O presente trabalho incidiu na análise estrutural do edifício apresentado no Capítulo II recorrendo a diferentes modelos estruturais. Os resultados provenientes de cada modelo foram comparados entre si. Das várias análises comparativas foi possível obter algumas conclusões que se julga serem úteis para os jovens engenheiros e que são descritas a seguir.
Análise das lajes vigadas
A análise comparativa dos momentos flectores nas lajes determinados através das tabelas de Barés e do método dos elementos finitos demonstrou que existe uma grande divergência entre estes e, consequentemente, a quantidade de armadura longitudinal necessária também será muito diferente. Essas diferenças foram justificadas através das condições admitidas por cada um destes métodos de cálculos. Os esforços determinados com recurso às tabelas são obtidos partindo do pressuposto que as vigas de apoio são indeformáveis à flexão. Porém, através dos modelos analisados pelo método dos elementos finitos no programa Sap2000 foram feitas várias formulações onde a inércia das vigas de apoio foi variado e demonstrou-se que esse parâmetro influência bastante os esforços nas lajes. Deste estudo ficou explícito que os momentos obtidos através dos modelos que consideram a rigidez à flexão real das vigas de apoios são maiores que os obtidos pelos modelos que não a consideram, chegando a existir diferenças que podem atingir os 64%. No caso em que se simulou que as vigas estão fissuradas, através da consideração de apenas metade da sua rigidez à flexão, verificou-se um aumento significativo dos momentos flectores nas lajes. Em relação à rigidez à torção das vigas de apoio constatou-se que ao ignorar este parâmetro no cálculo isso implicou, para maioria dos modelos analisados, um aumento dos momentos nas lajes tanto positivo como negativo, havendo casos onde esse aumento atingiu 33%. Nos modelos que consideraram que as vigas estão fendilhadas, verificou-se que as diferenças são pouco significativas.
Outro parâmetro que também foi analisado foi a teoria das lajes utilizada em cada um dos métodos de cálculos. Conforme referido no Capítulo 3, as tabelas utilizadas para a análise das lajes foram elaboradas com base na teoria de Kirchhoff, ou seja, desprezando a deformação de corte. O programa Sap2000 permite a modelação das lajes baseada tanto na teoria de Kirchhoff como na teoria de Reissner-Mindlin. Das diversas modelações realizadas no programa Sap2000 verificou-se que há diferenças significativas entre os momentos flectores obtidos pelas duas teorias quando é considerado todo o pavimento. No caso em que o painel de laje foi estudado isoladamente, no mesmo programa, constatou-se que a diferença dos resultados entre as duas teorias foi menos significativa. Esta diminuição das diferenças permite afirmar que se verificou a situação referida no início do Capítulo 3, “um “bom” elemento de Reissner-Mindlin deve conseguir recuperar os resultados fornecidos pela teoria de Kirchhoff”.
Foram feitas modelações admitindo várias hipóteses de cálculos e para todas as modelações foram obtidas soluções. Obviamente que o programa de cálculo não dá informações sobre os erros relacionados com a modelação estrutural e, claro, pode haver situações em que a modelação escolhida não é adequada para o caso em estudo. Portanto, cabe ao engenheiro a
decisão sobre o modelo estrutural e o programa de cálculo mais apropriado para o caso em estudo. Os utilizadores devem ter consciência de que o programa de cálculo é apenas uma ferramenta e deve ser utilizada com muita prudência.
A partir dos resultados obtidos, pode-se concluir que é imprescindível modelar a laje de modo a simular o mais correctamente possível o seu comportamento real. Para isso devem ser usadas ferramentas de cálculo que permitam considerar todos os parâmetros citados anteriormente e outras variáveis que não foram contempladas neste documento (comportamento não linear dos materiais e ainda uma análise que considera as dimensões reais de todos os elementos estruturais).
Análise das lajes fungiformes
Através da análise comparativa dos momentos flectores nas lajes fungiformes determinados através do método dos pórticos equivalentes e do método dos elementos finitos, constatou-se que há diferenças significativas entre os resultados dados pelos dois métodos. Notou-se que, de um modo geral, o método dos elementos finitos conduz a momentos flectores superiores, razão pela qual pode-se concluir que o modelo dos pórticos equivalentes parece ser pouco adequado para a análise do estado limite último de resistência à flexão da laje.
Salienta-se ainda que o método dos pórticos equivalentes não dá informações sobre o momento torsor na laje e através do método dos elementos finitos é possível determinar esse esforço. No caso em estudo obteve-se, através do método dos elementos finitos, momentos torsores que variaram entre -53,75kN.m/m e 38,74kN.m/m. Como pode verificar isto
implicaria um aumento significativo dos momentos de dimensionamento e,
consequentemente, nas quantidades de armaduras longitudinais. Face à situação descrita pode-se concluir e referir mais uma vez que o método dos pórticos equivalentes não consegue representar adequadamente o comportamento da laje em estudo.
Análise dos pórticos
No Capítulo 5 foi apresentada uma análise linear elástica da estrutura porticada considerando três tipos de modelação geométrica: plana (Modelo 1), tridimensional sem laje (Modelo 2) e modelação tridimensional com laje (Modelo 3). O estudo focalizou-se na análise das variações dos resultados obtidos, tanto a nível de esforços como das quantidades de armaduras longitudinais, dados pelas diferentes modelações estruturais. Nestas análises manteve-se sempre que possível as mesmas hipóteses de cálculo. Do estudo realizado salienta-se o seguinte:
Comparando os esforços na viga do Pórtico 1 notou-se que os Modelos 1 e 2 apresentam resultados dos esforços transversos, axiais e momentos flectores aproximados e superiores aos obtidos pelo Modelo 3, com diferenças significativas. Desta análise comparativa foi possível concluir que as diferenças entre os três modelos deve-se, principalmente, à influência da laje na modelação. No Modelo 1 e 2 os esforços são praticamente iguais porque foram admitidas as mesmas condições de carregamento (a acção da laje na viga foi determinada previamente). No Modelo 3 essas cargas foram determinadas automaticamente através da introdução da laje na modelação. Esta última hipótese julga-se ser a mais adequada porque desta forma as cargas são distribuídas pelas
vigas de acordo com a sua rigidez. Com base nesta mesma análise e considerando a verificação da segurança em relação ao E.L.U de resistência à flexão foi possível concluir que modelar vigas, que se encontram em condições idênticas às da viga do Pórtico1, pelo Modelo 1 e 2 pode acarretar custos desnecessários para a construção.
No estudo das vigas do Pórtico 4 e 12 registaram-se diferenças significativas entre os esforços dados pelos três modelos e essas diferenças estão relacionadas com as simplificações admitidas no Modelo 1 e 2. É importante relembrar que a viga do Pórtico 12 apoia-se na viga do Pórtico 4 e a interacção entre essas duas vigas foi tida em conta de maneira distinta em cada um dos modelos. O Modelo 1 considerou, na modelação do Pórtico 12, que a viga do Pórtico 4 comporta-se como um apoio elástico com rigidez constante e no Pórtico 4, o efeito da viga do Pórtico 12, foi modelada como uma carga pontual igual, em valor absoluto, à reacção do referido apoio elástico. A partir da comparação dos diagramas dos esforços dados pelos três modelos foi possível concluir que a simplificação adoptada no Modelo 1 não traduz o comportamento real destes pórticos. As diferenças observadas não só entre o Modelo 1 e os restantes modelos, mas também entre o Modelo 2 e 3. Estas diferenças podem ser parcialmente explicadas pela inclusão das lajes na modelação e pelo facto de que nos Modelos 1 e 2 foram admitidas algumas simplificações na determinação das cargas (ver Figuras 5.3 e 5.4). Face ao exposto pode-se concluir que nas situações em que há vigas a apoiar sobre outras vigas, o Modelo 1 pode apresentar resultados que podem comprometer a segurança.
Da análise comparativa dos esforços no Pórtico 13 verificou-se diferenças significativas entre os modelos, sendo que essas diferenças podem ser justificadas com base nas irregularidades geométricas da estrutura na periferia desse pórtico. Devido a essas irregularidades foram necessárias fazer algumas simplificações, principalmente no cálculo das cargas provenientes das lajes, o que justifica em parte as diferenças entre os Modelos 1 e 2 e o Modelo 3. As diferenças entre o Modelo 1 e os restantes modelos devem-se principalmente à assimetria da estrutura.
Do estudo comparativo dos esforços nos pilares tomados como exemplos ficou bem claro que há diferenças significativas entre os três modelos. Por exemplo, verificou-se que o Modelo 1, para o caso do pilar P2, conduz a uma solução pouco económica porque é necessária uma área de aço superior à do Modelo 3, com uma diferença de aproximadamente 20%. Já o Modelo 2 conduz a uma quantidade de armadura longitudinal razoável, deferindo apenas 10% do Modelo 3. Para o pilar P16 verificou-se que o Modelo 1 revela-se inadequado, uma vez que necessita de uma área de aço bastante inferior à do Modelo 3, com uma diferença de aproximadamente 66%. Já o Modelo 2, para este caso, revela-se menos económico, pois conduz a mais área de aço que o Modelo 3, diferindo deste cerca de 67%.
Pelas razões expostas, pode-se concluir que o uso de modelos que se baseiam na separação dos elementos estruturais pode conduzir a resultados que se julga serem pouco adequados ou pode, noutros casos, conduzir a soluções pouco económicas. Sendo assim é fundamental que se tenha bastante cautela na simplificação das estruturas e lembrar que, na realidade, tais elementos funcionam como um elemento solidário, por isso, o ideal será adoptar modelos que permitem idealizar a estrutura como um todo.
Desenvolvimentos futuros
Para estudos a realizar no futuro sugere-se a análise estrutural deste mesmo edifício mas com diferentes soluções estruturais, nomeadamente considerar estruturas com paredes resistentes. Poder-se-á estudar diferentes modelações para as paredes resistentes e a sua interacção com os pórticos. Ainda neste tema julga-se que será interessante avaliar o efeito das acções horizontais na estrutura tendo em conta as três modelações apresentadas neste trabalho. Do ponto de vista da concepção estrutural e considerando as acções horizontais será importante comparar soluções estruturais com e sem paredes resistentes.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Appleton, J. e Marchão, C (2008/2009). Lajes de Betão Armado - Modulo 2. Folha de apoio às aulas de Estruturas de Betão I, Departamento de Engenharia e Arquitectura do Instituto Superior Técnico, Lisboa.
Appleton, J. (2007/2008). Verificação da segurança aos estados limites últimos de elementos
com esforço axial não desprezável - Modulo 2. Folha de apoio às aulas de Estruturas de
Betão I, Departamento de Engenharia e Arquitectura do Instituto Superior Técnico, Lisboa.
Azevedo, A. F. M. (Abril de 2003). Método Dos Elementos Finitos. 1ª Edição, Faculdade de
Engenharia da Universidade do Porto, Porto. Disponível em:
http://pt.scribd.com/doc/6979809/mEtodo-Dos-Elementos-Finitos
Barboza, M.B. (Agosto de 2008). Concepção e Análise de Estruturas de Edifícios em
Concreto Armado. Relatório Final de Iniciação Científica – FAPESP, Bauru/SP.
Bernal, J. (2005). Hormigón Armado: losas. La Edição Buenos Aires, Nobuco. Disponível em http://books.google.pt/.
Camacho, J. S. (2004). Estudo das lajes. Curso de Concreto Armado (NBR 6118/2003), UNESP, Ilha Solteira-SP.
Carmo, R. (2010). Lajes de betão armado. Apontamentos de Apoios às aulas de Betão Armado II, Departamento de Engenharia Civil do Instituto Superior de Engenharia de Coimbra.
Carmo, R. Apontamentos de apoios às aulas de Projecto de Obras Correntes. Departamento de Engenharia Civil, Instituto Superior de Engenharia de Coimbra.
Carmo, R. Apontamentos de apoios às aulas de Betão Estrutural. Departamento de Engenharia Civil, Instituto Superior de Engenharia de Coimbra.
Castro, L.M.S. (2007). Elementos Finitos para a Análise Elástica de Lajes. Elementos de estudo da disciplina de Análise de Estruturas II, Instituto Superior Técnico
CSI – Computer and Structures, Inc. Sap2000 - Linear and Nonlinear Static and Dynamic
Analysis and Design of Three-Dimensional Structures – Introductory Tutoria. Berkeley,
California, USA.
CSI – Computer and Structures, Inc. (2009). Sap2000 - Linear and Nonlinear Static and Dynamic Analysis and Design of Three-Dimensional Structures – Basic Analysis Reference Manual. Berkeley, California, USA.
CSI – Computer and Structures, Inc.(2009). Sap2000 - Linear and Nonlinear Static and Dynamic Analysis and Design of Three-Dimensional Structures – Getting Started With Sap2000. Berkeley, California, USA.
D’Arga e Lima, J.; Monteiro, V. e Mun, M. (1985). Betão Armado: Esforços Normais e de
Flexão (REBAP-83). LNEC, Lisboa.
Duarte, H. (1998). Aspecto da Análise Estrutural das lajes de Edifícios de Concreto Armado. Tese de Mestrado, Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, São Carlos.
NP EN 1992-1-1 (2010). Eurocódigo 2: Projecto de Estruturas de Betão, Parte 1-1:Regras
gerais e regras para edifícios, Instituto Português da Qualidade.
Farinha, J.S e Reis, A.C. (1998). Tabelas Técnicas – Edições Técnicas, Lda. Disponível em : http://www.engenium.net/1011/tabelas-tecnicas.html
Fontes, F.F e Pinheiro, L.M. Análise de um Edifício por Vários Modelos Estruturais. IN: Anais do VI Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto, Trabalho SIMP0225, 2006, p.233-250 Estruturas de Edifícios em Concreto Armado - Relatório Final de Iniciação Científica, FAPESP.
Gomes, A.; Appleton, J.; Almeida, J. (Março de 1989). Betão Armado e Pré-Esforçado II,
Volume I – Dimensionamento e Pormenorização de Lajes. Instituto Superior Técnico,
Lisboa.
Grupo de Análise de Estruturas (2005). Análise elástica linear de lajes. Apontamentos de apoio às aulas de Análise de Estruturas I, Departamento de Engenharia Civil Instituto Superior Técnico, Lisboa.
Hennrichs, C. A. (2003). Estudo sobre a Modelagem de Lajes Planas. Tese de Mestrado, Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal de Santa Catarina.
Juvandes, L.F.P (1990). Modelos de Análise de Estruturas Laminares Planas Flectidas. Tese de Mestrado, Departamento de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia do Porto, Porto.
Leitão, V.M.A; Teixeira de Freitas, J.A; Castro, L.M.S.S. e Pereira, O.J.B.A. Apontamentos
sobre análise elástica linear de lajes. Grupo de Análise de Estruturas, Departamento de
Engenharia Civil do Instituto Superior Técnico.
Lourenço, P. B.; Oliveira, A.F. (2001). Comparação de programas comerciais de cálculo
automático para estruturas porticada. Departamento de Engenharia Civil da
Universidade do Minho, Guimarães.
Lourenço, P. B.; Oliveira, A.F. (2000). A análise de estruturas porticada em betão armado e
os programas comerciais.
Lourenço, P.B. et al. (1999). Sobre o Cálculo Automático no Projecto de Estruturas de Betão
Armado. Resumo de uma comunicação apresentada em Sessão Especial no V Encontro
Nacional de Mecânica Computacional, Universidade do Minho.
Lourenço, P. B.; Oliveira, A.F. (1998). Análise comparada de uma estrutura porticada em
Martins, J.G. (2009). Betão Armado: Lajes Fungiformes. Série Estruturas. 2.ª Edição.
Montoya, J.; Meseguer, A. G. e Cabré, F. M. (2000). Hormigon Armado. 14ª Edição, Editorial Gustavo Gili, S.A. Barcelona.
Moss, R. M. & Brooker, O.(2006) How to design concrete structures using Eurocode 2:
Columns. The Concrete Centre.
Oliveira, A.F. (2000). Exemplos de referência para o cálculo de estruturas em betão armado. Tese de Mestrado, Universidade do Minho, Guimarães.
Pedrozo, D.G.E. (2008). Estudo de Modelos para Projeto de Lajes Lisas Protendidas. Tese de Mestrado, Universidade Federal de Santa Catarina, Santa Catarina.
Pereira, O. e D’Almeida, J.B. (1996). Utilização de Elementos Finitos de Equilíbrio em
Refinamento Adaptativo. Tese de doutoramento, Universidade Técnica de Lisboa, Lisboa.
Pereira, B. (1991. Betão Armado: Laje. Apontamentos de apoios às aulas de Engenharia de Estruturas, Departamento de Engenharia Civil do Instituto Superior de Engenharia de Coimbra.
Ramos, A. P. (Outubro 2006). Lajes Fungiformes: Análise Estrutural. Estruturas de Betão Armado II, Faculdade de Ciências e Tecnologias da Universidade Nova de Lisboa.
REBAP, Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado. Porto Editora.
RSA, Regulamento de Segurança e Acções para Estruturas de Edifícios e Ponte. Porto Editora.
Rocha, A. M. (1981). Novo Curso Prático de Concreto Armado. Vol. 1. Editora Científica, Rio de Janeiro.
Soriano, H. L. (2003). Método dos elementos finitos em Análise de Estruturas. Editora da Universidade de São Paulo. Disponível em http://books.google.pt/.
The Concrete Centre. Worked Examples for Eurocode 2.
Timoshenko, S.P. e Woinowsky-Krieger, S. (1959). Theory of Plates and Shells. McGraw- Hill Kogakusha, Ltda.
Trindade, M.O. (Setembro de 2009). Estudo da Configuração Económica de Lajes
Fungiformes em função da sua Geometria e Materiais. Tese de mestrado, Departamento
de Engenharia Civil da Universidade de Coimbra, Coimbra,
Válter, L.(2006). Efeitos de Segunda Ordem provocados por Esforço Axial. Folha de apoio às aulas de Estruturas de Betão Armado I, Faculdade de Ciências e Tecnologias da Universidade Nova, Lisboa.