se a variação aleatória ou ao acaso, que é devida a causas não controladas de variação que incidem no experimento, embora o pesquisador tenha procurado propiciar as condições mais uniformes possíveis.

A variação do acaso é calculada pelas variâncias si2 com média 104,9 e a variância entre

as médias é J Σ_i Yi

(

I

)

(

)

__

.−41 3, / −1 =5 171 4, =857 0,

2

, logo a variância entre as médias dos tratamentos (que inclui a variância do acaso) é maior que a variância do erro (variância do acaso = 104,9). Resta saber se é significativa a um nível α de erro tipo I, isto é, saber se as diferenças entre as médias é casual ou se um fator sistemático (efeito de tratamentos) é o responsável pelas diferenças.

É necessário então definir o modelo matemático e suas pressuposições para efetuar uma análise probabilística dos dados observados.

2.2 - Modelo matemático e pressuposições

Para um melhor entendimento do modelo matemático e de suas pressuposições é necessário que o leitor faça um revisão sobre os conceitos de variável aleatória, distribuição normal e suas aplicações, estimação pelo método do mínimos quadrados e esperança matemática.

No caso de um experimento no delineamento inteiramente casualizado, o modelo matemático é Yij = m + ti + eij

onde: Yij = valor observado referente à variável Y na unidade experimental que recebeu o

tratamento i (i=1,2,...,I) na repetição j (j=1,2, ..., J); m = constante; ti = efeito do tratamento i

(pode ser fixo ou aleatório); eij = contribuição da variação não controlada referente à

observação Yij.

Isto indica que o resultado obtido ao avaliar uma UE pode ser dividido em três partes: uma constante, o efeito do tratamento aplicado na UE e a variação aleatória que incidiu na UE considerada.

Para o desenvolvimento teórico das técnicas de análise estatística de um experimento, o modelo matemático deve admitir as seguintes pressuposições:

a) Os diversos efeitos são aditivos, isto é, tem-se uma soma de efeitos e estes efeitos são independentes;

b) Os erros ou desvios eij são conjuntamente independentes, isto é, não são

correlacionados;

c) Todos os erros eij tem a mesma variância σ²;

d) Os erros eij tem distribuição normal.

A pressuposição sobre a normalidade dos erros é necessária apenas para validar os testes de hipóteses.

As esperanças matemáticas dos componentes do modelo matemático são:

a) Considerando ti de efeito fixo - E(m) =m; E(m²) =m²; E(ti)=ti; E(t²i)=t²i para i=1, 2,...,I e Σi ti

=0;

e

ij

N

e

iid ij

( , )

0

_{σ →}

2

_Ε

( )

₌

0

_e

_Ε

_{( )}

_e

ij 2

_=σ

2

pode-se escrever que E(Yij)=E(m+ti+eij) =m+ti ;

Var(Yij) =Var(m+ti+eij)= σ2

Nota: # O termo " iid

N

" significa "idêntica e independentemente distribuído normal". # Logo:

Y

ij

N m t

iid

i

(

+ σ

; )

2 _{para i = 1, 2, ..., I e}

∀

_j

b) Considerando ti de efeito aleatório - altera-se: E(ti) = 0 ; E(t2i) =

σ

t2 (variância de tratamento),

∀

i e Σiti≠0. Com isto, não se fala em efeito de tratamento e sim em variância de

tratamento (σt2). Ainda, E(Yij) =m, ∀ij e Var(Yij)=

σ

t2+σ2, ∀ij ==>>

Y N m

ij iid

t

( ;

σ σ

2

₊

2

)

_{, isto é,}

uma observação da unidade experimental com o tratamento i na repetição j tem distribuição normal, independente e identicamente distribuída, de média m e variância composta por

σ

2

₊

σ

2

t, para qualquer ij.

2.3 - Estimação dos parâmetros do modelo

Estimar-se-ão m e ti pelo método dos mínimos quadrados, isto é, obter-se-ão estimativas

para m, t1, t2,..., ti tal que Σijeij2 seja mínimo.

Tabela 2.3 Resultados obtidos num experimento no delineamento inteiramente casualizado. r e p e t i ç õ e s Tratamento 1 2 3 .. J Yi.

.

__ i

Y

1 Y11 Y12 Y13 ... Y1J Y1. _Y__ _. 1 2 Y21 Y22 Y23 ... Y2J Y2. _Y__ _. 2 3 Y31 Y32 Y33 ... Y3J Y3. Y __ . 3 ... ... ... ... ... ... ... ... I YI1 YI2 YI3 ... YIJ YI. _Y i __ .

Y

_i

.

=

J_j=1

Y

_ij

=

Y

_i1

+

Y

_i2

+

Y

_i3

+ +

...

Y

_iJ

;

Y

i

.

=

Y J

i

./

para i=1, 2, ..., I; Y..= _iI₌₁ J_j=1Y_ij = _iY_i.→Y..= Y IJ../

Dado o modelo Yij = m + ti + eij pode-se escrever que eij = Yij - m - ti .

Aplicando-se o Σij a ambos os membros da equação a fim de englobar todas as UEs do

experimento e elevando-os ao quadrado tem-se: ij

e

ij ij

Y

ij

m t

i 2

₌

₍

_{− −}

₎

2 Seja _ij

e

_ij2

₌

z

. Vamos obter as derivadas parciais de z em relação a m e a ti (t1, t2, ..., tI):

δ δ

z m

/

=

2

_ij

(

Y m t

_ij

− −

_i

) * ( )

−

1

−

−

−

=

_j ij i i

Y

m

t

t

z

/

δ

2

(

)

*

(

1

)

δ

,

para i=1,2, ...,I

Fazendo δ δz m/ = 0 e

δ δ

z t

/

i

= 0

obtemos as estimativas para m e ti. Colocamos o sinal

"^" sobre cada efeito para identificar que é uma estimativa, neste caso, sob a condição de z-mínimo. Assim:

2 ij(Y m tij− − i) * ( )− =1 0 ;

2

j

(

Y

ij

−

m

ˆ

−

t

ˆ

i

)

*

(

−

1

)

=

0

, para i=1,2,...,I que resulta em

IJm J t+ _{i i}=Y..

Jm Jt

+

i

=

Y

i

.

(i=1,2, ..., I) ou ainda

IJm+ J t = Y..

i i

Jm + Jt = Y .1 1

;

Jm + Jt = Y ..

2 2

; . . . .;

Jm+ Jt = Y.

I I

que é o sistema de equações normais, com infinitas soluções ou seja, é indeterminado, pois a soma das I últimas linhas é igual à primeira. Para obter uma solução, deve-se impor uma restrição na solução. A mais usual é _i

t

_i

= 0

, ou seja, a soma das estimativas dos efeitos dos tratamentos é igual a zero. Desta forma

IJm Y..

=

→

m Y IJ

=

../

e

Jm Jt

+

i

=

Y

i

.

→

t

i

=

Y J m

i

./

−

, i=1,2,...,I Nestas condições pode-se escrever que Yij = + +m t ei ij e

( )

( ../ ./ ../ ) . eij = Yij− Y IJ Y J Y IJ+ i − = Yij−Yi

(

.)

.. ..

e

ij

Y

Y

Y J Y

Y Y

ij

=

ij ij

−

i

=

ij ij

−

i i

=

−

=

0

e, ij

e

ij 2 _{é mínimo.} 2.4 - Análise da variância

Pelo método dos mínimos quadrados, usado para obter as estimativas m e

t

, a SQE=

Soma de Quadrados do Erro = _ij

eij

2 _{é mínima e representa a soma dos quadrados dos} desvios entre cada observação Yij e sua estimativa (

Y

ij

= + =

m t

i

Y

i

.

).

Na análise da variância a variação total é decomposta em variação devida ao erro e variação devida às estimativas dos parâmetros. Assim:

SQE = SQTotal - SQ(

m

) - SQ(

t

) = SQtotal - SQ(

m

,

t

).

O teorema de Pitágoras (Figura 2.1) demonstra que, num triângulo retângulo H2_=a2_+b2

ou b2_=H2_-a2_{. Como a SQ}

Trat. e a SQE são independentes, ou seja, ortogonais, pode-se fazer

uma analogia com esse teorema.

H b a Yij

e

ij ^

m t

+

i

Figura 2.1 - Analogia da análise da variância com o teorema de Pitágoras.

Aplicando o Teorema de Pitágoras para uma observação (Yij): e2ij = Yij2 − (m + ti)2 Acrescentando o somatório para incluir todas as observações:

(

)

e

ij

SQ

Y

m t

ij E ij ij ij i 2

₌

₌

2

₋

₊

2

₌

_Y

_m

_t

_mt

ij ij ij i i 2

₋

₍

2

_{+ +}

2

₂

₎

₌

= ij

Y

ij

IJm

J t

i i

Jm t

i i

2

₋

2

₋

2

₋

₂

_{, mas como a restrição t}

i i = 0 SQE

=

_ij

Y

_ij2

−

IJ Y IJ

( ../ )

2

−

J

_i

( /

Y J m

_i.

−

)

2 =SQTOTAL =SQTRAT Nota:

IJm

2

₌

IJ Y IJ

( ../ )

2

₌

Y IJ

_{.. /}

2 _{= C}

₌

_mY

_..

SQTRAT

=

J t

i i 2

₌

_J

_{Y J m}

i i

( /

.

−

)

2

₌

(

1

_.2 2

2

..)

J

i

Y

i

+

IJm

−

mY

SQ

J

Y

IJ

Y

O termo 1 2

IJY.. é a

SQ m

( )

, denominado de correção ou fator de correção (C) com um grau de liberdade. A SQTRAT tem I-1 graus de liberdade porque SQTRATJ t J

JY m

i

i 2 i( i. )2

1

= −

perde um grau de liberdade devido à média. Assim:

SQ

Y

IJ

Y

TOTAL

=

ij ij

−

2

1

2

.. com IJ-1 graus de liberdade.

SQ

J

Y

IJ

Y

TRAT

=

i i

−

1

₂

1

₂

. .. com I-1 graus de liberdade.

SQE = SQTotal - SQTrat. com IJ-1-(I-1) = I(J-1) graus de liberdade.

Pode-se, então, organizar o quadro da análise da variância (Tabela 2.4) onde Quadrado

Médio = Soma de Quadrados/Graus de Liberdade.

Tabela 2.4. Análise da variância para o delineamento inteiramente casualisado. Causas da Variação

( CV ) Graus de Liberdade ( GL ) Soma de Quadrados ( SQ ) Quadrado Médio ( QM )

Tratamentos I-1 SQTRAT QMTRAT

Erro I(J-1) SQE QME

Total IJ-1 SQTOTAL

Para usar os resultados do quadro de análise de variância, visando aos testes de hipóteses e interpretação, necessita-se saber quais são os componentes da variância de cada causa de variação, isto é, as esperanças matemáticas de QMTRAT e de QME.

2.5 - Esperança matemática e interpretação - Tratamento de efeito fixo

Seja ti de efeito fixo →

Y

_ij

N m t

iid

i

(

+ σ

; )

2 _e

_Y

_{m t e}

ij

= + +

i ij então

Y

i.

=

Jm Jt

+

i

+

j

e

ij e

Y

..

=

IJm

+

J

i

t

i

+

ij ij

e

Como, por restrição i

t

i

=

0

para ti fixo e considerando ainda as pressuposições do

modelo vamos obter as esperanças matemáticas dos QM como segue:

[

]

[

]

Ε

QM

TRAT

=

_I

₋

Ε

SQ

Trat

=

_I

₋

Ε

J t

i i

=

_I

₋

E

_J

i

Y

i

−

_IJ

Y

1

1

1

1

1

1

1

1

2 2 2 .

(

)

(

. ..

)

=

−

+

+

−

+

=

1

1

1

2

1

2

I

J

i

E Jm Jt

(

i j

e

ij

)

IJ

E IJm

(

ij

e

ij

)

=

₋

1

+

+

+

+ + −

+

+

=

1

1

2

0 0

1

0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

I

J

i

(

J m

J t

i

J

σ

J mt

i

)

IJ

(

I J m

IJ

σ

)

{

}

{

}

=

−

+

+

+

−

−

=

−

−

+

= +

−

= +

1

1

2

1

1

1

1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

I

IJm J t

I

Jm t IJm

I

I

J t

J

I

t

t

i i

σ

i i

σ

(

)

σ

i i

σ

i i

σ ϕ

( )

e, de forma semelhante, E QM I J E I J E Y J Y E E ij ij i i ( ) ( ) (SQ ) ( ) ( .) = − = − − = 1 1 1 1 1 2 2

= 1₋₁ + + 2−1 + + 2 = I J_{( )} ijE m t e( i ij) J iE Jm Jt( i jeij) = − + + + + + − + + + + + = 1 1 2 0 0 1 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 I J_{( )} ij(m ti σ mti ) J i(J m J ti Jσ J mti )

[

]

[

]

= 1₋₁ + + +2 − − − −2 = 1₋ − = 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 I J_{( )} IJm J t IJii σ mJ t IJm J t Iii ii σ Jm tii I J_{( )} I J( )σ σ

Uma estimativa para σ2 _{é obtida equacionando-se}

_σ

2

₌

_QM

E e a estimativa de σ2 +ϕ( )t

é obtida equacionado-se σ ϕ2 ₊ ( )_{t = QM}

TRAT tal que

ϕ

( )

t

=

{

QM

QM

}

I

J

TRAT

−

E

−

1

O quadro da análise da variância com as esperanças dos quadrados médios, modelo fixo, é apresentado na Tabela 2.5.

Tabela 2.5 Quadro da análise da variância para tratamentos de efeito fixo.

CV GL SQ QM E(QM)

Tratamentos I-1 SQTRAT QMTRAT _σ2 2

1

+ ₋J

I iti

Erro I(J-1) SQE QME σ2

Teste de Hipótese (ti de efeito fixo)

Sabemos que (GL S. ) /2 _{σ χ}2 2(GL), _{ou em outras palavras, a expressão tem}

distribuição Qui-quadrado com GL graus de liberdade. Na análise da variância a SQE = ij

e

ij 2

é uma soma de quadrados e, então,

SQ

_E

/

σ

2

₌

(

GL QM

_E

.

_E

) /

σ χ

2 2

(

GL

_E

)

_{e sob a hipótese}

H t

_o

:

_i

= ∀

0

, ,

_i a _it_i2_{= ,0 e com isso QM}

TRAT estima σ2 tanto quanto QME, isto é, E(QMTRAT.)

= E(QME)= σ2 e então SQTRAT./σ2 = (GLTRAT.x QMTRAT)/σ2∩χ2(GLTRAT) e sendo QMTRAT.

independente de QME temos:

Fc = [(SQTRAT/σ2_{)/GLTRAT]/[(SQE /σ}2_)/GLE]

₌

_QM

_QM

_{F GL}

(

_GL

)

TRAT E

HO

TRAT E

/

;

ou seja, se a hipótese de Ho for verdadeira a expressão Fc tem distribuição de F com GLTRAT e

GLE graus de liberdade.

A Figura 2.2 apresenta a distribuição teórica de F para n1 e n2 Graus de Liberdade.

Apresentamos os valores tabulados de F para os níveis de significância (α) mais usados (0,01 e 0,05) no final do texto. Numa tabela de F procura-se na horizontal n1 = GLTRAT(GL do

numerador do Fc) e na vertical n2= GLE (GL do denominador do Fc).

As listagens de computador já apresentam o nível mínimo de significância (αααα = nms),

não sendo então necessário recorrer a tabelas. Basta comparar o nms com o nível a de erro tipo I adotado no planejamento da pesquisa. Se nms<α rejeita-se Ho. Caso contrário Ho não é

rejeitada. O nms listado pelo computador indica a probabilidade de incorrer em erro ao rejeitar Ho. f 1 -α F (5 ;1 8 ) H o H1 α = 0 ,0 5 Ft = F5 %(5 ;1 8 )=(5 ;1 8 )=(5 ;1 8 )=(5 ;1 8 )=2 ,7 72 ,7 72 ,7 72 ,7 7

Figura 2.2 Distribuição teórica de F para 5 graus de liberdade do numerador e 18 graus de liberdado do denominador da estatística F.

Para uma hipótese

H t

o

:

i

= ∀

0

,

i

,

a hipótese alternativa é H1:ti≠0, para algum i. Ao rejeitar Ho, isto é, quando se tem Fc>Fα(GLTRAT; GLE) em nível α de erro, concluímos que ti≠0

para algum i, ou melhor, no mínimo duas médias de tratamentos diferem entre si e, a diferença existente não pode ser atribuída à variação do acaso.

Se Fc>Fα(GLTRAT; GLE) existe uma probabilidade α de se obter ao acaso um valor Fc

dessa grandeza e por isto rejeitamos Ho em favor de H1 e então i

t

i

2

_0,

_{e, considerando que}

ti

i = 0, concluímos que existe ti≠ti’ para algum par ii'.

Até aqui, decidimos se os tratamentos são iguais ou são diferentes, com base nas suas estimativas (

t

i). Vamos calcular, agora, a média e a variância das estimativas m e

t

i.

Sendo

m

e

t

_i. funções lineares de variáveis com distribuição normal, com média e variância definida no modelo, então

m

e

t

_i. tem distribuição normal com média e variância calculadas a seguir:

[

]

E m

E

IJ

Y

IJ

E

ij

m t e

i ij

IJ

IJm J t

ii

( )

=

(

1

..)

=

1

(

+ +

)

=

1

(

+

+

0

)

mas _i

t

_i

=

0,

então

E m

( )

=

m

[

]

[

]

V m

( )

=

E m E m

−

( )

2

=

E m

(

2

)

−

E m

( )

2

=

E m

(

2

)

−

m

2 _{sendo m ( / )IJ Y} ij ij

=

1

[

]

V m

( )

=

E

( /

1

I J IJm J t

)(

+

i i

+

ij

e

ij

)

−

m

2 2 2 2 _{como t} i i =0

=

( /

1

_{I J I J m}

2 2

)(

2 2 2

+

_IJ

_σ

2

)

−

_m

2

=

_σ

2

/

_IJ

e assim

m N m

( ; / )

σ

2

IJ

_{ou seja, a estimativa}

_m

_{tem distribuição normal com média m e}

variância σ2_{/IJ. Sendo V(}

_m

_)=σ2_{/IJ tem-se uma estimativa para V(}

_m

_{) dada por:}

( )

/

/

V m

=

σ

2

IJ QM

=

E

IJ

uma vez que E(QME) = σ2

Aplicações da distribuição da média estimada do experimento podem ser obtidas nas estimativas por intervalo para a média m do experimento que, em nível 1-α de confiança é estimado por

IC

( )[m ]

:

m

t

V m

( )

/ 1

2

−α

±

_α e, para o teste de hipótese Ho:m=m₀ cuja estatística

calculada é igual a

t

c

=

(

m m

−

0

) /

V m

( )

com distribuição de t com GL_E graus de liberdade.

Procedemos de forma semelhante para

m

i =

m

+

t

_i, onde

m

i é a média estimada para

o tratamento i, isto é: mi = Yi.=( / )1 J _jYij para i = 1, 2, ..., I.

E m

( )

i

=

E Y

( .)

i

=

[

]

E( / )1 J _jYij = ( / )1 J jE(m+ +t ei ij) =( / ) (m1 J j + +ti 0) = m t+ =i mi e a variância para a

estimativa da média do tratamento i é

V m

( )

i

=

E m E m

[

i

−

( )

i

]

2 = E m( i2) (m− +ti)2

=

[

]

E1/ (J Jm Jt2 + +i jeij)2−(m+ti)2

=

=

( / )(

1

_{J J m}

2 2 2

+

_{J t}

2 2

+

_J

2

+

2

_{J mt}

2

+ + −

0 0

) (

_m

2

+ +

_t

2

2

_mt

)

=

i

σ

i i i

=

m

2

+ +

t

2_i

_σ

2

_/

J

+

₂

mt m

_i

−

2

− −

t

_i2

₂

mt

_i

=

_σ

2

_/

J

_Assim,

_{m N m t}

₍

_{; / )}

_J

i

+ σ

i 2 ou seja, a estimativa da média de um tratamento i tem distribuição normal com média m + ti e variância σ2_{/J. O mesmo vale para}

_t

i, em que

t

i

N t

( ; / ).

i

σ

2

J

Uma estimativa da variância para a estimativa da média é obtida por

V m

( )

i =σ2

/

J QM J

= E

/

Aplicações da distribuição da estimativa da média de um tratamento de um experimento podem ser obtidas nas estimativas por intervalo para a média mi do tratamento i do

experimento que, em nível 1-α de confiança é estimado por:

IC

( )mi[1 ]

:

m

i

t

_/

V m

( )

i 2

−α

±

_α e,

para teste de hipótese

Ho m m

:

i

=

cuja estatística calculada é igual a

t

c

=

(

m m

i

−

) /

V m

( )

i

com distribuição de t com GLE graus de liberdade.

De forma semelhante, ainda, a média e a variância para a diferença entre duas médias de tratamentos, ou seja,

m

i-

m

i’ (i≠i’), é obtida por:

E m m

(

i

−

i'

)

=

E Y Y

( .

i

−

i'

.)

=

E

( /

1

J Y

j ij

−

1

/

J Y

j i j'

)

=

( / ) (

1 J E Jm Jt

+

i

+

j

e

ij

−

Jm Jt

−

i'

−

j

e

i j'

)

= −

t

i

t

i' e a variância

(

) (

)

[

]

[

(

)

]

(

)

V m m

(

_i

−

_i'

)

=

E m m

_i

−

_i'

−

E m m

_i

−

_i' 2

=

E m m

_i

−

_i'2

− −

t t

_{i i'}2

=

(

)

=E m t+ + − − − − − = J e m t J e t t i j ij i j i j i i 1 1 2 2 ' '

(

)

(

)

( )

(

)

( )

(

)

=

E t

_i

−

t

_i'2

+

₁

/

J

2 _j

e

_ij 2

+

₁

/

J

2 _j

e

_{i j'} 2

+

dp

−

t

_i

−

t

_i'2

=

(

)

= ti−ti' + /J+ /J−(ti−ti') = /J

2 _{2 2 2 2}

2

σ σ σ

logo

(

m m

i

−

i'

)

N t

(

i

−

t

i'

;

2

σ

2

/ )

J

. Assim, uma estimativa para a variância da diferença entre

duas médias estimadas é

V m

(

i

−

m

i'

)

= 2

QM

E

/

J

Aplicações da distribuição da diferença de duas médias estimadas de tratamento num experimento podem ser obtidas nas estimativas por intervalo para a diferença entre duas médias (mi-mi’) de tratamento do experimento que, em nível 1-α de confiança é estimado por:

IC

(mi mi)

m m

i i'

t

V m m

i i

/ '

' [ ]

:(

)

(

)

− 1−

−

±

−

2

α _α e, para teste de hipótese

Ho m m

:

i

=

i' cuja

estatística calculada é igual a

t

c

=

(

m m

i

−

i'

) /

V m m

(

i

−

i'

)

com distribuição de t com GL_E

graus de liberdade.

De uma forma geral, seja um contraste X = C1m1+C2m2+ ... +CImI = ΣiCimi e conhecendo

as estimativas das médias, podemos obter a estimativa do contraste

X

=

i

C m

i i, tal que

C

i

i

= 0

(Ci são os coeficientes do contraste), então a distribuição de X é obtida por

E X

( )

=

E

(

_i

C m

_{i i}

)

= iCE mi ( )i = iC mi i e, dada a independência entre as médias e a

homocedasticidade das variâncias

V X

( ) (

=

i

C V m

i2

) ( )

i . Uma estimativa da variância do contraste é dada por:

V X

( )

=

_i

C V m

_i2

( )

_i

=

_i

C QM J

_i2 _E

/

Seja o contraste X = mi-mi’. Sua estimativa é

X m

=

i

−

m

i' ou

X

=

1

.

m

i

−

1

.

m

i'. Neste caso C1=1 e C2=-1. Então:

V X

( )

=

V m m

(

_i

−

_i'

)

=

[

1

2

+ −

( )

1

2

]

σ

2

/

J

=

2

σ

2

/

J

, cuja estimativa é

( )

/

V X

=

2

QM J

E

A distribuição de X sendo

X N X

( ;

σ

2 i

C J

i

/ )

2

Σ

, as aplicações da distribuição da estimativa de um contraste estimado entre médias estimadas de tratamentos podem ser obtidas nas estimativas por intervalo para o contraste, em nível 1-α de confiança, que é

IC

( )X[1−α]

:

X

±

t

_α/2

V X

( )

e, para teste de hipótese

Ho X

:

=

0

cuja estatística calculada é igual

a

t

c

=

X

/

V X

( )

com distribuição de t com GL_E graus de liberdade.

No capítulo 5 estudaremos os métodos para testar hipóteses referentes a diferenças entre médias e efeitos de contrastes quaisquer para os casos de tratamentos qualitativos com mais de dois níveis e quando a hipótese HO foi rejeitada.

Quando os tratamentos são quantitativos, com mais de dois níveis usa-se, mais apropriadamente, a análise de regressão, que estabelece uma função entre a variável dependente (medida no experimento) e a variável independente (tratamento aplicado). Ver capítulo 6, referente a regressão.