Análise Envoltória de Dados

Com base nas ideias seminais de Farrell (1957) e Charnes, Cooper e Rhodes (1978) proporcionaram o surgimento da técnica de Análise Envoltória de Dados (Data Envelopment Analysis – DEA), cujo objetivo principal era satisfazer a necessidade de criação de uma ferramenta capaz de avaliar a eficiência relativa de um sistema produtivo com múltiplas variáveis de entradas (input) e saída (output) de forma consistente (FØRSUND; SARAFOGLOU, 2002). A técnica DEA é constituída de modelos de programação matemática que possibilitam o diagnóstico e controle gerencial por meio da medição da eficiência de DMU’s comparáveis entre si (JAIN; TRIANTIS; LIU, 2011).

Esta técnica DEA, como instrumento, viabiliza a identificação dos sistemas produtivos que adotam as melhores práticas e são mais eficientes dentre todas as unidades observadas, por meio de uma fronteira de produção, possibilitando a mensuração das unidades ineficientes, exibindo, ainda, seus benckmarks, ou seja, as unidades tomadas como referência para comparação com as demais (COOK; SEIFORD, 2009).

Apesar de se basear em uma medida relativa, a Análise Envoltória de Dados é uma técnica útil, uma vez que cumpre aos seguintes objetivos: (a) calcular quantitativamente a eficiência de cada

DMU; (b) identificar as fontes e quantidades de ineficiência das DMU’s, em qualquer dimensão de entrada e saída; e (c) auxiliar no estabelecimento de metas para as diversas dimensões que maximizem a eficiência de cada unidade tomadora de decisão. As DMU’s ineficientes podem ser ajustadas, com relação à suas entradas e saídas, para majorar a eficiência (BORENSTEIN; BECKER; PRADO, 2004).

A fim de estimar a eficiência por meio da técnica DEA, torna-se relevante delimitar alguns conceitos indispensáveis ao entendimento do método, tais como:

❖ Unidade Tomadora de Decisão (Decision Making Unit – DMU): são as unidades de produção autônomas observadas na análise de eficiência e podem representar formas diversas de organizações que praticam atividades similares;

❖ Inputs e Outputs: refere-se, respectivamente, aos insumos utilizados na produção e resultados auferidos ao fim do processo;

❖ Fronteira de Eficiência: curva na qual se situam as DMU’s eficientes.

❖ Taxa de Eficiência: valor que, em geral, varia de 0 a 1 originado da razão entre a produtividade observada em uma DMU qualquer e a produtividade máxima que esta mesma unidade tomadora de decisão pode alcançar.

❖ Benchmark: termo que significa “ponto de referência” ou “unidade padrão” para que se estabeleçam comparações entre unidades produtivas, processos, produtos, serviços, etc., com o intuito de viabilizar o estabelecimento de metas para as DMU’s ineficientes a fim de que melhorarem seu desempenho.

Na Figura 3.2 ilustra-se a plotagem de uma fronteira derivada da aplicação da modelagem CCR e BCC, cujo detalhamento será realizado na próxima seção. Resumidamente, a fronteira do modelo CCR tem algumas características como a linearidade e a proporcionalidade entre inputs e outputs. Já a fronteira de produção BCC, contempla outras características como a fronteira côncava.

Figura 3.2 – Fronteira de Eficiência

Verifica-se, a partir da Figura 3.2, que a fronteira separa as DMU’s eficientes (denotadas por A, B, C, D e E) das ineficientes, por classificar as unidades abaixo da curva de eficiência (pontos F, G e H). Assim, possibilita-se a identificação da quantidade máxima de outputs que pode ser produzida por unidade de insumo, estabelecendo, portanto, o limite determinado pela tecnologia de uma DMU.

Dada a complexidade da temática, nas próximas seções serão abordados alguns fatores relevantes acerca da abordagem DEA, sendo apresentados: procedimentos básicos para a seleção de DMU’s; os mecanismos para escolha de variáveis; as modelagens clássicas; e a modelagem dinâmica de DEA.

3.2.1 Procedimentos básicos para seleção de DMU’s

A “regra de ouro” proposta Golany e Roll (1989) e Dyson et al. (2001) é que o total de DMU’s seja igual ou superior ao dobro do número de inputs e outputs combinados. O cumprimento dessas “regras” não são consideradas de caráter obrigatório, mas muitas vezes são usadas por conveniência (COOK; TONE; ZHU, 2014).

Deve-se ressaltar que, enquanto nas análises de regressão a magnitude da amostra pode representar um fator crítico para confiabilidade dos resultados obtidos, à medida em que objetiva estimar o desempenho médio das unidades produtivas; a técnica DEA, quando usada como uma ferramenta de benchmarking, foca na performance individual de cada DMU. Por esta razão, não é necessário estabelecer qualquer exigência quanto ao tamanho da amostra na abordagem DEA, que precisa ser vista como um instrumento de avaliação comparativa de desempenho individual das unidades observacionais (COOK; TONE; ZHU, 2014).

Em alguns casos, mais especificamente quando há uma quantidade excessiva de entradas e saídas, pode ocorrer que uma parcela significativa de DMU’s encontrem-se situadas na fronteira de eficiência. Se o objetivo for reduzir o número de unidades produtivas eficientes, uma alternativa possível é empregar restrições de peso ou, simplesmente, adotar outras abordagens DEA que possibilitem o alcance desta meta (ALLEN et al., 1997; COOPER; SEIFORD; ZHU, 2011).

Embora inexista uma maneira específica ou modelo pelo qual possa ser garantida a confiabilidade total em todas as medidas de desempenho, em função da diversidade de aplicações possibilitadas pela técnica DEA, Golany e Roll (1989) propõem um conjunto detalhado de procedimentos para selecionar DMU’s e recursos de entrada e saídas. Para o autor é necessário, inicialmente, escolher conjuntos homogêneos de unidades produtivas observáveis. Entende-se por conjuntos homogêneos: o agrupamento de DMU’s cujas variáveis (tanto de input quanto de output) são idênticas, a não ser por diferenciais relativos à intensidade. Em outras palavras, refere-se à grupos de unidades de produção que realizam atividades comparáveis visando a obtenção de objetivos e metas similares. Após a realização deste primeiro passo, deve-se definir o tamanho do conjunto.

Seguindo recomendação de Cooper, Sieford e Tone (2007), para esta pesquisa, considera-se que se a quantidade de DMU’s é 𝑁, o número de variáveis de input é 𝑚 e o de variáveis de output é 𝑠, o total de unidades operacionais precisa ser, no mínimo, três vezes maior que a multiplicação de inputs e outputs ou maior que o triplo do quantitativo de entradas e saídas combinadas, conforme a Equação 3.4.

𝑁 > 𝑀á𝑥 {𝑚 × 𝑠 ; 3(𝑚 + 𝑠)} (𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 3.4)

heterogeneidade pode prejudicar a consistência dos resultados obtidos a partir da estimação da eficiência por meio da abordagem DEA.

3.2.2 Método de seleção de variáveis

O procedimento de seleção de variáveis em DEA não estabelece regras específicas para escolhas de recursos de entrada e saída, ao invés disso, a seleção de variáveis são efetuadas sob o critério de julgamento do usuário da técnica (NATARAJA; JOHNSON, 2011).

A problemática da seleção das variáveis de input e output utilizadas na aplicação de modelos DEA tem sido debatida em diversos contextos. Significativa parte dos estudos publicados, apresenta a abordagem da escolha de variáveis a partir da opinião de especialistas ou mesmo da disponibilidade de informações (SENRA et al., 2007). Para Thanassoulis (1996), a alteração no grupo de variáveis selecionadas pode influenciar nos resultados da avaliação de desempenho. Logo, a discussão acerca dos métodos de escolha de variáveis torna-se crucial na aplicação da modelagem DEA.

As técnicas de escolha de variáveis podem ser usadas tanto para facilitar a identificação e exclusão de informações irrelevantes, quanto para inserir no modelo inputs e outputs considerados importantes ao estudo. Alicerçados nesta ideia, Dyson et al. (2001) destacam a influência negativa dos erros de especificação do modelo nos resultados das estimativas obtidas a partir da Análise Envoltória de Dados.

Diversas estratégias de seleção de variáveis foram apresentadas na literatura acadêmica ao longo dos anos, dentre as quais, encontram-se: (𝑎) Analytic Hierarchy Process – AHP (SAATY, 1987; 1990); (𝑏) testes de hipóteses com base em DEA (BANKER, 1996); (𝑐) mensuração para a contribuição da eficiência – ECM (PASTOR, 1996; PASTOR; RUIZ; SIRVENT, 2002); (𝑑) Análise de componentes principais – PCA (ADLER; GOLANY, 2001); (𝑒) Bootstrapping (SIMAR; WILSON, 1998; 2001); (𝑓) Análise de regressão e correlação (GOLANY; ROLL, 1989; JENKINS; ANDERSON, 2003); e (𝑔) Stepwise (WAGNER; SHIMSHAK, 2007; SHARMA; YU, 2015).

Entretanto, antes de exibir qualquer método, é preciso considerar que o fato de uma alteração no conjunto de variáveis escolhidas conduzir a resultados distintos não deve ser visto como uma limitação da abordagem DEA, pois selecionar variáveis distintas significa considerar uma

outra dimensão do problema. Portanto, segundo Senra et al. (2007), recomenda-se que seja efetuada uma análise prévia das informações disponíveis com base na literatura a fim de fornecer maior suporte a pesquisa.

Lins e Angulo Meza (2000) defendem que, o uso de métodos para escolher inputs e outputs quando há um grande número de DMU’s e uma quantidade reduzida de variáveis é desnecessário, tendo em vista que a utilização do total de variáveis pré-selecionadas não constitui fato gerador de inconsistências na modelagem DEA. No entanto, caso o quantitativo de unidades de observação seja exíguo torna-se inviável a aplicação das modelagens básicas de Análise por Envoltória de Dados. Nestas situações, as técnicas de seleção de variáveis surgem como ferramentas de auxílio à decisão muito importante.

O desenvolvimento dos métodos de seleção de variáveis visa, portanto, proporcionar maior confiabilidade aos resultados obtidos. Independente da técnica adotada pra este fim, deve-se considerar, inicialmente, a relevância e a contribuição concedida pela variável ao objeto de análise, posto que a credibilidade dos resultados do estudo fundamentam-se nesta essência; a ausência de variáveis relevantes consiste na primeira armadilha do processo de seleção (DYSON et al., 2001).

Um método de escolha de variáveis composto de três estágios foi proposto por Golany e Roll (1989): (𝑖)Judgmental screenin; (𝑖𝑖)non-DEA quantitative analysis; (𝑖𝑖𝑖) DEA based analysis. O primeiro está associado à discriminação entre entradas e saídas determinantes de eficiência e variáveis que explicam a ineficiência, que pode ser solucionada por meio do exame da causalidade. Em seguida, o segundo estágio indica o uso de análise regressões para definir se uma variável deve ser entrada ou saída. O terceiro estágio, enunciado também por Charnes, Cooper e Rhodes (1978), pode ser empregado para detectar quais variáveis precisam ser retiradas da amostra por não agregar informações relevantes ao modelo.

Amparado no princípio da isonomia entre as variáveis explicativas, um modo simplificado de seleção de informações é aliar a análise de correlação simples com a Análise Envoltória de Dados, tal como Norman e Stoker (1991), que por meio de um procedimento iterativo identifica, simultaneamente, os inputs e outputs primordiais e estima medidas de ineficiência dos sistemas produtivos.

Para Jenkins e Anderson (2003), a análise de correlação viabiliza a eliminação de variáveis auto-correlacionadas. Contudo, deve-se ter cuidado na medida em que um alto grau de correlação entre as variáveis do modelo não significa, necessariamente, que exista uma relação de causalidade. Nesse aspecto, análises multivariadas representam uma alternativa para a detecção de variáveis omitidas. Como já mencionado, a ausência de variáveis relevantes pode impactar negativamente na confiabilidade dos resultados obtidos.

A opção de método de seleção sujeita-se ao contexto sob o qual a técnica DEA é utilizada e, também, ao critério de julgamento do usuário, uma vez que cada escolha possível pode apresentar vantagens e desvantagens em relação aos vários fatores. Por esse motivo, algumas pesquisas detiveram-se a efetuar análises comparativas entre métodos usados para selecionar variáveis (SIRVENT et al., 2005; ADLER; YAZHEMSKY, 2010; NATARAJA; JOHNSON, 2011).

Sirvent et al. (2005) estudaram os testes de hipóteses amparados em DEA sugeridos por Banker (1996) e a medida para a contribuição da eficiência (ECM) proposta por Pastor (1996) e Pastor, Ruiz e Sirvent (2002) por meio da simulação de Monte Carlo. De acordo com os resultados obtidos pelos autores, a técnica ECM é robusta para especificação do tipo de retorno à escala, da distribuição de ineficiência e, em geral, também é a mais indicada a identificação de variáveis relevantes e não relevantes.

De semelhante modo, Adler e Yazhemsky (2010) usaram a simulação de Monte Carlo com a finalidade de confrontar a técnica de análise de componentes principais empregada em DEA (PCA-DEA), enunciado por Adler e Golany (2001), e o método de redução de variáveis fundamentado em covariância parcial de Jenkins e Anderson (2003).

A investigação realizada por Adler e Yazhemsky (2010) permitiu concluir que o PCA-DEA produz resultados, consistentemente, mais acurados que o método de redução de variáveis, pois o essa técnica desconsidera um variável por inteiro, ao passo que o PCA-DEA preserva uma determinada quantia de informações acerca de todas as variáveis. Ademais, o PCA-DEA mostrou-se um procedimento interessante mesmo diante de alterações na distribuição inicial dos dados e da ineficiência, da função de produção e dos erros de especificação do modelo, principalmente quando a amostra de dados é reduzida.

DEA; (𝑖𝑖𝑖) bootstrap; e (𝑖𝑣) método de regressão de Ruggiero (2005). Os autores concluíram que o ECM reage satisfatoriamente na maior parte dos casos e, quando há um baixo nível de correlação, proporciona a identificação da contribuição dos recursos de input nos outputs alcançados.

Assim como Adler e Yazhemsky (2010), o estudo de Nataraja e Johnson (2011), também permitiu considerar o método PCA-DEA robusto em relação às demais técnicas testadas, por manter informações sobre cada uma das variáveis originais. Contudo, o método ECM apresentou melhores resultados para grandes amostras. A abordagem bootstrap, busca minimizar o viés no cálculo do indicador de eficiência e proporcionar a construção de intervalos de confiança (IC) para o escore de eficiência (SIMAR; WILSON, 1998, 2011).

Lins e Moreira (1999) e Wagner e Shimshak (2007) refinaram o método de (NORMAN; STOKER, 1991) e propuseram variantes da técnica, denominada de Stepwise. Esta abordagem parte de um par inicial de variáveis de entrada e saída, adicionando outras variáveis progressivamente, realizando o cálculo do ranking de eficiência na medida em que se acrescenta variáveis (WAGNER; SHIMSHAK, 2007).

Deve-se destacar que, a performance dos diversos métodos de seleção de variáveis pode ser diferente, mesmo que sejam aplicados em condições similares (NATARAJA; JOHNSON, 2011). Portanto, a escolha da técnica de seleção com melhor ajuste para detecção de variáveis relevantes e irrelevantes durante o processo produtivo precisa considerar a robustez proporcionada por cada método no que se refere à fatores como: dimensionalidade, correlação, magnitude da amostra, tipo de retorno de escala (constante ou variável), distribuição de ineficiência e, por fim, o tempo de execução e a facilidade de implementação (SIRVENT et al., 2005; NATARAJA; JOHNSON, 2011).

3.2.3 Modelos clássicos de DEA

As abordagens clássicas utilizam-se de diferentes modelagens na aplicação da Análise Envoltória de Dados. A distinção entre os modelos decorre dos pressupostos adotados que são associados a diversos fatores, como: (𝑎) ao tipo de retorno de escala; (𝑏) à orientação; e (𝑐) ao modo de combinar inputs e outputs. A denominação dos dois principais modelos de DEA advém do tipo de retorno de escala, que são: (𝑖) o CCR criado por Charnes, Cooper e Rhodes

(1978) e (𝑖𝑖) o BCC idealizado por Banker, Charnes e Cooper (1984).

A hipótese de retornos constantes de escala admite que os outputs variam proporcionalmente aos inputs em todos os pontos da fronteira. Em outra perspectiva, ao adotar o pressuposto de retornos variáveis de escala, considera-se que não há necessidade dos outputs variarem proporcionalmente em relação aos inputs. Neste caso, a fronteira exibirá três regiões: (1) crescente, na qual os outputs aumentam proporcionalmente mais que os inputs; (2) constante, em que outputs e inputs variam na mesma proporção; e (3) decrescente, em que a variação do produto é proporcionalmente menor em relação à variação do insumo.

Cabe salientar também a hipótese de retornos híbridos de escala, que pressupõe a existência de apenas duas regiões na fronteira: (1) crescente e constante, presentes no modelo IRS (Retornos Crescentes de Escala – Increasing Returns to Scale) e (2) constante e decrescente, como no modelo DRS (Decrescente de Escala – Decreasing Returns to Scale) (COOPER; SIEFORD; TONE, 2007).

A orientação pode se apresentar duas maneiras: (𝑎) radial, como nos modelos CCR, BCC, IRS e DRS; e (𝑏) não-radial, encontrada nos modelos aditivos e multiplicativos. As modelagens radiais objetivam a minimização do consumo de insumos ou a maximização do produto separadamente, sendo que: (𝑖) modelos orientados ao input buscam estabelecer, dado o nível de outputs, para quanto os inputs poderiam ser diminuídos; e (𝑖𝑖) modelagens com orientação ao output visam determinar, dado o nível atual de insumos, para quanto os outputs poderiam ser ampliados (MARIANO; SOBREIRO; REBELATTO, 2015).

Nos modelos cuja orientação é não-radial, procura-se reduzir inputs e incrementar os outputs simultaneamente até que a DMU alcance a fronteira de eficiência. A diferença do modelo Aditivo, enunciado por Charnes et al. (1985), para o modelo Multiplicativo, proposto por Charnes et al. (1982), é que o primeiro, bem como todos os demais mencionados, supõe entradas e saídas virtuais originadas a partir de combinações lineares, enquanto o segundo parte da hipótese que a combinação entre inputs e outputs é geométrica, ou seja, não-linear (multiplicativa) (MARIANO, 2012). No Quadro 3.2 encontram-se algumas das suposições assumidas pelos modelos DEA citados nesta seção.

Por fim, vale mencionar que existem duas maneiras de representar a formulação matemática de programação linear referente à Análise Envoltória de Dados: (𝑖) a forma primal ou dos

multiplicadores; e, (𝑖𝑖) a forma dual ou do envelope. O modelo primal possibilita que, além da eficiência, obtenha-se os pesos de cada recurso de entrada e saída. A forma do envelope, por sua vez, permite que se obtenham as metas a serem alcançadas e aponta as possíveis DMU’s que adotam as melhores práticas e que, por isso, devem ser tomadas como referências (benchmarks) para as demais unidades ineficientes (MARIANO, 2012).

Quadro 3.2 – Comparação entre modelos de Análise Envoltória de Dados

Modelos R et o rn o s de E sc a la C o n st a n te V a ri á v el Hí b ri d o (c o n st a n te e cre sc en te ) Hí b ri d o ( co n st a n te e d ec re sce n te ) Ori en ta çã o R a d ia l N ã o -r a d ia l C o mbi n a çã o e n tr e os i n p u ts e o u tp u ts L in ea r M u lt ip li ca ti v o CCR BCC IRS DRS Aditivo Invariante Aditivo Variante Multiplicativo Invariante Multiplicativo Variante

Merece destaque o fato de que, de acordo com o teorema da dualidade, os valores ótimos das funções-objetivo do modelo primal e do dual são idênticos em todos os casos, desde que as soluções ótimas existam. Assim, torna-se possível traduzir os valores das soluções das variáveis do programa primal nas soluções do programa dual, e vice-versa.

Chiang e Wainwright (1982) estabeleceram os seguintes passos de procedimento para a transformação de um programa primal em dual: (𝑖)trocar “maximizar” por “minimizar”, e vice- versa. Logo, o maximizando ou minimizando da formulação primal torna-se um minimizando ou maximizando da modelagem dual; (𝑖𝑖) os sinais de desigualdade da abordagem primal necessitam ser invertidos nas restrições do modelo dual, ainda que os sinais ≥ das condições de não-negatividade não sejam modificados; (𝑖𝑖𝑖) a matriz de coeficientes das restrições do dual deve tomar a transposta da matriz de coeficientes das restrições da formulação primal; e (𝑖𝑣) o vetor linha dos coeficientes na função-objetivo do modelo primal torna-se, logo após a transposição, o vetor coluna de constantes nas restrições do modelo dual.

No Quadro 3.3 são representados os problemas de programação linear referentes aos modelos CCR e BCC, tanto na orientação ao input quanto ao output e nas formulações, primal e dual.

Quadro 3.3 – Modelos radias de DEA na forma primal e dual

Modelo Forma primal Forma dual

CCR (orientado ao input) 𝑀𝑎𝑥 ∑ 𝑢𝑖 𝑚 𝑖=1 ∙ 𝑦𝑖0 Sujeito a: ∑ 𝑣𝑗∙ 𝑥𝑗0= 1 𝑛 𝑗=1 ∑ 𝑢𝑖 𝑚 𝑖=1 ∙ 𝑦𝑖𝑘− ∑ 𝑣𝑗 𝑛 𝑗=1 ∙ 𝑥𝑗𝑘≤ 0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1, 2, … , 𝑧 𝑢𝑖, 𝑣𝑗≥ 0 , 𝑖 = 1, … , 𝑚; 𝑗 = 1, … , 𝑛 𝑀𝑖𝑛 𝜃 Sujeito a: ∑ 𝑥𝑗𝑘∙ 𝜆𝑘 𝑧 𝑘=1 − 𝜃 ∙ 𝑥𝑗0≤ 0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 1, … , 𝑛 ∑ 𝑦𝑖𝑘∙ 𝜆𝑘≥ 𝑦𝑖0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 𝑘=1 𝑖 = 1, … , 𝑚 𝜆𝑘 𝑒 𝜃 ≥ 0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1, 2, … , 𝑧 CCR (orientado ao output) 𝑀𝑖𝑛 ∑ 𝑣𝑗 𝑚 𝑗=1 ∙ 𝑥𝑗0 Sujeito a: ∑ 𝑢𝑗∙ 𝑦𝑖0= 1 𝑛 𝑗=1 ∑ 𝑢𝑖 𝑚 𝑖=1 ∙ 𝑦𝑗𝑘− ∑ 𝑣𝑗 𝑛 𝑗=1 ∙ 𝑥𝑗𝑘≤ 0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1, 2, … , 𝑧 𝑢𝑖, 𝑣𝑗≥ 0 , 𝑖 = 1, … , 𝑚; 𝑗 = 1, … , 𝑛 𝑀𝑎𝑥 𝜂 Sujeito a: ∑ 𝑥𝑗𝑘∙ 𝜆𝑘≥ 𝑥𝑗0 , 𝑧 𝑘=1 𝑗 = 1, … , 𝑛 ∑ 𝑦𝑖𝑘 𝑛 𝑗=1 𝜆𝑗≥ 𝑦𝑖0∙𝜂 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 𝜆𝑘 𝑒 𝜂 ≥ 0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1, 2, … , 𝑧 BCC (orientado ao input) 𝑀𝑎𝑥 ∑ 𝑢𝑖 𝑚 𝑖=1 ∙ 𝑦𝑖0+ 𝑤 Sujeito a: ∑ 𝑣𝑗∙ 𝑥𝑗0= 1 𝑛 𝑗=1 ∑ 𝑢𝑖 𝑚 𝑖=1 ∙ 𝑦𝑖𝑘+ 𝑢̈ − ∑ 𝑣𝑗 𝑛 𝑗=1 ∙ 𝑥𝑗𝑘≤ 0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1, 2, … , 𝑧 𝑢𝑖, 𝑣𝑗≥ 0 , 𝑖 = 1, … , 𝑚; 𝑗 = 1, … , 𝑛 𝑤 𝑠𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙̈ 𝑀𝑖𝑛 𝜃 Sujeito a: ∑ 𝑥𝑗𝑘∙ 𝜆𝑘 𝑧 𝑘=1 − 𝜃 ∙ 𝑥𝑗0≤ 0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 1, … , 𝑛 ∑ 𝑦𝑖𝑘∙ 𝜆𝑘≥ 𝑦𝑖0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 𝑘=1 𝑖 = 1, … , 𝑚 ∑ 𝜆𝑘= 1 𝑧 𝑘=1 𝜆𝑘 𝑒 𝜃 ≥ 0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1, 2, … , 𝑧 BCC (orientado ao output) 𝑀𝑖𝑛 ∑ 𝑣𝑗 𝑚 𝑗=1 ∙ 𝑥𝑗0− 𝑤 Sujeito a: ∑ 𝑢𝑖∙ 𝑦𝑖0= 1 𝑛 𝑗=1 ∑ 𝑢𝑖 𝑚 𝑖=1 ∙ 𝑦𝑗𝑘+ 𝑣̈ − ∑ 𝑣𝑗 𝑛 𝑗=1 ∙ 𝑥𝑗𝑘≤ 0 , , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1, 2, … , 𝑧 𝑢𝑖, 𝑣𝑗≥ 0 , 𝑖 = 1, … , 𝑚; 𝑗 = 1, … , 𝑛 𝑤 𝑠𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙̈ 𝑀𝑎𝑥 𝜂 Sujeito a: ∑ 𝑥𝑗𝑘∙ 𝜆𝑘≥ 𝑥𝑗0 , 𝑧 𝑘=1 𝑗 = 1, … , 𝑛 ∑ 𝑦𝑖𝑘 𝑛 𝑗=1 𝜆𝑗≥ 𝑦𝑖0∙𝜂 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 ∑ 𝜆𝑘= 1 𝑧 𝑘=1 𝜆𝑘 𝑒 𝜂 ≥ 0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1, 2, … , 𝑧

Em que:

𝜃 = Eficiência da unidade produtiva em análise; 𝑢𝑖 = peso calculado para o output"𝑖";

𝑣_𝑗 = peso calculado para o input"𝑗";

𝑥_𝑗0 = Quantidade do input"𝑗" da DMU em análise; 𝑦_𝑖0 = Quantidade do output "𝑖" da DMU em análise; 𝑥𝑗𝑘 = Quantidade do input"𝑗" da DMU "𝑘";

𝑦𝑖𝑘 = Quantidade do output "𝑖" da DMU "𝑘";

𝜆_𝑘= Contribuição da DMU "𝑘" para a DMU em análise; 𝜂 = Inverso da eficiência da DMU em análise;

𝑧 = Número de unidades produtivas observáveis em avaliação; 𝑚 = Número de outputs;

𝑛 = Número de inputs;

𝑤 = coeficiente de retorno a escala.A interpretação de𝑤: 𝑖) 𝑤 > 0: exibe retornos decrescentes de escala;

𝑖𝑖) 𝑤 = 0: exibe retornos constantes de escala; 𝑖𝑖𝑖) 𝑤 < 0: exibe retornos crescentes de escala.