I.1 Condições de apoio
A análise de um pavimento constituído por lajes vigadas recorrendo às tabelas é feita através da decomposição do pavimento em lajes isoladas. Ao isolar a laje é importante simular, o mais correctamente possível, as suas condições de apoio. Geralmente, os apoios utilizados nos bordos das lajes para imitar o seu “comportamento real” estão representados na Figura I.1.
Figura I.1 – Representação esquemática das condições de apoio (Grupo de Análise de Estruturas, 1996).
Uma laje tem bordo livre quando esta não tem viga de apoio e como exemplo cita-se uma laje em consola.
Quando a laje apoia-se numa viga e não há outra laje adjacente considera-se que esse bordo é simplesmente apoiado, pois assume-se que a viga não tem rigidez à torção e apresenta uma rigidez à flexão infinita. Na realidade não é bem assim, pois essa viga é flexível, o que confere um certo grau de encastramento a laje, principalmente quando esta é betonada em simultâneo com a viga. Face a essa situação, muitos projectistas questionam-se sobre qual é o tipo de apoio ideal a considerar no cálculo para este caso. Para Bernal (2005), quando a laje é apoiada sobre uma viga cuja altura útil, dviga, é igual a 1,5.dlaje, considera-se no cálculo que
essa viga, devido a sua baixa rigidez de torção, não impede eventuais rotações que a laje possa ter, portanto funciona como um apoio simples. Ainda explica que apesar de haver nesta situação algum grau de encastramento conferido pela rigidez da torção das vigas de apoio, este encastramento não é tido em conta na análise, pois essa rigidez reduz bruscamente quando a viga passa do estado I (sem fissuração) para o estado II (fissurado).
No caso em que dviga é superior a 1,5.dlaje, considera-se que a viga apresenta uma maior
resistência à torção, o que impede a rotação da laje.
As lajes contínuas são assemelhadas às lajes isoladas considerando encastrado o bordo de continuidade. Esta hipótese é viável se as lajes adjacentes à viga tiverem as mesmas dimensões, condições de apoio e de carregamento (Rocha, 1976). Nas lajes contínuas cujos painéis são muito diferentes uns dos outros, esta hipótese não é muito recomendada. Contudo, na prática, considera-se o bordo de continuidade encastrado obtendo-se assim esforços à esquerda e à direita dessa viga diferentes. De modo a garantir a lei de continuidade num nó, é
Keila S. G. Robalo. 107
feito o equilíbrio de esforços nesse apoio e a consequente redistribuição de momentos no vão de cada laje.
Camacho (2004) referiu no seu trabalho que para lajes com vãos diferentes, lajes rebaixadas e ainda lajes que apresentam descontinuidade ao longo do seu contorno adopta-se as seguintes condições de apoio:
Lajes com vãos diferentes
Se → considera-se que Laje 1 está encastrada na Laje 2.
Se → considera-se que Laje 1 está apoiada na Laje 2.
Lajes rebaixadas
Onde:
h1: espessura da laje superior (Laje 1);
h2: espessura da laje inferior (Laje 2);
hmin: o menor entre h1 e h2;
L: o menor vão entre as duas lajes (Laje 1 e Laje 2). Encastramento Parcial:
Lajes com vãos diferentes
1 Se L2 1 4L1→ considera-se que Laje 1 está encastrada na Laje 2. 2 Se L2 1 4L1→ considera-se que Laje 1 está apoiada na Laje 2. Lajes rebaixadas Laje 1 Laje 2 L1 L2 Lajes rebaixadas 1 Se Δh ˃ h1 L ≤ 2,5m bw ≥ hmin Bordo encastrado Δh ≤ h1 bw ≥ hmin Bordo encastrado Δh ˃ h1 L ≤ 2,5m Bordo apoiado Laje 1 Laje 2 dsfv Ytv Lajes rebaixadas 1 Se 2 Se 3 Se Onde:
h1: espessura da laje superior; h2: espessura da laje inferior; hmin: o m Lajes rebaixadas 1 Se Δh ˃ h1 L ≤ 2,5m bw ≥ hmin Bordo encastrado Δh ≤ h1
bw ≥ hmin Bordo encastrado
Δh ˃ h1 L ≤ 2,5m Bordo apoiado Laje 1 Laje 2 Δh ˃ h1 L ≤ 2,5m bw ≥ hmin Bordo encastrado Δh ≤ h1 bw ≥ hmin Bordo encastrado Δh ˃ h1 L ≤ 2,5m Bordo apoiado Ytv Lajes rebaixadas 1 Se 2 Se 3 Se Onde:
h1: espessura da laje superior; h2: espessura da laje inferior; hmin: o m Lajes rebaixadas 1 Se Δh ˃ h1 L ≤ 2,5m bw ≥ hmin Bordo encastrado Δh ≤ h1
bw ≥ hmin Bordo encastrado
Δh ˃ h1 L ≤ 2,5m Bordo apoiado Laje 1 Laje 2 Δh ˃ h1 L ≤ 2,5m bw ≥ hmin Bordo encastrado Δh ≤ h1
bw ≥ hmin Bordo encastrado
Δh ˃ h1 L ≤ 2,5m Bordo apoiado Ytv Lajes rebaixadas 1 Se 2 Se 3 Se Onde:
h1: espessura da laje superior; h2: espessura da laje inferior; hmin: o m Lajes rebaixadas 1 Se Δh ˃ h1 L ≤ 2,5m bw ≥ hmin Bordo encastrado Δh ≤ h1
bw ≥ hmin Bordo encastrado
Δh ˃ h1 L ≤ 2,5m Bordo apoiado Laje 1 Laje 2 Δh ˃ h1 L ≤ 2,5m bw ≥ hmin Bordo encastrado Δh ≤ h1 bw ≥ hmin Bordo encastrado Δh ˃ h1 L ≤ 2,5m Bordo apoiado ytgfn Encastramento Parcial: 1 Se L1 ≥ 23L3→Bordo encastrado Encastramento Parcial: 1 e l1 ≥ 23l3→Bordo encastrado Bordo em análise Laje 1 Laje 3 Laje 2 Laje 3 L1 L2 L3 Apoiado Encastrado Bordo em análise
e L1 ≥ →Bordo encastrado
Se L1 < → Bordo apoiado
O vão teórico ou vão efectivo, das lajes deve ser definido através da expressão seguinte
(EC2, Secção 5.3.2.2):
(I.1)
Figura I.2 – Vão efectivo de uma laje Onde:
a1: menor valor entre t1/2 e h/2
a2: menor valor entre t2/2 e h/2 (figura 4)
ln: distância livre entre as faces dos apoios;
t: largura do elemento do apoio.
Na prática, é comum considerar como vão teórico a distância entre os centros dos apoios.
I.2 Classificação das lajes de acordo com o modo de flexão dominante
As lajes podem ser definidas como armadas numa só direcção ou armadas em duas direcções, sendo que essa classificação depende da relação entre os vãos e das condições de apoio. Segundo EC2-1-1 Secção 5.3.1 (5), uma laje é armada numa direcção se ã ã , ou se esta tiver dois bordos livres sensivelmente paralelos. Tratando da primeira situação, a flexão é predominante no plano paralelo ao menor vão, logo a armadura principal da laje é colocada nessa direcção, e se for o segundo caso a análise é feita segundo a direcção dos apoios.
Se , a laje é armada nas duas direções. As lajes deste tipo deformam-se sem que haja uma direcção predominante, por isso a armadura principal é colocada nas duas direcções.
I.3 Espessura mínima das lajes vigadas maciças
A determinação da espessura da laje é feita com base nos critérios dos estados limites de utilização e dos estados limites último do elemento estrutural, (Duarte, 1998).
Baseando no critério de estado limite de utilização, o EC2-1-1 na Secção 7.4.2. (2), preconiza os valores limites para a relação L/d, dados pelas seguintes expressões:
1 e l1 ≥
23l3→Bordo encastrado
2 Se l1 <
23l3→ Bordo apoiado
1.1.1.1 Vãos teóricos
Laje 3 Laje 3 Se L1 <
23L3→ Bordo apoiado
1.1.1.1 Vãos teóricos
Laje 3(I.2)
(I.3)
Sendo que:
L/d : valor limite da relação vão/altura;
K: coeficiente que tem em conta os diferentes sistemas estruturais. No quadro 7.4 do EC2 encontram-se os valores recomendados de K.
0: taxa de armaduras de referência que é dado pela expressão: ;
: taxas de armaduras de tracção necessária a meio vão para equilibrar o momento devido às acções de cálculo (no apoio no caso de uma consola);
’: taxas de armaduras de compressão necessária a meio vão para equilibrar o momento devido às acções de cálculo (no apoio no caso de uma consola);
fck: valores característicos da resistência à compressão referido a provetes cilíndricos
em MPa.
Os valores de L/d determinados pelas expressões referidas acima deverão ser corrigidos quando a tensão no aço na secção crítica é diferente de 310MPa, sendo que o EC2 recomenda que a correcção deve ser feita multiplicando os valores obtidos pela Expressão I.2 ou I.3 por
ou por
, em que:
s: tensões de tracção no aço a meio vão (no apoio no caso de uma consola) para as acções de
cálculo no estado limite de utilização;
As,req: área da secção de armaduras existente na secção;
As,prov: área da secção de armaduras necessária na secção resultante da verificação ao estado
limite último.
Nas lajes vigadascom vãos superiores a 7 metros, que suportam divisórias que possam ser danificadas por flechas excessivas, os valores de L/d dados pela expressão I.2 ou I.3 devem ser multiplicados por 7/leff (leff em metros).
A espessura da laje também é condicionada pela sua resistência (Flexão e esforço transverso). O EC2-1-1 na Secção 9.3.2 (1) refere que uma laje com armadura de esforço transverso deverá ter uma espessura pelo menos igual a 200 mm.
Para sobrecargas correntes em edifícios (q<5 kN/m2), a espessura das lajes armadas numa direcção pode ser determinada a partir da relação h ≈ L/ (25 a 30), enquanto a espessura das lajes armadas em duas direcções é dada por h ≈ L/ (30 a 35), sendo que estas expressões têm por base o controlo indirecto da deformação e o nível de esforços na laje (Marchão e Appleton, 2009).
É de realçar que se a espessura for determinada tendo em conta o vão da laje, pode-se correr o risco de num piso formado por lajes de vãos diferentes ter várias espessuras. Porém, por questão de estética e de facilidade na sua execução, convém que haja uniformização da espessura das lajes no mesmo piso. Para isso, quando um piso é constituído por lajes de vãos
diferentes a espessura é determinada para cada laje e finalmente adopta-se para o cálculo de esforços a maior espessura obtida.
I.4 Quantificação e combinação das acções
O dimensionamento das lajes vigadas é condicionado essencialmente pelas acções verticais, como o peso próprio da laje, pesos de revestimentos do piso, peso das paredes divisórias e cargas do uso. Essas acções foram definidas de acordo com as normas em vigor, EC1.
Relativamente ao peso próprio das paredes divisórias, neste trabalho foram admitidas as regras preconizadas no artigo 15º do RSA.
Os esforços actuantes de cálculo foram determinados por aplicação da combinação fundamental: 1,5*(g + q), sendo q acções variáveis (sobrecarga) e g acções permanentes (peso próprio, pesos de revestimentos do piso, peso das paredes divisórias).
I.5 Condições do carregamento nas lajes contínuas
Na modelação das lajes contínua é importante saber quais são as posições mais desfavoráveis para aplicação da sobrecarga, principalmente quando esta é elevada, de modo a obter esforços máximos.
Segundo Rocha (1976), o cálculo de momento flector máximo nas lajes contínuas deve ser feito mediante as seguintes condições:
Se a sobrecarga for pequena em relação a carga permanente total, (q <1,5 g), a análise é feita sem que seja necessário estudar a situação mais desfavorável da sobrecarga;
Se a sobrecarga for elevada, a análise deve ser feita estudando a posição da aplicação desta, de modo a obter o momento flector máximo.
I.6 Alternância da sobrecarga para o cálculo do momento positivo máximo
A determinação de momento positivo máximo num painel de lajes contínuas é feita considerando que este está totalmente carregado e os que lhe ficam adjacentes estão sob a acção, apenas de carga permanente. Por exemplo, para o cálculo do momento positivo máximo no painel L1 e L3 da Figura I.3, é preciso que o carregamento seja feito como se ilustra a seguir:
Figura I.3 – Carregamento mais desfavorável para o cálculo do momento máximo positivo nas lajes L1 e L3 (Rocha, 1976).
Essa hipótese de carregamento é obtida a partir da linha de influência aplicada a uma viga contínua conforme ilustrado a seguir. A secção crítica analisada é a secção a meio vão.
Figura I.4 – Linha de influência e carregamento para se obter o momento positivo máximo na secção a meio vão (Ramos, 2010).
No estudo dessas lajes como lajes isoladas, Marcus considera encastramento no contorno de continuidade e o cálculo de momento positivo máximo é feito através da decomposição da carga p (p = p’+p’’), obtendo assim M+= M’++ M’’+. Para o cálculo de M’+
considera-se a laje em analise sob a acção da carga p’ = g+q/2. Depois considera-se a mesma laje, mas se esta tiver bordos encastrados, estes passarão a bordos simplesmente apoiados, sob a acção da carga p’’= q/2 e calcula-se M’’+. O momento máximo positivo final será a soma dos momentos calculados para os dois casos: Mxs= M’x++ M’’x+ e Mys= M’y++ M’’y+, (Rocha, 1976).
Exemplo1: Painel de canto
Figura I.5 – Condições de carregamento para cálculo de momentos positivos nos painéis de canto.
Hhh
Exemplo 2: Painel central
Figura I.6 – Condições de carregamento para cálculo de momentos positivos nos painéis interior.
Hh
Exemplo 3: Painel de bordo
Figura I.7 – Condições de carregamento para cálculo de momentos positivos nos painéis de bordo
hhhh
Exemplo 4: Painel com bordo livre
Figura I.8 – Condições de carregamento para cálculo de momentos positivos num painel com bordo livre
A mesma hipótese de carregamento também pode ser aplicada às lajes armada numa direcção. Se considerar que L1 e L3 são lajes armadas numa direcção as condições de carregamento seriam as seguintes:
Figura I.9 – L1, vão extremo.
hhhh
Figura I.10 – L3, vão central.
As hipóteses de carregamento admitidas pelo Marcus podem ser compreendidas através das Figuras I.11 e I.12:
Figura I.11 – Corte da situação da carga correspondente ao momento flector positivo máximo na laje L3 central.
hhhh
As hipóteses de carregamento admitidas pelo Marcus podem ser compreendidas através das figuras seguintes:
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 - Corte da situação da
Figura I.12 – Corte da situação da carga correspondente ao momento flector positivo máximo na laje L1.
I.7 Alternância da sobrecarga para o cálculo do momento negativo máximo
Para o cálculo dos momentos negativos máximos, a situação mais desfavorável corresponde ao carregamento total tanto na laje em análise como na laje adjacente, Figura I.13.
Figura I.13 – Posicionamento mais desfavorável da sobrecarga para o cálculo do momento flector negativo máximo no bordo indicado (Marchão e Appleton, 2009)
A hipótese de carregamento apresentada na Figura I.13 é obtida com base na linha de influência aplicado ao corte AA’, considerando como secção crítica o bordo adjacente à Laje 4 e 5.
Figura I.14 – Linha de influência e carregamento para se obter o momento negativo máximo no apoio A. (Ramos, 2010).
Na análise do painel isoladamente considera-se que para a determinação do momento máximo negativo o painel em análise deve estar submetido à carga total, p = g + q.
As condições de carregamento propostas pelo método de Marcus, para a análise de lajes como isoladas, tanto para o cálculo de momento negativo máximo como para momento positivo
carga correspondente ao momento flector positivo máximo na laje L3 central.
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..2 - Corte da situação da
máximo, restringem-se ao pavimento constituído por lajes sujeitas a cargas uniformemente distribuídas e com vãos adjacentes semelhantes.
I.8 Cálculo dos Momentos flectores
Conhecendo as condições geométricas, de carregamento e de apoio da laje a analisar, procede-se ao cálculo dos momentos nas lajes através das tabelas.
Com os valores de λ= lx/ly, coeficiente de Poisson, obtêm-se através das tabelas, que no caso
em estudo são as de Barés, os coeficientes que posteriormente são substituídos nas expressões que permitem calcular os momentos nas lajes armadas nas duas direcções.
Na laje armada numa direcção os esforços podem ser determinados de forma análoga à análise de uma viga com largura igual a um metro e altura igual à altura da laje.
Se o pavimento for constituído por lajes contínuas de vãos, condições de carregamento ou ainda condições de apoios diferentes, é obvio que a sua análise considerando painéis de lajes independentes, acarreta diferenças apreciáveis entre os momentos negativos obtidos para cada painel. Como numa laje contínua, o bordo de continuidade deve ter momentos idênticos em ambos os lados, logo os resultados dos momentos obtidos para dois painéis adjacentes devem ser tratados de modo a garantir o equilíbrio dos esforços no bordo comum às duas lajes. O tratamento desses esforços influenciam os momentos nos vãos dos dois painéis, portanto será necessário fazer um reajuste nesses momentos.
I.9 Equilíbrio de esforços nos bordos dos painéis adjacentes
O cálculo dos esforços nas lajes recorrendo às tabelas é feito para cada painel isolado, por isso nos apoios comuns entre as lajes contínuas, geralmente existem dois valores diferentes de momentos flectores negativos, MA e MB.
Figura I.15 – Momentos num bordo de continuidade.
O momento equilíbrio, MAB, depende da rigidez das duas lajes e o valor correspondente situa-
se entre MA e MB. O seu valor determina-se através da expressão baseada no método de Cross
(Marchão e Appleton, 2009): (I.4) Sendo: e
Na prática esse momento pode ser determinado através da média dos momentos MA e MB,
desde que o valor médio seja igual ou superior a 80% do maior dos momentos (Camacho, 2004, Marchão e Appleton, 2009): A B l A l B A M A M B B MA MB
MAB=
MA+MB 2
0,8 máximo ( MA ; MB )
(I.5)
Figura I.16 - Equilíbrio dos Momentos no bordo das lajes adjacentes
Se um dos painéis estiver em consola o momento no apoio é precisamente o momento do painel em consola, pois esta é uma estrutura isostática e como tal não permite que o momento seja diminuído.
I.10 Correcção dos momentos positivos após o equilíbrio dos momentos nos apoios
O equilíbrio dos momentos nos apoios faz com que haja alteração dos momentos a meio vão. Se o momento negativo resultante do equilíbrio (MAB) em valor absoluto for inferior ao
momento negativo calculado para o painel isoladamente (MA), o momento a meio vão desse
painel deve ser reajustado, pois esse momento pode ser superior ao momento positivo calculado pelo método de Marcus. Caso contrário, o momento a meio vão é então dado pelo método de Marcus.
Se MAB> 0,8xMáximo (|MA|, |MB|), ou seja, MAB é determinado pela expressão (MA + MB)/2,
é usual que o momento máximo positivo seja determinado pelo método de Marcus. Quando MAB é determinado pela expressão 0,8xMáximo ( MA ; MB ) deve determinar-se o momento
positivo resultante do equilíbrio dos momentos negativos, e verificar se este momento é o momento de dimensionamento (Carmo, 2010).
I.10.1 Correcção dos momentos positivos nas lajes armadas numa direcção
No caso de laje armada numa direcção, o ajuste de momento a meio vão é feito da seguinte maneira (Camacho, 2004 e Carmo, 2010):
Vão extremo:
Figura I.17 – Momento positivo após o equilíbrio de momentos no apoio do vão extremo. ΔM= (I.6)
Vão interno:
Figura I.18 – Momento positivo após o equilíbrio de momentos no apoio
(I.8) ’ Δ (I.9) É importante realçar que as expressões indicadas acima permitem determinar apenas por aproximações o M+ pois ΔM/2 é o acréscimo do momento positivo a meio vão e M’ não é necessariamente a meio vão.
Conhecido o momento positivo após o equilíbrio de momento negativo procede-se a determinação do momento positivo de dimensionamento, o qual é dado por:
I.10.2 Correcção de momentos positivos nas lajes armadas em duas direcções
Como este tipo de lajes tem comportamento bidimensional, a correcção do momento positivo é efectuada de modo diferente porque a alteração do momento num dos apoios afecta os esforços da laje nas duas direcções. A correcção dos momentos positivos nas duas direcções, My+ e Mx+, efectua-se através da interpolação usando os esforços dados pelas tabelas. Para a
interpolação poderá usar-se os momentos de uma laje com as mesmas condições de apoio, excepto no apoio onde há o equilíbrio de momentos negativos que deverá considerado simplesmente apoiado (ou seja, momento nulo no apoio) e os momentos da laje considerando as condições de apoio inicialmente definidas, incluindo o encastramento no apoio em estudo (Carmo, 2010).
Esses momentos também podem ser corrigidos recorrendo aos quadros da autoria de Czerny apresentados a seguir.
Conhecido o momento positivo após o equilíbrio de momento negativo procede-se a determinação do momento positivo de dimensionamento, o qual é dado por:
Correcção de momentos positivos nas lajes armadas em duas direcções
Como este tipo de lajes tem comportamento bidimensional, a correcção do momento positivo
ximações o M+ pois ΔM/2 é o acréscimo do momento positivo a meio vão e M’ não é
necessariamente a meio vão.
Conhecido o momento positivo após o equilíbrio de momento negativo procede-se a determinação do momento positivo de dimensionamento, o qual é dado por:
M+dim = máx
Correcção de momentos positivos nas lajes armadas em duas direcções
Como esse tipo de lajes tem comportamento bidimensional, a correcção do momento positivo Momentos positivos resultantes do equilíbrio de momentos negativos
M+=M’+ΔM/2
Sendo que M’ é momento calculado considerando Psd=1,5x (q+g) Momentos positivos determinados pelo Método de Marcus
Momentos flectores e no centro das lajes para o momento unitário aplicado nos apoios (Rocha, 1976).
Quadro I.1 – Momento aplicado no lado maior >
Valores de E para ≥ 1 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 1.0 0.056 0.045 0.009 -0.021 0.009 -0.022 0.144 0.116 0.126 0.112 0.113 0.111 1.1 0.083 0.064 0.034 -0.001 0.031 -0.005 0.144 0.112 0.132 0.124 0.116 0.118 1.2 0.109 0.082 0.059 0.021 0.050 0.014 0.142 0.106 0.138 0.132 0.113 0.120 1.3 0.136 0.098 0.087 0.048 0.069 0.033 0.139 0.100 0.138 0.138 0.105 0.120 1.4 0.161 0.113 0.115 0.076 0.088 0.052 0.133 0.093 0.136 0.138 0.100 0.116 1.5l 0.185 0.126 0.141 0.103 0.106 0.072 0.128 0.087 0.134 0.139 0.092 0.112 Quadro I.2 – Momento aplicado no lado menor <
Valores de E para ≤ 1 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 1.0 0.056 0.045 0.010 -0.022 0.009 -0.022 0.144 0.116 0.125 0.112 0.113 0.111 1.1 0.033 0.028 -0.010 -0.037 -0.009 -0.038 0.140 0.118 0.015 0.100 0.109 0.099 1.2 0.015 0.013 -0.024 -0.046 -0.021 -0.050 0.134 0.117 0.105 0.087 0.103 0.086 1.3 0.002 0.002 -0.032 -0.051 -0.031 -0.055 0.126 0.113 0.093 0.074 0.092 0.075 1.4 -0.007 -0.006 -0.036 -0.052 -0.036 -0.056 0.116 0.106 0.081 0.060 0.081 0.065 1.5l -0.15 -0.013 -0.041 -0.053 -0.041 -0.057 0.109 0.102 0.074 0.053 0.072 0.056 Obs: Toma-se como o vão normal ao lado onde se aplica o momento.
O Quadro I.1 fornece valores dos momentos nos vãos quando o momento sinusoidal é aplicado no lado maior, e Quadro I.2, quando o momento sinusoidal é aplicado no lado menor. Estes quadros permitem corrigir os momentos positivos na laje, supondo aplicado no bordo de continuidade o momento ΔM (momento sinusoidal) igual a diferença entre o momento do equilíbrio e o momento calculado considerando essa laje isolada. Se o bordo em análise corresponder ao bordo maior escolhe-se o Quadro I.1, caso contrário escolhe-se o Quadro I.2. Atendendo às condições de apoio da laje a analisar, selecciona-se o tipo de laje
correspondente na referida tabela e entrando com a relação Lmaior/Lmenor, encontra-se no
Quadro I.1 ou Quadro I.2 os coeficientes de transmissão γx, e γy para o cálculo da variação dos
momentos positivos quando há um momento sinusoidal no valor de ΔM através das seguintes fórmulas:
ΔMx= γx x ΔM (I.10)
ΔMy= γy x ΔM (I.11)
Estes quadros também podem ser usados para efectuar a correcção dos momentos nos vãos de uma laje adjacente à consola caso se pretenda ter em conta o efeito do momento negativo da consola. Para a aplicação dos quadros calcula-se primeiro os momentos na laje adjacente à consola, considerando o bordo de continuidade simplesmente apoiado. Posteriormente para a correcção dos momentos a meio vão dessa laje procede-se a transformação do momento negativo da consola (momento constante) num momento sinusoidal através da Expressão I.12,