Comportamento e dimensionamento de cantoneiras reforçadas submetidas a compressão

Comportamento e dimensionamento de cantoneiras reforçadas submetidas a compressão

Gonçalo Rebelo da Silva Andrade e Sousa

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Orientadores

Professor Doutor Dinar Reis Zamith Camotim Professor Doutor Pedro Manuel de Castro Borges Dinis

Júri

Presidente: Professor Doutor José Joaquim Costa Branco de Oliveira Pedro Vogais: Professor Doutor Pedro Manuel de Castro Borges Dinis

Professor Doutor Luís Manuel Calado de Oliveira Martins

Novembro de 2015

ii

iii

Agradecimentos

Gostava de agradecer, em primeiro lugar, aos professores doutores Dinar Camotim e Pedro Borges Dinis por toda a ajuda, pela paciência e disponibilidade demostrada e por toda o conhecimento que partilharam comigo.

Agradeço também aos meus pais, por toda a paciência e encorajamento dado ao longo dos anos.

E, por fim, agradeço a todos os colegas e amigos com quem tive o prazer de partilhar estes anos no Instituto Superior Técnico.

iv

Resumo

A presente dissertação apresenta um estudo sobre o comportamento e dimensionamento de cantoneiras reforçadas de abas iguais submetidas a compressão concêntrica.

Começam-se por rever alguns conceitos de estabilidade, fundamentais para a compreensão do comportamento destes elementos, e o trabalho realizado por alguns investigadores no domínio da estabilidade, pós-encurvadura e resistência última de cantoneiras e cantoneiras reforçadas. Faz-se ainda referência ao dimensionamento de colunas pelo Método da Resistência Directa (MRD) e a curvas alternativas propostas por outros autores.

Apresenta-se uma análise linear de estabilidade, para colunas com diversas condições de apoio e para diferentes características geométricas da secção transversal, com o objectivo de recuperar os resultados obtidos por outros autores em estudos semelhantes e estudar os modos e tensões críticas associadas à instabilidade das colunas estudadas. Avalia-se também, através de trajectórias de equilíbrio, deslocamentos, distribuições de tensões e deformações plásticas e deformadas da secção, o comportamento física e geometricamente não-linear de colunas biencastradas com imperfeições geométricas iniciais correspondentes à configuração deformada do modo crítico. Ao longo das análises, é discutida a influência do reforço no comportamento e resistência das cantoneiras.

Finalmente, comparam-se valores obtidos para a resistência última (através do programa ABAQUS) de colunas biencastradas com as resistências estimadas através do Método da Resistência Directa.

Palavras-chave: Cantoneiras reforçadas com abas iguais, Análise de Estabilidade, Colunas Encastradas, Resistência última e dimensionamento, Método da Resistência Directa.

v

Abstract

This master’s thesis presents a study on the behaviour and design of concentrically compressed equal leg lipped angles.

This work starts off with the revision of some important concepts related to structural stability and of the research work of several authors on the stability, post-buckling and resisting capacity of plain and lipped steel angles. References are made to the design of columns by the Direct Strength Method (DSM) and alternative expressions proposed by other authors.

A linear stability analysis on columns with different boundary conditions and cross-section properties are presented with the goal of observing some already known results and assessing critical modes and stresses associated with the buckling of those members. Equilibrium paths, displacements, stress and plastic strain distributions are also used to evaluate the physical and geometrically non-linear behaviour of fixed-ended columns with critical mode based imperfections. Throughout the mentioned analysis, the influence of the lip on the behaviour and resistance of angles is discussed.

Finally, ultimate stresses (obtained through ABAQUS) of fixed-ended columns are compared to the estimates provided by the Direct Strength Method.

Keywords: Equal leg lipped angles, Buckling analysis, Fixed-ended columns, Ultimate behaviour and design, Direct Strength Method.

vi

Índice

1. Introdução ... 1

1.1. Enquadramento geral... 1

1.2. Motivação e objectivos ... 3

1.3. Organização da dissertação ... 3

2. Estado da Arte ... 5

2.1. Introdução ... 5

2.2. Fenómenos de estabilidade ... 5

2.2.1. Estabilidade de estruturas laminares ... 5

2.2.1.1. Carga crítica de placas longas ... 5

2.2.1.2. Pós-encurvadura de placas perfeitas ... 6

2.2.1.3. Dimensionamento de elementos localmente esbeltos – largura efectiva ... 8

2.2.2. Instabilidade flexo-torsional ... 9

2.2.2.1. Torção uniforme e não-uniforme ... 9

2.2.2.2. Carga crítica de flexão-torção ... 11

2.3. Comportamento e dimensionamento de cantoneiras ... 12

2.3.1. Estudo paramétrico de uma cantoneira com abas iguais ... 12

2.3.2. Estabilidade de colunas com diferentes condições de apoio ... 13

2.3.3. Comportamento de pós-encurvadura de colunas ... 14

2.3.4. Importância dos deslocamentos no canto da secção ... 17

2.3.5. Comportamento elasto-plástico de pós-encurvadura ... 20

2.3.6. Dimensionamento através do Método da Resistência Directa ... 21

2.4. Comportamento e dimensionamento de cantoneiras reforçadas ... 25

2.4.1. Estudos numéricos ... 25

2.4.2. Estudos experimentais ... 26

2.4.3. Influência das condições de apoio ... 28

2.4.4. Dimensionamento pelo Método da Resistência Directa ... 31

2.4.5. Conclusões ... 32

3. Comportamento de estabilidade ... 33

3.1. Introdução ... 33

3.2. Análise com base na teoria generalizada de vigas ... 33

3.2.1. Teoria generalizada das vigas ... 33

3.2.2. Secção analisada e notação... 34

3.3. Modos e cargas críticas ... 35

3.3.1. Estudo paramétrico ... 35

vii

3.3.2. Modo distorcional ... 36

3.3.3. Tensão crítica ... 39

3.4. Análise linear de estabilidade de colunas biencastradas ... 40

3.5. Análise linear de estabilidade de colunas encastradas-apoiadas ... 43

3.6. Influência da espessura na estabilidade de cantoneiras reforçadas ... 44

4. Comportamento de pós-encurvadura... 47

4.1. Introdução ... 47

4.2. Análise por elementos finitos... 47

4.2.1. Escolha dos perfis a analisar... 47

4.2.2. Modelação por elementos finitos ... 49

4.2.3. Análises efectuadas e notação ... 50

4.3. Análise de pós-encurvadura elástica ... 52

4.3.1. Pós-encurvadura de colunas que instabilizam num modo de flexão-torção ... 52

4.3.2. Pós-encurvadura de colunas que instabilizam num modo local ... 56

4.3.3. Deslocamentos no canto da secção ... 60

4.3.4. Distribuição de tensões na secção ... 62

4.4. Análise de pós-encurvadura elasto-plástica... 63

4.4.1. Análise de colunas l2L600 e l2L2500 ... 63

4.4.2. Análise das colunas l22L600 e l22L1000 ... 66

5. Resistência última e dimensionamento ... 69

5.1. Introdução ... 69

5.2. Resistência última de cantoneiras reforçadas ... 69

5.2.1. Elementos estudados ... 69

5.2.2. Variação f

u

/f

y

vs λ ... 70

5.3. Dimensionamento de cantoneiras reforçadas ... 71

6. Conclusões ... 73

6.1. Introdução ... 73

6.2. Comportamento de estabilidade ... 73

6.3. Comportamento de pós-encurvadura... 74

6.4. Dimensionamento de cantoneiras reforçadas ... 74

6.5. Desenvolvimentos futuros ... 75

Referências bibliográficas ... 76

Anexos ... 77

ANEXO A ... 78

ANEXO B ... 81

ANEXO C ... 82

viii

1. Efeito do aumento do comprimento. ... 82

2. Efeito do aumento do “lip”. ... 84

ANEXO D ... 85

ANEXO E ... 86

... 86

ANEXO F ... 89

ix

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. 1 - Edifício em Light Steel Framing e torre de distribuição (cantoneiras laminadas a quente) ... 1 Figura 1. 2 - Geometria de cantoneiras reforçadas ... 2

Figura 2.1 - Modo de instabilidade de uma placa longa ([15]) ... 6 Figura 2.2 - Trajectórias fundamental e de pós-encurvadura de uma placa e uma coluna ([15]) 7 Figura 2.3 - Distribuição de tensões em regime pós-crítico de uma placa ([11]) ... 7 Figura 2.4 - Trajectória de equilíbrio de uma placa perfeita e com imperfeições geométricas e reserva elasto-plástica ([11]) ... 8 Figura 2.5 - Comparação das curvas de Winter, von Karman e de dimensionamento de colunas ([11]) ... 9 Figura 2.6 - Distribuição exacta e aproximada de tensões tangenciais numa secção rectangular

"fina" ([14]) ... 10 Figura 2.7 - Resultados obtidos numa análise linear de estabilidade por Dinis et al. (2010) ... 14 Figura 2.8 - TPE das colunas estudadas e configuração deformada da secção de 1/2 vão das colunas F

3

e F

9

([5]) ... 15 Figura 2.9 - TPE, configuração deformada e distribuição de tensões na secção para colunas F3 e F9 ([5]) ... 16 Figura 2.10 - Resultados das trajectória de equilíbrio e distribuição de tensões na secção de colunas FR e FP ([5]) ... 18 Figura 2.11 - Perfil longitudinal de tensões no canto da secção de coluna FP e FR ([5]) ... 19 Figura 2.12 - Trajectória de equilíbrio P/P

cr

vs d

M

/t e P/P

cr

vs d

m

/t de F

3

, F

6

e F

9

([5]) ... 19 Figura 2.13 -Perfil longitudinal de d

M

/t e d

m

/t para diferentes níveis de carga de F

3

, F

6

e F

9

([5]) ... 19 Figura 2.14 - TPE elasto-plástica das colunas F3 e F4 para diferentes valores de fy/fcr e

mecanismos de colapso A e B ([6]) ... 20 Figura 2.15 - Cargas de colapso para diferentes secções com deslocamentos dm

continuamente impedidos ([6]) ... 22 Figura 2.16 - Estudo paramétrico de uma cantoneira, para uma única semionda e valores do reforço de 0 a 50% da aba ([7]) ... 25 Figura 2.17- Resultados das cargas de colapso e críticas fazendo variar as condições de apoio de cantoneiras reforçadas ([7]) ... 30

Figura 3. 1 - Modos de deformação do GBTUL para uma cantoneira reforçada ... 34

Figura 3.2 - Curva de estabilidade para uma coluna simplesmente apoiada comprimida e para

uma única semionda na função de aproximação da deformada. ... 36

Figura 3.3 - Participação dos modos de deformação na encurvadura de cantoneiras para

relações reforço/aba de 20% e 40%... 36

Figura 3.4 - Curvas P

cr

(L) para dois modos de encurvadura e diferentes valores da relação

reforço/aba. ... 37

Figura 3.5 - Modos de deformação do 2º modo de encurvadura , para valores da relação

reforço/aba iguais a 20% e 40%. ... 37

Figura 3.6 - Diferença de configurações deformadas da secção entre o modo crítico (esquerda)

e modo distorcional não-crítico (direita). ... 38

x

Figura 3.7 - Curva de estabilidade para uma secção com reforço de 14 mm. ... 40

Figura 3.8 - Curvas de estabilidade de colunas biencastradas para diferentes valores do reforço ... 40

Figura 3.9 - Participação de modos de deformação na encurvadura de colunas com reforços de 2, 6, 12 e 16 milímetros. ... 41

Figura 3.10 - Participação de modos em coluna biencastrada para uma cantoneira "simples" e uma cantoneira com um reforço de 1 mm. ... 42

Figura 3.11 - Curva de estabilidade para colunas encastradas-apoiadas com diferentes secções. ... 43

Figura 3.12 - Participação de modos de colunas encastradas-apoiadas para reforços de 2, 6, 12 e 16 milímetros. ... 44

Figura 3.13 - Impacto do aumento de t na curva de estabilidade de uma cantoneira com 12 milímetros de reforço. ... 45

Figura 4. 1 - Perfis escolhidos assinalados na curva de estabilidade de colunas biencastradas. 48 Figura 4. 2 - Interface do programa ABAQUS e tipo de coluna analisada com malha de EF discretizada. ... 49

Figura 4. 3 - Ficheiros de texto usados como input do programa ABAQUS. ... 50

Figura 4.4 - Notação de eixos, deslocamentos e nós do elemento estudado. ... 51

Figura 4.5 - TPE de uma cantoneira com reforço de 2 milímetros para L variável. ... 52

Figura 4.6 - TPE de coluna com 2500 milímetros de comprimento, para l variável. ... 53

Figura 4.7 - TPE de várias cantoneiras reforçadas com modo crítico de flexão-torção. ... 54

Figura 4. 8 - TPE de cantoneiras "simples" e reforçadas para várias colunas, com modo crítico de flexão-torção. ... 55

Figura 4.9- TPE de colunas com modo crítico local. ... 56

Figura 4.10 - Perfil longitudinal de deslocamentos do nó central da aba, para diferentes níveis de carregamento, da coluna l22L1000. ... 59

Figura 4.11 - Perfil longitudinal de deslocamentos de flexão na maior inércia de coluna l6L3500. ... 60

Figura 4.12 - Perfil longitudinal de deslocamentos de flexão na menor inércia de coluna l6L3500. ... 60

Figura 4.13 - Distribuição de tensões na secção de colunas l12L3500 e 18L940 para diferentes níveis de carregamento. ... 62

Figura 4.14 - Trajectória de equilíbrio geometrica e fisicamente não-linear da coluna l2L600. 63 Figura 4. 15 - Trajectória de equilíbrio geométrica e fisicamente não-linear da coluna l2L2500. ... 64

Figura 4.16 - TPE elasto-plástica de coluna l2L600, deformadas e deformações plásticas de determinados pontos. ... 65

Figura 4.17 - TPE elasto-plástica de coluna l2L2500, deformadas e deformações plásticas de determinados pontos. ... 66

Figura 4.18 - TPE, com respeito aos deslocamentos "locais" da aba, da coluna l22L600 para diferentes níveis de plasticidade. ... 67

Figura 4.19 - TPE, com respeito aos deslocamentos "locais" da aba, da coluna l22L1000 para diferentes níveis de plasticidade. ... 67

Figura 4.20 - TPE elasto-plástica de coluna l22L600, deformadas e deformações plásticas de

determinados pontos. ... 68

xi Figura 4.21 - TPE elasto-plástica de coluna l22L1000, deformadas e deformações plásticas de

determinados pontos. ... 68

Figura 5.1 - Relação entre tensão última e tensão de cedência dos perfis ensaiados... 70

Figura 5. 2 – Resistência

f_u/f_nle

para colunas que instabilizam em modos de flexão-torção e em

modos locais ... 71

Figura 5. 3 - Resistência f

u/fnfte

para colunas que instabilizam em modos de flexão-torção

(proposta de Dinis e Camotim 2014) ... 72

xii

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 2.1 - Valores de K para diferentes distribuições de tensões e condições de apoio ([11]) 6 Tabela 2.2 - Rácio entre a carga de encurvadura do modo de flexão na menor inércia e a carga crítica das colunas F

3

, F

6

e F

9

([5]) ... 20 Tabela 2.3 - Características geométricas e mecâncias dos perfis ensaiados por Young ([8],[9]) 26 Tabela 2. 4 - Resultados de ensaios realizados por Young em cantoneiras reforçadas ([9]) ... 27 Tabela 2. 5 - Resultados de ensaios realizados por Young em cantoneiras simples ([8]) ... 27 Tabela 2.6 - Valor de P

cr

obtido através de programas de cálculo automático e pela teoria clássica de colunas simplesmente apoiadas ([7]) ... 28 Tabela 2.7 - Valor de P

cr

obtido através de programas de cálculo automático e pela teoria clássica de colunas biencastradas ([7]) ... 29

Tabela 3.1 - Relação entre cargas de encurvadura do dois primeiros modos de encurvadura da solução analítica. ... 38

Tabela 4.1 - Participação do modo de flexão na maior inércia no modo crítico de várias colunas.

... 54 Tabela 4. 2 - Participação do modo de flexão na maior inércia no modo crítico de várias

colunas. ... 55

Tabela 4.3 - Participação de modos de deformação na encurvadura de colunas com modo

crítico local. ... 57

Tabela 4.4 - Factor de redução e comprimento efectivo de várias secções. ... 58

Tabela 4. 5- Relação entre a constante de empenamento primário e secundário de várias

secções. ... 62

Tabela 4.6 - Relação entre cargas para diferentes níveis de plasticidade, nas colunas l2L600 e

l2L2500. ... 64

Tabela 4. 7 - Relação entre cargas para diferentes níveis de plasticidade, nas colunas l22L600 e

l2L1000. ... 67

xiii

ÍNDICE DE SÍMBOLOS

h, b - Comprimento da aba da cantoneira l – Comprimento do reforço da cantoneira t - Espessura da cantoneira

σbt, fbt - Tensão crítica torsional f

cre

- Tensão crítica de Euler σcr,l, f

crl

– Tensão crítica local

σcr,ft, f

crft

- Tensão crítica flexo - torsional

f

u

– Tensão última obtida através de análises numéricas

f

nl

– Tensão de dimensionamento associada a modos de colapso local f

ne

– Tensão de dimensionamento associada a modos de colapso global

f

nle

- Tensão de dimensionamento associada a modos de colapso com interacção local-global f

nfte

- Tensão de dimensionamento de cantoneiras com modo de instabilidade flexo torsional x

cc

- Distância do centróide ao centro de corte

K - Coeficiente de instabilidade φ – Ângulo de torção

d

M

- Deslocamentos no eixo da maior inércia d

m

– Deslocamentos no eixo da menor inércia P

x

– Carga crítica de flexão na maior inércia P

φ

– Carga crítica de torção

P

cr,ft

– Carga crítica de flexão-torção

Δ - Variável adimensional que traduz a % de participação do modo de deformação de flexão em torno da maior inércia no modo de deformação flexo - torsional

ρ – Factor de redução da área efectiva

β - Variável adimensional que traduz o efeito do centróide efectivo no carregamento último de cantoneiras concentricamente carregadas; rotação de torção

δ – Deslocamentos no centro da aba

λl – Esbelteza normalizada associada a modos de instabilidade locais

xiv

λft – Esbelteza normalizada associada a modos de instabilidade flexo-torsionais λc – Esbelteza normalizada associada a modos de instabilidade globais

L – Comprimento da coluna

𝛤 –

Constante de empenamento I

0

– Inércia polar da secção

J – Constante de torção de Saint Venant

A – Área da secção

xv

ÍNDICE DE ABREVIATURAS

F- Colunas encastradas

PC - Colunas de apoio cilíndrico com a flexão em torno da menor inércia libertado PS - Colunas de apoio esférico

MRD – Método da Resistência Directa TPE – Trajectórias de Pós-encurvadura FT - Flexo - torsional

f2

– Flexão na maior inércia

f3

– Flexão na menor inércia

xvi

1

1. Introdução

1.1. Enquadramento geral

A presente dissertação, realizada no âmbito do Mestrado Integrado em Engenharia Civil, pretende, por um lado, rever e aplicar ideias desenvolvidas por diversos autores no domínio da estabilidade de cantoneiras e, por outro lado, fornecer novos resultados e contribuir para o conhecimento nessa mesma área de estudo.

As cantoneiras são elementos estruturais, usualmente de aço, cuja secção transversal é constituída por duas paredes confluentes num ponto, sendo por esse motivo designadas de secções L. Os possíveis processos de fabrico deste tipo de secções dividem-se entre a laminação a quente e enformação a frio. Relativamente ao segundo processo, este é usualmente conseguido através de tratamentos mecânicos que envolvem a aplicação de forças elevadas a chapas de aço galvanizado, tais como prensagem, quinagem ou perfilagem. O resultado são secções, geralmente de parede fina aberta, constituídas por chapas com espessuras que podem variar entre 0,3 e 6 milímetros. A maior aplicação de cantoneira dá-se na execução de estruturas de torres de distribuição (ver

Figura 1. 1

) e em obras de reabilitação.

Os perfis enformados a frio, devido ao seu baixo peso próprio associado às reduzidas espessuras da secção e à rapidez de execução que possibilita, estão associados à construção designada “Light-steel framing” – tratam-se de estruturas de peso reduzido, constituídas por um

“esqueleto” estrutural metálico, vocacionadas principalmente para edifícios de pequeno porte.

Alguns investigadores ([1]) apontam àqueles perfis algumas vantagens relativamente a elementos laminados a quente, como economia de aço (correspondente a uma redução entre 10% a 18%) e redução do peso da estrutura.

Figura 1. 1 - Edifício em Light Steel Framing e torre de distribuição (cantoneiras laminadas a quente)

2

Devido à configuração da sua secção, as cantoneiras não possuem rigidez de torção associada ao empenamento primário e são, por isso, susceptíveis a fenómenos de encurvadura que envolvem deformação por torção ([2]). Por outro lado, o facto de estas secções (i) possuírem geralmente reduzidas espessuras, (ii) por estas serem constituídas por duas placas “em consola” e (iii) pela confusão que muitas vezes se gera na distinção entre modos de deformação locais e de torção da secção conduz a que se confunda a instabilidade de cantoneiras com problemas de estabilidade de placas. A distinção entre esses fenómenos de instabilidade é fundamental, uma vez que a um e outro estão associadas resistências muito distintas de pós-encurvadura.

O recurso a um reforço em cantoneiras (ver

Figura 1. 2

) surge naturalmente como uma solução para aumentar a capacidade de carga destes elementos estruturais. O uso de reforços em construção metálica tem como objectivo aumentar a rigidez transversal de placas e limitar a esbelteza nesses elementos. No caso das cantoneiras a encurvadura dá-se, de uma forma geral, por flexão-torção e, nesse caso, a aplicação de um reforço contribui simultaneamente para estabilidade local das placas que constituem a secção e para o aumento rigidez de torção da secção, ao introduzir resistência ao empenamento primário da mesma – por este motivo, a sua aplicação na extremidade das abas é o mais eficiente, por se tratarem dos pontos mais distantes do centro de corte da secção.

Figura 1. 2 - Geometria de cantoneiras reforçadas

O estudo dos comportamentos de estabilidade, pós-encurvadura, de resistência última e o dimensionamento de cantoneiras de abas iguais submetidas à compressão tem sido levado a cabo por diversos autores. Salientam-se os trabalhos de Rasmunssen ([3],[4]), Dinis et al.

([2],[5]) e Dinis e Camotim ([6]) no estudo de cantoneiras, de Shifferaw e Schafer ([7]) no estudo de cantoneiras reforçadas, assim como vários ensaios experimentais levados a cabo por Young ([8],[[9])[2]. Contudo, importa referir que a compressão centrada não corresponde à maioria das situações práticas, uma vez que a ligação (soldada ou aparafusada) a outros elementos estruturais resulta, geralmente, numa excentricidade da carga transmitida às cantoneiras. Todavia, a presente dissertação apenas analisa o caso de cantoneiras de abas iguais reforçadas (simétricas em relação ao eixo de maior inércia), concentricamente comprimidas.

3

1.2. Motivação e objectivos

O comportamento de pós-encurvadura “peculiar” de cantoneiras comprimidas (elemento estrutural de geometria simples com comportamento complexo) levou a que este elemento estrutural fosse objecto de vários estudos recentes ([2]-[7]), sendo o seu dimensionamento um assunto ainda em aberto, nomeadamente no que se refere a elementos de aço enformados a frio. Efectivamente, este tipo de elementos ainda não se encontra pré-qualificado para dimensionamento através do recente Método da Resistência Directa (MRD − Direct Strength Method, na designação anglo-saxónica [10]), o qual está desde 2004 incluída na regulamentação Norte Americana de Estruturas de Aço Enformadas a Frio.

Por outro lado, as cantoneiras reforçadas carecem ainda de estudos exaustivos sobre o seu comportamento e dimensionamento. De facto, existem poucos trabalhos de investigação sobre o seu comportamento e dimensionamento ([7]), havendo contudo alguns estudos experimentais ([8],[9]). De entre os vários trabalhos deve salientar-se o estudo efectuado por Shifferaw e Schafer [7], o qual concluiu que as resistências estimadas pelas disposições normativas americana, nomeadamente o MRD, apresentam diferenças significativas em relação aos valores verificados experimentalmente.

Deste modo, a existência da lacuna mencionada no parágrafo anterior constitui a principal motivação desta dissertação. Assim, pretende-se (i) contribuir para a compreensão do comportamento de cantoneiras de aço enformadas a frio, de abas iguais reforçadas, sujeitas a compressão e (ii) avaliar da adequabilidade das actuais curvas de dimensionamento do Método da Resistência Directa para prever a resistência última destes elementos estruturais. Para esse efeito, define-se o seguinte conjunto de objectivos para a presente dissertação:

 Estudar a estabilidade deste tipo de elementos estruturais, avaliando nomeadamente a influência das condições de apoio e da espessura da secção.

 Realizar análises geométrica e fisicamente não-lineares que permitam caracterizar o comportamento e resistência pós-crítica de colunas “imperfeitas”, identificando designadamente o impacto do reforço, de uma forma geral, no comportamento deste tipo de cantoneiras.

 Determinar um conjunto significativo de cargas de colapso que permitam aferir a adequabilidade das actuais curvas de dimensionamento do MRD para estimar a capacidade resistente destes elementos estruturais.

1.3. Organização da dissertação

A presente dissertação encontra-se organizada em seis capítulos. Neste primeiro, faz-se a introdução das cantoneiras reforçadas enquanto elementos estruturais enformados a frio e procura-se explicar a motivação e definir objectivos para a dissertação.

4

No segundo capítulo apresenta-se uma revisão de conceitos fundamentais de estabilidade, assim como da literatura disponível sobre cantoneiras de abas iguais, sem ou com reforços, que se julga pertinente. Trata-se de um capítulo fundamental para compreender, por um lado, os fenómenos ligados à instabilidade de cantoneiras e, por outro lado, o tipo de análises que se efectuou nos subsequentes capítulos.

No terceiro capítulo aborda-se o problema da instabilidade de cantoneiras de abas iguais reforçadas recorrendo a análises lineares de estabilidade efectuadas através do programa GBTUL, o qual é baseado na Teoria Generalizada de Vigas (GBT). Analisam-se diferentes secções e condições de fronteira, identificam-se curvas de estabilidade e identificam-se os modos de deformação envolvidos na instabilidade de cantoneiras comprimidas concentricamente.

O quarto capítulo foca-se nas análises geométrica e fisicamente não-lineares de cantoneiras reforçadas com extremidades encastradas, submetidas à compressão. Para o efeito, efectuam- se análises por elementos finitos de casca realizadas com o programa ABAQUS, caracterizando-se desse modo o comportamento elástico e elasto-plástico dessas colunas.

No quinto capítulo apresenta-se um estudo paramétrico efectuado com o objectivo de identificar a resistência última de colunas encastradas. Nesse estudo, adoptou-se o modelo de elementos finitos de casca considerado no capítulo anterior, sendo os valores obtidos comparados com as estimativas fornecidas pelas actuais curvas de dimensionamento do Método da Resistência Directa, permitindo assim retirar algumas conclusões preliminares sobre esta importante questão.

O sexto e último capítulo expõe as conclusões retiradas das análises efectuadas e apresenta as possibilidades de desenvolvimentos futuros no estudo de cantoneiras reforçadas.

5

2. Estado da Arte 2.1. Introdução

As cantoneiras são secções constituídas por duas paredes finas, que fazem entre si um ângulo de 45º e são confluentes num único ponto, o que confere a esses elementos uma reduzida rigidez de torção e uma maior susceptibilidade a fenómenos de instabilidade flexo-torsionais. As cantoneiras reforçadas, devido à presença do reforço na extremidade das abas, ao instabilizarem combinam modos de deformação local com modos globais de flexão-torção, sendo o efeito da variação da dimensão do reforço no comportamento e resistência dos perfis um dos principais focos da presente dissertação e da investigação realizada por alguns autores ([7]). Uma vez que o comportamento mecânico destes elementos envolve diferentes fenómenos, a compreensão dos mesmos torna-se crucial no seu estudo.

Por este motivo, este capítulo divide-se entre a revisão (i) de alguns conceitos de estabilidade essenciais para a compreensão do comportamento e dimensionamento de colunas local e globalmente esbeltas e (ii) o trabalho realizado por diversos investigadores ([2]-[7]) sobre cantoneiras e cantoneiras reforçadas.

Uma vez que o âmbito da presente dissertação é o comportamento e dimensionamento de cantoneiras reforçadas, de secção simétrica em relação a um eixo, submetidas a compressão (uniforme na secção), a revisão da literatura foca-se exclusivamente em colunas concentricamente carregadas, para secções monossimétricas.

2.2. Fenómenos de estabilidade

2.2.1. Estabilidade de estruturas laminares

A estabilidade de estruturas laminares, nomeadamente de placas, assume uma grande importância no projecto de estruturas metálicas, sobretudo em perfis enformados a frio, onde as reduzidas espessuras conduzem a elevadas esbeltezas locais que condicionam o seu dimensionamento. Por este motivo abordam-se os conceitos fundamentais do comportamento e dimensionamento deste tipo de elementos.

2.2.1.1. Carga crítica de placas longas

Considere-se a placa simplesmente apoiada, de espessura t, submetida a compressão uniforme da Figura 2.1. A placa é designada de “alongada” por possuir uma relação entre o comprimento, a, e bordo solicitado (largura),b, tal que: a>>b. Ao atingir-se um determinado valor de compressão, esse elemento irá instabilizar com deslocamentos de flexão e a configuração será a apresentada na Figura 2.1.

6

Figura 2.1 - Modo de instabilidade de uma placa longa ([15])

Quando a placa é longa (a>>b), como indica a Figura 2.1, verifica-se que a sua configuração deformada apresenta uma única semionda transversal e várias semiondas longitudinais, de tal forma que a placa se comporta como uma “sucessão” de várias placas quadradas. A tensão aplicada, σ, a partir da qual aquele elemento instabiliza é designada de tensão crítica (σcr) e toma a forma apresentada da equação 2.1. ([11]):

𝜎𝑐𝑟= 𝐾 𝜋²𝐸 12(1 − 𝜈²)(𝑡

𝑏)² (2.1)

Na equação 2.1, t corresponde à espessura da placa e b à sua largura, enquanto que E e ν são o módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson do material, respectivamente. K é designado de coeficiente de encurvadura e depende das condições de apoio dos bordos longitudinais e da distribuição de tensões aplicada – a

Tabela 2.1

apresenta valores desse coeficiente para diferentes situações:

Tabela 2.1 - Valores de K para diferentes distribuições de tensões e condições de apoio ([11])

2.2.1.2. Pós-encurvadura de placas perfeitas

A obtenção da trajectória de pós-encurvadura de uma placa perfeita, definida como a relação entre a carga (que na forma adimensional é expressa através de σ/σcr) e o deslocamento sofrido pela estrutura (q) após a carga crítica ser atingida, é feita determinando a trajectória de equilíbrio adjacente ([11]) à fundamental no ponto onde é estacionária a energia potencial da placa comprimida e conduz a:

7

𝜎

𝜎_𝑐𝑟= 1 +3

8(1 − 𝜈²) (𝑞 𝑡)

2 (2.2)

Esta trajectória é claramente estável (ver

Figura 2.2

) e, ao comparar com a correspondente curva para colunas, é de salientar a notável resistência de pós-encurvadura das placas ([15]). Verifica-se assim que admitir que σcr é a tensão máxima admissível nestes elementos é excessivamente conservativo, pelo que o seu dimensionamento deve contemplar tensões superiores à crítica.

Figura 2.2 - Trajectórias fundamental e de pós-encurvadura de uma placa e uma coluna ([15])

Relativamente à distribuição de tensões normais no elemento, na fase pós-crítica, esta assume a configuração apresentada na

Figura 2.3

. Pela observação dessa figura é possível comentar:

i. Existe uma transferência de tensões longitudinais (σxx) da região mais flexível da placa para a zona dos apoios.

ii. Associada à redistribuição de tensões longitudinais surgem tensões transversais (σyy) de tracção, as quais causam um aumento de rigidez da zonal central da placa.

Figura 2.3 - Distribuição de tensões em regime pós-crítico de uma placa ([11])

8

2.2.1.3. Dimensionamento de elementos localmente esbeltos – largura efectiva

Nas condições expostas anteriormente, o dimensionamento de placas deve ser feito em regime pós-crítico, o que envolve um problema geometricamente não-linear com trajectórias (fundamentais e de pós-encurvadura) e tensões mais ou menos próximas das que se apresentaram – a diferença reside, para situações correntes, na presença de imperfeições iniciais (ver Figura 2.4).

Figura 2.4 - Trajectória de equilíbrio de uma placa perfeita e com imperfeições geométricas e reserva elasto- plástica ([11])

Uma vez que a determinação da reserva de resistência do elemento associado ao espalhamento da plasticidade não é directa e envolve algum esforço de cálculo (análise física e geometricamente não- linear), admite-se que a resistência do elemento é atingido quando ocorrer a cedência da primeira fibra (σmax=fy). Para efeitos de dimensionamento, Von Karman (citado por Reis e Camotim, 2012) propôs uma metodologia aproximada para placas perfeitas, baseada nas seguintes hipóteses ([15]):

1. Substituir a secção real por uma “secção efectiva” onde se tem uma distribuição de tensões uniforme.

2. Admitir que a encurvadura na secção efectiva a encurvadura ocorre ao mesmo tempo que se atinge a plastificação da secção.

O dimensionamento da placa passa, assim, pela determinação de uma secção efectiva (beff), baseada na relação entre a esbelteza normalizada do elemento (𝜆𝑝̅̅̅) e o factor de redução (ρ=beff/b) da largura da secção (b).

Importa referir que Winter propôs uma expressão alternativa ([11]), baseada num elevado número de resultados experimentais em placas com imperfeições iniciais e tensões residuais,

9

que serve de base às expressões propostas pelo Eurocódigo 3. Na

Figura 2.5

comparam-se as expressões de Von Karman, de Winter e a curva de dimensionamento de colunas perfeitas, sendo que nesta última se despreza a resistência pós-crítica.

Figura 2.5 - Comparação das curvas de Winter, von Karman e de dimensionamento de colunas ([11])

2.2.2. Instabilidade flexo-torsional 2.2.2.1. Torção uniforme e não-uniforme

Todas as secções de parede fina aberta, quando submetidas a um momento torsor (T) , rodam em torno do eixo colinear com o seu centro de corte (sc) e empenam, i.e., sofrem deslocamento longitudinais variáveis e deixam de estar contidas num plano ([11]). Podem-se definir dois tipos de torção:

i. Torção uniforme (ou de Saint-Venant) – situação em que T é constante ao longo da barra e os deslocamentos de empenamento não são impedidos.

ii. Torção não uniforme – Caso mais geral, onde o momento torsor é variável e/ou o empenamento é impedido nalguma secção.

No primeiro caso, os elementos estão sujeitos apenas a deformações distorcionais, sendo nulas quaisquer extensões ou tensões longitudinais. Associadas as essas deformações estão tensões de corte, cuja resultante é um momento torsor uniforme, Tt. De uma forma genérica, e à semelhança do que sucede na flexão de peças lineares, é possível estabelecer uma relação constitutiva entre o momento torsor aplicado numa barra, T, e uma medida de deformação traduzida pelo ângulo de torção por unidade de comprimento, α ([13]):

𝛼 =𝜕𝜙(𝑥)

𝜕𝑥 =𝑇𝑡

𝐺𝐽<=> 𝑇𝑡 =𝜕𝜙(𝑥)

𝜕𝑥 𝐺𝐽 (2.3)

Em secções de parede fina aberta, verifica-se que as tensões tangenciais se distribuem de forma aproximadamente linear na espessura da secção (

Figura 2.6

). As equações (2.4) e (2.5)

10

são expressões de cálculo para a constante de torção de Saint Venant, J, e para a tensão tangencial máxima instalada na secção, τmax, respectivamente:

𝐽 =1 3∑ 𝑏_𝑖𝑡_𝑖³

𝑛

𝑖=1

(2.4)

𝜏_𝑚𝑎𝑥 = 𝑡_𝑚𝑎𝑥𝑇𝑡

𝐽

(2.5)

Figura 2.6 - Distribuição exacta e aproximada de tensões tangenciais numa secção rectangular "fina" ([14]) No caso da torção não-uniforme, por existir impedimento ao livre deslocamento longitudinal da parede fina ou por esse deslocamento ser variável, passam a existir tensões normais não-nulas na secção. Estas são, forçosamente, equilibradas por tensões tangenciais que dão origem a um momento torsor resistente, Te.

No Anexo A apresenta-se em maior detalhe essa teoria, incluindo a determinação das expressões genéricas dos campos de deslocamentos axiais devido ao empenamento, (u_e(s)), função de empenamento (W(s)), deformações e tensões axiais (εx e σx, respectivamente), tensões tangenciais (τe) e expressão do momento torsor resistente devido ao impedimento dos deslocamentos de empenamento (Te), o qual se apresenta na seguinte equação:

𝑇𝑒(𝑥) = −𝐸𝛤𝜕³𝜙

𝜕𝑥³

(2.6)

onde Γ é a constante de empenamento da secção e ϕ é o ângulo de torção, que é função da posição no eixo da peça (x).

A rigidez de empenamento (EΓ), em secções onde o centro de corte está “desviado” em relação à linha média das suas paredes, é igual ao integral do quadrado de uma função (W(s)) que depende da distância (r(s)) entre a linha média de “cada parede” e o centro de corte da secção, C – designa-se rigidez de empenamento primário.

O momento torsor total, T, resistido simultaneamente por conta de torção uniforme (eq. (2.3)) e não-uniforme (eq. (2.6)) é igual a:

11

𝑇 = 𝐺𝐽𝜕𝜙

𝜕𝑥− 𝐸𝛤𝜕³𝜙

𝜕𝑥³

(2.7)

Em secções de parede fina aberta onde todas as paredes se intersecta num único ponto, sabe- se que é nula a rigidez de empenamento primária. Todavia, verifica-se para esse tipo de secções que se desenvolve uma distribuição de tensões normais não lineares na espessura e de tensões tangenciais responsáveis por gerar um “momento torsor resistente secundário”, T^se, e uma “constante de empenamento secundário”, Γ^s, ([11]) tais que se mantém válida a relação:

𝑇_𝑒^𝑠= −𝐸𝛤^𝑠𝜕³𝜙

𝜕𝑥³

(2.8)

Importa referir que a constante de empenamento secundário toma valores bastante reduzidos face aos de Γ, pelo que, no caso geral de se ter Γ≠0, se despreza Γ^s.

Para finalizar o presente subcapítulo, apresenta-se a expressão para a constante de empenamento secundário de uma cantoneira com abas de iguais dimensões ([2]):

𝛤^𝑠 = 1

36(2𝑡³𝑏³) (2.9)

onde t é a espessura e b o comprimento das abas.

2.2.2.2. Carga crítica de flexão-torção

Em virtude de possuírem uma rigidez de torção muito baixa, as secções de parede fina aberta são particularmente susceptíveis a fenómenos de instabilidade que envolvem deformações por por torção ([11]). No caso dessas secções que apresentem um único eixo de simetria, a encurvadura dá-se com modos de deformação acoplados: flexão em torno do eixo de simetria e torção, designando-se a este tipo de instabilidade de encurvadura por flexão-torção.

A carga crítica para uma coluna nessa situação é dada pela seguinte expressão ([11], [12]):

𝑃_{𝑐𝑟,𝑓𝑡}= (𝐼0

⁄ )(𝑃𝐴 𝑥+ 𝑃_𝜙) − √(𝐼0

⁄ )𝐴 ²(𝑃_𝑥+ 𝑃_𝜙)²− 4(𝐼0

⁄ − 𝑥𝐴 𝑐𝑐2)𝑃_𝑥𝑃_𝜙(𝐼0

⁄ )𝐴 2(𝐼₀

⁄ − 𝑥𝐴 _𝑐𝑐²)

(2.10)

em que:

𝑃_𝑥=𝜋²𝐸𝐼𝑥

𝐿𝑒² ; 𝑃_𝜙= 𝐴 𝐼0

(𝐺𝐽 + 𝐸𝛤 𝜋²

𝐿𝑒²) (2.11;2.12)

e P

x

e P

φ

correspondem, respectivamente às cargas de encurvadura na maior inércia e de

torção, I

0

é a inércia polar da secção, enquanto que x

cc

é a distância entre o centro de corte e

de gravidade da secção e A é sua área. Le representa o comprimento de encurvadura da

coluna para cada modo de encurvadura.

12

2.3. Comportamento e dimensionamento de cantoneiras

2.3.1. Estudo paramétrico de uma cantoneira com abas iguais

A expressão da carga de encurvadura por torção de coluna (equação (2.12)), quando existe apenas constante de empenamento secundário, toma a forma:

𝑃𝑐𝑟𝑡 =𝐴

𝐼₀[ 𝐸𝐼𝜔

12(1 − 𝜈²)(𝜋 𝐿)

2

+ 𝐺𝐽]

= 𝐴

∑ (1

3𝑡_𝑖𝑏_𝑖³)

𝑃𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 𝑖

[𝐸 ∑ (1

3𝑡𝑖𝑏𝑖3 𝑃𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 𝑖 )

12(1 − 𝜈²) (𝜋

𝐿)²+ 𝐺 ∑ 1 3𝑡_𝑖³𝑏_𝑖

𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 𝑖

]

(2.13)

Para secções com as mesmas dimensões de abas e espessura (ti=t e bi=b), se se expressar a tensão crítica torsional (σcrt) chega-se a [2]:

𝜎_𝑐𝑟𝑡= [(𝑏

𝐿)²+6(1 − 𝜈)

𝜋² ] 𝐸𝜋² 12(1 − 𝜈²)(𝑡

𝑏)² (2.14)

Para colunas curtas, a parcela relativa ao comprimento da coluna é relevante e deve ser retida na expressão; no entanto, para os casos em que L>>b correspondentes a colunas mais correntes na construção metálica, pode-se admitir que a tensão crítica de torção se torna independente de L e tem-se:

𝜎_𝑐𝑟𝑡= 0,425 𝐸𝜋² 12(1 − 𝜈²)(𝑡

𝑏)² (2.15)

Esta tensão é igual à tensão crítica local de uma placa “em consola” (ver capítulo 2.2.). Este facto aliado ao já referido de se ter uma expressão independente do comprimento (para L>>b) leva a expressão da tensão crítica de torção a tender para a emblemática curva σcr,l(L) para elementos em consola, o que geralmente causa confusão relativamente ao tipo de encurvadura que realmente ocorre nestes elementos. Está-se perante um caso excepcional onde divergem as definições de encurvadura local clássica e da Teoria Generalizada de Vigas ([2]). De acordo com essa teoria a encurvadura local ocorre se:

i. A curva característica σcr(L) apresentar mínimos ou máximos locais, para um determinado número de semiondas na solução de aproximação.

ii. O modo de encurvadura apresentar várias semiondas na deformada.

13

Este segundo ponto implica flexão transversal das paredes, com curvatura não nulas, facto esse que não ocorre neste tipo de placa, uma vez que a encurvadura ocorre numa única semionda, independentemente do comprimento da placa. «Mecanicamente falando, este modo de encurvadura envolve torção pura em torno do bordo simplesmente apoiado e não apresenta flexão transversal das paredes, característica essa com profundas implicações no comportamento de pós-encurvadura da placa e no conceito de largura efectiva» (Dinis PB et al.

2010). Concluem os autores que o problema de encurvadura numa cantoneira não pode ser reduzido ao de uma placa com três bordos apoiados e um livre, uma vez que este elemento apresenta um modo de encurvadura global com diferenças significativas do de uma placa.

2.3.2. Estabilidade de colunas com diferentes condições de apoio

Dinis PB et al. [5] aprofundaram a análise do comportamento na encurvadura de cantoneiras, para colunas com diferentes condições de apoio. Essa análise foi conseguida recorrendo ao programa GBTUL.

Os elementos estudados pelos autores apresentam uma secção transversal com dimensões 70x70x1,2 milímetros e possuem comprimentos baixos-a-intermédios, contidos no “plateau”

horizontal de tensão crítica:

L1= 53 cm L2= 98 cm L3= 133 cm L4= 182 cm L5 = 252 cm L6= 364 cm L7= 420 cm L8= 532 cm L9= 700 cm L10= 890 cm

Quanto às condições de apoio, foram analisados 3 casos:

i. F – Coluna biencastrada nas duas direcções.

ii. PC – Rótulas cilíndricas que impedem a flexão segundo o eixo de maior inércia, mas permitem a rotação segundo a menor inércia.

iii. PS – Rótulas esféricas (permitem a rotação nas duas direcções).

Na Figura 2.7 encontram-se os resultados obtidos na análise linear de estabilidade:

a) Curva Pcr (L) para as três condições de apoio estudadas (F, PC e PS) obtidas através do ABAQUS, incluindo alguns pontos obtidos pelo GBTUL, e fazendo referência aos comprimentos mencionados (L₁ – L10).

b) Diagramas representativos das participações dos modos de deformação no modo crítico de instabilidade das colunas, a variar com o comprimento e para cada condição de apoio.

c) Representação esquemática da deformada de meio-vão para uma coluna PC para dois comprimentos distintos: 100 e 364 centímetros.

d) Representação dos 6 primeiros modos de deformação, à excepção do modo 1 (extensão axial).

14

Figura 2.7 - Resultados obtidos numa análise linear de estabilidade por Dinis et al. (2010)

Verifica-se que, à semelhança do que sucedia na solução analítica obtida pelo GBTUL com apenas uma semionda na função de aproximação, os quatros modos de deformação responsáveis pela configuração da coluna na encurvadura são: 2 + 3 + 4 + 6. Para além deste facto, os autores observam que:

 Para os comprimentos escolhidos para a análise, os modos relevantes envolvem flexão-torção (2+4) e flexão segundo o eixo de menor inércia (3). Ao primeiro modo corresponde o patamar horizontal na curva Pcr(L) e a participação da flexão segundo a maior inércia (2), que ocorre por haver simetria nesse plano, aumenta gradualmente com L .

 No caso das condições apoio PC e PS, a curva da carga crítica decresce de forma monótona e corresponde a uma função de aproximação dos modos de deformação (φ) de uma única semionda, sendo que os resultados obtidos pelos programas ABAQUS e GBTUL são praticamente coincidentes. O modo 4 está presente na encurvadura de todas as colunas à excepção das mais compridas, as quais instabilizam segundo o modo 3.

 Os comportamentos das colunas rotuladas (PS + PC) apenas se distanciam das biencastradas (F) para comprimentos superiores a 420 centímetros, sendo praticamente idênticos para comprimentos inferiores. No entanto, essas colunas diferem das F no que toca ao “leque” de comprimentos pertencentes ao “plateau” – de facto, regista-se uma queda de cerca de 25% da carga crítica de flexão segundo a menor inércia, donde resulta que o comprimento de transição do modo 4 para o modo 3 passe de L=420 cm (colunas PC) para L=890 cm (colunas F).

 Comparativamente com as colunas PC, as colunas PS apenas diferem na fase final do patamar de flexão-torção devido a uma maior participação da flexão na maior inércia.

2.3.3. Comportamento de pós-encurvadura de colunas

Na sequência da análise linear de estabilidade, Dinis et al. ([5]) efectuaram uma estudo do comportamento de pós-encurvadura dos mesmos perfis, através da análise geometricamente

15

não-linear de colunas exibindo imperfeições com a configuração do modo crítico e com amplitude igual a 10% da espessura (t). No caso dos elementos com modo crítico flexo- torsional, tal corresponde a ter uma rotação de torção inicial igual a 0,098 radianos. Apesar de os autores terem analisado o comportamento de colunas F, PC e PS, apenas se indicam as conclusões mais relevantes referentes a colunas encastradas.

Foram determinados os seguintes gráficos:

1. Trajectória de pós-encurvadura, P/Pcr vs β, para todas as colunas seleccionadas com condições de apoio F, onde β é a rotação de corpo rígido da secção a meio-vão da coluna. Estas incluem representações da deformada a meio-vão dos elementos F₃ e F9, em diferentes pontos da trajectória (Figura 2.8).

2. Configuração deformada (Figura 2.9), em três pontos assinalados na trajectória de pós- encurvadura, de

a. Meio-vão da coluna F3.

b. Meio-vão e um quarto de vão da coluna F9.

3. Distribuição de tensões longitudinais nas extremidades (A e C) e no canto (B) da secção de meio-vão das colunas F3 e F9, para três valores diferentes de P/Pcr

representados na respectiva trajectória de pós-encurvadura (Figura 2.9).

Figura 2.8 - TPE das colunas estudadas e configuração deformada da secção de 1/2 vão das colunas F3 e F9 ([5])

Perante os resultados apresentados, os autores retiraram as seguintes conclusões:

 A trajectória de equilíbrio P/Pcr (β) é progressivamente mais flexível à medida que L aumenta; enquanto que as colunas mais curtas (F1 – F7) apresentam uma trajectória estável, as mais alongadas (F8 – F10) apresentam pontos limite bem definidos:

o Ou abruptos e com inversão da rotação de torção ( F₈ – F9).

o Ou suaves e sem inversão da rotação de torção (F10).

16

 A coluna F₁₀ corresponde à transição entre os modos críticos de encurvadura de flexão-torção e de flexão na menor inércia, apresentando uma curva P/Pcr(β) suave e um ponto limite bem definido relativamente prematuro.

 Nas colunas F8 e F9, as configurações deformadas passam abruptamente de uma única semionda para três semiondas pouco após ser atingida a carga crítica – facto esse que se verifica pela observação da trajectória de equilíbrio (Figura 2.8) e pela configuração da deformada a meio-vão e um quarto de vão da coluna F9 (Figura 2.9), notando que no ponto 3 as rotações, para uma e outra secção, se dão em sentidos diferentes.

 Os deslocamentos de flexão, seja na maior inércia (dM) e/ou na menor inércia (dm), são praticamente imperceptíveis (mas não inexistentes) na coluna F3 e na fase ascendente (pontos 1 e 2 da Figura 2.9) da trajectória de pós-encurvadura da coluna F9. No entanto, esses deslocamentos, em particular dm, tornam-se da ordem de β na fase descendente da curva de F9, após a transição na configuração deformada e estão associados a tensões de tracção nas regiões do canto da secção transversal.

 Á medida que a carga aumenta (P/Pcr>0,8) a distribuição de tensões passa a uma variação linear com transferência de compressões da extremidade para o canto da secção, com as seguintes diferenças:

o Os elementos mais curtos (F3) apresentam uma distribuição de tensões simétrica – associado a um estado de flexão composta com flexão na menor inércia.

o As colunas mais longas (F9) apresentam uma distribuição de tensões assimétricas – associada a flexão desviada.

Figura 2.9 - TPE, configuração deformada e distribuição de tensões na secção para colunas F3 e F9 ([5])

17

2.3.4. Importância dos deslocamentos no canto da secção

As diferenças significativas de comportamento observadas são devidas à ocorrência de flexão em torno dos eixos de maior e menor inércia nas cantoneiras, em particular nas mais longas. Este efeito traduz-se na existência de deslocamentos no canto da secção e, simultaneamente, na distribuição linear das tensões na secção  refira-se que até então a opinião geralmente aceite (Rasmussen KJR, 2005 citado por Dinis PB et al, 2012 - [3]) era a de que essas tensões teriam uma distribuição parabólica com valor máximo no canto da secção (equivalente a admitir que cada aba da cantoneira se comporta como uma placa longa com três bordos apoiados e um livre). Para confirmar o referido efeito, os autores efectuaram a análise de colunas iguais com as seguintes condições de apoio (ver esquema da Figura 2.10): (i) coluna FR (“fully restrained” – cantoneira biencastrada com o canto continuamente apoiado e impedido de sofrer translações no plano e) e (ii) placa longa (L>>b) (FP) com os bordos mais distantes encastrados, um bordo longitudinal livre e outro apoiado. Além disso, os autores obtiveram as trajectórias de equilíbrio P/Pcr relativas aos deslocamentos dM e dm, normalizados em relação à espessura (t) da secção, das colunas F3, F6 e F9, quer em termos da secção de meio vão (ver Figura 2.12) quer o perfil longitudinal desses deslocamentos para as três colunas em análise e para quatro níveis diferentes de carga (P/Pcr) (ver Figura 2.13). A observação desses resultados permitiu retirar as seguintes conclusões:

 Os resultados obtidos para as condições de FR e FP são coincidentes, tanto em termos de trajectória de pós-encurvadura, como em distribuição de tensões na secção.

Para além disso, as tensões apresentam agora a distribuição parabólica admitida por Rasmussen [3], afastando-se mais da distribuição uniforme à medida que “se aproxima” do meio-vão e que aumenta o rácio P/Pcr.

 Restringir os deslocamentos do canto, que se demonstrou terem uma participação significativa na pós-encurvadura das colunas F mais compridas, afecta significativamente o comportamento de pós-encurvadura das colunas, em particular, das mais compridas – todas as trajectórias se apresentam agora como estáveis e não apresentam pontos limite ou inversões de β.

 O deslocamento dM cresce gradualmente com a carga aplicada, uma vez que a flexão segundo o eixo de maior inércia pertence ao modo crítico de instabilidade e, assim, integra a imperfeição geométrica inicial e consequentemente a trajectória fundamental destas colunas.

 Enquanto que dM/t cresce monotonamente com P/Pcr no caso das colunas F3 e F6, F9

cresce até aproximadamente P/Pcr=1,05 e depois experiencia uma reversão de dM, que coincide com o crescimento abrupto dos deslocamentos de flexão na menor inércia (dm).

 É possível explicar a disparidade da ordem de grandeza dos deslocamentos dm nas três colunas ao observar-se com o rácio entre a carga de instabilidade (não-crítica) do modo de encurvadura de flexão na menor inércia (Pb,y) e a carga crítica (Pcr) de flexão- torção para cada caso (ver Tabela 2.2).

18

 Ambas as curvas apresentam “quartos de onda” exteriores (i.e. nas extremidades) responsáveis pelo declive nulo do perfil de deslocamentos – consequência das condições de apoio (coluna biencastrada) que impõem que as rotações seja nulas nas extremidades.

 O aparecimento e a configuração do perfil (três semiondas interiores) de deslocamentos dm

encontra explicação no fenómeno já explicado anteriormente e devido a Stowell (Stowell EZ, 1951 citado por Dinis PB et alumni, 2012 - [18]) – a variação da rotação de torção na secção faz surgir uma distribuição não-linear de tensões normais longitudinais, com concentração destas no canto da secção, que por sua vez introduzem flexão na menor inércia. Enquanto este comportamento é notável nas colunas de menor comprimento (F3 e F6), nas colunas mais longas (F9) é menos perceptível, uma vez que a carga de encurvadura do modo 3 e a carga crítica da coluna se encontram bastante próximas, estando este caso próximo do de transição entre modos críticos.

Figura 2.10 - Resultados das trajectória de equilíbrio e distribuição de tensões na secção de colunas FR e FP ([5])

19

Figura 2.11 - Perfil longitudinal de tensões no canto da secção de coluna FP e FR ([5])

Figura 2.12 - Trajectória de equilíbrio P/Pcr vs dM/t e P/Pcr vs dm/t de F3, F6 e F9 ([5])

Figura 2.13 -Perfil longitudinal de dM/t e dm/t para diferentes níveis de carga de F3, F6 e F9 ([5])

20

Tabela 2.2 - Rácio entre a carga de encurvadura do modo de flexão na menor inércia e a carga crítica das colunas F3, F6 e F9 ([5])

Coluna Pb,y/Pcr

F3 27.1

F6 5.5

F9 1.6

2.3.5. Comportamento elasto-plástico de pós-encurvadura

Dinis e Camotim [6] realizaram, para os comprimentos L1= 53 cm, L2= 133 cm, L3= 364 cm e L4= 700 cm, análises elasto-plásticas de pós-encurvadura em colunas encastradas com imperfeições iniciais dos modos críticos de amplitude igual a 0,1t e quatro rácios entre a tensão de cedência e a tensão crítica: fy/fcr≈1,3; 2,5; 5,0 e ∞ (elástico sem cedência). Os autores obtiveram as trajectórias P/P_cr(β) para os rácios fy/fcr já referidos das colunas F3 e F₄ (Figura 2.14) e os mecanismos de colapso, A e B, assinalados nas trajectórias para fy/fcr=2,5 – na mecanismo A as zonas sombreadas representam as deformações plásticas:

Figura 2.14 - TPE elasto-plástica das colunas F3 e F4 para diferentes valores de fy/fcr e mecanismos de colapso A e B ([6])

Da observação desta figura os autores concluíram que a coluna F3, para fy/fcr≈ 1,3 e 2,5, o colapso dá-se imediatamente após o início da cedência, enquanto para fy/fcr≈5 apresenta uma ligeira resistência elasto-plástica. A carga de colapso nesta coluna cresce visivelmente com fy.

O diagrama de deformações revela que a cedência ocorre em torno das secções de ¼ e ¾ de vão – secções onde as tensões longitudinais normais e transversais são mais elevadas.

A resistência limite da coluna F4 é praticamente insensível a fy, uma vez que o colapso é principalmente devido a efeitos geometricamente não-lineares. De facto, para fy/fcr≈ 2,5 e 5,0, a coluna mantém um comportamento elástico até ao colapso, uma vez que a ocorrência da cedência apenas se dá no troço descendente da trajectória de equilíbrio.

21

2.3.6. Dimensionamento através do Método da Resistência Directa

O Método da Resistência Directa (DSM – “Direct Strength Method” na designação anglo-saxónica) consiste num conjunto de expressões “tipo-Winter” calibradas através de um número substancial de resultados experimentais ou numéricos, que providenciam estimativas para a tensão última seguras e precisas, associadas a modos colapsos local (fnl), distorcional, global (fne) e local-global (fnle). Estas são baseados nas tensões críticas de encurvadura local (fcrl), distorcional (fcrd) e global (fcre) e na tensão de cedência (fy). Para cantoneiras enformadas a frio, as expressões são:

𝑓𝑛𝑙 = {

𝑓𝑦 𝑠𝑒 𝜆𝑙 ≤ 0.776 𝑓𝑦(𝑓𝑐𝑟𝑙

𝑓𝑦)

0.4[1 − 0.15(𝑓𝑐𝑟𝑙

𝑓𝑦)^0.4] 𝑠𝑒 𝜆𝑙 > 0.776 𝑐𝑜𝑚 𝜆𝑙 = √𝑓𝑦 𝑓𝑐𝑟𝑙

(2.16)

𝑓𝑛𝑒 = {

𝑓𝑦(0.658^𝜆𝑐2) 𝑠𝑒 𝜆𝑐 ≤ 1.5 𝑓𝑦 (0.877

𝜆𝑐² ) 𝑠𝑒 𝜆𝑐 > 1.5 𝑐𝑜𝑚 𝜆𝑐 = √ 𝑓𝑦 𝑓𝑐𝑟𝑒

(2.17)

𝑓𝑛𝑙𝑒 = {

𝑓𝑛𝑒 𝑠𝑒 𝜆𝑙𝑒 ≤ 0.776 𝑓𝑛𝑒^{(𝑓𝑐𝑟𝑙}_𝑓𝑛𝑒^)0.4[1 − 0.15(𝑓𝑐𝑟𝑙

𝑓𝑛𝑒)^0.4] 𝑠𝑒 𝜆𝑙𝑒 > 0.776 𝑐𝑜𝑚 𝜆𝑙 = √𝑓𝑛𝑒 𝑓𝑐𝑟𝑙

(2.18)

Como foi referido, estas expressões ignoram o facto das cantoneiras instabilizarem, de facto, em modos flexo-torsionais e que as características destes modos varia significativamente ao longo do patamar horizontal Pcr(L) o que se traduz na necessidade de definir um novo conjunto de curvas que considerem esse facto.

2.5.9.1 Rasmussen (2006)

Rasmussen (Rasmussen KJR, 2006 citado por Dinis PB e Camotim D, 2014 - [4]) chegou às seguintes expressões para o dimensionamento de colunas P:

𝑓𝑛𝑙 = 𝜌 × 𝛽 × 𝑓𝑦 (2.19)

𝜌 =𝐴_𝑒 𝐴 = {

1 𝑠𝑒 𝜆𝑙 ≤ 0.673 𝜆𝑙 − 0.22

𝜆𝑙² 𝑠𝑒 𝜆𝑙 > 0.673

(2.20)

𝛽 = {

1 𝑠𝑒 𝜆𝑙 ≤ 1.22 0.68

(𝜆𝑙 − 1)² 𝑠𝑒 𝜆𝑙 > 1.22

(2.21)

Este autor considerou o efeito da alteração da posição do centróide efectivo (“effective centroid shift”) através do parâmetro β e os efeitos da encurvadura “local” através dos factor de redução da área efectiva, ρ. Assim, Rasmussen [4] assume que flexão-torção está incluída no modo local (torsional) de placa e, portanto, também no conceito de largura efectiva (ver capítulo 2.2.1.3.) e inclui apenas a encurvadura por flexão no modo global (fne).

Como consequência destas considerações, ignora-se o facto de que estes elementos

«instabilizam num modo global de flexão-torção e que as características mecânicas deste