Sejam agora as estimativas das médias (sobre K repetições) e as estimativas dos

efeitos das interações (adij), entre parênteses, dado no quadro a seguir:

(AiDj) A1 A2

Y. .

_j

d

_j

D1 40 (0) 42 (0) 41 -3

D2 46 (0) 48 (0) 47 3

Y ..i 43 45 44 0

a

i -1 1 0

Neste caso, o efeito principal do fator A=45-43=2; e o efeito principal do fator D=47-41=6; e as estimativas das interações são todas nulas, isto é, não há interação, o que pode ser visualizado na Figura 8.4. As quantias DA1=46-40 =6 e DA2=48-42=6 são iguais (em

magnitude e direção) e, por isto, a interação é nula. Neste experimento só existem efeitos principais.

No caso em que o fator A é quantitativo, pode-se representar as médias estimadas num gráfico colocando os níveis do fator A no eixo horizontal e ligando os pontos do mesmo nível do fator D por segmentos de retas. Quando estes segmentos são paralelos entre si então não há interação, caso contrário, existe interação. O não paralelismo pode ser em relação as diferenças na direção das curvas ou devidas a diferenças na magnitude da resposta. No caso em que as curvas são coincidentes não há efeito do fator D e, se as curvas são horizontais não há efeito do fator A.

Seja, por exemplo, um experimento com 3 níveis quantitativos (doses) do fator A e 3 níveis qualitativos (espécies) do fator D. Os gráficos correspondentes a algumas possibilidades de respostas, em relação a efeitos principais e interação, são expostos na Figura 8.5.

DA

1

Y 35 40 45 50 A1 A2 D1 D1 D2 D2

Figura 8.4 Demonstração do efeito da interação A com D (caso 3).

Y A1 A2 A3 D1 D2 D3 - Sem interação; - Sem efeito do fator A; - Com efeito do fator D.

Y A1 A2 A3 D1 D2 D3 - Com interação; - Com efeito do fator A; - Com efeito do fator D.

Figura 8.5 Demonstração do comportamento de um fator quantitativo (D) e um qualitativo (A).

Como nos resultados dos experimentos sempre existe o erro experimental não se deve fazer conclusões baseadas na simples observação dos dados, como os das Figuras 8.2 a 8.5. Para saber se a interação e/ou os efeitos principais são significativos deve-se fazer a análise de variância e os respectivos testes de hipóteses. Nesta, a significância da interação não

DA

1

implica em significância dos efeitos principais e vice-versa. O que temos, é uma decomposição ortogonal (independente) do efeito de tratamentos em efeitos principais (fatores A e D) e interação AD. A interação AD nos diz se os efeitos simples de um fator são homogêneos (paralelos) ou não em todos os níveis do outro fator.

A interação é simétrica, isto é, quando existe interação, tanto faz comparar AD2 com AD1

como DA1 com DA2 (Notação: AD2 = diferenças entre os níveis de A em D2 ). No entanto,

quando um dos fatores é quantitativo com mais de dois níveis e o outro é qualitativo, sendo a interação significativa é conveniente estudar os níveis do fator quantitativo através da regressão em cada nível do fator qualitativo. Entretanto, a estimativa e os testes de hipóteses da interação continuam sendo simétricos.

Na análise, quando a interação não é significativa, usamos apenas os efeitos principais de cada fator para as conclusões, isto é, comparamos as médias dos níveis de cada fator ou usamos a regressão no caso de haver fator quantitativo com três ou mais níveis.

8.2.4 - Análise da variância e testes de hipóteses (modelo fixo)

Sabemos que, ijk

e

ijk

SQ

E ijk

Y

ijk

m a

i

d

j

( )ad

_ij

b

k

2

₌

₌

_{− − − −}

₋

2_{é mínima e que isto}

resulta em:

SQ

E

=

ijk

Y

ijk

−mY

−

i

a Y

i i

−

j

d Y

j j

−

ij

ad Y

ij ij

−

k

b Y

k k

2

_...

_..

_{. .}

_.

_..

SQTotal SQA SQD SQAD SQBlocos

que, após desenvolvido, se obtém as fórmulas mais práticas a seguir:

SQ

Total

=

ijk

Y

ijk

−C

2 _;

_{C mY=}

_...=Y

2

_.../IJK

_;

_SQ

(

_JK)

_Y

_C

A

=

1

i i

−

2

/

..

;

(

)

SQ

_D

=

1_/IK

_j

Y

2

_{. .}

_j

−C

_;

_SQ

(

_K)

_Y

_{C SQ}

_SQ

AD

=

1

ij ij

− −

A

−

D 2

/

.

;

(

)

SQ

Blocos

=

1/IJ

k

Y

..

k

−C;

2 _e,

_SQ

_SQ

_SQ

_SQ

_SQ

_SQ

E

=

Total

−

Blocos

−

A

−

D

−

AD

Para o caso em que os fatores A e D são qualitativos de efeito fixo temos o quadro da análise da variância, com as esperanças matemáticas dos quadrados médios, apresentados na Tabela 8.4.

Tabela 8.4 Análise da variância para experimento bifatorial no delineamento blocos ao acaso - modelo fixo. C.V. GL SQ QM E(QM)* F(Sob H0) Blocos K-1 SQBL QMBL σ2+IJσb2 QMBL/QME A I-1 SQA QMA σ2+JKϕ(A) QMA/QME D J-1 SQD QMD σ2+IKϕ(D) QMD/QME

AxD (I-1)(J-1) SQAD QMAD σ2+Kϕ(AD) QMAD/QME

Erro (IJ-1)(K-1) SQE QME σ2 ---

Total IJK-1 SQTot --- --- ---

( )

( )

(

_{) ( )( )}

*

ϕ

A

;

ϕ

;

ϕ

I

i

a

i

D

J

j

d

j

AD

I

J

ij

ad

ij

=

−

=

−

=

−

−

1

1

1

1

1

1

1

2 2 2

Testes de hipóteses - modelo fixo

a) Sobre o efeito da interação

Sob H0:ϕϕϕϕ(AD)=0 (interação entre os fatores A e D não difere de zero) sendo H1:ϕϕϕϕ(AD)≠≠≠≠0

(a interação difere de zero), a estatística Fc=QMAD/QME, sob H0, tem distribuição de

F(GLAD;GLE). Assim, se FC > Fα(GLAD;GLE) rejeitamos H0 e concluímos que existe interação em

nível α de erro de conclusão entre os fatores A e D e a interação estimada não pode ser atribuída ao acaso. Se FC ≤ Fα(GLAD;GLE), então, não rejeitamos H0 e concluímos que a

interação observada não é significativa e pode ser atribuída ao acaso.

Quando a interação é significativa, isto é, quando rejeitamos H0 em nível α de erro,

temos que estudar o comportamento dos níveis de um fator dentro de cada nível do outro fator. Este estudo é feito através de métodos de comparação de médias (para fatores qualitativos ou quantitativos com dois níveis, tais como os testes de Tukey, de Duncan, de Scheffé ou contrastes) ou através de regressão (para fatores quantitativos com mais de dois níveis).

Quando a interação não é significativa, isto é, não rejeitamos H0:ϕϕϕϕ(AD)=0, então,

passamos a testar as hipóteses sobre os efeitos principais dos fatores A e D, como será exposto a seguir.

b) Sobre o efeito do fator A

Sob H0:ϕϕϕϕ(A)=0 (ou H0:ai=0, ∀i) considerando H1:ϕϕϕϕ(A)≠≠≠≠0 (ou H1:ai≠≠≠≠0 para algum i), a

estatística Fc =QMA/QME, sob H0, tem distribuição de F(GLA;GLE). Então, se FC>Fα(GLA;GLE),

rejeitamos H0 em nível α de erro, e concluímos que há efeito (principal) do fator A. Neste caso,

procedemos ao estudo dos níveis do fator A através da comparação de médias (Tukey, Duncan, Contrastes, etc.). Se não for rejeitada a hipótese H0:ϕϕϕϕ(A)=0, conclui-se que o fator A

não influenciou na resposta observada.

Se o fator A for quantitativo com mais de dois níveis (não se aplica o teste de hipótese para os efeitos principais de A), realiza-se a análise da regressão e a conclusão é obtida pela equação estimada, indicando, se possível, os pontos de máxima eficiência.

Sob H0:ϕϕϕϕ(D)=0 (ou H0:dj=0, ∀j) e estabelecendo H1:ϕϕϕϕ(D)≠≠≠≠0 (ou H1:dj≠≠≠≠0 para algum j), a

estatística Fc=QMD/QME, sob H0, tem distribuição de F(GLD;GLE). Assim, se Fc>Fα(GLD;GLE)

rejeitamos H0 em nível α de erro, e concluímos que há efeito (principal) do fator D. Neste

caso, procedemos à interpretação (estudo) dos níveis do fator D (qualitativo) através da comparação de médias (Tukey, Duncan, Contrastes, etc.) pois as diferenças entre as estimativas das médias não são devidas ao acaso. Se não for rejeitada a hipótese H0:ϕϕϕϕ(D)=0,

conclui-se que os níveis avaliados do fator D não influenciaram as respostas observadas. Se o fator D for quantitativo com mais de dois níveis (não se aplica o teste de hipótese para os efeitos principais de D), procede-se a análise da regressão e a conclusão é obtida pela equação estimada e pelos pontos de máxima eficiência.

Lembre-se que: Quando a interação é significativa, não há necessidade em se fazer testes de hipóteses sobre os efeitos principais (fator A e D).

Nota: Quando um fator tem dois níveis e a interação não é significativa, a interpretação do efeito principal pode ser realizada através do teste de F e da comparação das médias estimadas. Neste caso, o teste de F é suficiente para a conclusão, pois, sendo duas as médias e existindo pelo menos um contraste significativo (conclusão de um teste de F) fica evidente que as mesmas são diferentes pois é o único contraste existente. Assim, basta obter as estimativas das médias de cada nível do fator, e verificar qual é o melhor ou o pior para a situação em estudo.

Tanto para o fator A como para o fator D podem-se aplicar métodos de comparações múltiplas de médias (Tukey, Duncan, etc.) sem concluir para o teste de F, uma vez que estes testes não exigem a prévia significância do teste de F. Verifique, na Tabela 8.5 um esquema geral para os procedimentos complementares da análise de um experimento bifatorial.

Tabela 8.5 Definição dos procedimentos complementares para análise de experimentos bifatoriais nas diferentes situações de interação (Ho=não significativa; H1= significativa) e para fator qualitativo ou quantitativo.

Interação Fator A Fator D Procedimento

Ho Qual. Qual. Fator A: Teste de F + teste de médias Fator D: Teste de F + teste de médias Ho Qual. Quant. Fator A: Teste de F + teste de médias

Fator D: regressão + equação + gráfico + máxima eficiência Ho Quant. Quant. Fator A: regressão + equação + gráfico + máxima eficiência Fator D: regressão + equação + gráfico + máxima eficiência H1 Qual. Qual. Comparar médias de A dentro de Dj ou

Comparar médias de D dentro de Ai

H1 Qual. Quant. Regressão de D dentro de Ai com gráficos + máx.efic.

H1 Quant. Qual. Regressão de A dentro de Dj com gráficos + máx.efic.

H1 Quant. Quant. Superfície de resposta ... d) Sobre o efeito de bloco

O teste de hipótese e conclusões sobre o efeito de blocos é o mesmo apresentado para o delineamento blocos as acaso.

8.2.5 - Análises complementares

a) Caso em que os fatores são qualitativos e a interação não significativa

Para o fator A qualitativo, devem ser obtidas as estimativas das variâncias das estimativas das médias ou de um contraste. Para isto, seja

m

i

= + =m a

i

Y

i

..=

a média do nível i do fator A, então:

V m( )

i

=QM JK

E

/

é a estimativa da variância da média estimada;

(

,

)

/

V m mi− i =2QM JKE é a estimativa da variância da estimativa da diferença entre duas

médias e, sendo

X=

_i

C m

_{i i} um contraste, então,

X=

i

C m

i i e

V X( )=(QM JK

E

/

)

i

C

i 2_.é a estimativa da variância do contraste estimado. Assim, para um teste de comparações múltiplas entre médias do fator A, o valor da diferença mínima significativa pelo teste de Tukey é calculado por

∆ = q I GL

_α

( ;

_E

)

QM JK

_E

/

;

Para o fator D qualitativo, devem ser obtidas as estimativas das variâncias das estimativas das médias ou de um contraste. Para isto, seja

m

j

= +m d

j

=Y. .

j

=

a média do nível j do fator D, então:

V m( )

_j

=QM IK

_E

/

é a estimativa da variância da média estimada;

(

,

)

/

V m mj− j =2QM IKE é a estimativa da variância da estimativa da diferença entre duas

médias e, sendo X= _jC m_{j j} um contraste, então,

X=

j

C m

j j e

V X( ) (=

QM JK

E

/

)

i

C

i 2 _é a estimativa da variância do contraste estimado. Assim, para um teste de comparações múltiplas entre médias do fator D, o valor da diferença mínima significativa pelo teste de Tukey é calculado por

∆ = q J GL

α

( ;

E

)

QM IK

E

/

Exemplo

Sejam os resultados (kg/parcela) de um experimento bifatorial 3x4 no delineamento blocos ao acaso com quatro repetições apresentados na Tabela 8.6. Os 3 níveis do fator A são constituídos por 3 espécies e os 4 níveis do fator D, por 4 formas de manejo. O modelo matemático é Yijk = m + bk + ai + dj + adij + eijk Os efeitos de b e e são aleatórios e os demais

Tabela 8.6. Resultados (kg/parcela) do experimento bifatorial e totais dos tratamentos. Ai Dj B l o c o s Yij. I II III IV 1 1 66 52 57 68 243 1 2 47 47 32 43 169 1 3 43 50 39 40 172 1 4 20 23 43 41 127 2 1 81 68 60 55 264 2 2 62 34 44 45 185 2 3 43 41 47 54 185 2 4 51 32 29 34 146 3 1 81 82 80 78 321 3 2 84 68 66 65 283 3 3 58 43 37 57 195 3 4 75 45 59 48 227 Y..k 711 585 593 628 Y...= 2517

Tabela 8.7 Totais de tratamentos (Yij.) e dos efeitos principais do fator A (Yi..) e D (Y.j.).

Dj / Ai A1 A2 A3 Y.j. D1 243 264 321 828 D2 169 185 283 637 D3 172 185 195 552 D4 127 146 227 500 Yi.. 711 780 1026 Y...=2517

Tabela 8.8 Médias de tratamentos (Yij.) e dos efeitos principais do fator A (Yi..) e D (Y. .j )

Dj \ AI A1 A2 A3

Y

j

. .

D1 60,75 66,00 80,25 69,00 D2 42,25 46,25 70,75 53,08 D3 43,00 46,25 48,75 46,00 D4 31,75 36,50 56,75 41,67

Y

_i

..

44,44 48,75 64,12 _Y...=52,44

Cálculo dos Graus de Liberdade (GL):

GLBloco=4-1=3; GLA=3-1=2; GLD=4-1=3; GLAD=(3-1)(4-1)=6; GLTotal = 3x4x4-1=47; GLE = (3x4-1)(4-1)=33.

Cálculo das Somas de Quadrados (SQ):

SQBloco = (1/12)(7112₊₅₈₅2₊₅₉₃2₊₆₂₈2_{) - (2517)}2_{/48 = 829,729} SQA = (1/16)(7112₊₇₈₀2₊₁₀₂₆2_{) - (2517)}2_{/48 = 3427,125} SQD = (1/12)(8282₊₆₃₇2₊₅₅₂2₊₅₀₀2_{) - (2517)}2_{/48 = 5186,229} SQAD = (1/4)(2432₊₁₆₉2_{+ ... +227}2_)-(2517)2_{/48-SQA-SQD = 768,708} SQTotal = (662 _{+ 52}2 _{+ ... +48}2_{) - (2517)}2_{/48 = 12511,812} SQE = 12511,812 -829,729 -3427,125 -5186,229 -768,708 = =2300,021

Tabela 8.9 Análise da variância do experimento bifatorial. C.V. GL SQ QM Fc F5% Blocos 3 829,729 276,576 3,968 2,890 Fator A 2 3427,125 1713,562 24,586 3,285 Fator D 3 5186,229 1728,743 24,803 2,890 Interação AxD 6 768,708 128,118 1,838 2,390 Erro 33 2300,021 69,697 Total 47 12511,812

Cálculo do coeficiente de variação - CV(%)=100*(69,697)1/2 _{/52,44 =15,92%}

Interpretação para efeito de blocos - A hipótese H0:σb2=0 é rejeitada porque Fc=3,968 é

maior do que F5%(3;33)=2,89. Neste caso, conclui-se em nível de 5% de probabilidade de erro, que os blocos são heterogêneos e o delineamento blocos ao acaso foi eficiente. A eficiência relativa (ER) do delineamento blocos ao acaso, em relação ao delineamento inteiramente casualizado, é ER%=(100/69,697)*{(2300,021+829,729)/(33+3} =124,7 ou seja, o uso do bloqueamento resulta em acréscimo de 24,7% na eficiência do experimento.

Interpretação para o efeito da interação AxD - A hipótese H0:adij=0, ∀i (não há interação)

não é rejeitada porque Fc=1,838 é menor do que F5%(6;33)=2,390. A interação, neste experimento, não foi significativa. Como os dois fatores são qualitativos, os mesmos serão interpretados pelos testes de hipóteses e comparação de médias (Tabela 8.5).

Interpretação do efeito principal do fator A - A hipótese H0:ai=0, ∀i é rejeitada porque o

Fc=24,586 é maior do que o F5%(2;33)=3,285. Neste caso, conclui-se em nível de 5% de probabilidade de erro, que os níveis do fator A são diferentes. O efeito do fator A é significativo. Para identificar quais os níveis do fator A que diferem entre si, procedemos um teste de comparações múltiplas de médias. Neste caso, usamos o teste de Tukey. Calculamos o valor delta (∆) em nível de 5% de probabilidade de erro: ∆=3,49*{69,697/(4x4)}1/2_=7,28

Nível do fator A Média A3 64,12 a*

A2 48,75 b

A1 44,44 b

* Níveis do fator A com médias não ligadas por mesma letra diferem pelo teste de Tukey a 5%

Interpretação do efeito principal do fator D - A hipótese H0:dj=0, ∀j é rejeitada porque o

Fc=24,803 é maior do que o F5%(3;33)=2,890. Neste caso, conclui-se em nível de 5% de erro, que os níveis do fator D não são iguais. O efeito do fator D é significativo. Para identificar quais os níveis do fator D que diferem entre si, procedemos um teste de comparações múltiplas de médias. Neste caso, usamos o teste de Tukey. Calculamos o valor de delta (D), ao nível de 5% de erro: ∆=3,85*{69,697/(3x4)}1/2 _{= 9,28.}

Nível do fator D Média D1 69,00 a* D2 53,08 b D3 46,00 b D4 41,67 c

* Níveis do fator D com médias não ligadas por mesma letra diferem pelo teste de Tukey a 5%

Conclusão geral do experimento - Não houve interação entre as espécies e as formas de manejo avaliadas. A melhor espécie foi a A3 que diferiu significativamente de A2 e A1. O melhor manejo foi o D1 que diferiu significativamente dos demais, sendo D4 o pior manejo. O delineamento blocos ao acaso foi 24,7% mais eficiente do que seria com o uso do delineamento inteiramente casualizado e, um coeficiente de variação de 15,92% é considerado baixo, segundo Estefanel at al. (1987).

b) Caso em que os fatores são qualitativos e a interação é significativa

Neste caso pode-se comparar as médias do fator A dentro de Dj (A/Dj) ou comparar as

médias do fator D dentro de Ai (D/Ai). Para isto, seja

m

ij

= + + +m a d ad

i j ij

=Y

ij

.=

média da combinação AiDj então:

V m( )

ij

=QM K

E

/

e V m

(

ij −mi j,

) (

= V mij−mij,

) (

= V mij−mi j, ,

)=

2QM KE/

.

Se

X=

i

C m

i ij é um contraste dos níveis de i (fator A) dentro do nível j do fator D então V X

( ) (

= QME/K

)

iCi

2_{; e, se}

_X

_{C m}

j ij j

=

é um contraste dos níveis de j (fator D) dentro do nível i do fator A então,

V X( )=(QM K

E

/

)

j

C

j

2_.

Para comparar as médias do fator A dentro de cada nível do fator D (A/Dj, ∀j), usando o

teste de Tukey temos que calcular

∆ = q I GL

α

( ;

E

)

QM K

E

/

Para comparar as médias do fator D dentro de cada nível do fator A (D/Ai∀i), usando o

teste de Tukey temos que calcular

∆ = q J GL

α

( ;

E

)

QM K

E

/

Nota: Quando a interação é significativa, usa-se, geralmente, comparar as médias do fator A e

D/Ai ou comparar as médias do fator D e A/Dj, dependendo do sentido prático das

conclusões. Deve-se evitar a comparação nos dois sentidos pois não seriam ortogonais, embora não se incorra em grave erro ao proceder dessa forma. Fazendo as comparações nos dois sentidos usam-se letras minúsculas para mostrar diferenças entre médias na vertical e letras maiúsculas para mostrar diferenças na horizontal. Outro procedimento possível é comparar as médias de todas as combinações AD numa única ordenação usando:

∆ = q IJ GL

_α

( ;

_E

)

QM K

_E

/

Exemplo

Sejam os resultados fictícios (kg/parcela) de um experimento bifatorial 4x3 no delineamento blocos ao acaso, 4 repetições, na Tabela 8.10. Os níveis do fator A são constituídos por 4 cultivares de milho (A1, A2, A3 e A4) e os níveis do fator D por 3 formas de manejo (D1, D2 e D3). Modelo: Yijk = m + bk + ai + dj + adij + eijk Os efeitos de b e e são

aleatórios e os demais efeitos são fixos, para I=4 níveis do fator A, J=3 níveis do fator D e K=4 blocos.

Tabela 8.10 Resultados (kg/UE) do experimento bifatorial e totais dos tratamentos e blocos. B l o c o s Yij. Ai Dj I II III IV 1 1 75 75 59 65 274 1 2 74 51 49 58 232 1 3 56 23 42 48 169 2 1 63 57 46 29 195 2 2 79 56 50 61 246 2 3 60 43 49 43 195 3 1 39 46 39 25 149 3 2 62 33 42 32 169 3 3 101 81 83 109 374 4 1 96 46 67 80 289 4 2 84 64 41 70 259 4 3 76 56 67 69 268 Y..K 865 631 634 689 2819 = Y...

Tabela 8.11 Totais de tratamentos (Yij.) e dos efeitos principais dos fatores A(Yi..) e D(Y.j.)

Dj\Ai A1 A2 A3 A4 Y.j.

D1 274 195 149 289 907

D2 232 246 169 259 906

D3 169 195 374 268 1006

Yi.. 675 636 692 816 2819=Y...

Tabela 8.12 Médias de tratamentos (

Y

_ij

.

) e dos efeitos principais dos fatores A(Yi..) e D(

Y. .

j )

Dj\Ai A1 A2 A3 A4

Y. .

_j

D1 68,50 48,75 37,25 72,25 56,69 D2 58,00 61,50 42,25 64,75 56,62 D3 42,25 48,75 93,50 67,00 62,87

Y

_i

..

56,25 53,00 57,67 68,00 58,73

Cálculos dos Graus de Liberdade (GL):

GLBloco=4-1=3; GLA=4-1=3; GLD=3-1=2; GLAD=(4-1)(3-1)=6; GLTo = 4x3x4-1=47; GLErro = (4x3-1)(4-1)=33.

Cálculos das Somas de Quadrados (SQ):

SQB = (1/12)(8652₊₆₃₁2₊₆₃₄2₊₆₈₉2_{) -(2819)}2_{/48 = 3031,07}

SQD = (1/16)(9072+9062+10062) - (2819)2/48 = 412,55

SQAD =(1/4)(2742+2322+...+2682) - (28192)/48 -SQA-SQD = 9290,13 SQTotal = (752 _{+ 75}2 _{+... +69}2_{) - (2819)}2_{/48 = 17597,48}

SQE =17597,48-3031,07-1512,56-412,55-9290,13 = 3351,17

Tabela 8.13 Análise da variância para um experimento bifatorial.

C.V. GL SQ QM Fc F5% Blocos 3 3031,07 1010,35 9,95 2,89 Fator A 3 1512,56 504,18 4,96 2,89 Fator D 2 412,55 206,27 2,03 3,28 Interação AD 6 9290,13 1548,35 15,25 2,39 Erro 33 3351,17 101,55 Total 47 17597,48 Coeficiente de variação = 100*(101,55)1/2/58,73 = 17,16

Interpretação para efeito de blocos - A hipótese H0:σb2=0 é rejeitada porque o Fc=9,95 é

maior do que F5%(3;33)=2,89. Neste caso, conclui-se em nível de 5% de probabilidade de erro, que os blocos são heterogêneos e o delineamento blocos ao acaso foi eficiente. A eficiência relativa (ER), em relação ao delineamento inteiramente casualizado é calculado como sendo ER% = (100/101,55) / { (3351,19+3031,07)/(33+3) } = 174,58%.

Interpretação para o efeito da interação AxD - A hipótese H0:adij=0, ∀ij (não há interação)

é rejeitada porque Fc=15,25 é maior do que F5%(6;33)=2,39. A interação, neste experimento, foi significativa em nível de 5% de erro. Como os dois fatores são qualitativos, vamos comparar as médias dos níveis do fator A dentro de cada nível do fator D pelo método de Tukey. O valor delta (∆) é igual a 3,85*(101,55/4)1/2 _{=19,40 e a comparação das médias está resumida na}

Tabela 8.14.

Tabela 8.14 Médias de rendimento das cultivares (A) nas diferentes formas de manejos (D). Nível do fator D

D1 D2 D3

A média A média A média

A4 72,25 a* A4 64,75 a A3 93,50 a A1 68,50 a A2 61,50 a b A4 67,00 b A2 48,75 b A1 58,00 a b A2 48,75 b c A3 37,25 b A3 42,25 b A1 42,25 c

* Níveis do fator A com médias não ligadas por mesma letra, na vertical, diferem entre si pelo teste de Tukey em nível de 5% de erro.

Conclusão do experimento

O delineamento experimental blocos ao acaso foi 74,58% mais eficiente do que seria com o uso do delineamento inteiramente casualizado. Assim, neste caso, o delineamento foi determinado adequadamente. O coeficiente de variação (17,16%) é considerado médio, se comparado com os dados de Estefanel et al. (1987).

Na Tabela 8.14, verifica-se que a interação é significativa pelo comportamento diferenciado das cultivares de milho nas diferentes formas de manejo. Assim, nos manejos D1 e D2 as cultivares A1 e A4 não diferem e no manejo D3 diferem e, além disso, são piores do que A3. O produtor deve usar a cultivar A4 quanto usar o manejo D1 ou D2 e a cultivar A3 quando usar o manejo D3. Não deve usar a cultivar A3 nos manejos D1 e D2.

c) Caso em que um fator é quantitativo e a interação não é significativa

Quando o fator A é quantitativo com mais de dois níveis aplica-se a análise da regressão que, neste caso, tem os I-1 graus de liberdade desdobrados em regressões e desvios de acordo com a Tabela 8.15.

Tabela 8.15 Tabela suplementar da análise para fator A quantitativo.

C.V. GL SQ QM F(sob H0)

Fator A I-1 SQA ---- ---

RL 1 SQRL QMRL QMRL/QME

RQ 1 SQRQ QMRQ QMRQ/QME

RC 1 SQRC QMRC QMRC/QME

Desvios I-4 SQDesv QMDesv QMDesv/QME

Erro GLE SQE QME

Para calcular as SQ das regressões, correspondentes a Tabela 8.15, considerar as seguintes fórmulas para as somas de quadrados:

(

)

SQ

RL

=

i

C Y

i1 i

JK C

i i 2 1 2

.. /

SQ

RQ

=(

i

C Y

i2 i

)

JK C

i i 2 2 2

.. /

(

)

SQ

RC

=

i

C Y

i3 i

JK C

i i 2 3 2

.. /

SQ

Desv

=SQ

A

−SQ

RL

−SQ

RQ

−SQ

RC

A interpretação do efeito dos graus dos polinômios são semelhantes ao visto no capítulo número 6 - interpretação de experimentos com tratamentos quantitativos. O modelo geral da equação é

Y Y IJK B M P B M P B M P=

.../

+

_{1 1 1}

+

_{2 2 2}

+

_{3 3 3}

+ +...

B M P

_{m m m}

+e

, na qual os parâmetros são obtidos pelas fórmulas a seguir:

B

₁

₌(

_i

C Y

_{i1 i}

_{.. /})

JK C

_{i i}2_1;

_B

(

_{C Y}

)

_{JK C}

i i i i i 2

=

2

.. /

22;

(

)

B

₃

₌

_i

C Y

_{i3 i}

_{.. /}JK C

_{i i}2_{3; P} 1=x;

P

x

I

2 2 2

₁

12

=

−

−

;

P

3

x

3

x(

I

)

2

3

7

20

=

−

−

, em que

(

)

No documento ExperimentaoII - Lindolfo Storck (páginas 128-139)