4 ESTUDOS DE CASO
3 QUANTIFICAÇÃO DE INCERTEZAS VIA METAMODELO
3.2 Análise determinística da resposta em frequência
No domínio da frequência, a equação determinística do equilíbrio dinâmico de um sistema com múltiplos graus de liberdade pode ser escrita como (INMAN, 1996; MAIA; SILVA, 1997):
�[𝐾](1 + 𝑖𝜂) − 𝜔2[𝑀]�𝒙 = 𝒇 ,
(3.1) onde [𝐾] é a matriz rigidez NxN graus de liberdade, 𝑖 = √−1, [𝑀] a matriz de massa NxN, 𝜂 o amortecimento histerético, 𝜔 a frequência natural angular, 𝒙 o vetor deslocamento e 𝒇 o vetor de força.
O sistema de equações (3.1) pode ser resolvido por diferentes métodos. No caso de estruturas complexas, modelada geralmente via elementos finitos (FEM), a solução é usualmente obtida pelo método da superposição modal (ALVES FILHO, 2005). Neste caso, o vetor 𝒙 é descrito como combinação linear dos modos naturais da estrutura da seguinte forma (MAIA; SILVA, 1997):
17 𝒙 = � 𝛾𝑟𝝓𝑟 .
𝑁 𝑟=1
(3.2)
Com base na equação (3.2), obtenção da resposta dinâmica é obtida por meio de duas etapas (ALVES FILHO, 2005):
• Cálculo dos Modos e Frequências Naturais de Vibração da Estrutura – Análise Modal.
• Determinação do fator de participação de cada modo de vibrar na resposta.
Para resolver a primeira etapa, a análise modal, precisamos resolver a forma homogênea da equação (3.1). Porém, na solução por FEM, o amortecimento é geralmente desprezado e o problema é reduzido ao caso mais simples, estrutura livre sem amortecimento (ALVES FILHO, 2005).
�[𝐾] − 𝜔2[𝑀]�𝒙 = 0
(3.3) A equação (3.3) representa um problema de autovalor cuja solução é satisfeita com um conjunto de N autovalores 𝜔𝑟2 com autovetores associados 𝝓𝑟, que representam os modos naturais da estrutura.
Substituindo a equação (3.2) na(3.1) e pré-multiplicando por 𝝓𝑠𝑇 obtemos
(1 + 𝑖𝜂)𝝓𝑠𝑇[𝐾] � 𝛾𝑟𝝓𝑟 𝑁 𝑟=1 − 𝜔2𝝓 𝑠𝑇[𝑀] � 𝛾𝑟𝝓𝑟 𝑁 𝑟=1 = 𝝓𝑠𝑇𝒇 . (3.4)
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Levando em consideração a propriedade de ortogonalidade dos autovetores, a equação se torna
𝛾𝑟(1 + 𝑖𝜂)𝝓𝒓𝑇[𝐾]𝝓𝒓− 𝜔2𝛾𝑟𝝓𝒓𝑇[𝑀]𝝓𝒓 = 𝝓𝒓𝑇𝒇 .
(3.5)
Considerando a matriz modal normalizada pela massa, podemos considerar as seguintes relações (MAIA; SILVA, 1997):
𝝓𝑟𝑇[𝐾]𝝓𝑟 = 𝜔𝑟2 , (3.6)
𝝓𝑟𝑇[𝑀]𝝓𝑟 = 1 . (3.7)
Finalmente, substituindo as equações (3.6) e (3.7) na (3.5) e reescrevendo, obtemos a equação da Função de Resposta em Frequência (FRF):
𝐻𝑗𝑘(𝜔) =𝑓𝑥𝑗 𝑘 = � 𝜙𝑗𝑟𝜙𝑘𝑟 (1 + 𝑖𝜂)𝜔𝑟2− 𝜔² 𝑁 𝑟=1 . (3.8) 3.3 Metamodelo modal
O termo metamodelo modal refere-se aos modelos de aproximação das características modais, os autovalores e autovetores de uma estrutura (GALLINA, 2009; PICHLER; SCHUËLLER, 2011). Metamodelos modais têm sido aplicados em diferentes problemas, como aproximações de autovalores ou autovetores de estruturas da construção civil (CHENG; XIAO, 2005; GALLINA, 2009; PICHLER, 2009; PICHLER; SCHUËLLER, 2011), componentes estruturais de veículos (GALLINA, 2009; PICHLER, 2009; GALLINA; MARTOWICZ; UHL, 2011; GALLINA; PICHLER; UHL, 2011; PICHLER; SCHUËLLER, 2011) e painéis da
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indústria aeronáutica (KUNDU et al., 2014), além de problemas de vibroacústica (LI; LIANG, 2007).
Em modelos de elementos finitos de escala industrial, mesmo a solução determinística demanda um esforço computacional considerável para análises dinâmicas. E um dos processos que mais consomem tempo de processamento é a solução do problema de autovalor e autovetor associado, geralmente, na solução via superposição modal.
Para minimizar esse problema, uma abordagem interessante foi utilizada em alguns trabalhos (PICHLER; PRADLWARTER; SCHUËLLER, 2009; GALLINA; MARTOWICZ; UHL, 2011; PICHLER; SCHUËLLER, 2011). Nessa abordagem, um metamodelo é construído para substituir a análise modal, em outras palavras, um metamodelo capaz de obter a resposta modal da estrutura dados os novos valores dos parâmetros de entrada. E desta forma, como o modelo determinístico bem reduzido, é possível executar as análises de incerteza com mais eficiência. Essa abordagem foi utilizada neste trabalho e será mais detalhada a seguir.
3.3.1 Combinação linear dos modos da estrutura
Pode ser observado que, ao contrário da função de resposta em frequência que geralmente responde de forma não linear às perturbações dos parâmetros da estrutura, os autovetores ou modos naturais variam muito pouco quando essas perturbações são pequenas. Nessas condições, o autovetor modificado pode ser interpretado como uma rotação do sistema de referência, como mostra a Figura 3.1 (PICHLER; PRADLWARTER; SCHUËLLER, 2009; PICHLER; SCHUËLLER, 2011).
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Figura 3.1: Ilustração da rotação no espaço da solução de referência. (PICHLER; SCHUËLLER, 2011)
Com base nessa premissa, podemos escrever cada modo da estrutura como combinação linear dos modos da solução de referência (PICHLER; SCHUËLLER, 2011):
𝝓𝑘(𝑗) = � 𝛼𝑘𝑖(𝑗)
𝑘+𝑚𝑘
𝑖=𝑘−𝑚𝑘
𝝓𝑖(0), (3.9)
sendo os modos da solução de referência denotados por
[Ф𝑘(0)] = �𝝓𝑘−𝑚(0) 𝑘 , 𝝓𝑘−𝑚(0) 𝑘+1, . . . , 𝝓𝑘(0), . .. , 𝝓𝑘+𝑚(0) 𝑘−1, 𝝓𝑘+𝑚(0) 𝑘� (3.10)
Em outras palavras, o modo de número 𝑘, 𝝓𝑘(𝑗), calculado a partir da estrutura perturbada na simulação 𝑗, pode ser escrito como combinação linear do respectivo modo 𝑘 de referência e mais seus 𝑚𝑘 modos vizinhos de ambos os lados. Como consequência, o vetor dos coeficientes que multiplicam os modos, 𝜶𝑘, contem (2𝑚𝑘+ 1) valores. Daí surge um ponto importante da
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abordagem, a necessidade de encontrar o modo correspondente na base modal. Essa etapa do processo, Pichler e Schuëller (2011) chamaram de associação dos modos e será discutida com mais detalhes.
3.3.2 Associação dos modos
A associação dos modos corresponde a uma etapa extremamente importante na precisão do método, visto que toda a lógica para obtenção dos coeficientes da equação (3.10) parte da premissa que o modo central da base modal é correspondente ao modo a ser descrito.
Figura 3.2: Esquema ilustrando os tipos de mudanças dos modos.
Para realizar o pareamento entre os modos (Figura 3.2), Pichler e Schuëller (2011) propuseram o uso do Modal Assurance Criterion, conhecido como MAC. O valor do MAC avalia a correlação do modo i da amostra j com relação ao seu correspondente modo l da solução de referência, sendo que quanto mais próximo de 1 melhor a correlação (EWINS, 1984).
22 MAC �𝝓𝑖(𝑗)𝝓𝑙(0)� = ��𝝓𝑖 (𝑗) �𝑇𝝓 𝑙 (0)� ² ��𝝓𝑖(𝑗) �𝑇𝝓𝑖(𝑗)� ��𝝓𝑙(0) �𝑇𝝓𝑙(0)� (3.11)
Neste caso, o maior MAC definirá a escolha do modo associado. Na sua tese de doutorado (GALLINA, 2009) menciona as limitações desta abordagem em situações de mudança significativa da forma modal (mode veerning) e propõe um procedimento, chamado Mode
Tracking Procedure – MTP, para minimizar esse problema. Basicamente, o MTP diminui o passo
para avaliar o MAC adicionado pontos intermediários entre o ponto nominal e o ponto de projeto. Com isso o método consegue acompanhar a evolução da mudança da forma modal com valores de MAC mais elevados.
Por conta da simplicidade de implementação, o procedimento baseado no MAC diretamente foi adotado neste trabalho.
3.3.3 Cálculo dos parâmetros modais
Os modos da solução determinística do modelo nominal, isto é, modelo com os valores médios dos parâmetros aleatórios, são usualmente utilizados como base modal de referência da equação (3.9). Como consequência, a parte desconhecida desta equação são os coeficientes que multiplicam cada modo nominal.
Entretanto, o maior coeficiente do vetor vai ser muito próximo de um e, como consequência, não pode ser escrito como uma função linear dos parâmetros de entrada. Desta forma, é conveniente expressar esse coeficiente em função dos demais a partir da definição da norma do vetor (PICHLER; PRADLWARTER; SCHUËLLER, 2009; PICHLER; SCHUËLLER, 2011):
23 𝛼𝑘,𝑘= 𝛼𝑘�1 − � 𝛼�𝑘,𝑖2 𝑖≠𝑘 , (3.12) sendo 𝛼�𝑘,𝑖 = 𝛼𝑘,𝑖/𝑎𝑘 . (3.13)
Como resultado, coeficiente 𝛼𝑘,𝑘 associado ao modo de referência 𝝓𝑘(0) passa a ser indiretamente conhecido, pois depende apenas dos demais, porém aparece um novo termo desconhecido que é a norma do vetor dos coeficientes 𝑎𝑘.
A outra informação importante na solução modal são os autovalores ou as frequências naturais nesse caso. As novas frequências naturais podem ser escritas como um ajuste da respectiva frequência de referência a partir do parâmetro ∆𝜔𝑘(𝑗) (PICHLER; PRADLWARTER; SCHUËLLER, 2009; PICHLER; SCHUËLLER, 2011):
𝜔𝑘(𝑗) = �1 + ∆𝜔𝑘(𝑗)� 𝜔𝑘(0), ∆𝜔𝑘(𝑗)= �𝜔𝑘(𝑗)/𝜔𝑘(0) − 1� . (3.14)
Neste momento, podemos definir o vetor 𝒚(𝑥), sendo 𝑥 o vetor das variáveis aleatórias, com todos os parâmetros para escrever a resposta modal em função da solução nominal.
𝒚(x) = [𝑎1(x), ∆𝜔1(x), 𝜶�1𝑇(x), . . . , 𝑎𝑘(x), ∆𝜔𝑘(x), 𝜶�𝑘𝑇(x)] (3.15)
Esses parâmetros podem ser determinados a partir dos resultados da uma análise modal da estrutura submetida a um determinado conjunto de valores dos parâmetros de entrada. Assim, os primeiros parâmetros (𝑎𝑘 e ∆𝜔𝑘) podem ser obtidos facilmente por meio das equações (3.12) e
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(3.14). Porém, para determinar os o vetor dos coeficientes 𝜶𝑘 é preciso resolver a equação (3.9). Usualmente esta equação é resolvida pelo método dos mínimos quadrados, e por isso 𝜶𝑘 pode ser escrito da seguinte forma:
𝜶𝑘 = ��Ф𝑘(0)� 𝑇 �Ф𝑘(0)�� −1 �Ф𝑘(0)�𝑇𝝓𝑘(𝑗). (3.16) 3.3.4 Construção do metamodelo
Em relação ao metamodelo convencional, o processo para construir o metamodelo modal demanda algumas etapas extras. Após a calibração, onde o modelo original avalia a resposta nos pontos definidos pelo DOE, a associação dos modos e cálculo dos parâmetros modais, descritos anteriormente, são etapas necessárias antes de construir a aproximação via RSM (Figura 3.3).
Figura 3.3: Fluxograma do metamodelo modelo. (PICHLER; SCHUËLLER, 2011)
Considerando a realização de N experimentos, obtém-se uma matriz Y de tamanho N x M, sendo M o número de fatores para descrever todas as propriedades modais dos K modos considerados (PICHLER; PRADLWARTER; SCHUËLLER, 2009).
25 𝑀 = � (2𝑚𝑘+ 3) 𝐾 𝑘=1 (3.17) �𝑌(𝑗)� = �𝑎 l(𝑗), ∆𝜔l(𝑗), �𝜶�l(𝑗)� 𝑇 , . . . , 𝑎𝑘(𝑗), ∆𝜔𝐾(𝑗), �𝜶�𝐾(𝑗)�𝑇� (3.18)
Finalmente, a partir da informação disponível de [ X ] e [ Y ], sendo [ X ] a matriz N x n das realizações das n variáveis aleatórias determinadas pelo DOE, é possível estabelecer uma aproximação. Por conta da complexidade e das premissas comentadas nas seções anteriores, no presente trabalho foi aplicado o método da superfície de resposta com polinômios de primeiro grau apenas.
26 3.3.5 Detalhes de Implementação
Como foi discutida nas seções anteriores, a abordagem via metamodelo modal envolve uma séria de processos, e isso inclui a simulação determinística do problema. No presente trabalho, o software comercial MSC Nastran® será utilizado como caixa-preta da solução determinística dos modelos de elementos finitos.
Figura 3.4: Fluxograma da implementação do metamodelo modal.
Alguns códigos Matlab® serão responsáveis pela maioria das etapas relacionadas ao metamodelo modal. E para finalizar, o software de automação e otimização Simulia Isight® será usado para amostragem das variáveis, geração da superfície de resposta e para integrar todas as ferramentas (Figura 3.4).
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Um artifício comumente utilizado na indústria para diminuir o tamanho dos arquivos de resposta e facilitar a visualização dos modos da estrutura, é o uso de uma malha simplificada de visualização de resultados do modelo (coarse display model). Procedimento consiste em solicitar no software de elementos finitos apenas a resposta (e.g. deslocamento) em alguns nós escolhidos da malha original a priori. No final, estes nós são interligados com elementos 1D ou 2D, sem propriedades, apenas para fins de visualização dos resultados. Os programas de geração de malha costumam disponibilizar ferramentas automatizadas para executar esse processo. Como o processo do metamodelo modal, mencionada no capítulo anterior, envolve a manipulação do arquivo de resposta da análise modal e dos seus autovetores no Matlab®, esse procedimento se torna computacionalmente interessante no contexto do metamodelo modal. Por isso, neste trabalho, todas as operações envolvendo autovetores, como na construção do metamodelo e no cálculo das FRFs, utilizarão os autovetores truncados oriundos da malha simplificada da estrutura. Vale ressaltar que a matriz de massa e rigidez do modelo determinístico é calculada sempre com a malha original. Um exemplo desse tipo de malha é ilustrado na Figura 3.5 onde o modelo original possui 1522 nós e a malha simplificada 112 apenas.
Figura 3.5: Modelo de elementos finitos do para-brisa veicular: (a) Malha original; e (b) Malha simplificada de visualização.
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Finalmente, para a visualização dos modos gerados pelo metamodelo, o “tradutor” para o formato de arquivo padrão do Nastran® foi desenvolvido no Matlab®. Após a conversão, ambos os resultados foram animados no software comercial HyperView®.