Anel de Polinómios sobre Anéis Comutativos om Identidade

dade

Nesta se ção far-se-á um estudo sobre anéis de polinómios numa indeterminada analisando

on eitoseresultadostais omoadivisibilidadeeafa torização. Começar-se-áporapresentar

umadeniçãoformal depolinómio numaindeterminada.

Denição 3.3.1. Seja

R

um anel. Uma su essão

p = (a

i

)

i∈N

0

de elementos de

R

tal que

a

i

= 0

a partir de erta ordem

m∈ N

0

, diz-se um polinómio. Se

p = (a

i

)

i∈N

0

e

a

i

= 0

, para todo

i

∈ N

0

, es reve-se

p = 0

. Pode-se es rever



a

1

,

a

2

,

a

3,

. . .



em vez de

(a

i

)

i∈N

0

. Dois polinómios

(a

i

)

i∈N

0

e

(b

i

)

i∈N

0

dizem-se

iguaissee sóse,paratodo

i∈ N

0

,

a

i

= b

i

.

Denição 3.3.2. Dado um polinómio

p

6= 0

, hama-se grau de

p

ao maior

m∈ N

0

tal que

a

m

6= 0

.

Se

p = 0

dene-se graude

p

omo sendo

−∞

. Um polinómio



a

,

0

,

0

,

. . .



diz-

se uma onstante e representa-se por

a

. No onjunto

P (R)

de todos os polinómios em

R

, dene-se asseguintes operaçõesde adiçãoe multipli ação:

paratodos

p = (a

i

)

i∈N

0

e

q = (b

i

)

i∈N

0

,

p + q = (a

i

+ b

i

)

i∈N0

onde

c

i

=

X

a

j

j+k=i

b

k

.

Proposição 3.3.3. Seja

R

um anel ( omutativo om identidade). Então

P (R)

é um anel ( omutativo om identidade) e

Φ : R

→ P (R)

denida por

Φ(a) =



a

,

0

,

0

,

. . .



,

para todo

a∈ R

é uma bije ção de anéis.

Demonstração. Note-sequeo simétri odo polinómio



a

1

,

a

2

,

a

3,

. . .



é opolinómio



−a

1

,

−a

2

,

−a

3,

. . .



e

p = 0

é o zero do anel

P (R)

. O resto da demonstração  a ao uidadodo leitor.

Seja

A

umanel omidentidade. onsidere-se

x =



0

,

1

,

0

,

. . .

,

0

,

. . .



. Pode-

seprovar fa ilmente que,paratodo

n∈ N

,

x

n

=

0

,

0

,

. . .

,

0

,

1

,

0

,

. . .



.

Dena-se

1 =



1

,

0

,

0

,

. . .



a identidade de

P (R)

, pode-se veri ar que dado

p =

a

0

,

a

1

,

. . .

,

a

n

,

0

,

0

,

. . .



,

p = a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

+· · · + a

n

x

n

= a

n

x

n

+· · · + a

1

x + a

0

.

O polinómio

x

(de grau

1)

hama-se indeterminada sobre

R

. Com esta notação, o polinómio

p

poderá denotar-se por

p(x)

. Usar-se-á as duas notações sempre que isso for ne essário.

Um elemento

p(x) = a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

_{+· · · + a}

n

x

n

de

P (R)

diz-se um polinómio na indeterminada

x

om oe ientes em

R

. Se

p(x)

tem grau

n≥ 0

,ao oe iente

a

n

hama-se oe iente dire tor de

p(x)

. Um polinómio diz-se móni o se o seu oe iente dire tor é

1

. Representa-se o anel

P (R)

,sendo

R

umanel omutativo omidentidade,por

R[x]

.

Exemplo 3.3.4. Seja

R = Z

e

p =



2

,

−3

,

0

,

5

,

0

,

0

,

. . .



. Então

p =



2

,

0

,

0

,

. . .



+

0

,

−3

,

0

,

0

,

. . .



+

0

,

0

,

0

,

5

,

0

,

. . .



= 2_{− 3x + 5x}

3

.

Note-se que

R[x]

não é orpo, mesmo se

R

for orpo. De fa to, neste aso, os úni os elementosinvertíveisde

R[x]

sãoospolinómios onstantes



a

,

0

,

0

,

. . .



, omo

a6= 0

. No quesesegue

R

serásempre umanel omutativo om identidade.

Denição 3.3.5. Sejam

R

um anel omutativo om identidade e

p(x) = a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

₊

· · · + a

n

x

n

um polinómio om oe ientes em

R

. à apli ação

f

p

,

f

p

:

R

→ R

c

_{→ a}

0

+ a

1

c + a

2

c

2

+· · · + a

n

c

n

hama-se função polinomialdenida por

p

. Para

c∈ R

es reve-se

p(c)

em vez de

f

p

(c)

.

Note-seque se

p(x) = c

é onstante,entãoa função polinomial

f

p

:

R

→ R

a

_{→ p(a) = c}

é onstante. Em parti ular, se

p(x) = 1

,então

p(a) = 1

,paratodo

a∈ R

. Note-se ainda quedadosumanel

R

epolinómios

p(x)

,

q(x)∈ R[x]

,podemoster

p(x)6= q(x)

e

f

p

= f

q

. De fa to,veja-se o exemplo:

Exemplo 3.3.6. Sejam

A = Z

2

,

p(x) = 1 + x

e

q(x) = 1 + x

3

. Logo

p6= q

, mas

f

p

:

Z

2

→ Z

2

0

→ 1

1

_{→ 0}

e

f

q

:

Z

2

→ Z

2

0

→ 1

1

_{→ 0}

donde

f

p

= f

q

.

éimportante não onfundiro onjunto

R[x]

de todosospolinómios om oe ientesnum anel

R

om o onjunto de todas as funções polinomiais. Note-se que a natureza dos seus elementos

é diferente.

Segue-seagoraa denição de raízde umpolinómio.

Denição3.3.7. Sejam

R

um anel omutativo om identidadee

p(x)∈ R[x]

. Um elemento

α

_{∈ R}

diz-se raíz do polinómio

p

se

p(α) = 0

, isto é,

α

é um zero da função polinomial

f

p

:

R

→ R

.

Teorema 3.3.8. Seja

R

um anel omutativo om identidade. Se

a

∈ R

, a apli ação de substituição

ǫ

a

:

R[x]

→ R

p(x)

_{→ p(a)}

Demonstração. A demonstração édeixada ao uidado do aluno.

Mais, hama-se a atenção que é útil que o anel dos oe ientes seja omutativo om

identidade. Viu-se que a identidade é ne essária para denir o elemento

x

. Quanto ao papelda omutatividade, ela permite denir ohomomorsmo de substituição paraqualquer

elemento de

R

. Como exemplo, suponha-se que

R

não era omutativo, e tomem-se dois elementos

a, b∈ R

,e onsidere-se opolinómio

(x_{− a)(x − b) = x}

2

_{− (a + b)x + ab.}

Seagorasubstituirmos

x

por

a

,viria,naigualdadeanterior,

0 = ab−ba

. épor ausadeste tipode problemasque,emanéisnão omutativos,sósedene homomorsmodesubstituição

paraelementosdo entrodoanel,istoé,paraelementosque omutem omtodososelementos

de

R

.

Teorema 3.3.9. Seja

R

um anel omutativo om identidade. Então

R[x]

é um anel omu- tativo om identidade. Se

R

é domínio deintegridade então

R[x]

tambémo é.

Demonstração. Demonstre-seapenasquese

R

não temdivisoresde zeroentão

R[x]

também não tem. Suponha-se então que

R

é umdomínio deintegridade. Sejam

p(x) = a

n

x

n

_{+· · · +}

a

1

x + a

0

6= 0

e

q(x) = b

m

x

m

_{+ b}

m−1

x

m−1

+· · · + b

1

x + b

0

6= 0

, om

grau p(x) = n

e

grau

q(x) = m

. Então

a

n

, b

m

6= 0

e

p(x)q(x) = a

n

b

m

x

n+m

+· · · + (a

0

b

1

+ a

1

b

0

)x + a

0

b

0

.

Como

R

nãotem divisoresdezero,obtém-se

a

n

b

m

6= 0

e,portanto,

p(x)q(x)6= 0

. Logo

R[x]

não temdivisores de zero.

Corolário 3.3.10. Se

R

é um domínio de integridade e

p(x), q(x)∈ R[x]\{0}

têm grau

n

e

m

respe tivamente, então

p(x)q(x)

tem grau

n + m

.

Deummodogeral, se

R

éumanel arbitrário,dados

p(x)

,

q(x)∈ R[x]

tem-se

grau (p(x) + q(x))_{≤ max{grau p(x), grau q(x)},}

grau (p(x)q(x))≤ grau p(x) + grau q(x).

Re orde-se que o grau do polinómio nulo foi denido om sendo

−∞

, assim, o orolário anteriorfaz sentido mesmoquando

p

ou

q

sãopolinómiosnulos.

3.3.1 Divisibilidade

Nestasubse çãovamosdemonstrar queno aneldospolinómios om oe ientes num orpoé

válido umalgoritmode divisão muitosemelhante ao queé válido nosinteiros.

Lema 3.3.11. Sejam

f, g∈ R[x], f, g 6= 0

. Seo oe iente dire torde

f

,ouo de

g

, foruma unidade, então

f g6= 0

e

grau (f g) = grau (f ) + grau(g)

.

Teorema 3.3.12. Sejam

R

umanel e

f, g∈ R[x]

. Suponha-seque

f

6= 0

e que o oe iente dire tor de

f

é uma unidade de

R

. Então existem

q, r∈ R[x]

, univo amente denidos, tais que

g = qf + r

e

grau r < grau f.

Demonstração. Se

grau g < grau f

, então

g = 0f + g

é uma de omposição nas ondições pretendidas. Senão, tome-se

m = grau g

≥ n = grauf

e usa-se agora indução em

m

. Seja

f (x) = ux

n

_{+ ax}

n−1

_{+· · ·}

,e

g(x) = bx

m

_{+ cx}

m−1

_{+· · ·}

onde

u

é umaunidade, por hipótese, e

b6= 0

. Considere-seentãoo polinómio

bu

−1

x

m−n

f

omúltiplo de

f

quesubtraídoa

g

lhefarádiminuir ograu. Temos então,

g

1

=

g− bu

−1

x

m−n

f

=

(bx

m

_{+ cx}

m−1

_{+· · · ) − bu}

−1

_x

m−n

_(ux

n

_{+ ax}

n−1

_{+· · · )}

=

0x

m

_{+ (c− bu}

−1

_a)x

m−1

_{+· · ·}

Tem-seentãoque

grau g

1

< grau g

,portanto,porindução,existem

q

1

e

r

taisque

g

1

= q

1

f +r

, om

grau r < grau f

. Assim,

g = g

1

+ bu

−1

x

m−n

f = (q

1

+ bu

−1

x

m−n

)f + r.

Pondo

q = q

1

+bu

−1

_x

m−n

tem-seaexistên iadade omposiçãonas ondiçõespretendidas.

Restavera uni idade. Suponha-se então que

g = q

′

f + r

'e

grau r

′

_{< grau f.}

Então

r− r

′

_{= (q}

′

_{− q)f}

. Se

q

′

_{− q 6= 0}

,então omoo oe ientedire torde

f

é umaunidade,

(q

′

_{− q)f 6= 0}

pelolema anterior, e

donde

grau (r

− r

′

₎

_{≥ grau (q − q}

′

_{) + grau f}

, o que é falso. Assim,

q = q

′

e portanto

r_{− r}

′

= (q

′

_{− q)f = 0}

e

r = r

′

.

Apresenta-se ainda oTeorema doResto:

Teorema 3.3.13. Seja

R

um anel omutativo om identidade. Se

f (x)

∈ R[x]

e

a

∈ R

, entãoo restoda divisãode

f (x)

pelo polinómio

x− a

é

f (a)

.

Demonstração. Usa-se o algoritmo da divisão em

R[x]

para dividir

f

por

x− a

. Repare-se queo oe iente dire torde

x− a

é umaunidade. Tem-se

f (x) = q(x)(x_{− a) + r(x),}

om

grau r < 1 = grau (x− a)

, ou seja,

r

é uma onstante. Substituindo

a

em ambos os polinómios, obtém-se

f (a) = r

,queerao pretendido.

Como onsequên iatem-se:

Corolário 3.3.14. Se

R

é um anel omutativo om identidade,

f (x)∈ R[x]

e

a∈ R

, então

x_{− a}

divide

f (x)

se e só se

f (a) = 0

.

Corolário3.3.15. Sejam

R

um domíniodeintegridade e

f (x)∈ R[x]\{0}

degrau

n

. Então

f (x)

tem no máximo

n

raízes distintas.

No documento Estruturas Algébricas (páginas 132-137)