4. Comportamento de pós-encurvadura
4.2. Análise por elementos finitos
4. Comportamento de pós-encurvadura
4.1. Introdução
No capítulo anterior discutiram-se cargas e modos de encurvadura, os quais dizem respeito ao problema bifurcacional numa coluna “perfeita”, i.e., a uma situação em que se passa de uma configuração sem deslocamentos iniciais para fora do eixo da peça linear para outra com os referidos deslocamentos. No entanto, as estruturas reais apresentam de uma forma geral imperfeições que, quando o equilíbrio na estrutura é considerado na sua posição deformada, potenciam o desenvolvimento de deslocamentos antes de se atingir a carga crítica – a isto corresponde a designação de análise geometricamente não-linear. Por outro lado, o facto do próprio material apresentar um ponto limite, a partir do qual deixa de ser válida a relação elástica linear entre tensões e deformações (cedência), contribui para a não-linearidade, neste caso física, do problema.
No presente capítulo, procura conhecer-se a resposta geométrica e fisicamente não-linear de colunas biencastradas concentricamente comprimidas, as quais se separam de acordo com o modo crítico que apresentam: local ou flexo-torsional.
4.2. Análise por elementos finitos
4.2.1. Escolha dos perfis a analisar
A escolha dos perfis baseia-se em três objectivos:
1. Estudar o comportamento de pós-encurvadura para diferentes tipos de encurvadura no modo crítico (local e flexão-torção, este último para diferentes participações da flexão na maior inércia).
2. Compreender a importância da interacção de modos de encurvadura “não-críticos” (como o modo distorcional e a flexão na menor inércia) no colapso da coluna e do comportamento em “pontos de transição” entre modos (ex: passagem do modo local para o de flexão-torção).
3. Obter uma boa distribuição de valores de cargas últimas, bem distribuídas em relação à esbelteza; tal implica a escolha de valores de esbelteza normalizada que cubram o “range” obtido na análise linear de encurvadura.
Para tal adopta-se a cantoneira com abas de dimensões de 70 mm e 1,2mm de espessura, que se mantém constante ao longo de toda a análise e faz-se variar as dimensões dos reforços e comprimentos das colunas por forma a fazer variar a esbelteza. O objectivo do recurso à esbelteza normalizada está ligado ao facto de se pretender obter resultados passíveis de serem transpostos para colunas com outras dimensões, o que implica uma relação entre a resistência dos perfis e a sua esbelteza (esta condição será objecto de estudo mais adiante).
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Á luz da análise de estabilidade realizada anteriormente, a escolha da dimensão dos “lips” conduz a que se adoptem valores:
i. Reduzidos, de forma a estudar a “passagem” de cantoneira simples para a reforçada. ii. Intermédios, onde se pretende captar os diferentes tipos de comportamento ( carga
crítica local ou de flexão-torção)
iii. Moderadamente elevados, com um valor máximo de 22mm, a partir do qual passa a ser o reforço passa a ser o elemento condicionante na instabilidade da cantoneira. Os valores escolhidos foram: l= 2, 6, 12, 18 e 22 mm e correspondem a reforços correspondentes a 2,86%, 8,57%, 17,14%, 25,71% e 31,43% da dimensão das abas.
Os valores dos comprimentos foram escolhidos de forma a ser representativos de situações correntes e realísticas e ainda de forma a obter diferentes valores de esbelteza normalizada e comportamentos diferentes no modo crítico. Os valores escolhidos foram: L = 600, 800, 940, 1000, 1300, 1500, 2500 e 3500 mm.
Toda a informação relevante dos perfis analisados encontra-se resumida na tabela do Anexo B. Dos resultados aí apresentados, realça-se o valor da esbelteza normalizada “base”, que foi calculada para um aço S235 (fy=235 MPa) de acordo com:
𝜆̅ = √𝑓𝑦 𝜎𝑐𝑟
(4.1)
Figura 4. 1 - Perfis escolhidos assinalados na curva de estabilidade de colunas biencastradas. 0 50 100 150 200 250 300 350 10 100 1000 σ cr [ M Pa] L [cm]
Perfis escolhidos - curva de estabilidade F-F
L0 L2 L6 L12 L18 L22
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4.2.2. Modelação por elementos finitos
O programa ABAQUS permite analisar, com relativa facilidade, problemas mecânicos (e não só) extremamente complexos. Para o efeito, o programa recorre ao método dos elementos finitos para resolver sistemas numéricos com um elevado número de variáveis, correspondentes aos graus de liberdade associados à malha e ao carregamento definidos pelo utilizador.
Uma vez que no caso presente se pretende estudar a estabilidade e comportamento geométrica e fisicamente não-linear de elementos susceptíveis a deformação local das paredes, consequência da sua elevada esbelteza, a modelação foi realizada com recurso a elementos de casca de quatro nós, designados elementos S4.
Relativamente às condições de apoio de duplo encastramento, estas foram conseguidas unindo os nós dos elementos que constituem as secções de extremidade a um nó auxiliar, por meio de elementos rígidos de três nós (designação: R3D3), que foi posteriormente impedido de rodar nas três direcções e de se deslocar em todas as direcções excepto o eixo da cantoneira. A coluna foi então impedida de se deslocar no seu eixo, bloqueando esses deslocamentos num nó da secção de meio-vão. As condições de apoio foram assim definidas de forma a (i) garantir a simetria da deformada e (ii) permitir a aplicação do carregamento nas extremidades da coluna. A aplicação do carregamento de compressão foi feita através de uma “carga de faca” (FL-1
) aplicada nos elementos de extremidade e com valor igual à espessura da secção, o que equivale a uma tensão unitária.
Figura 4. 2 - Interface do programa ABAQUS e tipo de coluna analisada com malha de EF discretizada. Importa referir que a modelação da coluna foi realizada, não recorrendo ao interface gráfico do programa, mas antes através de ficheiros de texto que serviram como “input” (ficheiros INP) dos dados do problema. Assim, a implementação da geometria correspondeu à definição das coordenadas de determinados nós e elementos finitos das secções extremas e geração automática dos restantes. Quanto ao número de elementos finitos usados, todas as secções foram modeladas com 18 elementos, o que corresponde a 19 nós por secção, e procurou ter-se elementos finitos com iguais dimensões nas duas direcções (apenas nas abas), o que conduziu a um total de 1080, 1440, 1692, 1800, 2700, 4500 e 6300 elementos S4 para colunas com 600, 800, 940, 1000, 1500, 2500 e 3500 milímetros de comprimento, respectivamente.
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Figura 4. 3 - Ficheiros de texto usados como input do programa ABAQUS.
No que toca às imperfeições geométricas utilizadas nas análises não-lineares do presente capítulo, estas foram geradas a partir da configuração deformada dos modos críticos detectados numa análise linear de estabilidade inicial, a qual gerou um ficheiro (ficheiros FIL) com essa informação para utilização posterior em análises de pós-encurvadura. As configurações das imperfeições vêm normalizadas, i.e., têm valor máximo de deslocamentos igual a 1 e são posteriormente ajustadas à amplitude requisitada pelo utilizador.
4.2.3. Análises efectuadas e notação
Como já foi referido, o programa ABAQUS revela-se uma ferramenta poderosa para a resolução de vários problemas mecânicos, entre os quais análises lineares e não-lineares de estabilidade. No contexto do comportamento de cantoneiras reforçadas, as análises realizadas dividiram-se entre:
(i) Análises lineares de estabilidade, necessárias para a determinação das imperfeições geométricas do modo crítico das colunas já referidas e para validação do modelo (comparando as cargas críticas com as obtidas pelo programa GBTUL). (ii) Análises geométrica e fisicamente não-lineares, através do método de Riks ([16]),
que são o foco do presente capítulo.
Através destas últimas obtiveram-se trajectórias de pós-encurvadura, elásticas e elasto-plásticas, perfis longitudinais de deslocamentos, distribuições de tensões na secção, configurações deformadas (2D e 3D) e distribuições de deformações plásticas na secção que servem de base para o estudo e compreensão do comportamento em regime não-linear de cantoneiras reforçadas.
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Para que estes resultados fossem possíveis, foi necessário definir os deslocamentos envolvidos na deformação das colunas, assim como estabelecer relações com o sistema de eixos utilizados na análise. Na
Figura 4.4
encontra-se representado, à esquerda e à direita, respectivamente: Configuração da cantoneira e do sistema de eixos originais do programa (x,z) e rodados (com as direcções principais de inércia e a passar no canto da secção –x’,z’); deslocamentos no canto da secção nas direcções de maior e menor inércia (dM e dm, respectivamente) e no centro da aba (correspondentes à flexão local das paredes – δ).
Efeito de uma translação (uz’’) na maior inércia e rotação de torção (β) na secção, assim como a posição inicial e final do centro de corte (xcc e xcc’, respectivamente) e da cantoneira reforçada, onde A, B e C assinalam os cantos da secção.
Figura 4.4 - Notação de eixos, deslocamentos e nós do elemento estudado.
A notação dos eixos e deslocamentos apresentada será a utilizada ao longo da dissertação, enquanto que a referência a perfis e modos de encurvadura será feita através da notação definida no capítulo anterior.
A observação da
Figura 4.4
permite concluir que a rotação, β, e o deslocamento do canto segundo a maior inércia, dM, não são independentes, o que é uma consequência do facto de se ter simetria apenas segundo um eixo. Tal obrigou a que se calculassem as rotações, β, através de dois pontos da secção (admitindo a hipótese dos pequenos deslocamentos):𝛽 =𝑢𝑧
𝐵− 𝑢𝑧𝐴
𝑥𝐵− 𝑥𝐴
(4.2)
No que toca às imperfeições geométricas utilizadas nas análises não-lineares, estas foram tomadas com amplitude igual a 10% da espessura. A escolha desta imperfeição vem do facto de esta ter sido usada em estudos sobre cantoneiras (ver capítulo “Estado da Arte”), pelo que se seguiu a mesma metodologia.