Mostra-se, na Tabela 8, as posi¸c˜oes de cada heur´ıstica em rela¸c˜ao aos resultados da redu¸c˜ao de largura de banda, da redu¸c˜ao de profile e do custo computacional. Considerou-se os resultados em todas as 113 matrizes da Harwell-Boeing. Para a largura de banda e o profile, foram somados os n´umeros de “vit´orias” de cada heur´ıstica, ou seja, o n´umero de vezes em que cada heur´ıstica obteve o melhor resultado. Para o custo computacional, somou-se os tempos de cada heur´ıstica nas 113 instˆancias da Harwell-Boeing.
Pode-se observar, na Tabela 8, que a heur´ıstica que mais vezes obteve o melhor resultado nas redu¸c˜oes de largura de banda e de profile foi a heur´ıstica VNS-band. Por´em, o custo computacional dessa heur´ıstica foi o pior. Entretanto, como mostrado nas se¸c˜oes 4.2 e 4.4, pode-se obter boas redu¸c˜oes de largura de banda e de profile com a heur´ıstica VNS-band com poucos segundos. N˜ao ´e necess´ario utilizar 500s como Mladenovic et al. (2010) utilizaram.
Algumas heur´ısticas merecem destaque. A heur´ıstica BeL-GL foi a heur´ıstica mais r´apida e obteve resultados razo´aveis nas redu¸c˜oes de largura de banda e de profile. A heur´ıstica CMr-GL, a segunda heur´ıstica mais r´apida, tamb´em apresentou resultados razo´aveis nas redu¸c˜oes de largura de banda e de profile. A heur´ıstica GPS obteve bons resultados nas redu¸c˜oes de largura de banda e de profile e foi relativamente r´apida.
Tabela 8 Posi¸c˜oes, de cada heur´ıstica, em rela¸c˜ao ao n´umero de “vit´orias”
obtidas nas 113 matrizes da base Harwell-Boeing. S˜ao apresentadas
as respectivas posi¸c˜oes em rela¸c˜ao `a largura de banda (β ), ao profile e
ao custo computacional (t). Heur´ıstica β profile t (s) CMr-GL 6o 4o 2o BeL-GL 5o 5o 1o hGPHH 8o 10o 3o WBRA-GL 9o 8o 6o VNS-Band 1o 1o 11o FNCHC 2o 6o 8o GPS 3o 2o 4o GGPS 4o 3o 5o BL 10o 7o 7o WBRA 7o 9o 9o CSS-Band 11o 11o 10o
que obteve o menor somat´orio do escore padronizado. Observa-se que, no conjunto das matrizes muito pequenas sim´etricas e assim´etricas, a heur´ıstica que obteve as melhores redu¸c˜oes de largura de banda e de profile foi a heur´ıstica FNCHC. Nas instˆancias pequenas, sim´etricas e assim´etricas, a heur´ıstica que obteve os menores somat´orios de escore padronizado, para largura de banda e profile, foi a heur´ıstica VNS-band. Ainda, pode ser observado que a heur´ıstica VNS-band obteve esses resultados com um custo computacional relativamente baixo, o maior tempo foi 12s.
Ao todo, s˜ao 80 matrizes pequenas e 33 matrizes muito pequenas que s˜ao divididas em sim´etricas e assim´etricas. Como o n´umero de matrizes pequenas ´e maior que o n´umero de matrizes muito pequenas, pode-se considerar que a heur´ıstica VNS-band obteve as melhores redu¸c˜oes de largura de banda e de profile nas matrizes da base Harwell-Boeing.
Tabela 9 Heur´ısticas que obtiveram os menores somat´orios de escore padronizado
(∑x− ¯xσ ), em cada conjunto de instˆancia. S˜ao apresentados os resultados
em rela¸c˜ao `a largura de banda (β ) e profile.
Instˆancias Quantidade Tipo β profile
Muito pequenas 15 Sim´etricas FNCHC FNCHC
18 Assim´etricas
Pequenas 35 Sim´etricas VNS-Band (8s) VNS-Band (12s) 45 Assim´etricas VNS-Band (9s)
Os resultados mostrados na Tabela 8 e 9 corroboram com os resultados obtidos por Mladenovic et al. (2010). Podemos reafirmar que a heur´ıstica VNS-band ´e a heur´ıstica no estado da arte para a redu¸c˜ao de largura de banda. Em rela¸c˜ao ao profile, a heur´ıstica VNS-band tamb´em foi a melhor. Por´em, n˜ao se pode afirmar que ela ´e o estado da arte para a redu¸c˜ao de profile.
5 SIMULA ¸C ˜OES COM RESOLU ¸C ˜AO DE SISTEMAS DE
EQUA ¸C ˜OES LINEARES
Neste Cap´ıtulo, mostram-se os resultados dos testes com a resolu¸c˜ao de SELs pelo MGC precondicionado pelo m´etodo de Jacobi (MGCPJ) e pela fatora¸c˜ao incompleta de Cholesky com zero fill-in (MGC-IC0). Para isso, foram utilizadas trˆes conjuntos de SELs, conforme descrito na se¸c˜ao 3.3. Para cada conjunto de instˆancias, resolveu-se os SELs pelo MGCPJ e pelo MGC-IC0 com e sem as redu¸c˜oes de largura de banda e de profile pelas heur´ısticas para a redu¸c˜ao de largura de banda.
Para os testes com a resolu¸c˜ao de SELs, todas as heur´ısticas para a redu¸c˜ao de largura de banda, implementadas neste trabalho, foram utilizadas, com a exce¸c˜ao da heur´ıstica WBRA de Esposito et al. (1998). Isso porque essa heur´ıstica apresentou muita ocupa¸c˜ao de mem´oria e custo computacional elevado em rela¸c˜ao `as outras heur´ısticas. Por exemplo, em uma instˆancia com, aproximadamente, 30.000 v´ertices, a heur´ıstica WBRA ocupou cerca de 5 GiB de mem´oria. Isso ocorreu pois a heur´ıstica WBRA gera as estruturas de n´ıvel enraizadas de todos os v´ertices do grafo. Em seguida, todas as estruturas de n´ıvel enraizadas que apresentarem largura de n´ıvel menor que a largura de banda original ser˜ao armazenadas. Como as matrizes dos SELs utilizadas neste trabalho possuem largura de banda original grande, todas as estruturas de n´ıvel enraizadas s˜ao armazenadas. Com isso, a ocupa¸c˜ao de mem´oria, pela heur´ıstica WBRA, ´e grande e tornou a utiliza¸c˜ao dessa heur´ıstica impratic´avel em instˆancias maiores que as instˆancias da Harwell-Boeing.
Na heur´ıstica VNS-Band, inicialmente, utilizou-se o tempo m´aximo de execu¸c˜ao de um segundo. Na tentativa de se obterem melhores resultados
na resolu¸c˜ao de SELs com a renumera¸c˜ao obtida pela heur´ıstica VNS-Band, utilizou-se, tamb´em, outros valores para o tempo m´aximo de execu¸c˜ao.
Na heur´ıstica CSS-Band, utilizou-se, como crit´erio de parada, dez itera¸c˜oes e uma part´ıcula carregada a cada 1.000 v´ertices nas instˆancias com at´e 50.000 v´ertices. Nas instˆancias com 50.000 a 499.999 v´ertices, utilizou-se uma itera¸c˜ao e uma part´ıcula carregada a cada 10.000 v´ertices. Para instˆancias com mais de 500.000 v´ertices, utilizou-se uma itera¸c˜ao e uma part´ıcula carregada a cada 20.000 v´ertices.
Nas se¸c˜oes 5.1 e 5.2, s˜ao descritas as estruturas das tabelas dos resultados com as simula¸c˜oes do MGCPJ e MGC-IC0, respectivamente. Os resultados da resolu¸c˜ao de SELs oriundos da discretiza¸c˜ao da condu¸c˜ao do calor s˜ao mostrados na se¸c˜ao 5.3. Os resultados da resolu¸c˜ao de SELs oriundos da discretiza¸c˜ao da equa¸c˜ao de Laplace s˜ao mostrados na se¸c˜ao 5.4.