Análise de Sensibilidade e Determinação dos Parâmetros

A possibilidade de usar diferentes valores de 𝐿 e 𝐾 para os FEP permite a atenuação seletiva da energia reverberante nos traços sísmicos. Assim, devido a essa flexibilidade, é pertinente fazer uma análise dos resultados obtidos na desconvolução para diferentes valores destes parâmetros. Nesta seção, discutiremos como são determinados os parâmetros (𝐾, 𝐿 e 𝑁 ) referentes à estrutura do FEP e dos preditores. Além disso, faremos uma análise da influência da variação deles no resultado da filtragem.

Um FEP com passo 𝐿 e tamanho 𝐾 tende a atenuar a autocorrelação do traço sísmico entre os atrasos 𝐿 e 𝐿 + 𝐾 − 1 (ROBINSON; TREITEL, 2000). No caso dos dados sintéticos sendo usados, há um pico na autocorrelação próximo ao atraso igual ao período das múltiplas da primeira primária. Então, uma estratégia para determinar esses parâmetros é escolhê-los de forma a eliminar a autocorrelação em torno deste atraso. Além disso, como o cenário que iremos investigar contém duas primárias, devemos limitar 𝐾 para que o filtro não elimine as primárias junto às múltiplas (ROBINSON; TREITEL, 2000; YILMAZ, 2001). A Fig. 4.10 mostra a autocorrelação do traço no domínio 𝜏 − 𝑝 usado na Seção 4.5 em função do atraso.

(a) Traço.

(b) Autocorrelação do traço.

Figura 4.10 – Autocorrelação do traço filtrado na Fig. 4.6, onde 𝑇𝑤 é o tempo de trânsito

da primeira primária, 𝐿 é o passo de predição, e 𝐾 é o número de amostras de entrada do preditor. O ponto vermelho indica o pico (𝜏 = 0.088 s) da autocorrelação associado às múltiplas.

A lista abaixo resume as restrições discutidas. A Fig. 4.11 ilustra a região que limita os valores que estas variáveis devem assumir.

(i) 𝐿 ≥ 1, 𝐾 ≥ 1, para o funcionamento do FEP,

(ii) 𝐾 ≤ 𝐾𝑚𝑎𝑥, onde 𝐾𝑚𝑎𝑥 é um limite superior desconhecido, a partir do qual as primárias são significativamente atenuadas,

Figura 4.11 – Restrições sob 𝐿 e 𝐾. A região em cinza indica os valores que estas variáveis podem assumir.

No caso das RNAs, é preciso, também, escolher um número adequado de neurô- nios presentes na camada intermediária (N). Se este valor for baixo, as múltiplas não serão adequadamente removidas devido à baixa flexibilidade do modelo de predição; por outro lado, se ele for excessivamente elevado, a rede poderá ter a capacidade de modelar as primárias e, assim, atenuá-las.

Antes de prosseguir, iremos definir mais duas variáveis além daquelas definidas na estrutura do FEP na Seção 3. A primeira, 𝑡𝑝(𝑘), é um traço composto somente pelas

primárias, ou seja, é o traço ideal, aquele que desejamos obter na saída do FEP. Este traço, porém, só é disponível no cenário de dados sintéticos, e não no de dados reais. Devido a isso, ele será usado somente para analisar a qualidade das filtragens finais obtidas. A segunda medida corresponde ao erro de estimação de primárias, definida simplesmente como 𝑒𝑝(𝑘) = 𝑡𝑝(𝑘) − 𝑒(𝑘). A Fig. 4.12 mostra uma extensão do diagrama de blocos do

FEP para incluir 𝑡𝑝(𝑘) e 𝑒𝑝(𝑘). Note que somente 𝑒(𝑘) é usado no processo de ajuste dos

Figura 4.12 – Extensão do diagrama de blocos do FEP.

Sejam e = [𝑒(0), 𝑒(1), ..., 𝑒(𝑆 − 1)] e e𝑟𝑒𝑓 = [𝑒𝑟𝑒𝑓(0), 𝑒𝑟𝑒𝑓(1), ..., 𝑒𝑟𝑒𝑓(𝑆 − 1)] os

vetores de erro de predição e de estimação de primárias (referência), respectivamente, onde

𝑆 é o número de amostras do traço. Sejam 𝑀 𝑆𝐸𝑝𝑟𝑒𝑑e 𝑀 𝑆𝐸𝑟𝑒𝑓 os erros quadráticos médios

observados na predição e na estimação das primárias, respectivamente, cujas definições encontram-se nas expressões abaixo:

𝑀 𝑆𝐸𝑝𝑟𝑒𝑑 = ||e||2/𝑆 (4.4)

e

𝑀 𝑆𝐸𝑟𝑒𝑓 = ||e𝑟𝑒𝑓||2/𝑆. (4.5)

Analisando estes dois erros conjuntamente, poderemos diagnosticar possíveis problemas com a filtragem.

O primeiro parâmetro que iremos investigar é o número de neurônios na ca- mada intermediária das RNAs, 𝑁 . Para isto, fixamos os valores de 𝐿 e 𝐾, variamos 𝑁 e obtivemos os erros. O valor de 𝐿 escolhido, 88, foi igual à posição onde ocorre o mínimo local da região de autocorrelação que contém o tempo de trânsito da primária do fundo do mar (0,1 s). O valor de 𝐾 escolhido foi igual a 20, que é um valor aproximadamente igual à metade do comprimento da primeira wavelet. As Fig. 4.13a e 4.13b mostram os valores de 𝑀 𝑆𝐸𝑝𝑟𝑒𝑑 e 𝑀 𝑆𝐸𝑟𝑒𝑓 em função de 𝑁 para os três filtros não-lineares.

Como podemos observar, inicialmente, ambos os erros diminuem à medida que 𝑁 aumenta. Isso indica que somente as múltiplas são atenuadas, o que é o desejado. Porém, como podemos observar pela Fig. 4.13b, para valores de 𝑁 maiores que aproxi- madamente 120, o 𝑀 𝑆𝐸𝑟𝑒𝑓 referente à MLP e à ESN começa a aumentar, enquanto o

𝑀 𝑆𝐸𝑝𝑟𝑒𝑑 diminui, o que indica que a rede está filtrando todo o traço, inclusive as primá-

camada intermediária limita sua flexibilidade e, consequentemente, impede que ela atenue as primárias na faixa de valores avaliada.

(a) 𝑀 𝑆𝐸𝑝𝑟𝑒𝑑 em função de 𝑁 .

(b) 𝑀 𝑆𝐸𝑟𝑒𝑓 em função de 𝑁 .

Figura 4.13 – 𝑙𝑜𝑔10(𝑀 𝑆𝐸𝑝𝑟𝑒𝑑) e 𝑙𝑜𝑔10(𝑀 𝑆𝐸𝑟𝑒𝑓) em função de 𝑁 para os três filtros não-

lineares. Os erros para cada valor de 𝑁 foram determinados a partir de 100 execuções independentes de cada filtro.

Em seguida, fizemos a análise da filtragem para diferentes valores de 𝐾 e 𝐿, tanto para o filtro linear quanto para os não-lineares. Os valores de 𝑁 usados são iguais àqueles para os quais o 𝑀 𝑆𝐸𝑟𝑒𝑓 estabilizou no estudo anterior, isto é, 𝑁 = 20 para a

MLP, e 𝑁 = 90 para a ELM e ESN. As Fig. 4.14, 4.15, 4.16 e 4.17 mostram as superfícies com curvas de nível do 𝑀 𝑆𝐸𝑟𝑒𝑓 em função de 𝐾 e 𝐿 para os quatro filtros. O ponto

vermelho indica o mínimo obtido.

Figura 4.14 – 𝑀 𝑆𝐸𝑟𝑒𝑓 em função de 𝐾 e 𝐿 para o filtro FIR.

Figura 4.16 – 𝑀 𝑆𝐸𝑟𝑒𝑓 em função de 𝐾 e 𝐿 para a ESN.

Filtro 𝐾 𝐿 𝑀 𝑆𝐸𝑟𝑒𝑓 mínimo Diminuição de 𝑀 𝑆𝐸𝑟𝑒𝑓𝑚𝑎𝑥

FIR 49 68 0.007240729 29,12%

ELM 22 82 0.000135983 98,66%

ESN 20 83 0.000130494 98,72%

MLP 29 79 0.000124247 98,78%

Tabela 4.1 – Resumo quantitativo do desempenho dos filtros no ponto de menor 𝑀 𝑆𝐸𝑟𝑒𝑓.

as curvas de nível que minimizam o 𝑀 𝑆𝐸𝑟𝑒𝑓 e a previsão teórica dos valores que 𝐾 e

𝐿 devem assumir, ilustrado na Fig. 4.11. Uma observação interessante, também, é que a

ESN permite valores menores de 𝐾 quando comparado a outras redes, obtendo um bom desempenho mesmo para 𝐾 = 1. Isto indica que essa rede possui, a cada instante, não só informação do estado atual, mas também de estados passados, fazendo com que ela seja menos dependente da informação da entrada atual do filtro.

Seja 𝑒𝑚𝑎𝑥

𝑝 (𝑘) = 𝑡𝑝(𝑘) − 𝑡(𝑘) o erro máximo de estimação de primárias, isto é, o

erro entre o traço completo (com múltiplas) e o traço ideal; ou seja, é o erro que teríamos se não houvesse qualquer tipo de filtragem. Usaremos 𝑀 𝑆𝐸_𝑟𝑒𝑓𝑚𝑎𝑥 como um balizador para medir quantitativamente a qualidade da filtragem final feita por cada estrutura. A tabela 4.1 mostra de forma resumida os valores de 𝐾 e 𝐿 para os quais o 𝑀 𝑆𝐸𝑟𝑒𝑓 foi minimizado

e qual a diminuição percentual em relação ao 𝑀 𝑆𝐸𝑚𝑎𝑥

𝑟𝑒𝑓 para cada filtro. Pode-se perce-

ber que os três filtros não-lineares alcançaram um excelente desempenho, principalmente quando comparado ao filtro linear.

Os valores ótimos de 𝐾 e 𝐿 para os filtros não-lineares são próximos aos teo- ricamente esperados. Usando a ELM como exemplo, o intervalo [𝐿, 𝐾 + 𝐿] é igual a [82, 104], o que inclui o valor de 𝑇𝑤 = 100. O intervalo [𝐿, 𝐾 + 𝐿] para o filtro linear, igual

a [68, 117], também inclui 𝑇𝑤; porém, necessitou de um valor elevado de 𝐾, que não é

recomendado, como discutido anteriormente.

De modo a verificar a influência do número de neurônios da camada interme- diária no resultado da predição, realizamos uma análise de sensibilidade das redes para o traço da Fig. 4.6 usando os valores de 𝐾 e 𝐿 ótimos para cada RNA, mostrados na Tabela 4.1. Como podemos observar pelas Fig. 4.18, 4.19 e 4.20, em que cada traço foi obtido a partir da média entre 100 filtragens independentes, quanto maior o número de neurônios usados, melhor é a atenuação das múltiplas; porém, maior é a atenuação da

segunda primária e maior é o custo computacional do treinamento da rede.

Figura 4.18 – Erro médio de predição em função do número de neurônios da camada interna de ELM.

Figura 4.19 – Erro médio de predição em função do número de neurônios da camada interna de ESN.

Figura 4.20 – Erro médio de predição em função do número de neurônios da camada interna de MLP.

Nesta seção, fizemos uma investigação sobre como a escolha dos parâmetros do FEP influencia o resultado da filtragem de traços sísmicos. Para as RNAs, observamos que, para valores pequenos de 𝐾, e valores de 𝐿 próximos à periodicidade das múltiplas, as filtragens obtiveram os melhores resultados, dado um número suficiente de neurônios.