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FÁBIO FIALHO DO NASCIMENTO
Análise estocástica linear de estruturas
complexas usando meta-modelo modal
98/2015
CAMPINAS 2015
v
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Dedicatória
Dedico este trabalho às mulheres da minha vida: minha mãe Rita, minha esposa Mayara e minhas irmãs Kel e Dani.
ix
Agradecimentos
Finalizo mais um ciclo importante da minha vida e gostaria de prestar a minha homenagem a algumas pessoas que foram essenciais durante esta jornada:
Ao meu orientador, Professor. Dr. José Maria Campos dos Santos, pela oportunidade, compreensão e pela confiança deposita em mim;
À minha querida esposa, Mayara, pelo companheirismo, suporte, carinho e compreensão;
À minha família, pelo incentivo e compreensão da distância;
Aos amigos, que sempre apoiaram e incentivaram. Em especial, a Gilson de Queiroz que me introduziu no mundo da mecânica, apoiou os meus estudos e pelo imenso carinho;
A todos os professores da FEM, em especial ao Professor Dr. José Roberto de França Arruda pelas valiosas discussões;
Aos colegas do DMC, em especial a Marcela pela parceria e ao Belisário que sempre me motivou a concluir este projeto;
À Ford Motor Company do Brasil, pela disponibilidade de recursos e pelo incentivo; Aos colegas de trabalho da Ford, tanto de Camaçari quanto de Tatuí, pela cooperação e amizade. Em especial, ao Roberto Morinaga, pelo seu auxílio no meu ingresso ao mestrado;
Aos supervisores Rogério Colella, Renato Kempt e Fernando Fonseca, que flexibilizaram meus horários e pela compreensão;
Ao Marcelo Magalhães, meu primeiro supervisor na Ford, por acreditar, incentivar e viabilizar a minha transferência da Bahia para São Paulo e assim ingressar no mestrado.
xi
A certeza é fatal. O que me encanta é a incerteza. A neblina torna as coisas maravilhosas.
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Resumo
Este trabalho tem como objetivo geral investigar abordagens para a análise de incerteza em problemas de dinâmica estrutural, de forma computacionalmente eficiente, no contexto industrial. Neste sentido, utilizou-se um metamodelo, baseado no método da superfície de resposta, para simplificar a etapa do cálculo dos modos e das frequências naturais na análise de resposta em frequência da estrutura. Para viabilizar a análise de grandes modelos, a solução de elementos finitos foi realizada pelo Nastran®. O MatLab® foi utilizado para manipular os autovalores e autovetores, e calcular as FRFs. Já o processo de amostragem das variáveis, a preparação da superfície de resposta e a integração com os demais aplicativos, foram realizados por meio do Isight®. Inicialmente, a abordagem foi avaliada em um modelo simples de um para-brisa veicular, com espessura, modo de elasticidade e densidade como parâmetros incertos. Posteriormente, o método foi aplicado para um modelo de uma estrutura veicular com milhares graus de liberdade. Neste caso, as variáveis aleatórias consideradas foram espessuras de vinte peças estampadas. Todas as variáveis foram consideradas com distribuição normal. Para quantificar a incerteza na resposta dinâmica, a simulação por Monte Carlo foi conduzida em conjunto com o metamodelo. A variabilidade das frequências naturais e da FRF é comparada com o resultado do Monte Carlo direto.
Palavras Chave: Análise de Incerteza; Metamodelo; Análise Dinâmica; Modelos Estocásticos;
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Abstract
This work has as general objective to investigate approaches for uncertainty analysis in structural dynamics problems in a computational efficient manner in an industrial context. In this sense, we used a meta-model based on the response surface method to simplify the process of modes and natural frequencies calculation for frequency response analysis of a structure. In order to make the process feasible for large models, the finite element solution was performed using Nastran®. MatLab® was used to manipulate the eigenvalues and eigenvectors and calculate the FRFs. Isight® was responsible for the variable sampling process, response surface preparation and integrating other applications as well. Initially, the approach was assessed in a simple model of a car windshield with its thickness, Young’s modulus and material density as uncertain parameters. Later the method was applied to a vehicle structure model with thousands degrees of freedom. In this case, the random variables considered were thicknesses of twenty stamped parts. Gaussian distribution was considered for all variables. For the purpose of uncertainty quantification in the dynamic response, Monte Carlo simulation was performed over the meta-model. The variability of the natural frequencies and FRF is compared against to direct Monte Carlo results.
Keywords: Uncertainty Analysis; Meta-model; Dynamic analysis; Stochastic models;
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Lista de Ilustrações
Figura 1.1: Variação da função de transferência acústica do coxim do motor de 20 veículos do
mesmo modelo (DURAND; SOIZE; GAGLIARDINI, 2008). ... 1
Figura 1.2: Esquema de uma simulação com efeitos não determinísticos. Adaptada de Hinke, 2008. ... 2
Figura 2.1: Substituição de modelo complexo por metamodelo em simulações... 5
Figura 2.2: Aproximação da superfície de resposta com duas variáveis. (GALLINA, 2009). ... 8
Figura 2.3: Método do Hipercubo Latino no espaço bidimensional. (a) Amostragem (LHS) de oito pontos com distribuição normal. (b) Projeto de experimento (LHD) com oito pontos. Adaptada de (JURECKA, 2007). ... 12
Figura 3.1: Ilustração da rotação no espaço da solução de referência. (PICHLER; SCHUËLLER, 2011) ... 20
Figura 3.2: Esquema ilustrando os tipos de mudanças dos modos. ... 21
Figura 3.3: Fluxograma do metamodelo modelo. (PICHLER; SCHUËLLER, 2011) ... 24
Figura 3.4: Fluxograma da implementação do metamodelo modal. ... 26
Figura 3.5: Modelo de elementos finitos do para-brisa veicular: (a) Malha original; e (b) Malha simplificada de visualização. ... 27
Figura 4.1: Pontos de excitação e resposta para FRF do para-brisa. ... 29
Figura 4.2: Matriz de MAC dos primeiros modos do modelo nominal. Solução via Nastran com a malha simplificada (Nastran_R). ... 33
Figura 4.3: FRF do modelo do para-brisa nominal: (a) Solução do Nastran; e (b) Solução via Matlab com modos via Nastran_R. ... 34
Figura 4.4: R² dos coeficientes do metamodelo. Caso 1: COV=10%. ... 36
Figura 4.5: Ajuste de alguns coeficientes do metamodelo para os 8 pontos de verificação. Caso 1: COV=10%. ... 37
Figura 4.6: Correlação entre os modos do Nastran_R e o metamodelo nos pontos de verificação da superfície de resposta. Caso 1: COV=10%. ... 38
xviii
Figura 4.7: Amostragem das variáveis de entrada. Caso 1: COV=10%. ... 39 Figura 4.8: Comparação da variabilidade das frequências naturais entre o Metamodelo e o
Nastran (FEM). Caso 1: COV=10%. ... 40 Figura 4.9: Matriz de MAC entre os modos calculados via Nastran-R e o Metamodelo. Modelo do para-brisa- Caso 1: COV=10% para o experimento 1 do Monte Carlo. ... 41 Figura 4.10: Comparação das formas modais obtidas pelo Metamodelo e o Nastran no
experimento 1. Caso 1: COV=10%. ... 42 Figura 4.11: Correlação entre modos do experimento 1 e o modelo nominal calculados pelo Nastran_R. Caso 1: COV=10%. ... 43 Figura 4.12: Comparação das formas modais via Nastran_R: (a) Modelo nominal; e (b)
experimento 1. Caso 1: COV=10%. ... 44 Figura 4.13: Comparação da dispersão da FRF: (a) Nastran_R; e (b) Metamodelo. Caso 1:
COV=10%. ... 45 Figura 4.14: Comparação entre FRF via Nastran_R e Metamodelo: (a) Média; e (b) Desvio padrão. Caso 1: COV=10%. ... 46 Figura 4.15: Esforço computacional. . Modelo do para-brisa - Caso 1: COV=10%. ... 47 Figura 4.16: R² dos coeficientes do metamodelo. Caso 2: COV=20% com intervalo das variáveis no DOE de 20%. ... 49 Figura 4.17: R² dos coeficientes do metamodelo. Caso 2: COV=20% com intervalo das variáveis no DOE de 10%. ... 49 Figura 4.18: Ajuste de alguns coeficientes do metamodelo para os 8 pontos de verificação. Caso 2: COV=20% com intervalo das variáveis no DOE de 20%. ... 50 Figura 4.19: : Ajuste de alguns coeficientes do metamodelo para os 8 pontos de verificação. Caso 2: COV=20% com intervalo das variáveis no DOE de 10%. ... 51 Figura 4.20: Amostragem das variáveis de entrada. Caso 1: COV=10%. ... 52 Figura 4.21: Comparação da variabilidade das frequências naturais entre o Metamodelo e o Nastran (FEM). Caso 1: COV=20%. ... 52 Figura 4.22: Comparação das matrizes de MAC: (a) entre os modos do modelo nominal e do experimento 1, calculados pelo Nastran_R; e (b) Entre os modos calculados pelo Nastran_R e Metamodelo do modelo do experimento 1. ... 53 Figura 4.23: Comparação da dispersão da FRF: (a) Nastran_R; e (b) Metamodelo. Caso 1:
xix
Figura 4.24: Comparação entre FRF via Nastran_R e Metamodelo: (a) Média; e (b) Desvio
padrão. Caso 1: COV=20%. ... 55
Figura 4.25: Esforço computacional. Modelo do para-brisa - Caso 2: COV=20%. ... 55
Figura 4.26: Modelo do veículo completo: (a) Malha original; e (b) malha simplificada. ... 57
Figura 4.27: Peças da estrutura do veículo consideradas com variabilidade na espessura. ... 57
Figura 4.28: Frequências naturais dos 450 primeiros modos do modelo nominal do veículo. ... 60
Figura 4.29: Matriz de MAC dos primeiros modos do modelo nominal. Solução via Nastran com a malha simplificada (Nastran_R). ... 61
Figura 4.30: Detalhe da matriz de MAC dos primeiros modos do modelo nominal. Solução via Nastran com a malha simplificada (Nastran_R). ... 61
Figura 4.31: FRF do modelo do veículo nominal: (a) Solução do Nastran; e (b) Solução via Matlab com modos via Nastran_R. ... 62
Figura 4.32: R² dos coeficientes do metamodelo. Modelo do veículo ... 63
Figura 4.33: Amostragem das variáveis de entrada. Modelo do veículo: COV=10%. ... 64
Figura 4.34: Correlação das frequências naturais entre o Metamodelo e o Nastran para um experimento. ... 65
Figura 4.35: Comparação da variabilidade das frequências naturais entre o Metamodelo e o Nastran (FEM). Modelo do veículo: COV=10%. ... 66
Figura 4.36: Matriz de MAC entre os modos calculados via Nastran_R e o Metamodelo. Modelo do veículo: COV=10% para o experimento 1 do Monte Carlo. ... 67
Figura 4.37: Detalhe ampliado da matriz de MAC entre os modos calculados via Nastran-R e o Metamodelo. Modelo do veículo: COV=10% para o experimento 1 do Monte Carlo. ... 68
Figura 4.38: Matriz de MAC entre os modos calculados via Nastran-R e o Metamodelo. Modelo do veículo: COV=10% para o experimento 2 do Monte Carlo. ... 68
Figura 4.39: Comparação da dispersão da FRF: (a) Nastran_R; e (b) Metamodelo. Modelo do veículo: COV=10%. ... 69
Figura 4.40: Comparação entre FRF via Nastran_R e Metamodelo: (a) Média; e (b) Desvio padrão. Modelo do veículo: COV=10%. ... 70
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Lista de Tabelas
Tabela 2.1: Técnicas de metamodelagem. Adaptada de Gallina, 2009. ... 7
Tabela 2.2: Métricas de verificação. ... 14
Tabela 4.1: Resumo das informações do modelo do para-brisa. ... 30
Tabela 4.2: Informação estatística das variáveis aleatórias ... 31
Tabela 4.3: Frequências naturais dos primeiros modos do modelo nominal do para-brisa. ... 32
Tabela 4.4: Resumo dos parâmetros utilizados na simulação. Caso 1. ... 35
Tabela 4.5: Resumo dos parâmetros utilizados na simulação. Caso 2. ... 48
Tabela 4.6: Resumo das informações do modelo do veículo. ... 56
Tabela 4.7: Dados das variáveis aleatórias no modelo do veículo. ... 58
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SUMÁRIO
Lista de Ilustrações ... xvii
Lista de Tabelas ... xxi
1 INTRODUÇÃO ... 1
1.1 Objetivos ... 4 Os objetivos específicos: ... 4
2 METAMODELOS ... 5
2.1 Introdução ... 5 2.2 MÉTODO DA SUPERÍCIE DE RESPOSTA (RSM) ... 7 2.2.1 Projeto de experimento (DOE) ... 10
2.3 VERIFICAÇÃO DO METAMODELO ... 13
3 QUANTIFICAÇÃO DE INCERTEZAS VIA METAMODELO ... 16
3.1 Introdução ... 16 3.2 Análise determinística da resposta em frequência ... 16 3.3 Metamodelo modal ... 18 3.3.1 Combinação linear dos modos da estrutura ... 19
3.3.2 Associação dos modos ... 21
3.3.3 Cálculo dos parâmetros modais ... 22
3.3.4 Construção do metamodelo ... 24
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4 ESTUDOS DE CASO ... 28
4.1 Introdução ... 28 4.2 Análise dinâmica do para-brisa de um veículo ... 28 4.2.1 Descrição do modelo ... 29
4.2.2 Resultados e discussões ... 31
4.3 Modelo do veículo (trimmed body) - FRF com parâmetros incertos ... 56 4.3.1 Descrição do modelo ... 56
4.3.2 Resultados e discussões ... 60
5 CONCLUSÕES ... 72
1
1 INTRODUÇÃO
A indústria em geral vem sendo cada vez mais desafiada a melhorar o desempenho e qualidade dos seus produtos e, ao mesmo tempo, reduzir o tempo e os custos do desenvolvimento. Ferramentas computacionais, como o método dos elementos finitos, são normalmente utilizadas desde o início do projeto para otimizar o produto e reduzir o número de testes. Porém, os modelos geralmente não consideram as variações das características de projeto devido às variações inerentes aos processos de fabricação e propriedades dos materiais. Nesse contexto, há uma crescente preocupação nos métodos que contemplam as incertezas e conseguem uma predição mais próxima da realidade.
No contexto de ruído e vibrações, é importante conhecer como variabilidades da estrutura, como características da geometria e material, afetam o seu comportamento dinâmico, ou seja, frequências naturais, modos de vibrar ou função de resposta em frequência. A Figura 1.1 ilustra a variabilidade da resposta acústica entre vinte veículos do mesmo tipo medidos no final da linha de produção. É possível observar que mesmo em baixas frequências há variações significativas no nível de ruído.
Figura 1.1: Variação da função de transferência acústica do coxim do motor de 20 veículos do mesmo modelo (DURAND; SOIZE; GAGLIARDINI, 2008).
2
Em termos de mecânica computacional, as incertezas relacionadas aos parâmetros de entrada do modelo determinístico, por conta da fase do projeto e das características dos processos de fabricação, e as incertezas associadas ao próprio modelo, devido às simplificações da idealização do sistema real, levam a variações na resposta. O esquema do processo de simulação com incertezas é mostrado na Figura 1.2 (HINKE, 2008). Primeiramente, o modelo determinístico é determinado, que no ambiente industrial um dos mais comuns é o Método de Elementos Finitos. Após isso, na etapa de modelagem, ocorre a definição da abordagem para a modelagem dos parâmetros do modelo considerados incertos. Na etapa seguinte, propagação das incertezas, o método adequado de solução estocástica é escolhido. E por fim, a predição da variação da resposta do sistema é realizada na etapa de quantificação.
Figura 1.2: Esquema de uma simulação com efeitos não determinísticos. Adaptada de Hinke, 2008.
Para o tratamento das incertezas, existem diversas abordagens dependendo do tipo das informações estatísticas dos parâmetros de entrada, tipo do resultado e processo de propagação das incertezas no modelo determinístico. Diferentes métodos para trabalhar com incertezas são classificados considerando primeiramente o tipo dado de entrada disponível, isto é, probabilísticas quando a informação da probabilidade das variáveis aleatórias é considerara, geralmente através da função de densidade de probabilidade (PDF), e possibilísticas, quando a variação do parâmetro é especificada apenas por um intervalo de valores possíveis, geralmente os
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limites extremos (SUDRET; KIUREGHIAN, 2000; MULANI, 2006; HINKE, 2008). Adicionalmente, segundo Soize (2013), no contexto probabilístico, esses poderiam ser divididos em paramétricos e não paramétricos, sendo associados às incertezas dos parâmetros do modelo e incertezas da modelagem, respectivamente (SOIZE, 2013).
Além disso, uma classificação pode ser feita em função do tipo do resultado. Com o objetivo de obter apenas os dois primeiros momentos estatísticos da resposta, a probabilidade de falha do sistema, que usualmente está associada às extremidades da PDF, e o levantamento da estatística global da resposta que pode ser um campo ou processo aleatório. Essa classificação é de certa forma subjetiva porque alguns métodos podem atender mais de um critério (SUDRET; KIUREGHIAN, 2000).
No ambiente industrial, os métodos chamados não intrusivos são bem atrativos porque não interferem no procedimento de cálculo do modelo determinístico e desta forma têm a vantagem de utilizar a robustez dos programas comerciais e usá-los como black-box (STEFANOU, 2009). Porém, essas abordagens geralmente envolvem um elevado número de repetições das análises e com isto, não são compatíveis com modelos de elementos finitos de larga escala mesmo com a disponibilidade de plataformas de computação de alto desempenho. Com isto, um novo campo de pesquisa foi aberto com os chamados metamodelos (SUDRET, 2012).
Este trabalho tem como foco as abordagens probabilísticas paramétricas aplicadas em problema de quantificação de incerteza em dinâmica estrutural via metamodelo.
4 1.1 Objetivos
O objetivo geral deste trabalho é apresentar subsídios para a implementação modelos simplificados para quantificação de incertezas de estruturas modeladas via elementos finitos no contexto de projetos na indústria.
Os objetivos específicos:
• Pesquisar na literatura métodos não intrusivos com potencial para aplicação na indústria;
• Desenvolver uma metodologia que permita a aplicação do método selecionado em modelos de elementos finitos de escala industrial;
5
2 METAMODELOS
2.1 Introdução
Metamodelo, ou surrogate model, é um modelo empírico simplificado para aproximar um modelo complexo que demanda grande esforço computacional. Por conta da sua simplicidade, os metamodelos são muito utilizados em problemas que demandam um grande número de simulações de grandes modelos (Figura 2.1), como em problemas de otimização e análises estocásticas. Além disso, os metamodelos viabilizam abordagens chamadas de não intrusivas. Essas abordagens recebem esse nome porque não interferem no programa de cálculo, ou solver, da simulação determinística. E essa característica permite, aos métodos não intrusivos, a utilização de consagrados softwares determinísticos como caixa-preta (black box) (STEFANOU, 2009).
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Nos últimos anos inúmeras técnicas de metamodelagem foram desenvolvidas e aplicadas em diversas áreas da engenharia. Contudo, as técnicas mais consolidadas são (GALLINA, 2009; PICHLER; SCHUËLLER, 2011):
• Método da Superfície de Resposta (Response Surface Methodology - RSM); • Método Kriging (Kriging Method - KRM);
• Funções de base radial (Radial Basis Function - RBF);
• Regressão Adaptativa. Multivariada por Splines (Multivariate Adaptive Regression
Splines - MARS);
• Rede neural artificial (Artificial Neural Network - ANN).
Uma comparação mais aprofundada entre esses métodos está fora do escopo deste trabalho, no entanto pode ser encontrado na literatura (SIMPSON et al., 2001; WANG; SHAN, 2006).
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Tabela 2.1: Técnicas de metamodelagem. Adaptada de Gallina, 2009.
2.2 MÉTODO DA SUPERÍCIE DE RESPOSTA (RSM)
O método da superfície de resposta, do inglês response surface methodology – RSM é um conjunto de técnicas matemáticas e estatísticas para a construção de modelos empíricos (ALVAREZ, 2000). O nome do método pode gerar confusão, uma vez que todos os tipos de metamodelos constituem uma “superfície” que possibilita uma predição da reposta para um ponto desconhecido. Como consequência, o termo RSM é muitas vezes utilizado como sinônimo de metamodelo (JURECKA, 2007). Entretanto, o uso comum do termo RSM, que é o adotado neste trabalho, é para tratar de modelos de regressão polinomial.
O método é amplamente estudado e aplicado em diversos campos da ciência (MYERS; MONTGOMERY, 1995) e originalmente foi desenvolvido para modelar respostas experimentais (BOX; DRAPER, 1986), porém foi introduzido no contexto de experimentos numéricos. A
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diferença está no tipo de erro associado à resposta. Nos experimentos físicos, a imprecisão pode ser de erros de medição, por exemplo, e no caso numérico, como resultado de uma convergência incompleta de um processo iterativo, erro de arredondamento ou representação discreta de fenômenos físicos contínuos (ALVAREZ, 2000).
Figura 2.2: Aproximação da superfície de resposta com duas variáveis. (GALLINA, 2009).
A ideia básica do RSM (Figura 2.2) é estabelecer uma relação funcional explícita, uma superfície de resposta, entre as variáveis de entrada 𝐯 e as variáveis de saída y. Isto é feito pelo ajuste de parâmetros livres 𝜷 de uma função 𝜂(𝐯, 𝜷) nos pontos de resposta observados. No geral, algumas discrepâncias 𝜀 entre os valores observados e a superfície de resposta são aceitáveis (JURECKA, 2007).
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A função 𝜂, também conhecida como função de regressão, tipicamente utiliza um modelo linear para representar a superfície de resposta, sendo que o termo “linear” refere-se à linearidade descrita como a soma de 𝜂𝛽 funções independentes 𝜂𝑗(𝐯) chamadas de regressores. Sendo que cada regressor é multiplicado pelo parâmetro escalar 𝛽𝑗 (JURECKA, 2007).
𝜂(𝐯, 𝜷) = � 𝛽𝑗𝜂𝑗(𝐯) = 𝜷𝑇 𝑛𝛽
𝑗=1
𝜼(𝐯) (2.2)
A diferença entre o valor original 𝑦�𝑙 e o valor estimado é chamada de resíduo e pode ser escrito na forma:
𝑒𝑙 = 𝑦�𝑙− 𝜂�𝐯𝒍, 𝜷� , 𝑙 = 1 … 𝑚 . (2.3)
Tipicamente, o método dos mínimos quadrados, ou do inglês Least Square (LS), é utilizado para calcular os coeficientes desconhecidos da superfície de resposta. O LS calcula os coeficientes minimizando a soma quadrática dos resíduos (JURECKA, 2007)
� �𝑦�𝑙− 𝜂�𝐯𝒍, 𝜷�� 2 𝑚
𝑙=1
= 𝐞𝑻𝐞 (2.4)
Resolvendo o problema de minimização, obtemos os coeficientes:
𝜷 = (𝐅𝑇𝐅)−1𝐅𝑇𝐲�
(2.5) E finalmente, a aproximação pode ser escrita em função dos coeficientes:
10 𝑦� = ƒ̂(𝐯) = 𝜂(𝐯, 𝜷) = � 𝜷𝑗𝜂𝑗(𝐯)
𝜂𝛽
𝑗=1
= 𝜷𝑇𝜼(𝐯). (2.6)
Com respeito à ordem do polinômio, tipicamente os polinômios de primeira e segunda ordem são mais utilizados como aproximação da superfície de resposta.
𝜼(𝐯, 𝜷) = 𝛽0+ � 𝛽𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑣𝑖 𝜂(𝐯, 𝜷) = 𝛽0+ � 𝛽𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑣𝑖 + � � 𝛽𝑖𝑗𝑣𝑖𝑣𝑗+ � 𝛽𝑖𝑖𝑣𝑖2 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑗>𝑖 𝑛 𝑖=1 (2.7)
2.2.1 Projeto de experimento (DOE)
Um importante aspecto do RSM é o projeto de experimentos (BOX; DRAPER, 1986), ou simplesmente DOE. O objetivo do DOE é a seleção dos pontos onde a resposta deve ser avaliada. E a metodologia utilizada no DOE tem uma influência considerável na precisão da aproximação e do custo para construir a superfície de resposta.
A lista das metodologias mais usadas no RSM é (ALVAREZ, 2000; JURECKA, 2007; GALLINA, 2009):
• Fatorial de dois níveis (2k
); • Fatorial fracionado;
• Fatorial com pontos centrais (CCD); • Fatorial de N níveis;
11 • Plackett-Burgmann;
• Box-Behnken;
• Classe dos planejamentos ótimos; • Classe dos planejamentos esféricos; • Classe dos planejamentos simplex; • Hipercubo latino (LHS).
O Hipercubo latino, por conta do grande número de variáveis nos modelos de grande escala e pela facilidade de implementação, foi o escolhido este trabalho e será descrito a seguir.
2.2.1.1 Hipercubo latino
Amostragem por Hipercubo Latino, ou Latin Hypercube Sampling (LHS), oferece um método atrativo para construir um projeto de experimento por conta da sua simplicidade computacional.
Primeiramente, o LHS subdivide o intervalo das variáveis de acordo com a sua PDF. Depois, estende a segmentação par todo o domínio e assim define m intervalos disjuntos ao longo de cada direção, as chamadas camadas. Finalmente, os m pontos de amostragem precisam ser alocados no domínio segmentado. Para garantir uma boa distribuição das amostras em cada coordenada, apenas uma amostra é alocada por camada (JURECKA, 2007).
A Figura 2.3-a ilustra a lógica do LHS para oito pontos de amostragem num exemplo com duas variáveis, sendo uma com distribuição uniforme e a outra normal.
12
(a) (b)
Figura 2.3: Método do Hipercubo Latino no espaço bidimensional. (a) Amostragem (LHS) de oito pontos com distribuição normal. (b) Projeto de experimento (LHD) com oito pontos. Adaptada de (JURECKA, 2007).
No contexto de DOE, o método é conhecido como Latin Hypercube Design (LHD) (JURECKA, 2007). Neste caso, como é desejável uma distribuição suave da amostragem, a função densidade de probabilidade é assumida como uniforme para todas as variáveis. Como consequência, as camadas resultantes têm a mesma largura (Figura 2.3 -b).
Essa propriedade de preenchimento de espaço garante que cada variável seja representada. Além disso, o método possui a vantagem que o número de pontos pode ser definido diretamente (ALVAREZ, 2000).
13 2.3 VERIFICAÇÃO DO METAMODELO
Uma vez que o metamodelo é uma aproximação do modelo real, uma etapa importante no processo é a validação do metamodelo. Na literatura, inúmeras estratégias foram propostas para verificar a qualidade do metamodelo. Entretanto, ainda há uma carência de um método rápido que avalia a precisão absoluta de um metamodelo. No geral, as métricas disponíveis são mais relacionadas à comparação de diferentes metamodelos do que uma verificação absoluta do metamodelo em si (GALLINA, 2009).
Para essa tarefa de verificação, idealmente, o metamodelo deveria ser testado em grande número de novos pontos, isto é, pontos adicionais aos do DOE usado na fase de ajuste (e.g. regressão via mínimos quadrados). Por outro lado, pontos adicionais significa maior custo computacional, que se deseja minimizar. Como resultado, alguns autores (e.g. LIN, 2004) recomendam empregar apenas um conjunto limitado de pontos para minimizar o impacto no esforço computacional total.
Os métodos mais comuns para validação de metamodelos são (GALLINA, 2009): • Com ou sem pontos adicionais:
o Coeficiente de determinação (R2)
o Coeficiente ajustado de determinação (R2a); • Testes com postos adicionais apenas:
o Erro absoluto máximo (MAX)
o Relative average absolute error (RAAE) o Relative maximum absolute error (RMAE) o Root Mean Square error (RMSE);
14 o U-fold
o Leave-h-out; • Gráfico do resíduo.
Tabela 2.2: Métricas de verificação.
Nome Valor Nome Valor
MAX maxi�yRS(i)− yEX(i)�
R²
1 −SSSSE
TOT
RMSE �∑ �y𝑛i=1 RS(i)− yEX(i)�²
𝑛
Sendo:
SSTOT= ��yEX(i) − y�EX�² 𝑛
i=1
RMAE maxi�yRS(i)− yEX(i)�
𝜎�RS
SSE = ��yEX(i)− yRS(i)�² 𝑛
i=1
RAAE ∑ �y𝑛i=1 RS(i)− yEX(i)�
𝑛 𝜎�RS
y�EX =1n � yEX(i) 𝑛 i=1
i= 1,…,n
As equações dos principais métodos de validação estão compiladas na Tabela 2.2. Para este trabalho foi escolhida a abordagem com experimentos adicionais para verificação e o R2 como
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métrica para avaliar a qualidade do modelo. Vale ressaltar que, como o metamodelo proposto utiliza um coeficiente de participação para cada modo utilizado para descrever cada modo de interesse da estrutura, será calculado um R2 para cada um desses coeficientes. De posse desses dados, espera-se obter uma ideia da qualidade da aproximação individual dos coeficientes. Porém, a qualidade global da predição dos modos e frequências naturais não poderá ser avaliada com essas métricas.
16
3 QUANTIFICAÇÃO DE INCERTEZAS VIA METAMODELO
3.1 Introdução
No capítulo anterior, foi mostrado como modelos complexos podem ser substituídos por modelos consideravelmente mais simples como os metamodelos. Por outro lado, detalhes da aplicação desses modelos aproximados, em problemas de análise de incerteza, não foram explorados.
Em geral, os metamodelos podem ser aplicados nos diferentes tipos de análise de incerteza: análise de sensibilidade, quantificação de incerteza, análise de confiabilidade e análise de robustez. Entretanto, apenas a aplicação no campo de quantificação de incerteza, em problemas de dinâmica estrutural, será explorada neste trabalho.
3.2 Análise determinística da resposta em frequência
No domínio da frequência, a equação determinística do equilíbrio dinâmico de um sistema com múltiplos graus de liberdade pode ser escrita como (INMAN, 1996; MAIA; SILVA, 1997):
�[𝐾](1 + 𝑖𝜂) − 𝜔2[𝑀]�𝒙 = 𝒇 ,
(3.1) onde [𝐾] é a matriz rigidez NxN graus de liberdade, 𝑖 = √−1, [𝑀] a matriz de massa NxN, 𝜂 o amortecimento histerético, 𝜔 a frequência natural angular, 𝒙 o vetor deslocamento e 𝒇 o vetor de força.
O sistema de equações (3.1) pode ser resolvido por diferentes métodos. No caso de estruturas complexas, modelada geralmente via elementos finitos (FEM), a solução é usualmente obtida pelo método da superposição modal (ALVES FILHO, 2005). Neste caso, o vetor 𝒙 é descrito como combinação linear dos modos naturais da estrutura da seguinte forma (MAIA; SILVA, 1997):
17 𝒙 = � 𝛾𝑟𝝓𝑟 .
𝑁 𝑟=1
(3.2)
Com base na equação (3.2), obtenção da resposta dinâmica é obtida por meio de duas etapas (ALVES FILHO, 2005):
• Cálculo dos Modos e Frequências Naturais de Vibração da Estrutura – Análise Modal.
• Determinação do fator de participação de cada modo de vibrar na resposta.
Para resolver a primeira etapa, a análise modal, precisamos resolver a forma homogênea da equação (3.1). Porém, na solução por FEM, o amortecimento é geralmente desprezado e o problema é reduzido ao caso mais simples, estrutura livre sem amortecimento (ALVES FILHO, 2005).
�[𝐾] − 𝜔2[𝑀]�𝒙 = 0
(3.3) A equação (3.3) representa um problema de autovalor cuja solução é satisfeita com um conjunto de N autovalores 𝜔𝑟2 com autovetores associados 𝝓𝑟, que representam os modos naturais da estrutura.
Substituindo a equação (3.2) na(3.1) e pré-multiplicando por 𝝓𝑠𝑇 obtemos
(1 + 𝑖𝜂)𝝓𝑠𝑇[𝐾] � 𝛾𝑟𝝓𝑟 𝑁 𝑟=1 − 𝜔2𝝓 𝑠𝑇[𝑀] � 𝛾𝑟𝝓𝑟 𝑁 𝑟=1 = 𝝓𝑠𝑇𝒇 . (3.4)
18
Levando em consideração a propriedade de ortogonalidade dos autovetores, a equação se torna
𝛾𝑟(1 + 𝑖𝜂)𝝓𝒓𝑇[𝐾]𝝓𝒓− 𝜔2𝛾𝑟𝝓𝒓𝑇[𝑀]𝝓𝒓 = 𝝓𝒓𝑇𝒇 .
(3.5)
Considerando a matriz modal normalizada pela massa, podemos considerar as seguintes relações (MAIA; SILVA, 1997):
𝝓𝑟𝑇[𝐾]𝝓𝑟 = 𝜔𝑟2 , (3.6)
𝝓𝑟𝑇[𝑀]𝝓𝑟 = 1 . (3.7)
Finalmente, substituindo as equações (3.6) e (3.7) na (3.5) e reescrevendo, obtemos a equação da Função de Resposta em Frequência (FRF):
𝐻𝑗𝑘(𝜔) =𝑓𝑥𝑗 𝑘 = � 𝜙𝑗𝑟𝜙𝑘𝑟 (1 + 𝑖𝜂)𝜔𝑟2− 𝜔² 𝑁 𝑟=1 . (3.8) 3.3 Metamodelo modal
O termo metamodelo modal refere-se aos modelos de aproximação das características modais, os autovalores e autovetores de uma estrutura (GALLINA, 2009; PICHLER; SCHUËLLER, 2011). Metamodelos modais têm sido aplicados em diferentes problemas, como aproximações de autovalores ou autovetores de estruturas da construção civil (CHENG; XIAO, 2005; GALLINA, 2009; PICHLER, 2009; PICHLER; SCHUËLLER, 2011), componentes estruturais de veículos (GALLINA, 2009; PICHLER, 2009; GALLINA; MARTOWICZ; UHL, 2011; GALLINA; PICHLER; UHL, 2011; PICHLER; SCHUËLLER, 2011) e painéis da
19
indústria aeronáutica (KUNDU et al., 2014), além de problemas de vibroacústica (LI; LIANG, 2007).
Em modelos de elementos finitos de escala industrial, mesmo a solução determinística demanda um esforço computacional considerável para análises dinâmicas. E um dos processos que mais consomem tempo de processamento é a solução do problema de autovalor e autovetor associado, geralmente, na solução via superposição modal.
Para minimizar esse problema, uma abordagem interessante foi utilizada em alguns trabalhos (PICHLER; PRADLWARTER; SCHUËLLER, 2009; GALLINA; MARTOWICZ; UHL, 2011; PICHLER; SCHUËLLER, 2011). Nessa abordagem, um metamodelo é construído para substituir a análise modal, em outras palavras, um metamodelo capaz de obter a resposta modal da estrutura dados os novos valores dos parâmetros de entrada. E desta forma, como o modelo determinístico bem reduzido, é possível executar as análises de incerteza com mais eficiência. Essa abordagem foi utilizada neste trabalho e será mais detalhada a seguir.
3.3.1 Combinação linear dos modos da estrutura
Pode ser observado que, ao contrário da função de resposta em frequência que geralmente responde de forma não linear às perturbações dos parâmetros da estrutura, os autovetores ou modos naturais variam muito pouco quando essas perturbações são pequenas. Nessas condições, o autovetor modificado pode ser interpretado como uma rotação do sistema de referência, como mostra a Figura 3.1 (PICHLER; PRADLWARTER; SCHUËLLER, 2009; PICHLER; SCHUËLLER, 2011).
20
Figura 3.1: Ilustração da rotação no espaço da solução de referência. (PICHLER; SCHUËLLER, 2011)
Com base nessa premissa, podemos escrever cada modo da estrutura como combinação linear dos modos da solução de referência (PICHLER; SCHUËLLER, 2011):
𝝓𝑘(𝑗) = � 𝛼𝑘𝑖(𝑗)
𝑘+𝑚𝑘
𝑖=𝑘−𝑚𝑘
𝝓𝑖(0), (3.9)
sendo os modos da solução de referência denotados por
[Ф𝑘(0)] = �𝝓𝑘−𝑚(0) 𝑘 , 𝝓𝑘−𝑚(0) 𝑘+1, . . . , 𝝓𝑘(0), . .. , 𝝓𝑘+𝑚(0) 𝑘−1, 𝝓𝑘+𝑚(0) 𝑘� (3.10)
Em outras palavras, o modo de número 𝑘, 𝝓𝑘(𝑗), calculado a partir da estrutura perturbada na simulação 𝑗, pode ser escrito como combinação linear do respectivo modo 𝑘 de referência e mais seus 𝑚𝑘 modos vizinhos de ambos os lados. Como consequência, o vetor dos coeficientes que multiplicam os modos, 𝜶𝑘, contem (2𝑚𝑘+ 1) valores. Daí surge um ponto importante da
21
abordagem, a necessidade de encontrar o modo correspondente na base modal. Essa etapa do processo, Pichler e Schuëller (2011) chamaram de associação dos modos e será discutida com mais detalhes.
3.3.2 Associação dos modos
A associação dos modos corresponde a uma etapa extremamente importante na precisão do método, visto que toda a lógica para obtenção dos coeficientes da equação (3.10) parte da premissa que o modo central da base modal é correspondente ao modo a ser descrito.
Figura 3.2: Esquema ilustrando os tipos de mudanças dos modos.
Para realizar o pareamento entre os modos (Figura 3.2), Pichler e Schuëller (2011) propuseram o uso do Modal Assurance Criterion, conhecido como MAC. O valor do MAC avalia a correlação do modo i da amostra j com relação ao seu correspondente modo l da solução de referência, sendo que quanto mais próximo de 1 melhor a correlação (EWINS, 1984).
22 MAC �𝝓𝑖(𝑗)𝝓𝑙(0)� = ��𝝓𝑖 (𝑗) �𝑇𝝓 𝑙 (0)� ² ��𝝓𝑖(𝑗) �𝑇𝝓𝑖(𝑗)� ��𝝓𝑙(0) �𝑇𝝓𝑙(0)� (3.11)
Neste caso, o maior MAC definirá a escolha do modo associado. Na sua tese de doutorado (GALLINA, 2009) menciona as limitações desta abordagem em situações de mudança significativa da forma modal (mode veerning) e propõe um procedimento, chamado Mode
Tracking Procedure – MTP, para minimizar esse problema. Basicamente, o MTP diminui o passo
para avaliar o MAC adicionado pontos intermediários entre o ponto nominal e o ponto de projeto. Com isso o método consegue acompanhar a evolução da mudança da forma modal com valores de MAC mais elevados.
Por conta da simplicidade de implementação, o procedimento baseado no MAC diretamente foi adotado neste trabalho.
3.3.3 Cálculo dos parâmetros modais
Os modos da solução determinística do modelo nominal, isto é, modelo com os valores médios dos parâmetros aleatórios, são usualmente utilizados como base modal de referência da equação (3.9). Como consequência, a parte desconhecida desta equação são os coeficientes que multiplicam cada modo nominal.
Entretanto, o maior coeficiente do vetor vai ser muito próximo de um e, como consequência, não pode ser escrito como uma função linear dos parâmetros de entrada. Desta forma, é conveniente expressar esse coeficiente em função dos demais a partir da definição da norma do vetor (PICHLER; PRADLWARTER; SCHUËLLER, 2009; PICHLER; SCHUËLLER, 2011):
23 𝛼𝑘,𝑘= 𝛼𝑘�1 − � 𝛼�𝑘,𝑖2 𝑖≠𝑘 , (3.12) sendo 𝛼�𝑘,𝑖 = 𝛼𝑘,𝑖/𝑎𝑘 . (3.13)
Como resultado, coeficiente 𝛼𝑘,𝑘 associado ao modo de referência 𝝓𝑘(0) passa a ser indiretamente conhecido, pois depende apenas dos demais, porém aparece um novo termo desconhecido que é a norma do vetor dos coeficientes 𝑎𝑘.
A outra informação importante na solução modal são os autovalores ou as frequências naturais nesse caso. As novas frequências naturais podem ser escritas como um ajuste da respectiva frequência de referência a partir do parâmetro ∆𝜔𝑘(𝑗) (PICHLER; PRADLWARTER; SCHUËLLER, 2009; PICHLER; SCHUËLLER, 2011):
𝜔𝑘(𝑗) = �1 + ∆𝜔𝑘(𝑗)� 𝜔𝑘(0), ∆𝜔𝑘(𝑗)= �𝜔𝑘(𝑗)/𝜔𝑘(0) − 1� . (3.14)
Neste momento, podemos definir o vetor 𝒚(𝑥), sendo 𝑥 o vetor das variáveis aleatórias, com todos os parâmetros para escrever a resposta modal em função da solução nominal.
𝒚(x) = [𝑎1(x), ∆𝜔1(x), 𝜶�1𝑇(x), . . . , 𝑎𝑘(x), ∆𝜔𝑘(x), 𝜶�𝑘𝑇(x)] (3.15)
Esses parâmetros podem ser determinados a partir dos resultados da uma análise modal da estrutura submetida a um determinado conjunto de valores dos parâmetros de entrada. Assim, os primeiros parâmetros (𝑎𝑘 e ∆𝜔𝑘) podem ser obtidos facilmente por meio das equações (3.12) e
24
(3.14). Porém, para determinar os o vetor dos coeficientes 𝜶𝑘 é preciso resolver a equação (3.9). Usualmente esta equação é resolvida pelo método dos mínimos quadrados, e por isso 𝜶𝑘 pode ser escrito da seguinte forma:
𝜶𝑘 = ��Ф𝑘(0)� 𝑇 �Ф𝑘(0)�� −1 �Ф𝑘(0)�𝑇𝝓𝑘(𝑗). (3.16) 3.3.4 Construção do metamodelo
Em relação ao metamodelo convencional, o processo para construir o metamodelo modal demanda algumas etapas extras. Após a calibração, onde o modelo original avalia a resposta nos pontos definidos pelo DOE, a associação dos modos e cálculo dos parâmetros modais, descritos anteriormente, são etapas necessárias antes de construir a aproximação via RSM (Figura 3.3).
Figura 3.3: Fluxograma do metamodelo modelo. (PICHLER; SCHUËLLER, 2011)
Considerando a realização de N experimentos, obtém-se uma matriz Y de tamanho N x M, sendo M o número de fatores para descrever todas as propriedades modais dos K modos considerados (PICHLER; PRADLWARTER; SCHUËLLER, 2009).
25 𝑀 = � (2𝑚𝑘+ 3) 𝐾 𝑘=1 (3.17) �𝑌(𝑗)� = �𝑎 l(𝑗), ∆𝜔l(𝑗), �𝜶�l(𝑗)� 𝑇 , . . . , 𝑎𝑘(𝑗), ∆𝜔𝐾(𝑗), �𝜶�𝐾(𝑗)�𝑇� (3.18)
Finalmente, a partir da informação disponível de [ X ] e [ Y ], sendo [ X ] a matriz N x n das realizações das n variáveis aleatórias determinadas pelo DOE, é possível estabelecer uma aproximação. Por conta da complexidade e das premissas comentadas nas seções anteriores, no presente trabalho foi aplicado o método da superfície de resposta com polinômios de primeiro grau apenas.
26 3.3.5 Detalhes de Implementação
Como foi discutida nas seções anteriores, a abordagem via metamodelo modal envolve uma séria de processos, e isso inclui a simulação determinística do problema. No presente trabalho, o software comercial MSC Nastran® será utilizado como caixa-preta da solução determinística dos modelos de elementos finitos.
Figura 3.4: Fluxograma da implementação do metamodelo modal.
Alguns códigos Matlab® serão responsáveis pela maioria das etapas relacionadas ao metamodelo modal. E para finalizar, o software de automação e otimização Simulia Isight® será usado para amostragem das variáveis, geração da superfície de resposta e para integrar todas as ferramentas (Figura 3.4).
27
Um artifício comumente utilizado na indústria para diminuir o tamanho dos arquivos de resposta e facilitar a visualização dos modos da estrutura, é o uso de uma malha simplificada de visualização de resultados do modelo (coarse display model). Procedimento consiste em solicitar no software de elementos finitos apenas a resposta (e.g. deslocamento) em alguns nós escolhidos da malha original a priori. No final, estes nós são interligados com elementos 1D ou 2D, sem propriedades, apenas para fins de visualização dos resultados. Os programas de geração de malha costumam disponibilizar ferramentas automatizadas para executar esse processo. Como o processo do metamodelo modal, mencionada no capítulo anterior, envolve a manipulação do arquivo de resposta da análise modal e dos seus autovetores no Matlab®, esse procedimento se torna computacionalmente interessante no contexto do metamodelo modal. Por isso, neste trabalho, todas as operações envolvendo autovetores, como na construção do metamodelo e no cálculo das FRFs, utilizarão os autovetores truncados oriundos da malha simplificada da estrutura. Vale ressaltar que a matriz de massa e rigidez do modelo determinístico é calculada sempre com a malha original. Um exemplo desse tipo de malha é ilustrado na Figura 3.5 onde o modelo original possui 1522 nós e a malha simplificada 112 apenas.
Figura 3.5: Modelo de elementos finitos do para-brisa veicular: (a) Malha original; e (b) Malha simplificada de visualização.
28
Finalmente, para a visualização dos modos gerados pelo metamodelo, o “tradutor” para o formato de arquivo padrão do Nastran® foi desenvolvido no Matlab®. Após a conversão, ambos os resultados foram animados no software comercial HyperView®.
4 ESTUDOS DE CASO
4.1 Introdução
Neste capítulo a aplicação do metamodelo modal em dois modelos de elementos finitos é considerada. A escolha da PDF mais adequada para caracterizar uma variável aleatória é uma etapa importante na análise com incertezas, porém está fora do escopo do presente trabalho. Por isso, em ambos os casos, a função de densidade de probabilidade dos parâmetros aleatórios do modelo foi assumida como Gaussiana por simplicidade. Porém, como teoricamente a distribuição Gaussiana poderia gerar valores negativos para grandezas como espessura, os valores amostrados foram verificados para garantir apenas números positivos
No primeiro problema, o modelo de um para-brisa automotivo é analisado considerando a espessura, módulo de elasticidade e densidade do material com variabilidade. A quantificação da dispersão da FRF e da frequência natural dos primeiros modos é avaliada.
Já no segundo problema, um modelo razoavelmente grande é estudado. A resposta em frequência do modelo estrutural de um carro é analisada. Neste caso, a variabilidade é associada com várias espessuras de chapa do veículo.
4.2 Análise dinâmica do para-brisa de um veículo
Antes de aplicar a metodologia do metamodelo modal em um modelo muito grande, como no caso do veículo completo, todo o procedimento foi testado em um único componente do modelo veicular. Assim, o para-brisa foi escolhido pela simplicidade do modelo.
29 4.2.1 Descrição do modelo
O modelo reproduz um brisa de forma simplificada com relação ao material. Um para-brisa automotivo é fabricado com vidro laminado que, basicamente, é formado por camadas de diferentes materiais. Porém, neste estudo de caso, o para-brisa é modelado com um único material distribuído de forma uniforme, com um módulo de elasticidade E e densidade ρ constantes. Além disso, a espessura do vidro é considerada uniforme ao longo da sua geometria.
A malha de elementos não foi modificada em relação ao modelo completo. Por conta disso, as bordas são mais discretizada devido à diferença de tamanho de elemento nas regiões de conexões com os demais componentes do carro (Figura 3.5-a).
Figura 4.1: Pontos de excitação e resposta para FRF do para-brisa.
O software comercial Nastran® foi utilizado na análise modal determinística. Neste caso, o componente foi analisado na condição livre-livre. Os detalhes sobre o tipo de elemento e propriedade são sumarizados na Tabela 4.1.
30
Tabela 4.1: Resumo das informações do modelo do para-brisa.
Número de Nós 1522
Número de elementos 1415
Tipos de elementos Quadrilateral/Triangular linear (CQUAD4/CTRIA3) Tipo de propriedade Elemento de casca (PSHELL) Tipo de material Linear/Isotrópico (MAT1)
Para a análise de resposta em frequência via superposição modal, um ponto central foi escolhido para a excitação em Z (vertical), nó 1, e o deslocamento vertical foi capturado numa das extremidades do para-brisa, o nó 2 (Figura 4.1).
Do ponto de vista estocástico, três parâmetros de entrada do modelo foram considerados aleatórios: E, ρ e t. As PDFs, conforme mencionado anteriormente, foram assumidas como normais e a variabilidade de cada variável foi arbitrada. Para efeito de avaliação do método, dois cenários de Coeficiente de Variação (COV) foram avaliados. Num primeiro caso, caso 1, todos os COVs foram de 10%. Já no segundo caso, com objetivo de analisara situação de grande dispersão no modelo, os COVs foram arbitrados em 20% (Tabela 4.2).
31
Tabela 4.2: Informação estatística das variáveis aleatórias
Variáveis PDF COV (1) COV (2)
Espessura (t) Normal 10% 20%
Módulo de elasticidade (E) Normal 10% 20%
Densidade do material (ρ) Normal 10% 20%
4.2.2 Resultados e discussões
4.2.2.1 Modelo nominal e análises preliminares
Antes de iniciar a análise estocástica, é importante conhecer a resposta do modelo nominal. Em outras palavras, o modelo determinístico com os parâmetros no valor nominal. Na análise modal foram obtidas as frequências naturais dos modos, a Tabela 4.3 resume os trinta primeiros valores já excluindo os seis modos de corpo rígido devido à condição livre-livre do modelo.
32
Tabela 4.3: Frequências naturais dos primeiros modos do modelo nominal do para-brisa. Freq. Natural [Hz] Freq. Natural [Hz]
1° modo 21,5 16° modo 297,2 2° modo 22,2 17° modo 301,8 3° modo 51,5 18° modo 303,6 4° modo 56,6 19° modo 335,9 5° modo 92,0 20° modo 338,9 6° modo 96,6 21° modo 345,7 7° modo 125,3 22° modo 371,8 8° modo 135,3 23° modo 375,6 9° modo 173,0 24° modo 386,7 10° modo 194,3 25° modo 408,9 11° modo 233,1 26° modo 417,7 12° modo 233,2 27° modo 430,8 13° modo 247,7 28° modo 431,3 14° modo 262,0 29° modo 450,6 15° modo 264,9 30° modo 459,3
33
Além disso, com intuito de verificar a base modal nominal, a matriz de MAC foi calculada para os autovetores obtidos pelo Nastran® com a malha simplificada (Nastran_R). Na Figura 4.2, podemos observar a diagonal da matriz com todos os valores próximos a um e com demais valores praticamente nulos.
Uma vez conhecidas as frequências e os modos naturais, pode-se calcular a FRF de interesse. Na Figura 4.3, a solução da reposta em frequência calculada diretamente pelo Nastran é comparada com a solução calculada via Matlab (equação (3.8)) utilizando os autovetores da base nominal descrita anteriormente (Nastran_R)
Note que a FRF obtidas por meio do Matlab e, com os autovetores reduzidos, apresentou excelente concordância com o resultado original Nastran em toda faixa de frequência analisada (1-300 Hz).
Figura 4.2: Matriz de MAC dos primeiros modos do modelo nominal. Solução via Nastran com a malha simplificada (Nastran_R).
Número do Modo N úm er o do M odo CO 00, C # 0 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
34
(a) (b)
Figura 4.3: FRF do modelo do para-brisa nominal: (a) Solução do Nastran; e (b) Solução via Matlab com modos via Nastran_R.
4.2.2.2 Caso 1: COV=10%
No primeiro caso da análise do para-brisa, um COV de 10% é considerado para as variáveis aleatórias do problema. A Tabela 4.4 resume os parâmetros utilizados no primeiro caso para a construção da superfície de resposta.
0 50 100 150 200 250 300 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 Frequência [Hz] M agni tude dB r ef . 1 [ m m /N ]
35
Tabela 4.4: Resumo dos parâmetros utilizados na simulação. Caso 1.
Superfície de Resposta (RSM) Simulação de Monte Carlo (MCS)
DOE Amostragem LHD DOE Amostragem LHS NRSM 16 NMCS 100 Intervalo de amostragem
±10% do Valor nominal Média Valor
nominal Polinômio Grau 1 PDF Normal Aproximação 𝑦𝑖 = 𝛽𝑖0+ 𝛽𝑖1𝑡 + 𝛽𝑖2𝐸 + 𝛽𝑖3𝜌 COV 10% Validação do metamodelo Amostragem LHD Nval 8 Intervalo de amostragem ±10% do Valor nominal • Verificação do metamodelo
Uma vez construído o metamodelo, é importante a verificação da sua precisão. Para isso, a simulação foi realizada em pontos adicionais ao DOE inicial da superfície de resposta. Neste caso, oito pontos foram usados.
36
Figura 4.4: R² dos coeficientes do metamodelo. Caso 1: COV=10%.
Na Figura 4.4, podemos observar o valor do R2 de todos os 660 coeficientes do metamodelo para os 8 pontos de verificação. Note que, exceto para alguns parâmetros dos modos intermediários, os valores se aproximam bem de 1, indicando um bom ajuste do modelo. Além disso, para ilustrar a correlação dos parâmetros individualmente, é plotado o ajuste (Figura 4.5) de alguns parâmetros. Note que os gráficos confirmam, no geral, o bom ajuste do modelo nos pontos testados.
37
Figura 4.5: Ajuste de alguns coeficientes do metamodelo para os 8 pontos de verificação. Caso 1: COV=10%.
Adicionalmente, para avaliar a qualidade da aproximação gerada, os autovetores calculados via o metamodelo proposto foram comparados com os autovetores do resultado original do Nastran com a malha simplificada (Nastran-R). As matrizes de MAC para os oito pontos avaliados são compiladas na Erro! Fonte de referência não encontrada.. É possível observar, no geral, uma excelente correlação dos modos. Contudo, alguns modos intermediários apresentam considerável discrepância (MAC<0.5). Este resultado é coerente com os valores de
38
R2 (Figura 4.4) dos coeficientes do metamodelo, visto que a pior correlação dos modos aconteceu na mesma faixa intermediária onde os valores de R2 foram piores.
Figura 4.6: Correlação entre os modos do Nastran_R e o metamodelo nos pontos de verificação da superfície de resposta. Caso 1: COV=10%.
Número do Modo N úm er o do M odo
Metamodel - Windshield - n Nos 112, n DOE 16, n Base 10, n Coef total 660 COV 010, MC 1 - n # 1 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Número do Modo N úm er o do M odo
Metamodel - Windshield - n Nos 112, n DOE 16, n Base 10, n Coef total 660 COV 010, MC 1 - n # 2 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Número do Modo N úm er o do M odo
Metamodel - Windshield - n Nos 112, n DOE 16, n Base 10, n Coef total 660 COV 010, MC 1 - n # 3 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Número do Modo N úm er o do M odo
Metamodel - Windshield - n Nos 112, n DOE 16, n Base 10, n Coef total 660 COV 010, MC 1 - n # 4 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Número do Modo N úm er o do M odo
Metamodel - Windshield - n Nos 112, n DOE 16, n Base 10, n Coef total 660 COV 010, MC 1 - n # 5 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Número do Modo N úm er o do M odo
Metamodel - Windshield - n Nos 112, n DOE 16, n Base 10, n Coef total 660 COV 010, MC 1 - n # 6 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Número do Modo N úm er o do M odo
Metamodel - Windshield - n Nos 112, n DOE 16, n Base 10, n Coef total 660 COV 010, MC 1 - n # 7 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Número do Modo N úm er o do M odo
Metamodel - Windshield - n Nos 112, n DOE 16, n Base 10, n Coef total 660 COV 010, MC 1 - n # 8 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
39 • Simulação de Monte Carlo
Após a realização de cem experimentos pelo Nastran e pelo metamodelo, validado na seção anterior, os resultados foram compilados e comparados. A Figura 4.7 mostra o histograma dos valores das varáveis de entrada do problema.
Figura 4.7: Amostragem das variáveis de entrada. Caso 1: COV=10%.
A Figura 4.8 mostra o histograma das frequências naturais de alguns modos ( 1°, 10°, 20° e 30°). Note que a distribuição dos valores é assimétrica e que o metamodelo captura bem a variabilidade da resposta em todos os quatro modos analisados.
40
Figura 4.8: Comparação da variabilidade das frequências naturais entre o Metamodelo e o Nastran (FEM). Caso 1: COV=10%.
A Figura 4.9 mostra a matriz de MAC para o primeiro experimento do Monte Carlo, onde as três variáveis foram perturbadas ao mesmo tempo. Nota-se que o resultado, qualitativamente, foi similar ao encontrado nos pontos de verificação, apenas alguns modos intermediários apresentaram um valor de MAC mais baixo.
41
Figura 4.9: Matriz de MAC entre os modos calculados via Nastran-R e o Metamodelo. Modelo do para-brisa- Caso 1: COV=10% para o experimento 1 do Monte Carlo.
Para analisar com mais detalhes os modos do primeiro experimento, todos os modos foram animados e comparados com os modos via Nastran_R. A Figura 4.10 mostra a forma modal de alguns desses modos. Note que o primeiro e o último modo (30) apresentaram uma forma modal muito próxima da original (MAC=1.00/0.990). E que, mesmo nos casos onde os valores de MAC foram um pouco mais baixos (MAC=0.949/0.707), a correlação do metamodelo foi satisfatória. É interessante ressaltar que a frequência natural do 11° modo é acima de 200 Hz, neste experimento, por exemplo, foi de aproximadamente 277 Hz. Por outro lado, a discrepância dos modos não aumentou com a frequência.
Número do Modo N úm er o do M odo , 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
42
(a) (b)
Figura 4.10: Comparação das formas modais obtidas pelo Metamodelo e o Nastran no experimento 1. Caso 1: COV=10%.
Para tentar entender melhor os baixos valores de MAC (Figura 4.9), verificou-se a correlação entre os modos do experimento 1 e os modos do modelo nominal a fim de avaliar o grau de modificação dos mesmos.
43
A Figura 4.11mostra a matriz de MAC entre os modos dos dois modelos, ambos via Nastran_R. Note que alguns modos foram significativamente modificados. Por exemplo, percebe-se que modos 11 e 12 possivelmente sofreram uma inversão na ordem e alguma alteração na forma porque a diagonal na região ficou invertida e os valores de MAC foram intermediários. No caso dos modos 20 e 21, por outro lado, há um indicativo de mudança considerável na forma modal, pois os valores de MAC foram muito baixos.
Comparando este resultado com o da Figura 4.9, podemos perceber que a aproximação pelo metamodelo obteve pior correlação justamente nos modos que tiveram pior correlação com a base nominal. Este resultado sugere que o metamodelo não correlaciona bem para os modos com mudanças mais severas. Que por sua vez, está de acordo com a premissa inicial do metamodelo: os autovetores da estrutura perturbada podem ser interpretados como uma rotação do sistema de referência sob pequenas perturbações dos parâmetros (Figura 3.1).
Figura 4.11: Correlação entre modos do experimento 1 e o modelo nominal calculados pelo Nastran_R. Caso 1: COV=10%.
Número do Modo N úm er o do M odo 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
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Este tipo de problema foi identificado por Gallina (2009) na sua tese, onde o autor sugere um método mais refinado para rastrear a mudança dos modos e diminuir o problema. Como foi citado no capítulo anterior, o método Mode Tracking Procedure – MTP implica num algoritmo mais complexo e necessita a realização de experimentos adicionais. Isto sugere uma investigação futura do balanço do esforço computacional versus precisão devido aos métodos de associação.
(a) (b)
Figura 4.12: Comparação das formas modais via Nastran_R: (a) Modelo nominal; e (b) experimento 1. Caso 1: COV=10%.
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Uma vez que os novos modos da estrutura foram determinados, foi possível calcular a FRF pré-definida utilizando a superposição modal. Por fim, simulação foi repetida inúmeras vezes utilizando o método de Monte Carlo (NMCS=100). A dispersão da FRF pode ser visualizada na
Figura 4.13. A abordagem do metamodelo modal é comparada com solução de referência (Nastran_R) que utiliza os resultados da analise modal do Nastran com a malha simplificada. Para ambos os casos, o cálculo da FRF foi conduzido no Matlab conforme a FRF do modelo nominal.
Note que o metamodelo consegue capturar bem a dispersão da resposta no geral. A precisão da abordagem é mostrada na Figura 4.14. Note que o metamodelo modal consegue uma excelente concordância tanto da média quanto do desvio até 200 Hz aproximadamente. Porém, como era de se esperar, a resposta na faixa de 200 a 300 Hz apresenta um erro maior porque sofre maior influência do 10° ao 20° modo, cujas frequências naturais do modelo nominal são 194.3 Hz e 338.9 Hz, respectivamente.
(a) (b)
Figura 4.13: Comparação da dispersão da FRF: (a) Nastran_R; e (b) Metamodelo. Caso 1: COV=10%.
Média
Média+3.Sigma
Média
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(a) (b)
Figura 4.14: Comparação entre FRF via Nastran_R e Metamodelo: (a) Média; e (b) Desvio padrão. Caso 1: COV=10%.
Com relação ao esforço computacional, pode-se perceber na Figura 4.15 que a abordagem via metamodelo reduz consideravelmente o número de simulações do modelo determinístico, de 100 para apenas 24 no total. Obviamente que o metamodelo, como mostrado no capítulo anterior, demanda além das dessas simulações, alguns passos a mais para a preparação da superfície de resposta e isto envolve a manipulação dos arquivos do Nastran. Porém, neste caso, este tempo foi muito pequeno comparado ao tempo total de análise.
Metamodelo Nastran_R
Metamodelo Nastran_R
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Figura 4.15: Esforço computacional. . Modelo do para-brisa - Caso 1: COV=10%.
4.2.2.3 Caso 2: COV=0.2
Neste segundo caso da análise do para-brisa, um COV de 20% é considerado para as variáveis aleatórias do problema. Para a construção da superfície de resposta, duas condições do intervalo do DOE é considerada. Inicialmente ±20% do valor nominal (a) e por último ±10% do valor nominal (b). A Tabela 4.5 resume os parâmetros utilizados.
Monte Carlo Metamodel 16 Num. simula ções model o NASTR AN 24 100 8
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Tabela 4.5: Resumo dos parâmetros utilizados na simulação. Caso 2.
Superfície de Resposta (RSM) Simulação de Monte Carlo (MCS)
DOE Amostragem LHD DOE Amostragem LHS NRSM 16 NMCS 100 Intervalo de amostragem a) ±20% do Valor nominal b) ±10% do Valor nominal Média Valor nominal Polinômio Grau 1 PDF Normal Aproximação 𝑦𝑖 = 𝛽𝑖0+ 𝛽𝑖1𝑡 + 𝛽𝑖2𝐸 + 𝛽𝑖3𝜌 COV 20% Validação do metamodelo Amostragem LHD Nval 8 Intervalo de amostragem ±20% do Valor nominal • Verificação do metamodelo
Assim como no primeiro exemplo, a simulação de 8 pontos adicionais foi realizada para a verificação do metamodelo.
Na Figura 4.16, podemos observar o valor do R2 de todos os 660 coeficiente do metamodelo para os 8 pontos de verificação. Neste caso, se um baixo valor do observa-se um baixo valor do R2 para a grande maioria dos parâmetros, indicando um modelo de ajuste ruim. Além disso, para ilustrar a correlação dos parâmetros individualmente, é plotado o ajuste (Figura 4.17) de alguns parâmetros. Note que os gráficos confirmam a baixa qualidade do modelo.
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Figura 4.16: R² dos coeficientes do metamodelo. Caso 2: COV=20% com intervalo das variáveis no DOE de 20%.
Figura 4.17: R² dos coeficientes do metamodelo. Caso 2: COV=20% com intervalo das variáveis no DOE de 10%.
Com o objetivo de tentar melhorar a qualidade do metamodelo, antes de prosseguir para a Simulação de Monte Carlo, um novo modelo (b) é construído utilizando um DOE com uma dispersão menor, ±10% do valor nominal ao invés de ±20%. Isso significa, por conveniência, usar os mesmos pontos do caso 1 (COV=10%).
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Figura 4.18: Ajuste de alguns coeficientes do metamodelo para os 8 pontos de verificação. Caso 2: COV=20% com intervalo das variáveis no DOE de 20%.
Na Figura 4.18 podemos observar os novos valores de R2 para o novo modelo. Nota-se uma considerável melhoria, mas não chega, no geral, na qualidade do modelo no caso 1. A melhoria também é percebida nos gráficos individuais de ajuste dos parâmetros (Figura 4.19).
Segundo Donohue et al (1993), no caso do DOE para uma superfície de resposta de primeira ordem, mover os pontos do experimento das extremidades para mais próximo do centro do intervalo é benéfico para o modelo linear devido à falta de termos de ordem maior.
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Figura 4.19: Ajuste de alguns coeficientes do metamodelo para os 8 pontos de verificação. Caso 2: COV=20% com intervalo das variáveis no DOE de 10%.
• Simulação de Monte Carlo
Após a realização de 100 experimentos pelo Nastran® e pelo modelo da seção anterior, os resultados foram compilados e comparados. A Figura 4.20 mostra o histograma das varáveis do problema, obviamente que com um de COV=20% a dispersão da distribuição foi maior.
O histograma das frequências naturais, para os modos 1, 10, 20 e 30, é mostrado na Figura 4.21. Note que neste caso a distribuição dos valores é mais uniforme e tem uma dispersão maior, como esperado. No geral, o metamodelo conseguiu novamente capturar bem a variabilidade da resposta em todos os quatro modos analisados.
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Figura 4.20: Amostragem das variáveis de entrada. Caso 1: COV=10%.
Figura 4.21: Comparação da variabilidade das frequências naturais entre o Metamodelo e o Nastran (FEM). Caso 1: COV=20%.
Neste caso com uma variabilidade maior que no primeiro, é interessante repetir o exercício realizado na seção anterior. Novamente, tomando o experimento 1 da simulação de Monte Carlo, com COV=20%, e comparando com modelo nominal, observa-se que muitos modos foram
53 Número do Modo N úm er o do M odo , 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Número do Modo N úm er o do M odo , 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
sensivelmente modificados em relação à condição nominal. Por sua vez, a discrepância dos resultados via metamodelo (Figura 4.22-b) foi maior nos modos que foram mais sensíveis às mudanças nos parâmetros, confirmando o comportamento dos resultados anteriores.
(a) (b)
Figura 4.22: Comparação das matrizes de MAC: (a) entre os modos do modelo nominal e do experimento 1, calculados pelo Nastran_R; e (b) Entre os modos calculados pelo
Nastran_R e Metamodelo do modelo do experimento 1.
Novamente, uma vez que os novos modos da estrutura foram determinados, foi possível calcular a FRF pré-definida utilizando a superposição modal. Por fim, simulação foi repetida inúmeras vezes utilizando o método de Monte Carlo (NMCS=100). A dispersão da FRF pode ser
visualizada na Figura 4.23. A abordagem do metamodelo modal é comparada com solução de referência (Nastran_R) que utiliza os resultados da análise modal do Nastran com a malha simplificada. Para ambos os casos, o cálculo da FRF foi conduzido no Matlab conforme a FRF do modelo nominal.
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Podemos observar na Figura 4.23 que o metamodelo superestima a variabilidade nas frequências acima de 70 Hz. Quando comparamos em termos da média e desvio (Figura 4.24), a maior variabilidade é notada com uma discrepância considerável a partir de 70 Hz, principalmente do desvio. Abaixo desta frequência, mesmo com uma incerteza relativamente inserida no modelo, a abordagem do metamodelo demonstrou uma convergência satisfatória. Isto pode ser explicado usando o mesmo raciocínio do caso anterior, à medida que aumenta a incerteza no modelo como neste caso, mais modos sofrem mudanças grandes e, como consequência, menos estáveis ficam os coeficientes do metamodelo modal. Desta forma, a qualidade da superfície de resposta fica prejudicada. Novamente, uma investigação futura seria interessante para avaliar o balanço do esforço computacional versus precisão devido aos métodos de associação dos modos.
(a) (b)
Figura 4.23: Comparação da dispersão da FRF: (a) Nastran_R; e (b) Metamodelo. Caso 1: COV=20%.
Neste caso o esforço computacional, Figura 4.25, foi o mesmo do caso anterior com uma redução de 100 para apenas 24 simulações porque o número de pontos utilizados para superfície de resposta foi o mesmo.
Média
Média+3.Sigma
Média
