3.2 Teoria e formulação usada no software "MSC Adams"
3.2.5 Análise Dinâmica
3.2.5.1 Definições, convenções e nomenclatura
Para além das definições e notações introduzidas no início deste capítulo, as seguintes quan- tidades irão ser utilizadas na formulação das equações de movimento do corpo rígido:
M- Matriz de massa generalizada; ¯
J - Matriz de inércia generalizada expressa sobre o referencial principal local K- Energia cinética, definida como:
K = 1 2u
TM.u + 1
2ω
T.J.ω (3.48)
λ ∈ Rm - Matriz dos multiplicadores de Lagrange. O número m de multiplicadores de Lagrange é determinado pelo número de equações de restrição induzidas por juntas de ligação de um corpo com outros corpos do sistema.
F (q, ˙q,t)∈ R6- Forças generalizadas que atuam num corpo. Obtidas através da projeção da força aplicada F nas coordenadas generalizadas. Tipicamente:
Q = (ΠP)Tf (ΠR)Tn (3.49) Onde vP é a velocidade do ponto de aplicação (p) da força externa, os operadores de proje-
ção são calculados computacionalmente como: ΠP = ∂v
p
∂u (3.50)
ΠR= ∂ω
∂ζ (3.51)
3.2.5.2 Formulação das equações de movimento
A formulação de Lagrange das equações de movimento leva às seguintes equações diferen- ciais de segunda ordem, [33]:
d dt " ∂K ∂ ˙q T# − ∂K ∂q T + ΦTqλ = Q (3.52)
Considerando a escolha de coordenadas generalizadas; isto é, na definição de q como na equação (3.19), a equação (3.52) é reescrita para um corpo rígido como, [33]:
42 CAPÍTULO 3. SOFTWARE DE MBD - MSC ADAMS d dt ∂K ∂u T ∂K ∂ζ T − ∂K ∂p T ∂K ∂ε T + ΦTpλ ΦTελ = (ΠP)Tf (ΠR)Tn (3.53)
É importante salientar que quando se lida com um sistema com muitos corpos rígidos liga- dos por meio de articulações, as equações de movimento do sistema (EOM- Equation Of Moti- ons) são obtidas simplesmente pela junção do conjunto das equações de movimento dos corpos no sistema, [31,33]. Desde que: d dt ∂K ∂u T = M ˙u (3.54) ∂K ∂p T = 0 (3.55)
Com o momento angular definido como: Γ ≡ ∂K
∂ζ = B
TJ Bζ (3.56)
Agora esta-se em condições de reformular a equação (3.53) como:
M ˙u + ΦTpλ = (ΠP)Tf (3.57) ˙ Γ −∂K ∂ε + Φ T ελ = (ΠR)Tn (3.58)
As equações diferenciais de primeira ordem (equação (3.57) e (3.58)) são chamadas no que se segue de equações diferenciais cinéticas, e elas indicam como determinar as forças externas, a variação temporal da translação e momentos angulares, [31].
Finalmente, o tempo de variação das coordenadas generalizadas está relacionado com a quantidade de movimento de translação e angular por meio das equações diferenciais cinemá- ticas. Ao reunir as equações diferenciais cinéticas e cinemáticas o software "MSC Adams" gera um conjunto de quinze equações para cada corpo rígido que fornecem as informações necessá- rias para se encontrar uma solução numérica para a análise dinâmica de um sistema mecânico, [33]. Estas equações são as seguintes:
M ˙u + ΦTpλ − (ΠP)Tf = 0 (3.59) Γ − BTJ Bζ = 0 (3.60) ˙ Γ −∂K ∂ε + Φ T ελ − (ΠR)Tn = 0 (3.61) ˙ p − u = 0 (3.62) ˙ ε − ζ = 0 (3.63)
3.2. TEORIA E FORMULAÇÃO USADA NO SOFTWARE "MSC ADAMS" 43 3.2.5.3 Solução numérica para uma análise dinâmica, Computação do jacobiano
As equações (3.59) até à (3.63) indicam como as coordenadas generalizadas, forças de re- ação e forças aplicadas mudam ao longo do tempo. O que falta neste conjunto de equações é o facto de que a solução deste sistema de equações diferenciais deve também satisfazer as equações de restrição cinemática da equação (3.27) até equação (3.29). Neste contexto, vale a pena mencionar que este sistema de equações diferenciais e de restrição constitui um sis- tema de equações algébrico-diferenciais (DAE - Differential-Algebraic Equations). As equações algébrico-diferenciais têm um índice associado (índice definido como o número de vezes que as equações devem ser diferenciadas para obter um sistema de equações diferenciais ordiná- rias (ODE ), e a regra diz que quanto maior o índice, mais desafiante a solução numérica se torna, [31]. Posto isto, é necessário resolver este sistema de equações algébrico-diferenciais exis- tindo uma infinidade de métodos para resolver um sistema de equações algébrico-diferenciais. Neste documento apenas são descritos os métodos mais importantes que são usados no software “MSC Adams”.
O sistema de equações algébricas-diferencias (DAE) induzido pelo problema de análise di- nâmica na simulação de sistemas mecânicos tem índice 3, o que é considerado alto. No software “MSC Adams” existem dois métodos mais fiáveis para a solução deste tipo de sistemas. O mais comum é o algoritmo da solução direta de índice 3 (direct index 3 DAE solver), em que as equações diferenciais induzidas pelas equações (3.59) a (3.63) são resolvidas em conjunto com as equações de restrição cinemática de posição daequação (3.27), [31].Um segundo algoritmo, mais refinado reduz o problema original de índice 3 para um problema analiticamente equiva- lente ainda que numericamente diferente com índice 2. Assim, em vez de considerar só a posi- ção, considera-se também as equações de restrição cinemáticas de velocidade (equação (3.28)) e resolve-se juntamente com as equações diferenciais (equação (3.59) até (3.63)), [31]. No software “MSC Adams”, este algoritmo chama-se de algoritmo estabilizador de índice 2 (SI2-stabilized index-2).
Capítulo 4
Projeto de estruturas para motociclos
4.1
Introdução
Os motociclos são veículos que têm várias particularidades do ponto de vista dinâmico que devem ser consideradas durante o seu projeto. Alguns desses aspetos são:
Aderência
De uma forma simples significa a capacidade do motociclo para manter o contacto com a estrada, através dos pneus. Depende principalmente do tipo e tamanho dos pneus, caracterís- ticas da suspensão, do peso, da sua distribuição e da rigidez dos pneus. Um grande inimigo da aderência dos pneus e portanto, do comportamento em estrada, é a variação das forças de con- tacto na interface com o piso. Múltiplos fatores contribuem para este comportamento, sendo o comportamento da suspensão um dos principais fatores nestas variações, [3].
Estabilidade
Existem vários tipos de estabilidade ou instabilidade que podem influenciar o comporta- mento dinâmico de um motociclo. De forma simples a estabilidade é:
• A capacidade de manter o destino da manobra (isto é, continuar em linha reta ou manter a trajetória numa curva), sem a tendência inerente para se desviar do caminho escolhido. Isto inclui, implicitamente, a ausência de oscilações, [3];
• A capacidade de reverter uma manobra destinada quando perturbado por forças exteri- ores (por exemplo impactos com degraus, ventos cruzados e etc.), [3].
Manipulação, aderência e estabilidade são afetados por muitos parâmetros e da interação entre eles.
Movimentos angulares e lineares
Ao se iniciar o estudo do comportamento de qualquer tipo de veículo, o primeiro passo a considerar é o tipo de movimentos que o mesmo pode efetuar. Os movimentos lineares são analisados e percecionados em primeira instância, uma vez que é a direção de deslocamento do motociclo (para a frente e para trás). Adicionalmente, as ondulações da estradas causam o movimento numa direção vertical e o vento pode resultar em movimento lateral. Os movi- mentos angulares são um pouco menos familiares para a maioria das pessoas e por isso são
46 CAPÍTULO 4. PROJETO DE ESTRUTURAS PARA MOTOCICLOS regularmente desconsiderados. Os movimentos angulares globais podem ser completamente descritos por movimentos de rotação sobre três eixos separados. Estes eixos são perpendicula- res entre si e são conhecidos como roll, pitch e yaw, representados na figura4.1.
Figura 4.1: Os três principais eixos de rotação num motociclo, [3].
O movimento de rolamento (roll) é provavelmente o mais conhecido dos três e é o movi- mento mais óbvio que ocorre quando se inclina o motociclo ao longo de trajetórias curvilíneas e relativamente a este eixo pode-se medir o “ângulo de rolamento” (roll angle), [3]. A figura4.1
mostra este eixo de rotação longitudinal que passa através do centro de massa (CoG).
O movimento yaw é o movimento em torno de um eixo vertical e ocorre à medida que o motociclo se movimenta em torno de uma curva, que também pode ser causado por vários distúrbios, tais como o efeito do vento e relativamente a este eixo pode-se medir o “ângulo de guinada” (yaw angle) (figura4.1), [3].
O movimento pitch é o movimento em torno de um eixo horizontal, que passa lateralmente através do motociclo, obtemos este em caso de travagem e de aceleração, assim como a partir de irregularidades da estrada e relativamente a este eixo pode-se medir o “ângulo de inclinação” (pitch angle) (figura4.1), [3].