MÉTODO DA SUPERÍCIE DE RESPOSTA (RSM)

O método da superfície de resposta, do inglês response surface methodology – RSM é um conjunto de técnicas matemáticas e estatísticas para a construção de modelos empíricos (ALVAREZ, 2000). O nome do método pode gerar confusão, uma vez que todos os tipos de metamodelos constituem uma “superfície” que possibilita uma predição da reposta para um ponto desconhecido. Como consequência, o termo RSM é muitas vezes utilizado como sinônimo de metamodelo (JURECKA, 2007). Entretanto, o uso comum do termo RSM, que é o adotado neste trabalho, é para tratar de modelos de regressão polinomial.

O método é amplamente estudado e aplicado em diversos campos da ciência (MYERS; MONTGOMERY, 1995) e originalmente foi desenvolvido para modelar respostas experimentais (BOX; DRAPER, 1986), porém foi introduzido no contexto de experimentos numéricos. A

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diferença está no tipo de erro associado à resposta. Nos experimentos físicos, a imprecisão pode ser de erros de medição, por exemplo, e no caso numérico, como resultado de uma convergência incompleta de um processo iterativo, erro de arredondamento ou representação discreta de fenômenos físicos contínuos (ALVAREZ, 2000).

Figura 2.2: Aproximação da superfície de resposta com duas variáveis. (GALLINA, 2009).

A ideia básica do RSM (Figura 2.2) é estabelecer uma relação funcional explícita, uma superfície de resposta, entre as variáveis de entrada 𝐯 e as variáveis de saída y. Isto é feito pelo ajuste de parâmetros livres 𝜷 de uma função 𝜂(𝐯, 𝜷) nos pontos de resposta observados. No geral, algumas discrepâncias 𝜀 entre os valores observados e a superfície de resposta são aceitáveis (JURECKA, 2007).

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A função 𝜂, também conhecida como função de regressão, tipicamente utiliza um modelo linear para representar a superfície de resposta, sendo que o termo “linear” refere-se à linearidade descrita como a soma de 𝜂_𝛽 funções independentes 𝜂_𝑗(𝐯) chamadas de regressores. Sendo que cada regressor é multiplicado pelo parâmetro escalar 𝛽_𝑗 (JURECKA, 2007).

𝜂(𝐯, 𝜷) = � 𝛽𝑗𝜂𝑗(𝐯) = 𝜷𝑇 𝑛𝛽

𝑗=1

𝜼(𝐯) (2.2)

A diferença entre o valor original 𝑦�_𝑙 e o valor estimado é chamada de resíduo e pode ser escrito na forma:

𝑒𝑙 = 𝑦�𝑙− 𝜂�𝐯𝒍, 𝜷� , 𝑙 = 1 … 𝑚 . (2.3)

Tipicamente, o método dos mínimos quadrados, ou do inglês Least Square (LS), é utilizado para calcular os coeficientes desconhecidos da superfície de resposta. O LS calcula os coeficientes minimizando a soma quadrática dos resíduos (JURECKA, 2007)

� �𝑦�𝑙− 𝜂�𝐯𝒍, 𝜷�� 2 𝑚

𝑙=1

= 𝐞𝑻_{𝐞 (2.4)}

Resolvendo o problema de minimização, obtemos os coeficientes:

𝜷 = (𝐅𝑇_𝐅)−1_𝐅𝑇_𝐲�

(2.5) E finalmente, a aproximação pode ser escrita em função dos coeficientes:

10 𝑦� = ƒ̂(𝐯) = 𝜂(𝐯, 𝜷) = � 𝜷𝑗𝜂𝑗(𝐯)

𝜂𝛽

𝑗=1

= 𝜷𝑇_{𝜼(𝐯). (2.6)}

Com respeito à ordem do polinômio, tipicamente os polinômios de primeira e segunda ordem são mais utilizados como aproximação da superfície de resposta.

𝜼(𝐯, 𝜷) = 𝛽0+ � 𝛽𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑣𝑖 𝜂(𝐯, 𝜷) = 𝛽0+ � 𝛽𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑣𝑖 + � � 𝛽𝑖𝑗𝑣𝑖𝑣𝑗+ � 𝛽𝑖𝑖𝑣𝑖2 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑗>𝑖 𝑛 𝑖=1 (2.7)

2.2.1 Projeto de experimento (DOE)

Um importante aspecto do RSM é o projeto de experimentos (BOX; DRAPER, 1986), ou simplesmente DOE. O objetivo do DOE é a seleção dos pontos onde a resposta deve ser avaliada. E a metodologia utilizada no DOE tem uma influência considerável na precisão da aproximação e do custo para construir a superfície de resposta.

A lista das metodologias mais usadas no RSM é (ALVAREZ, 2000; JURECKA, 2007; GALLINA, 2009):

• Fatorial de dois níveis (2k

); • Fatorial fracionado;

• Fatorial com pontos centrais (CCD); • Fatorial de N níveis;

11 • Plackett-Burgmann;

• Box-Behnken;

• Classe dos planejamentos ótimos; • Classe dos planejamentos esféricos; • Classe dos planejamentos simplex; • Hipercubo latino (LHS).

O Hipercubo latino, por conta do grande número de variáveis nos modelos de grande escala e pela facilidade de implementação, foi o escolhido este trabalho e será descrito a seguir.

2.2.1.1 Hipercubo latino

Amostragem por Hipercubo Latino, ou Latin Hypercube Sampling (LHS), oferece um método atrativo para construir um projeto de experimento por conta da sua simplicidade computacional.

Primeiramente, o LHS subdivide o intervalo das variáveis de acordo com a sua PDF. Depois, estende a segmentação par todo o domínio e assim define m intervalos disjuntos ao longo de cada direção, as chamadas camadas. Finalmente, os m pontos de amostragem precisam ser alocados no domínio segmentado. Para garantir uma boa distribuição das amostras em cada coordenada, apenas uma amostra é alocada por camada (JURECKA, 2007).

A Figura 2.3-a ilustra a lógica do LHS para oito pontos de amostragem num exemplo com duas variáveis, sendo uma com distribuição uniforme e a outra normal.

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(a) (b)

Figura 2.3: Método do Hipercubo Latino no espaço bidimensional. (a) Amostragem (LHS) de oito pontos com distribuição normal. (b) Projeto de experimento (LHD) com oito pontos. Adaptada de (JURECKA, 2007).

No contexto de DOE, o método é conhecido como Latin Hypercube Design (LHD) (JURECKA, 2007). Neste caso, como é desejável uma distribuição suave da amostragem, a função densidade de probabilidade é assumida como uniforme para todas as variáveis. Como consequência, as camadas resultantes têm a mesma largura (Figura 2.3 -b).

Essa propriedade de preenchimento de espaço garante que cada variável seja representada. Além disso, o método possui a vantagem que o número de pontos pode ser definido diretamente (ALVAREZ, 2000).

13 2.3 VERIFICAÇÃO DO METAMODELO

Uma vez que o metamodelo é uma aproximação do modelo real, uma etapa importante no processo é a validação do metamodelo. Na literatura, inúmeras estratégias foram propostas para verificar a qualidade do metamodelo. Entretanto, ainda há uma carência de um método rápido que avalia a precisão absoluta de um metamodelo. No geral, as métricas disponíveis são mais relacionadas à comparação de diferentes metamodelos do que uma verificação absoluta do metamodelo em si (GALLINA, 2009).

Para essa tarefa de verificação, idealmente, o metamodelo deveria ser testado em grande número de novos pontos, isto é, pontos adicionais aos do DOE usado na fase de ajuste (e.g. regressão via mínimos quadrados). Por outro lado, pontos adicionais significa maior custo computacional, que se deseja minimizar. Como resultado, alguns autores (e.g. LIN, 2004) recomendam empregar apenas um conjunto limitado de pontos para minimizar o impacto no esforço computacional total.

Os métodos mais comuns para validação de metamodelos são (GALLINA, 2009): • Com ou sem pontos adicionais:

o Coeficiente de determinação (R2)

o Coeficiente ajustado de determinação (R2_a); • Testes com postos adicionais apenas:

o Erro absoluto máximo (MAX)

o Relative average absolute error (RAAE) o Relative maximum absolute error (RMAE) o Root Mean Square error (RMSE);

14 o U-fold

o Leave-h-out; • Gráfico do resíduo.

Tabela 2.2: Métricas de verificação.

Nome Valor Nome Valor

MAX maxi�yRS(i)− yEX(i)�

R²

1 −_SSSSE

TOT

RMSE �∑ �y𝑛i=1 RS(i)− yEX(i)�²

𝑛

Sendo:

SSTOT= ��yEX(i) − y�EX�² 𝑛

i=1

RMAE maxi�yRS(i)− yEX(i)�

𝜎�RS

SSE = ��yEX(i)− yRS(i)�² 𝑛

i=1

RAAE ∑ �y𝑛i=1 RS(i)− yEX(i)�

𝑛 𝜎�RS

y�EX =1_{n � y}EX(i) 𝑛 i=1

i= 1,…,n

As equações dos principais métodos de validação estão compiladas na Tabela 2.2. Para este trabalho foi escolhida a abordagem com experimentos adicionais para verificação e o R2 como

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métrica para avaliar a qualidade do modelo. Vale ressaltar que, como o metamodelo proposto utiliza um coeficiente de participação para cada modo utilizado para descrever cada modo de interesse da estrutura, será calculado um R2 para cada um desses coeficientes. De posse desses dados, espera-se obter uma ideia da qualidade da aproximação individual dos coeficientes. Porém, a qualidade global da predição dos modos e frequências naturais não poderá ser avaliada com essas métricas.

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