Estruturas Algébricas

(1)

Paulo J.Almeida

Enide Martins

(2)

(3)

1 Preliminares 1

1.1 Conjuntos esub onjuntos . . . 1

1.2 Relações . . . 4

1.2.1 Classi ação da RelaçõesBinárias: . . . 4

1.2.2 Relaçõesdeequivalên ia . . . 5 1.2.3 Partições . . . 7 1.2.4 Classesde Equivalên ia . . . 8 1.2.5 Conjunto o iente . . . 9 1.2.6 Exer í ios . . . 11 1.3 Funções . . . 14

1.3.1 Relação de Equivalên ia Asso iada aumaFunção . . . 14

1.3.2 De omposição Canóni a deumaFunção . . . 15

1.3.3 Exer í ios . . . 17

1.4 Con eitosBási os de Estruturas Algébri as . . . 18

1.4.1 OperaçõesInternas . . . 18

1.4.2 OperaçõesExternas . . . 20

1.4.3 Estruturas e Subestruturas Algébri as . . . 20

1.4.4 Grupóides,Semigrupose Monóides . . . 22

1.4.5 Homomorsmo deGrupóides . . . 24

1.4.6 Exer í ios . . . 26

2 Tópi os sobre Teoria de Grupos 29 2.1 Propriedades Elementares . . . 29

2.1.1 GruposFinitoseTabelas de Entradas . . . 32

(4)

2.1.3 Potên ias numGrupo . . . 37

2.1.4 Conjugado e Comutador . . . 38

2.1.5 Exer í ios . . . 40

2.2 Subgrupos . . . 42

2.2.1 Cara terização de Subgrupos . . . 44

2.2.2 Interse ção eUnião de Subgrupos. . . 47

2.2.3 Subgrupo Gerado . . . 49

2.2.4 Exer í ios . . . 50

2.3 Classes Lateraise Teorema deLagrange . . . 52

2.3.1 Exer í ios . . . 58

2.4 SubgruposNormais. DeniçãoeCara terização . . . 60

2.4.1 Exer í ios . . . 61

2.5 Homomorsmo de Grupos . . . 62

2.5.1 Exer í ios . . . 66

2.6 GruposCo iente . . . 67

2.6.1 Exer í ios . . . 68

2.7 Teorema Fundamental do Homomorsmode Grupos . . . 69

2.7.1 Exer í ios . . . 74

2.8 GruposCí li os . . . 76

2.8.1 Propriedades da Ordemde umElemento . . . 78

2.8.2 Cara terização dosSubgruposdosGruposCí li osFinitos . . . 81

2.8.3 Exer í ios . . . 84

2.9 O Grupo Simétri o . . . 86

2.9.1 Produto de Permutações . . . 87

2.9.2 Classe de Permutações Comutáveis . . . 88

2.9.3 De omposição deumapermutação num produto de i los . . . 89

2.9.4 PermutaçõesConjugadas . . . 92

2.9.5 Regra Práti a parao Cál ulode umaPermutação Conjugada . . . 93

2.9.6 Transposições . . . 93

2.9.7 Paridade de umaPermutação . . . 95

2.9.8 Teorema de Cayley . . . 97

(5)

3 Tópi os sobre Teoria de Anéis 103

3.1 Anéis e Homomorsmos . . . 103

3.1.1 Con eitosElementares . . . 103

3.1.2 Divisoresde ZeronumAnel . . . 106

3.1.3 Subanéis . . . 108

3.1.4 Homomorsmos de Anéis . . . 108

3.1.5 Nú leo de umhomomorsmode anéis . . . 110

3.1.6 AnelCo iente . . . 111

3.1.7 Exer í ios . . . 112

3.2 Ideais deumAnel . . . 113

3.2.1 Teorema Fundamental doHomomorsmo . . . 115

3.2.2 IdealGerado por umConjunto. Ideal Prin ipal . . . 119

3.2.3 Estruturade umIdealPrin ipal. . . 119

3.2.4 Ideais Primose IdeaisMaximais . . . 121

3.2.5 Exer í ios . . . 124

3.3 Anelde Polinómios sobre AnéisComutativos omIdentidade . . . 126

3.3.1 Divisibilidade . . . 130

(6)

(7)

Preliminares

1.1 Conjuntos e sub onjuntos

Chama-se onjunto a qualquer ole ção bem denida de obje tos, que serão hamados

ele-mentosdo onjunto. Aexpressão`bemdenida' éne essária, porque nemtodaa ole çãode

obje tos podeser onsideradaum onjunto,devidoao famosoparadoxode BertrandRussell:

Paradoxo: Seja

A

a ole çãodetodosos onjuntosquenãosãoelementosdesipróprios. Suponhamos que

A

é um onjunto. Se

A

for elemento de

A

então por denição do onjunto

A

, obtém-se que

A

não é elemento de si próprio. Se

A

não é elemento de si próprio, então por denição do onjunto

A

tem-se que

A

é elemento de si próprio. Portanto,

A

não pode

ser um onjunto.

Os onjuntosserão representadosporletrasgrandeseosseuselementosporletras

peque-nas. A notação

a

_{∈ A}

signi a que

a

é elemento de

A

(ou

a

perten e a

A

), A negação de

a

∈ A

é denotada por

a

_{6∈ A}

. Conjuntospodemserdenidoses revendoosseuselementosentre havetas, omopor exemplo,

{1, 7, 11}

ouatravés deuma des riçãoformaldosseus elementos, da forma

A =

{a | a

tema propriedade

P

},

i. e., o onjunto

A

é formado pelos elementosque veri amuma ertapropriedade

P

. Chama-se ardinalde

A

aonúmero deelementosdo onjunto

A

eestenúmeroédenotado por

|A|

.

(8)

Dadosdois onjuntos

A

e

B

,sequalquerelementode

A

perten era

B

,es revemos

A

⊆ B

e dizemos que

A

é umsub onjunto de

B

ou que

A

está ontido em

B

. Se

A

⊆ B

e

B

⊆ A

entãodizemos que

A

é iguala

B

ees revemos

A = B

.

A um onjunto omzero elementos hamamos onjunto vazio. Claramente, um onjunto

vazio é sub onjunto de qualquer outro onjunto, e portanto, atendendo à denição de

igual-dadede onjuntos, há umúni o onjunto vazio,que denotamospor

∅

(ou por

{}

). Alguns outros onjuntos tambémtêm umanotaçãoxa, omo por exemplo

N, Z, Q, R, C

e

H,

que representam, respe tivamente, os onjuntos formados por números naturais

1, 2, 3, . . .

, por inteiros, porra ionais, por reais, por omplexose por quaterniões.

Podemos obternovos onjuntosapartir de onjuntosdadosutilizandooperaçõesem

on-juntos. Vejamos algumasdestasoperações. Sejam

A

e

B

onjuntos, então

•

a união de

A

e

B

é o onjunto formado pelos elementos que perten em a

A

ou a

B

(podendo perten er aambos). Denotamoseste onjunto por

A

∪ B

. Assim,

A

_{∪ B = {x | x ∈ A}

ou

x

∈ B};

•

a interse çãode

A

e

B

éo onjunto formadopeloselementosqueperten ema

A

ea

B

, simultaneamente. Denotamoseste onjunto por

A

∩ B

. Assim,

A

∩ B = {x | x ∈ A

e

x

∈ B};

•

a diferença entre

A

e

B

(ou omplemento relativo de

B

em

A

) é o onjunto formado peloselementosqueperten ema

A

enãoperten ema

B

. Denotamoseste onjunto por

A

\ B

. Assim,

A

\ B = {x | x ∈ A

e

x

6∈ B};

•

a união disjuntaentre

A

e

B

é o onjunto formado pelos elementosque estãoemume um sódos onjuntos

A

ou

B

. Denotamos este onjunto por

A

⊕ B

. Note-se que

A

_{⊕ B = A ∪ B \ A ∩ B.}

(9)

Dene-se também união e interse ção de ole ção arbitrária de onjuntos

{A

i

| i ∈ I}

, indexados num onjunto

I

,quedenotamospor

[

i∈I

A

i

=

{x | x ∈ A

i

,

paraalgum

i

∈ I}

e

\

i∈I

A

i

=

{x | x ∈ A

i

,

paraqualquer

i

∈ I}.

Em seguida,vamos listaras propriedades fundamentais da união, interse ção ediferença

de onjuntos, ujademonstração a omo exer í io.

Proposição 1.1.1. Sejam

A, B

e

C

onjuntos e onsidere-se a ole ção

{B

i

| i ∈ I}

. São válidas as seguintes armações:

(i)

A

∪ B = B ∪ A

e

A

∩ B = B ∩ A

; (ii)

(A

∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

; (iii)

(A

∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

; (iv)

A

∪ A = A = A ∩ A

; (v)

A

∪ ∅ = A

e

A

∩ ∅ = ∅

; (vi)

A

_\

[

i∈I

B

i

!

=

\

i∈I

(A

_{\ B}

i

)

e

A

\

i∈I

B

i

!

=

[

i∈I

(A

\ B

i

) .

Dadauma ole çãonitade onjuntos

A

1

, A

2

, . . . , A

n

, hamamos

n

-uploaumasequên ia de elementos

a

1

, a

2

, . . . , a

n

tais que

a

i

∈ A

i

,para ada

i

∈ {1, 2, . . . , n}

e denota-mo-lo por

(a

1

, a

2

, . . . , a

n

)

. O onjunto de todosos

n

-uplos é denotadopor

A

1

× A

2

× · · · × A

n

e édenominado por produto artesiano dos onjuntos

A

1

, A

2

, . . . , A

n

.

Dadoum onjunto

A

, hama-separtesde

A

ao onjuntoformadoportodosossub onjuntos de

A

,in luindoo onjunto vazioe opróprio onjunto

A

. Denota-se este onjunto por

P (A)

.

(10)

1.2 Relações

Noque sesegue

E

e

F

sãodois onjuntosnão vazios.

Denição1.2.1. Chama-serelação de

E

para

F

atodoo sub onjunto doproduto artesiano

E

_{× F}

.

Denição1.2.2. Chama-serelaçãobinária(ousimplesmente relação) denidaem

E

a todo o sub onjunto do produto artesiano de

E

× E

.

Usualmente

E

2

signi a

E

× E

,

E

3

signi a

E

× E × E

( onjunto dosternos ordenados de elementos de

E

). Mais geralmente

E

n

signi a o onjunto dos

n

−

uplos ordenados de

E

. Assim, hama-serelação

n

−

áriasobre

E

aqualquer sub onjuntode

E

n

,onde

n

éuminteiro positivo.

Se

R

éumarelação bináriadenidaem

E

,em termosde notaçãoes reve-se

(a, b)

∈ R

ou

a R b,

paradesignarque

(x, y)

éumelemento de

R

. Se

(x, y)

nãoé umelemento de

R

es reve-se

(a, b) /

∈ R

ou

a

R b.

Exemplo1.2.3. Considere-seo onjunto

X =

{1, 2, 3}

. O onjunto

R =

{(1, 1), (2, 3), (3, 2)}

é uma relação binária denidaem

X

pois é umsub onjunto de

X

× X

.

Mais,

(1, 1)

∈ R

mas opar

(2, 2) /

∈ R

.

Exemplo 1.2.4. Sejam

X =

{1, 2, 3, 4}

e

R =

{(x, y) ∈ X × X : x + y ≤ 5}

. Tem-se

R =

_{{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)} ⊆ X × X.}

Então

R

é uma relação binária denidaem

X

.

1.2.1 Classi ação da Relações Binárias:

Seja

E

um onjunto e

R

uma relaçãobináriadenidaem

E

. Diz-se que

R

é umarelação:

1. Reexivaseparatodo

x

∈ E

,tem-se

x R x

;

2. Simétri a separaquaisquer

x, y

∈ E

queveriquem

x R y

tem-se

y R x

;

(11)

4. Anti-simétri aseparaquaisquer

x, y

∈ E

,queveriquem

x R y

e

y R x

,tem-se

x = y

;

5. Tri otómi a separaquaisquer

x, y

∈ E

,tem-se

x R y

ou

y R x

,ou

x = y

.

Denição 1.2.5 (Relação de equivalên ia). Diz-se que

R

é uma relaçãode equivalên ia se

R

é reexiva, simétri a e transitiva.

Denição1.2.6(Relaçãode ordem). Diz-seque

R

éuma relaçãodeordem se

R

éreexiva, anti-simétri a e transitiva.

1.2.2 Relações de equivalên ia

Exemplo 1.2.7. Seja

B =

{a, b, c, d}

e

R =

_{{(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a), (c, d), (d, c)}.}

A relação

R

é uma relação de equivalên ia.

Exemplo 1.2.8. Sejam

P

o onjunto de todas as pessoas e

D

a relação "ter o mesmo pai que". A relação

D

é uma relação de equivalên ia.

Exemplo 1.2.9. Seja

Z

o onjunto dos inteiros. Dena-se

∼

em

Z

por

x ∼ y

se e só se

x

− y

é par. A relação

∼

é uma relação deequivalên ia.

Exemplo 1.2.10. (Congruên ia módulo

p

) Sejam

h, k

∈ Z

e

n

∈ Z

+

. Diz-se que

h

é ongruente om

k

módulo

n

see sóse

h

− k

é divisível por

n

, ouseja,

h

− k = sn

,paraalgum

s

_{∈ Z}

, e es reve-se

h

≡ k mod n

(ou

h

≡ k( mod n)

). De forma equivalente também se es reve

h

≡ k mod n

, se e só se os restos das divisões de

h

e

k

por

n

são iguais. A relação anterior é uma relação de equivalên ia.

Defa to,

h

− h = 0 = 0 × n

,então

h

≡ h mod n

paraqualquer

h

∈ Z

; Assima relação anterioré reexiva.

Sejam

h, k

∈ Z

tais que

h

≡ k mod n

. Então, existe

α

∈ Z

tal que

h

− k = αn

. Mas então,

k

_{− h = (−α)n.}

Como

−α ∈ Z

então

k

≡ h mod n

e arelação anterior ésimétri a. Sejamagora

h, k, w

∈ Z

tais que

(12)

Então, existem

α

1

∈ Z, α

2

∈ Z

tais que

h

_{− k = α}

1

n

e

k

− w = α

2

n.

Consequentemente,

(h

_{− k) + (k − w) = α}

1

n + α

2

n.

Donde,

h

_{− w = (α}

1

+ α

2

)n.

Como

α

1

+ α

2

∈ Z

,entãoa relaçãoanterioré transitiva.

Exemplo 1.2.11. Pretende-se mostrar que se

x

≡ x

′

_{mod n}

e

y

≡ y

′

_{mod n}

então

x + y

_{≡ x}

′

+ y

′

mod n.

Por hipótese

x

≡ x

′

_{mod n}

e

y

≡ y

′

_{mod n}

ou seja

x

_{− x}

′

= θ

1

n,

om

θ

1

∈ Z,

y

_{− y}

′

= θ

2

n,

om

θ

2

∈ Z.

Pretendemos provar que então

(x + y)

− (x

′

_{+ y}

′

_{) = θ}

3

n

, om

θ

3

∈ Z

. Ora

(x + y)

_{− (x}

′

+ y

′

) = x

_{− x}

′

+ y

_{− y}

′

= θ

1

n + θ

2

n = (θ

1

+ θ

2

)n = θ

3

n,

om

θ

3

= θ

1

+ θ

2

∈ Z

.

Apresenta-se de seguida um exemplo duma relação binária quenão é relação de

equiva-lên ia.

Exemplo 1.2.12. Em

Z

a relação binária denidapor

n R m

se e só se

nm

≥ 0,

nãoéuma relaçãodeequivalên ia. Defa to

R

é reexiva, poispara todo

a

∈ Z

,tem-se

a R a

uma vez que

a

2

_{≥ 0}

. Também é simétri a: Se

a R b

, então

ab

≥ 0

, e, portanto,

ba

≥ 0

, pois em

Z

a multipli ação é omutativa. Assim

b R a

. No entanto,

R

não é transitiva, por exemplo,

−3 R 0

e

0 R 5

mas

−3

nãoestá rela ionado om

5

.

Exer í io1.2.13. Mostre que, em

Z

\ {0}

a relação bináriadenida por

n R m

se e só se

nm > 0,

(13)

Exer í io 1.2.14. Seja

E

um onjunto não vazio. Prove que, se

R

é uma relação binária denida em

E

talque

1.

a R a,

∀a ∈ E

;

2. para quaisquer

a, b, c

∈ E

que veriquem

a R b

e

b R c

tem-se

c R a

.

então

R

é uma relaçãode equivalên ia.

Solução: De1. resultaque

R

éreexiva. Prove-se que

R

é simétri a,ouseja,

∀a, b ∈ E, a R b ⇒ b R a.

Sejamentão

a, b

∈ E

taisque

a R b

. Por 1. tem-se que

b R b

. Assim,de

a R b

e

b R b

resulta

b R a

,por 2..

Prove-se agora a transitividade: Sejam

a, b, c

∈ E

tais que

a R b

e

b R c

. Por 2. temos

c R a

. Como seprovouque

R

ésimétri a resulta que

a R c

.

Portanto,

R

é umarelaçãode equivalên ia.

1.2.3 Partições

Uma partição dum onjunto

E

é uma de omposição de

E

em sub onjuntos não vazios tais que todo o elemento de

E

perten e a um e um só desses sub onjuntos. A ada um desses sub onjuntos hamamos elementosda partição. Apresenta-se a denição formal.

Denição 1.2.15 (Partição de um onjunto). Uma partição de

E

é uma ole ção

P

de sub onjuntos de

E

,

P = (P

i

)

i∈I

, indi iados num onjunto

I

nãovazio, tais que

1. Para qualquer

i

∈ I

, tem-se

P

i

6= ∅

;

2. Todoo elemento de

E

perten e a um e um só

P

i

, om

i

∈ I

.

Note-sequeoselementos dumapartiçãode um onjunto

E

são disjuntosdois adois.

Exemplo1.2.16. Seja

E =

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

. Umapartiçãode

E

éformadapelossub onjuntos

{1, 6}, {3}

e

{2, 4, 5}

. Os sub onjuntos

{1, 2, 3, 4}

e

{4, 5, 6}

não onstituem uma partiçãode

E

uma vez que o elemento

4

perten e aos dois sub onjuntos. Os sub onjuntos

{1, 2, 3}

e

{5, 6}

não onstituem uma partiçãode

E

uma vez que o elemento

4

não perten e a nenhum sub onjunto.

(14)

E

e

I

onjuntos nãovazios e

(P

i

)

i∈I

sub onjuntos de

E

. Então

(P

i

)

i∈I

formamum partiçãode

E

see sóse as seguintes ondições forem válidas

1. Para qualquer

i

∈ I

,

P

i

6= ∅

;

2.

E =

[

i∈I

P

i

;

3.

P

i

∩ P

j

=

∅

para quaisquer

i, j

∈ I

, om

i

6= j

.

Demonstração. Exer í io. Exemplo 1.2.18. Sejam

r

∈ R

e

T

r

=

{x ∈ R : x

2

_{= r}

_}

. Então o onjunto:

T = {T

r

: r

∈ R

e

r

≥ 0}

é uma partição de

R

. 1.2.4 Classes de Equivalên ia

Sejaagora

R

umarelaçãodeequivalên iadenidaem

E

. Arelação

R

determinaumapartição natural em

E

,onde oselementosda partiçãosãodadospor

a =

_{{x ∈ E | x R a}.}

(1.1)

Note-sequea simetriade

R

permitees rever

a =

{x ∈ E | a R x}

. Em termosde notação tambémseusa

[a]

R

ousimplesmente

[a]

.

Denição1.2.19. Ao onjunto (1.1) hama-se lassede equivalên iarelativa a

a

. Exemplo 1.2.20. No exemplo 1.2.7 tem-se

a =

_{{a, b}, b = {a, b}, c = {c, d}, d = {c, d}.}

Então a relação

R

referida parti iona o onjunto

B

em duas lasses:

a = b =

{a, b}, c = d = {c, d}.

Exemplo1.2.21. Considere-se

R

arelaçãoparalelismono onjuntodasre tasdoplano. Esta relação binária é uma relação de equivalên ia. As lasses de equivalên ia são os onjuntos

(15)

Exemplo 1.2.22. Seja

n

∈ Z

+

. A relação de ongruên ia módulo

n

, determina em

Z

uma partiçãoem lassesdeequivalên iadenotadaspor

0, 1, . . . , n

− 1

,onde ada

i, i

∈ {0, 1, . . . , n−

1 }

é o onjunto dos inteiros da forma

kn + i, i

∈ {0, 1, . . . , n − 1}

, ou seja, o onjunto dos inteiros ujo resto na divisão por

n

dá

i

. Por vezes usa-se a notação

0, 1, . . . , n

− 1

, para representar as lasses

0, 1, . . . , n

− 1

, respe tivamente. Cada lasse de equivalên ia para a relação de ongruên ia módulo

n

hama-se lasseresidual módulo

n

.

Defa to,paratodo

i

∈ Z

,denote-sepor

i + nZ

o onjunto

i + nZ =

{i + kn : k ∈ Z}.

é fá il verque, dados

i, i

⋆

_{∈ Z}

i

_{≡ i}

⋆

mod n

_{⇔ i}

⋆

_{∈ i + nZ,}

peloque

i = i + nZ =

{. . . , −2n + i, −n + i, i, i + n, 2n + i, . . . }.

1.2.5 Conjunto o iente

Denição 1.2.23 (Conjunto o iente). Ao onjunto de todas as lasses de equivalên ia

de-terminadasem

E

pela relação de equivalên ia

R

hama-se onjunto o ientee denota-sepor

E/R

, ouseja,

E/R =

_{{a, a ∈ E}.}

O onjunto de todasas lasses de equivalên ia determinadas em

Z

pela relação de on-gruên ia módulo

n

é

{0, 1, . . . , n − 1}

.

Exemplo 1.2.24. O onjunto o iente determinado no onjunto das re tas doplano para a

relação paralelismo é o onjunto detodas as dire ções.

x, y

∈ E

, então

x = y

se e só se

x R y

.

Demonstração. Exer í io.

x, y

∈ E

, então

x = y

ou

x

∩ y = ∅

.

Provar-se-á na proposição enun iada em seguida que o onjunto o iente é de fa to, a

(16)

Proposição1.2.27. Seja

R

umarelaçãodeequivalên iadenidaem

E

. O onjunto o iente

E/R

é a partiçãodeterminada em

E

por

R

.

Demonstração. Note-seque

x

∈ x

pois

R

éreexivapeloque

x

6= ∅

. Seguidamentemostre-se que

x

∩ y = ∅

se

x

6= y

. Por reduçãoao absurdosuponha-se queexiste

z

∈ x ∩ y

. Então, por deniçãode interse ção de onjuntos tem-se

z

∈ x

e

z

∈ y.

Por denição de

x

e

y

,vem

z R x

e

z R y,

mas,

R

ésimétri a logo,

x R z

e

z R y.

Donde,pelatransitividade de

R

,

x R y.

PelaProposição 1.2.25,tem-se

x = y,

oqueé absurdo. Assim,

x

_{∩ y = ∅.}

Prove-se agoraque

[

x∈E

x = E

. Claramente

[

x∈E

x

⊆ E

. Defa to, se

y

∈

[

x∈E

x

então existe

z

∈ E

tal que

y

∈ z

. Maspor deniçãode

z

,tem-se

y

∈ E

.

Prove-se agoraa in lusão ontrária, ou seja

E

⊆

[

x∈E

x

.

Seja

y

∈ E

. Como

R

é reexiva,

y R y

,ouseja

y

∈ y

. Assim,

y

∈

[

x∈E

x

,donde se on lui que

E

⊆

[

x∈E

x

.

Dasduasin lusõesresultaque

[

x∈E

x = E.

Re ipro amente, dada uma partição

P = {P

i

, i

∈ I}

de

E

podemos asso iar-lhe uma relaçãode equivalên ia

R

,talqueas lasses deequivalên iadarelaçãosejamexa tamenteos elementos

P

i

de

P

,asaber:

(17)

Proposição1.2.28. Arelação

R

denidaatráséumarelaçãodeequivalên iasobre

E

. Mais,

P = E/R

.

Demonstração. Seja

a

∈ E

. Como

[

i∈I

P

i

= E

,entãoexiste

i

∈ I

talque

a

∈ P

i

,donde

a R a

. Portanto

R

é reexiva. A simetriaé imediata.

Sejam agora

x, y, z

∈ E

tais que

x R y

e

y R z

. Então existem

i

∈ I

e

j

∈ I

tais que

x, y

∈ P

i

e

y, z

∈ P

j

. Como

y

∈ P

i

∩ P

j

,então

P

i

∩ P

j

6= ∅

peloque

i = j

. Logo

x, z

∈ P

i

e onsequentemente

x R z

. Portanto

R

é transitiva. Logo

R

érelação deequivalên ia.

Prove-se agoraque

P = E/R

. Seja

[a]

R

∈ E/R

. Como

a

∈ E

,entãoexiste

i

∈ I

talque

a

_{∈ P}

i

. Mostre-se que

[a]

R

= P

i

. Se

b

∈ [a]

R

então

a R b

. Como

{P

j

, j

∈ I}

é umapartição de

E

e

a

∈ P

i

,então

b

∈ P

i

. Logo

[a]

R

⊆ P

i

.

Re ipro amente,se

c

∈ P

i

,então

c R a

e onsequentemente,

c

∈ [a]

R

. Portanto,

[a]

R

= P

i

e

[a]

R

∈ P

. Donde

E/R

⊆ P

.

Mostre-seagoraque

P ⊆ E/R

. Seja

P

i

∈ P

. Porque

P

i

6= ∅

,seja

a

∈ P

i

. Como já seviu,

[a]

R

= P

i

,donde

P

i

∈ E/R

. Logo

P ⊆ E/R

e onsequentemente,

P = E/R

.

Denição 1.2.29. A função

π : E

→ E/R

x

_→

x

,

(1.2)

é hamada proje ção anóni a de

E

sobre

E/R

(ou proje ção anóni a asso iada à relação

R

).

R

a relação deparalelismo denidono onjunto das re tas doplano. Observou-se anteriormente que

R

é uma relaçãode equivalên ia neste onjunto. Aproje ção anóni a asso iaa adare tadoplano asuadire ção, ouseja, a lassedasre tas que lhesão

paralelas.

éfá il provar queafunção denida anteriormente é sobreje tiva.

1.2.6 Exer í ios

1. Em ada umadasalíneasseguintesaverigue searelaçãobináriaindi adaéumarelação

de equivalên ia. Em aso armativodetermine o onjunto o iente.

1.1.

R =

{(1, 2), (2, 3), (3, 2)}

, no onjunto

{1, 2, 3}

.

1.2.

f Rg

se e só se

f (0) = g(0)

,

∀f, g ∈ F(R)

, onde

F(R)

designa o onjunto das funçõesreaisde variávelreal.

(18)

1.3.

(x, y)R(z, t)

seesóse

xt = yz

,

∀(x, y), (z, t) ∈ Z × Z \ {0}

. 1.4.

aRb

see sóse

a + b

é par,

∀a, b ∈ N

.

1.5.

aRb

see sóse

a

b

∈ Q

,

∀a, b ∈ R \ {0}

. 1.6.

(a, b)R(c, d)

seesóse

a

2

_{+ b}

2

_{= c}

2

_{+ d}

2

,

∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

. 1.7.

nRm

seesóse

nm

≥ 0

,

∀n, m ∈ Z

. 1.8.

nRm

seesóse

nm > 0

,

∀n, m ∈ Z

. 1.9.

xRy

se esóse

x

≥ y

,

∀x, y ∈ R

. 1.10.

xRy

se esóse

|x| = |y|

,

∀x, y ∈ R

. 1.11.

xRy

se esóse

|x − y| ≤ 3

,

∀x, y ∈ R

. 2. Seja

E =

{α, β, γ}

.

2.1. Indique todosos onjuntos o iente distintosque podemdenir-se em

E

. 2.2. Dêum exemplodumarelação bináriadenidaem

E

queseja:

i. anti-simétri a esimétri a;

ii. reexiva,transitiva eanti-simétri a;

iii. relaçãode equivalên ia.

3. Seja

A = {A

r

| r ∈ R}

onde

A

r

=

{(x, y) ∈ R

2

_{| y = 2x + r}}

, uma família de

sub onjuntos de

R

2

. Proveque

A

éumapartiçãode

R

2

edes reva-ageometri amente.

Indique também arelaçãode equivalên ia orrespondente.

4. Sejam

R

umarelaçãodeequivalên iasobre

E

e

S

umarelaçãode equivalên iasobre

F

, onde

E

e

F

sãodois onjuntosnão vazios. Em

E

× F

dene-se uma relaçãobinária

π

do modo seguinte:

(x, y)π(x

′

, y

′

)

see sóse

xRx

′

e

ySy

′

_.

4.1. Prove que

π

é umarelaçãode equivalên iaem

E

× F

.

4.2. Determine

(E

× F )/π

e prove que existe uma bije ção entre este onjunto e o onjunto

(E/R)

× (F/S)

.

5. Seja

p

umnúmero inteiro maiorouigual a 1. Considere a relação

R

denidaem

Z

por

xRy

sse

p

divide

x

− y, ∀x, y ∈ Z.

(19)

5.1. Mostre que

p

divide

x

− y

se esósea divisão de

x

e

y

por

p

dáo mesmoresto.

5.2. Veriqueque

R

é umarelação deequivalên ia sobre

Z

.

5.3. Determineo onjunto o iente de

Z

sobre

R

,onde:

5.3.1.

R

éa relaçãode ongruên iamódulo

3

; 5.3.2.

R

éa relaçãode ongruên iamódulo

5

.

6. Sejam

R

1

e

R

2

relações binárias denidas num onjunto não vazio

E

. Em

E

dene-se a relaçãobinária

U

(designada por reuniãode

R

1

om

R

2

)do modo seguinte:

xU y

see sóse

xR

1

y

ou

xR

2

y,

paratodos

x, y

∈ E.

Indique,justi ando, seasarmaçõesseguintes sãoverdadeiras oufalsas:

6.1. Se

R

1

e

R

2

sãoreexivas, então

U

éreexiva.

6.2. Se

R

1

e

R

2

sãosimétri as, então

U

é simétri a.

6.3. Se

R

1

e

R

2

sãorelações deequivalên ia, então

U

é relaçãode equivalên ia.

7. Sejam

R

1

e

R

2

relações binárias denidas num onjunto não vazio

E

. Chamamos interse ção de

R

1

om

R

2

edenota-sepor

R

1

∩ R

2

àrelaçãobináriadenidaem

E

do modo seguinte:

x(R

1

∩ R

2

)y

see sóse

xR

1

y

e

xR

2

y,

paratodos

x, y

∈ E.

Chamamos re ípro a de

R

1

e representa-se por

R

−1

1

à relação binária denida em

E

por:

xR

−1

₁

y

see sóse

yR

1

x,

paratodos

x, y

∈ E.

Chamamos relaçãoidentidade em

E

e denota-sepor

I

àrelaçãodenida por:

xIy

se esóse

x = y,

paratodos

x, y

∈ E.

Mostre que

R

1

é anti-simétri a see sóse

R

1

∩ R

−1

1

⊆ I

.

(20)

1.3 Funções

Denição1.3.1. Sejam

A

e

B

onjuntos. Umafunção (ouapli ação) de

A

para

B

, simboli- amente

f : A

−→ B,

éumaregraque atribuia adaelemento

a

de

A

umúni oelemento

f (a)

de

B

,aquese hama imagem de

a

por

f

. Os elementos de

A

são hamados obje tos. Os onjuntos

A

e

B

são o domínioe onjunto de hegadarespe tivamente.

f : A

→ B

uma função e

E

⊆ A

e

F

⊆ B

. Ao onjunto,

f (E) =

_{{f(x), x ∈ E},}

hama-se onjunto imagem de

E

em

B

por

f

ou apenas imagem de

E

. Quando

A = E

, o onjunto

f (A)

também se denotapor

ℑf

. Ao onjunto

f

−1

(F ) =

_{{x ∈ A : f(x) ∈ F }}

hama-se imagem re ípro a de

F

em

A

.

Denição1.3.3. Seja

f : A

−→ B

uma função.

Diz-seque

f

éinje tivase

f (a) = f (b)

impli ar

a = b

,i. e. obje tosdistintostêmimagens distintas.

Diz-se que

f

é sobreje tiva se qualquer elemento de

B

for imagem dealgum elemento de

A

através de

f

,i. e.

ℑf = B

.

Diz-se que

f

é bije tiva se

f

for inje tiva e sobreje tiva.

1.3.1 Relação de Equivalên ia Asso iada a uma Função

Seja

f

uma função de domínio

E

. Pode asso iar-se a

f

uma relação binária, denotada por

R

f

doseguinte modo:

x R

f

y

see sóse

f (x) = f (y),

∀x, y ∈ E.

Arelaçãoanterioréusualmente onhe ida por relaçãodeequivalên ia asso iada à função

f

.

(21)

Dada uma relação de equivalên ia

R

denida em

E

pode asso iar-se uma função

f

de domínio

E

tal que a relação de equivalên ia asso iada à função

f

,

R

f

, oin ide om

R

. De fa to, aproje ção anóni a

π

asso iadaa

R

preen he osrequisitos anteriores.

Proposição1.3.5. Seja

R

umarelaçãodeequivalên ia denidaem

E

. Aproje ção anóni a

π : E

_{→ E/R}

é uma função denida em

E

tal que a relação de equivalên ia asso iada a

π

oin ide om

R

.

Demonstração. Considere-sea função

π

denida omoem(1.2). Sejam

x, y

∈ E

. Tem-se,

xR

π

y

⇐⇒ π(x) = π(y)

por deniçãode

R

π

;

⇐⇒ x = y

,por denição de

π

;

⇐⇒ x R y

,pelaProposição 1.2.25. Assim,

∀x, y ∈ E, x R

π

y

⇐⇒ x R y

ou seja,

R

π

= R

.

Ver-se-á em seguida de que forma o onjunto o iente intervém na fa torização duma

qualquer função.

1.3.2 De omposição Canóni a de uma Função

f : E

→ F

uma função e

R

f

a relação de equivalên ia asso iada a

f

. Entãoexiste uma função

∼

f : E/R

f

→ F

tal que

f =

∼

f

◦ π

.

Demonstração. Considere-seo diagrama:

E

→

f

F

π

_↓

_ր

∼

f

E/R

f

Dena-se

∼

f

da seguinte forma:

∼

f : E/R

f

→

F

x

_→

f (x) = f (x)

∼

.

(22)

Prova-se simultaneamente que

∼

f

está bem denidae é inje tiva. Sejam

x, y

∈ E/R

f

tais que

∼

f (x) =

f (y)

∼

⇐⇒ f(x) = f(y)

,por deniçãode

∼

f

;

⇐⇒ xR

f

y

,pordenição de

R

f

;

⇐⇒ x = y

,pelaProposição 1.2.25.

Finalmente, prova-se que

∼

f

permite fa torizar

f

omo se pretende. Tem-se então, para todo

x

∈ E

,

∼

f

◦ π(x) =

∼

f (π(x))

,por deniçãode omposição de funções;

=

∼

f (x)

, por denição de

π

;

=

f (x)

,por denição de

∼

f

. Provou-se assimque

∀x ∈ E,

∼

f

_{◦ π(x) = f(x),}

oqueequivale adizer que

∼

f

_{◦ π = f.}

Note-seque

∼

f (E/R

f

)

=

{

∼

f (x), x

_{∈ E/R}

f

},

pordenição de onjunto imagem ;

=

{f(x), x ∈ E} = f(E)

,porque

E/R

f

é umapartiçãode

E

;

=

f (E)

.

Corolário 1.3.7. Nas ondições da proposição anterior existe uma bije ção entre

E/R

f

e

f (E)

.

Demonstração. Claramente afunção

∼

f : E/R

f

→

f (E)

x

_→

∼

f (x) = f (x)

éinje tivae sobreje tiva.

Corolário 1.3.8. Suponha-se que

f : E

→ F

é uma função sobreje tiva. Então existe uma bije ção

∼

f

talque

f =

∼

f

◦ π.

(23)

Considere-se

ι : F

→ F

a função identidade em

F

. Claramente a restrição de

ι

a

f (E)

, denotada por

i

,éumafunção inje tiva. Aessa função hama-seimersão anóni a.

Corolário 1.3.9. Existe uma bije ção

g

de

E/R

f

em

f (E)

talque

f = i

◦ g ◦ π

.

Demonstração. Considere-seo diagrama:

E

_{→ F}

f

π

↓

↑ i

E/R

f

−

→

g

f (E)

DoCorolário 1.3.7,afunção

g : E/R

f

→

f (E)

x

→ g(x) = f(x)

é umabije ção. Resta provar que

∀x ∈ E, i ◦ g ◦ π(x) = f(x).

Defa to,

i

_{◦ g ◦ π(x) = i ◦ g(π(x))}

,por denição de omposição defunções;

=

i

_{◦ g(x)}

,por denição de

π;

=

i(f (x))

,por denição de

g

e de omposição de funções;

=

f (x)

,pordenição de

i

.

1.3.3 Exer í ios

1. Sejam

F(R)

o onjuntodasfunçõesreaisdevariávelreale

D(R)

o onjuntodasfunções reais de variável real que são deriváveis. Considere a função

d :

D(R) → F(R)

, que a ada

f

∈ D(R)

faz orresponderasua derivada

f

′

.

1.1. Denaarelaçãodeequivalên iaasso iadaa

d

,

R

d

,edetermineo onjunto o iente

D(R)/R

d

.

1.2. Obtenha a de omposição anóni a de

d

. Prove dire tamente aspropriedades que enun iar,para ada umadasfunçõesintervenientes na de omposição.

(24)

2.1. Denaarelaçãodeequivalên iaasso iadaa

f

,

R

f

,edetermineo onjunto o iente

R/R

f

.

2.2. Indique justi ando, umsub onjunto de

R

queestá embije ção om

R/R

f

.

3. Sejam

E

e

F

dois onjuntos não vazios e

f : E

→ F

umafunção.

3.1. Dena relaçãode equivalên ia asso iada a

f

,

R

f

, e verique que

R

f

é, de fa to, uma relaçãode equivalên ia. Dena onjunto o iente

E/R

f

.

3.2. Prove que

E/R

f

estáem bije ção om

f (E)

.

3.3. Diga o queentendeporde omposição anóni a de

f

.

3.4. Suponha que

E = R

,

F = R

+

0

e

f (x) =

|x|

, para todo

x

∈ R

. Obtenha a de omposição anóni a de

f

. Justique su intamente.

1.4 Con eitos Bási os de Estruturas Algébri as

1.4.1 Operações Internas

Denição 1.4.1. Chama-se operação binária em

E

, ou apenas operação em

E

a toda a função

⋆ : E

_{× E →}

E

(u, v)

→ u ⋆ v

.

Aumaoperaçãobináriatambémse hamaleide omposição internaouoperaçãointerna.

Note-se que dizer que

⋆

é uma operação interna em

E

signi a dizer que para todo

(x, y)

∈ E × E

existe umeumsó

z

∈ E

tal que

z = x ⋆ y.

Diz-se também que

E

éfe hado para a operação.

Exemplo1.4.2. Em

R, C

,

Z, R

+

_{, Z}

+

,aadiçãoemultipli açãousuaissãooperaçõesinternas.

Exemplo 1.4.3. Em

R

\{0}

a adiçãonão uma operação interna. Note-se que

2 + (

−2) = 0

/

∈ R\{0}

.

Exemplo 1.4.4. No onjunto

M

4

(C)

das matrizes de tipo

4 × 4

om entradas em

C

, a multipli ação de matrizesé uma operação interna.

(25)

Exemplo 1.4.5. Seja

F

o onjunto das funções reais de variável real. A adiçãode funções é uma operação interna em

F

.

Note-sequea adiçãode funçõesé umaapli açãodenida daseguinteforma:

+ :

_{F × F}

_→

_F

(f, g)

→ f + g

onde, paratodo

x

∈ R

,

(f + g)(x) = f (x) + g(x)

. Note-se queaqui o símbolo

+

tem aqui dois signi ados diferentes.

Exemplo 1.4.6. Em

Z

+

,

⋆

, denidapor

a ⋆ b = min

{a, b}

é uma operação interna.

Exemplo 1.4.7. Em

Z

+

,

⋆

, denidapor

a ⋆

′

b = a

é uma operação interna. Exemplo 1.4.8. Em

Z

+

,

⋆

′′

, denida por

a ⋆

′′

b = ( a ⋆ b) + 2

, onde

⋆

está denida no Exemplo 1.4.6 é uma operação interna.

Exer í io 1.4.9. Em

R

onsidere denidaa operação interna

θ

doseguinte modo:

xθy = xy

_{− x − y + 2,}

para todos os

x, y

∈ R

. Prove que

θ

é ainda interna em

R

\{1}

. Resposta: Sejam

x, y

∈ R\{1}

quaisquer. Vamosprovar que

xθy

_{6= 1.}

Suponhamos que

xθy = 1

,isto é,

xθy = xy

− x − y + 2 = 1

. Doanterior tem-se

(x

_{− 1)y = x − 1.}

Note-se que

x

6= 1

e portanto do anterior resulta que

y = 1

o que não pode a onte er. Assim,

xθy

6= 1.

Denição 1.4.10. (Operação omutativa) Uma operação binária

⋆

denida em

E

diz-se omutativa se e só se

∀a, b ∈ E, a ⋆ b = b ⋆ a.

Denição 1.4.11. (Operação asso iativa) Uma operação binária

⋆

denida em

E

diz-se asso iativa se e só se

(26)

Exemplo 1.4.12. A adição e multipli ação são operações asso iativas e omutativas em

Z

mas a subtra ção nãoé omutativa nem asso iativa nesse onjunto.

Exemplo 1.4.13. A omposição de funções reais de variável real é asso iativa mas não é

omutativa.

1.4.2 Operações Externas

Introduz-se agora o on eito deOperaçãoExterna. Defa to, já foidenidoeste on eito na

dis iplinade álgebra Lineare Geometria Analíti a eapresentam-se alguns exemplosquenos

sãofamiliares.

Denição1.4.14(Operaçãoexterna omdomíniodeoperadores

K

). Seja

K

6= ∅

. Chama-seleide omposiçãoexterna omdomíniodeoperadores

K

ousimplesmenteoperação externa om domínio deoperadores

K

a toda a função

“

•

denidadaseguinte forma,

• : K × E →

E

(k, x)

_{→ k • x}

.

Neste aso, diz-se também que

E

é fe hado para a operação externa om domínio de operadores

K

.

Exemplo 1.4.15. Se

V

foro onjunto dos ve tores livres doespaço, a multipli ação por um es alar real é uma função de

R

× V

em

V

e portanto é uma lei de omposição externa om domínio deoperadores

R

.

Denição 1.4.16. (Operação externa denida em

E

) Seja

K

6= ∅

. Chama-se lei de om-posição externa denida em

E

ou simplesmente operação externa denida em

E

a toda a função

“

•

denidadaseguinte forma,

• : E × E →

K

(x, y)

→ x • y

.

Exemplo 1.4.17. O produto interno é uma função de

V × V

em

R

e portantoé uma lei de omposição externa denidaem

V

.

1.4.3 Estruturas e Subestruturas Algébri as

Denição 1.4.18. A todo o onjunto munido de uma ou mais operações internas e/ou

(27)

Suponha-se que o onjunto

E

está munido duma operação interna,

⋆

e uma operação externa

•

relativamente a um onjunto

K

6= ∅

de operadores. Denote-se esta estrutura algébri a por

(E, ⋆,

•)

.

Denição 1.4.19. Uma subestrutura algébri a de

(E, ⋆,

•)

é um sub onjunto

S

6= ∅

de

E

que é fe hado para as operações

⋆

e

•

de

E

, isto é:

∀x, y ∈ S, x ⋆ y ∈ S

∀α ∈ K, ∀x ∈ S, α • x ∈ S.

Duma forma geral, se

(E, ⋆

1

, ⋆

2

, . . . , ⋆

n

,

•

1

,

•

2

, . . . ,

•

m

)

é uma estrutura algébri a onde

⋆

1

, ⋆

2

, . . . , ⋆

n

são

n

operaçõesinternase

•

1

,

•

2

, . . . ,

•

m

são

m

operaçõesexternas,onde

n, m

∈

N

,dene-se subestrutura algébri ada estruturaanteriorda seguinteforma:

Denição1.4.20. Umasubestrutura algébri a de

(E, ⋆

1

, ⋆

2

, . . . , ⋆

n

,

•

1

,

•

2

, . . . ,

•

m

)

éum sub- onjunto

S

6= ∅

de

E

que é fe hado para as operações

⋆

1

, ⋆

2

, . . . , ⋆

n

e

•

1

,

•

2

, . . . ,

•

m

de

E

, isto é, se para todos

i

∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , m}

, setem

∀x, y ∈ S, x ⋆

i

y

∈ S,

∀α ∈ K, ∀x ∈ S, α •

j

x

∈ S.

Sejam

P

1

, P

2

, . . . , P

l

, l

∈ N

, propriedades estruturais (propriedades ara terizadoras da estrutura) de

(E, ⋆

1

, ⋆

2

, . . . , ⋆

n

,

•

1

,

•

2

, . . . ,

•

m

)

. Para que

S

⊆ E

,e munido omasoperações induzidaspelasoperaçõesde

E

sejaumasubestrutura(domesmotipo)de

E

temquesatisfazer igualmente aspropriedades estruturaisde

E

.

(

V, +, •)

umespaçove torial sobre

R

. O sub onjunto nãovazio

S

de

V

éumsubespaçove torial de

V

se,paraasoperaçõesinduzidaspelasoperações de

V

satiszer as propriedades estruturais de

V

, ou seja osaxiomas deespaço ve torial.

Se

S

é umasubestrutura algébri ade

E

denota-sepor

S

≺ E

. Se além disso

S

satiszer asmesmas propriedades estruturais de

E

diz-seque

S

éum subestruturado mesmo tipo de

E

edenota-se por

S

≤ E

.

Denição 1.4.22. Chamam-se propriedades hereditárias a todas as propriedades de uma

estrutura algébri a válidas emtodos os seus sub onjuntosnão vazios.

Exemplo 1.4.23. A omutatividade e asso iatividadeda adiçãode números reais.

Denição1.4.24. Chamam-sepropriedadesnãohereditáriasatodasaspropriedadesdeuma

(28)

1.4.4 Grupóides, Semigrupos e Monóides

Denição 1.4.25. Chama-se grupóide a todo o par

(E, ⋆)

onde

⋆

é uma operação interna denidaem

E

. Sea operação é omutativa diz-seque o grupóide é omutativo.

No quesesegue

(E, ⋆)

é umgrupóide.

Denição 1.4.26. (Elemento neutro à direita) Um elemento

θ

∈ E

diz-se elemento neutro à direita para

⋆

em

E (

ou em relação a

⋆

em

E)

, se

x ⋆ θ = x

,para todo

x

∈ E

.

Denição1.4.27. (Elementoneutroàesquerda)Um elemento

µ

∈ E

diz-seelemento neutro à esquerda para

⋆

em

E

(ou emrelação a

⋆

em

E)

, se

µ ⋆ x = x

,para todo

x

∈ E

.

Denição1.4.28. (Elemento neutro) Um elemento

e

∈ E

diz-se elemento neutro para

⋆

em

E

(ou em relação a

⋆

em

E

),se

e ⋆ x = x ⋆ e = x

, para todo

x

∈ E

.

Note-seque

e

ésimultaneamente elemento neutro à direitae àesquerda.

Exemplo1.4.29. Oelemento

0

éelemento neutroàdireitaemrelaçãoàoperaçãosubtra ção em

R

mas não é elemento neutro à esquerda. O elemento

1

é o elemento neutro em relação à multipli ação em

Z

.

Denição 1.4.30. (Elemento invertível à direita) Um elemento

x

∈ E

diz-se invertível à direita se e só se existe um elemento

d

∈ E

talque

x ⋆ d = e

.

Denição 1.4.31. (Elemento invertível à esquerda) Um elemento

x

∈ E

diz-se invertível à esquerda se e só se existe um elemento

l

∈ E

tal que

l ⋆ x = e

.

Denição 1.4.32. (Inverso de um elemento) Um elemento

x

′

_{∈ E}

, hama-se inverso de

x

_{∈ E}

se

x ⋆ x

′

_{= x}

′

_{⋆ x = e}

.

Denição1.4.33. Um elemento diz-se invertível se possui inversoúni o.

Teorema 1.4.34. Dado um grupóide

(E, ⋆)

, seexistir elemento neutro este será úni o.

Demonstração. Suponhamos que

e

1

sãodois elementos de

E

taisque, para todo

x

∈ E

,

e ⋆ x = x ⋆ e = x

e,

(29)

Considere-se

e ⋆ e

1

. Se

e

é o elemento neutro de

E

tem-se

e ⋆ e

1

= e

1

. Mas, se

e

1

é o elemento neutro de

E

,

e ⋆ e

1

= e

. Assim,

e

1

= e ⋆ e

1

= e.

Denição 1.4.35. Chama-sesemigrupo a todo o grupóide asso iativo,isto é, a operação do

grupóide é asso iativa.

Denição 1.4.36. Chama-se monóide a umsemigrupo omelemento neutro.

Exemplo 1.4.37.

(N, .)

é um monóide.

Teorema 1.4.38. Seja

(E, ⋆)

um monóide om elemento neutro

e

. Se

a

∈ E

é invertível à direita e à esquerda, entãoesses inversos oin idem e

a

é invertível sendo o seuinverso um desses elementos.

Demonstração. Sejam

a

′

e

a

′′

osinversosde

a

à esquerdae àdireita respe tivamente.

a

′

= a

′

⋆ e

=

a

′

⋆ (a ⋆ a

′′

)

,denição de

e

a

′′

_;

=

(a

′

_{⋆ a) ⋆ a}

′′

,pela asso iatividade de

⋆

em

E

;

=

e ⋆ a

′′

= a

′′

,pordenição de

e

.

Teorema 1.4.39. Sejam

(E, ⋆)

um monóide e

a

,

b

∈ E

. Suponha-se que

a

é invertível. Então as equações lineares

a ⋆ x = b

e

y ⋆ a = b

têm soluçãoúni a.

Demonstração. Primeiromostrar-se-áque

a

′

_⋆b

éumasoluçãode

a⋆x = b

,onde

a

′

éoinverso de

a

. Note-se que

a ⋆ (a

′

⋆ b)

=

(a ⋆ a

′

) ⋆ b

,pelaasso iatividadede

⋆

em

E

;

=

e ⋆ b

,denição de

a

′

_;

=

b

,por denição de

e

.

Analogamente se mostra que

y = b ⋆ a

é uma solução de

y ⋆ a = b

. Para mostrar a uni idadeda solução suponha-se quetemosduassoluções

y

1

, y

2

tais que

y

1

⋆ a = b

e

y

2

⋆ a = b.

Então

(30)

Umavez que

⋆

é umaoperação,

a

′

é oinverso de

a

e

⋆

é asso iativa,aigualdade anterior éequivalente a

(y

1

⋆ a) ⋆ a

′

= (y

2

⋆ a) ⋆ a

′

.

Que, tendo em atenção que

a

é invertível e, por denição de elemento neutro, o anterior é equivalente a

y

1

= y

2

.

Denição1.4.40. (Can elamento à direita)Seja

(E, ⋆)

um grupóide. Se,

∀x, y, z ∈ E, x ⋆ z = y ⋆ z ⇒ x = y,

diz-seque

z

é an elável (simpli ável ouregular) àdireita para a operação

⋆

.

Denição1.4.41. (Can elamento à esquerda) Seja

(E, ⋆)

um grupóide. Se,

∀x, y, z ∈ E, z ⋆ x = z ⋆ y =⇒ x = y,

diz-seque

z

é an elável (simpli ável ouregular) àesquerda para a operação

⋆

.

Denição 1.4.42. (Elemento an elável) Um elemento diz-se an elável (simpli ável ou

regular) para a operação

⋆

sefor an elável (simpli ável ou regular) à direita e à esquerda.

Denição 1.4.43. (Lei do Can elamento) Um grupóide

(E, ⋆)

goza da lei do an elamento oulei do orte se todos osseus elementos forem an eláveis.

Exemplo 1.4.44. Em

(N, +)

é válida a lei do orte.

Exemplo 1.4.45. Em

(R, .)

não é válida a lei do orte pois por exemplo,

0 × 2 = 0 × 5

e

2 _{6= 5}

.

1.4.5 Homomorsmo de Grupóides

(E, ⋆)

e

(F,

•)

dois grupóides. Chama-sehomomorsmo de

(E, ⋆)

para

(F,

•)

a toda a função

f : E

→ F

tal que

∀x, y ∈ E, f(x ⋆ y) = f(x) • f(y).

Exemplo1.4.47. Sejam

(N, +)

e

(2N, +)

dois grupóides. A função

f : N

→ 2N

talque para todo

n

∈ N, f(n) = 2n

, é um homomorsmo degrupóides.

(31)

(E, ⋆)

,

(F,

◦)

dois grupóides. Se

f : E

→ F

é um homomorsmo entre os dois grupóides então

f (E)

é fe hado para a operação

◦

.

Demonstração. Sejam

a, b

∈ f(E)

. Pordeniçãode

f (E)

,existem

u, v

∈ E

taisque

a = f (u)

, b = f (v)

. Assim,

a

_{◦ b = f(u) ◦ f(v) = f(u ⋆ v),}

porque

f

éumhomomorsmodegrupóides. Note-seque omo

(E, ⋆)

éumgrupóide

u⋆v

∈ E

. Provou-se assim que

∀a, b ∈ f(E), a ◦ b ∈ f(E).

Noque sesegue

E

e

F

são onjuntos não vazios.

(E, ⋆)

,

(F,

◦)

dois grupóides. Se

f : E

→ F

é um homomorsmo entre os dois grupóides então:

(a)

Se

⋆

é asso iativaem

E

, então

⋆

é asso iativa em

f (E);

(b)

Se

⋆

é omutativa em

E

, então

⋆

é omutativa em

f (E);

(c)

Se

e

é elemento neutro de

(E, ⋆)

então

f (e)

é elemento neutro de

(f (E),

◦);

(d)

Seem

(E, ⋆)

,

x

′

é o inverso de

x

, então

f (x)

é o inverso de

f (x

′

₎

em

(f (E),

◦)

.

Demonstração. Demonstrar-se-áapenasaalínea

(c)

. Asdemonstraçõesdasalíneasde

(a), (b)

e

(d)

serão deixadas omoexer í io.

Seja

a

∈ f(E)

umelemento arbitrário. Por denição de

f (E)

,existe umelemento

u

∈ E

talque

a = f (u)

. Vai-seprovarque

a

◦ f(e) = f(e) ◦ a = a.

Tem-seentão,

a

◦ f(e) = f(u) ◦ f(e) = f(u ⋆ e) = f(u) = a,

umavezque

f

éumhomomorsmode grupóides e

e

é oelemento neutrode

(E, ⋆)

. Analoga-menteseprova que

f (e)

◦ a = a

,paratodo

a

∈ f(E)

.

A

(f (E),

◦)

hama-se imagemhomomorfade

E

por

f

.

Teorema1.4.50. A omposição dehomomorsmosdegrupóides aindaé umhomomorsmo

(32)

(E, ⋆)

,

(F,

◦)

dois grupóidese

f : E

→ F

um homomorsmoentre osdois grupóides. Diz-se que

f

é:

1. um monomorsmo se

f

é inje tiva; 2. um epimorsmose

f

é sobreje tiva; 3. um isomorsmo se

f

é bije tiva; 4. um endomorsmo se

E = F ;

5. um automorsmo se

f

endomorsmo e isomorsmo.

Quando existe umisomorsmo entre osdois grupóides, es reve-se

E

≃ F

e diz-se queos grupóidessão isomorfos.

Suponha-se agora que em

E

,

F

estão denidas duas operações externas

•

e

⊙

(relativa-mentea ummesmo onjunto deoperadores

K

6= ∅

respe tivamente).

Denição 1.4.52. Chama-se homomorsmo de

E

para

F

(oude

(E,

•)

para

(F,

⊙))

a toda a função

f : E

→ F

talque

∀α ∈ K, ∀x ∈ E, f(α • x) = α ⊙ f(x).

1.4.6 Exer í ios

1. Para ada umadasregras seguintesindiqueasquesãooperaçõesinternas easquenão

são. 1.1.

a ⋆ b =

p|ab|

em

Q

; 1.2.

a ⋆ b =

a

b

em

Z

; 1.3.

(a, b) ⋆ (c, d) = (a + c, cb + d)

em

R

2

; 1.4.

a ⋆ b

=raiz daequação

x

2

_{− a}

2

_b

2

_{= 0}

em

R

; 1.5.

a ⋆ b = a log b

no onjunto

{x ∈ R | x > 0}

; 1.6.

a ⋆ b = a + b

em

N

; 1.7.

⋆

=subtra ção no onjunto

{x ∈ Z | x ≥ 0}

. 2. Para asoperações

⋆

em

R

2

dasalíneas (a)e (b) denidas abaixo, indique se

⋆

veri a (ou não) aspropriedadesseguintes:

(33)

2.2.

⋆

éasso iativa; 2.3.

R

2

possuiumelemento neutro relativamente a

⋆

;

2.4. Todo oelemento

(a, b)

∈ R

2

tem inverso relativamentea

⋆

;

(a)

(a, b) ⋆ (c, d) = (ac, bd)

,

∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

;

(b)

(a, b) ⋆ (c, d) = (a + c, cb + d)

,

∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

.

3. Sejam

G

um onjunto não vazio e

⋆

uma operação interna em

G

. Dena elemento neutrode

(G, ⋆)

.

4. Suponha

G = R

e

⋆

tal que

a ⋆ b =

√

a

2

_{+ b}

2

. Indique, justi ando, o valor lógi o da

seguinte proposição:

(G, ⋆)

temelemento neutro

.

5. Seja

G =

{σ : Z → Z}

. Para

σ, τ

∈ G

dene-se

σ ⋆ τ

omo sendo a apli ação tal que paratodo

n

∈ Z

,

(σ ⋆ τ )(n) = σ(n)

· τ(n)

,onde

·

designa o produto usual.

5.1. Veriqueque

⋆

é umaoperaçãointerna.

5.2. En ontre, asoexista,o elemento neutro de

(G, ⋆)

. 5.3. Indique oselementosde

(G, ⋆)

quepossuem inverso.

(34)

(35)

Tópi os sobre Teoria de Grupos

2.1 Propriedades Elementares

Denição 2.1.1. (Grupo) Um grupo

(G, ⋆)

é um onjunto fe hadopara a operação binária

⋆

e que satisfazos seguintes axiomas:

G

1

:

A operação

⋆

é asso iativa;

G

2

:

Existe um elemento

e

∈ G

talque

e ⋆ x = x ⋆ e = x

,para todo

x

∈ G

.

G

3

:

Para todo

a

∈ G

, existe umelemento

a

′

_{∈ G}

, tal que

a ⋆ a

′

_{= a}

′

_{⋆ a = e}

.

Como já se viu, a

e

hama-se elemento neutro (ou identidade) de

G

e a

a

′

hama-se o

inverso de

a

. Paranão sobre arregaranotação por vezes denotar-se-áogrupo

(G, ⋆)

apenas por

G

.

Denição 2.1.2. (Grupo abeliano) Um grupo

G

diz-se abeliano se a operação binária

⋆

é omutativa.

Apresentam-seagoraalgunsexemplosdeestruturasquesãogruposeoutrasquenãoestão

nas ondiçõesdo teoremaanterior.

Exemplo 2.1.3. Aestrutura

(Z

+

_{, +)}

nãoé umgrupo pois não existe elemento identidade.

Exemplo 2.1.4. O onjunto dos números inteiros não negativos (in luindo o zero) om a

operação adição não é um grupo. Apesar de existir elemento identidade, não existe inverso

para o elemento

2

.

(36)

Exemplo2.1.6. Aestrutura

(Z

+

_,

_×)

nãoéumgrupo. Apesardeexistirelementoidentidade,

o elemento

3

não possui inverso.

Exemplo 2.1.7.

(R

+

_,

_{×), (Q}

+

_,

_×)

,

(Q

\{0}, ×), (R\{0}, ×)

e

(C

\{0}, ×)

são grupos.

Exemplo2.1.8. O onjunto dasfunçõesreaisdevariávelreal oma adiçãodefunções é um

grupo. Este grupo é abeliano.

Exemplo 2.1.9. O onjunto das matrizes de tipo

m

× n, m, n ∈ N

, om entradas em

R

denotado por

M

m×n

(R)

é umgrupo para a adiçãode matrizes. A sua identidadeé a matriz ujas entradas são todas nulas.

Exemplo 2.1.10. O onjunto

M

n

(R)

de todas as matrizes de tipo

n

× n

om a operação multipli ação de matrizesnão é um grupo. A matrizde tipo

n

× n

ujas entradas são todas nulasnão tem inverso.

Exemplo 2.1.11. O sub onjunto

S

de

M

n

(R)

detodas as matrizes

n

× n

invertíveis oma operação multipli ação dematrizes é um grupo. Este grupo nãoé abeliano.

Nos exemplosanteriores apresentaram-se estruturas em que asoperações eram bastante

familiares. Apresenta-se agora um exemplo duma estrutura em que a sua operação binária

nãoé tãofamiliar.

Exemplo 2.1.12. Considere-se a estrutura

(Q

+

_{, ⋆)}

onde

⋆

estádenida daforma seguinte:

a ⋆ b =

ab

2 .

Então,

(a ⋆ b) ⋆ c =

ab

2 ⋆ c =

abc

4 ,

e, damesma forma

a ⋆ (b ⋆ c) = a ⋆

bc

2 =

abc

4 .

Assim,

⋆

é asso iativa. é fá il veri ar que

2 ⋆ a = a ⋆ 2 = a,

_{∀a ∈ Q}

+

,

e portanto,

2

é o elemento identidadepara

⋆

. Finalmente,

a ⋆

4 a

=

4 a

⋆ a = 2,

e portanto

a

′

₌

4 a

é o inverso de

a

em

Q

+

. Assim,

Q

+

om a operação

⋆

é um grupo.

(37)

Proposição 2.1.13. Num grupo a identidadeé úni a e ada elemento possui inversoúni o.

Demonstração. Resultadasproposiçõesjá apresentadas.

Proposição 2.1.14. Num grupo é válida a lei do orte.

Teorema 2.1.15. Seja

(E, ⋆)

umsemigrupo omidentidadeàesquerda,

e

,(respe tivamente, direita) e em que todos os elementos têm inverso à esquerda (respe tivamente direita) então

(E, ⋆)

é um grupo.

Demonstração. Seja

a

∈ E

e seja

a

−1

oinversoà esquerdade

a

. Então

(aa

−1

)

2

= (aa

−1

)(aa

−1

)

= a(a

−1

a)a

−1

= a(ea

−1

)

= aa

−1

Seja

r

o inverso àesquerda de

aa

−1

,então

aa

−1

= eaa

−1

= (raa

−1

)aa

−1

= r(aa

−1

)

2

= raa

−1

= e.

Portanto,

a

−1

éo inverso àdireita de

a

. Agora, omo

ae = a(a

−1

a)

= (aa

−1

)a

= ea

= a,

podemos on luirque

e

éelemento neutro de

E

. Provámos quetodo oelemento tem inverso bilaterale que

E

temelemento neutro, logo

E

é umgrupo.

Deformaanáloga, on lui-sequeumsemigrupo omidentidade àdireita eemque todos

(38)

2.1.1 Grupos Finitos e Tabelas de Entradas

Denição2.1.16. Um grupo

G

diz-se nito se tiverum número nito deelementos.

Em termos denotação usa-se:

|G| < ∞

ou

ard

(G) <

∞.

Se

G

for umgrupoinnito es reve-se

|G| = ∞

.

Denição2.1.17. Chama-seordem de

G

aonúmero deelementos de

G

.

Em termos denotação usa-se:

|G|

ou

O(G).

Umgrupo nito,

(G, ⋆)

onde

G =

{x

1

, x

2

, . . . , x

n

}

pode ser representadopor umatabela

n

_{× n}

aduasentradasonde adaelemento (ouentrada)

(i, j)

éoproduto

x

i

⋆ x

j

. Umvez que umgrupotem pelo menos umelemento, asuaidentidade, um onjunto minimalque poderá

tera estrutura de grupo é o onjunto

{e}

. A úni a operação binária

⋆

possível em

{e}

está denidapor

e ⋆ e = e.

Claramente todososaxiomas de gruposãoveri ados.

Ir-se-áagora,num onjunto omdoiselementos,introduzirumaestruturadegrupo. Como

umdesses elementos desempenhará o papel de identidade do grupo e onsidere-se esse

on-junto iguala

{e, a}

. Paraes reverasuatabeladegrupoir-se-á listaroselementos namesma ordem, em linha e oluna onsiderando o elemento identidade em primeiro lugar omo se

apresenta natabela:

⋆

e

a

e

a

,

Como

e

é oelemento identidade dever-se-á ter

e ⋆ x = x ⋆ e = x,

∀x ∈ {e, a}.

Assim,pode preen her-se aprimeira linha e olunada tabeladaseguinteforma:

⋆

e

a

e

a

(39)

Oelemento

a

deveráteruminverso

a

′

tal que

a ⋆ a

′

= a

′

⋆ a = e.

Observe-se que

a

′

_{∈ {e, a}}

. O asoem que

a

′

_{= e}

não fun ionapois nesse aso

a = e

,assim onsidere-se

a

′

_{= a}

. A tabela nalteráa forma:

⋆

e

a

e

a

e

.

(2.1)

Osaxiomas

G

2

e

G

3

sãoveri ados. Oaxioma

G

1

terá queserveri ado aso a aso. Ir-se-áagoralistar algumas ondiçõesne essárias esu ientes paraqueumatabela onde

estádenidaumaoperaçãobinárianum onjunto nitodeverásatisfazerparaqueo onjunto

om essaoperaçãoestabeleça umestruturade grupo nesse onjunto.

1. Deveráexistirumelemento desse onjunto,denotadopor

e

,quedesempenhará opapel da identidade dogrupo.

2. A ondição

e ⋆ x = x

signi a quena linha orrespondenteao elemento

e

,oselementos do onjunto apare emna mesmaordem dedisposição emqueseen ontram nalinhade

topo.

3. A ondição

x ⋆ e = x

signi aquena oluna orrespondenteaoelemento

e

,oselementos do onjunto apare em na mesmaordem de disposição em quese en ontram na oluna

olo ada mais àesquerda databela.

4. Ofa todequetodooelemento

a

teminversoàdireitasigni aquenalinha orrespon-dente a

a

o elemento identidade deveráapare er na entrada de ruzamento dessa linha oma olunaonde seen ontra esse inversoà direita.

5. O fa to de que todo o elemento

a

tem inverso à esquerda signi a que na oluna or-respondente ao elemento

a

apare e o elemento identidade na entrada de ruzamento dessa oluna om alinha onde seen ontraesse inverso àesquerda.

6. Pelo Teorema 1.4.39 as equações

a ⋆ x = e

e

y ⋆ a = e

têm soluções úni as. De forma análoga se prova que as equações

x ⋆ a = e

e

a ⋆ y = e

têm soluçõesúni as. Ora isso signi aque adaelemento

b

dogrupodeveráapare er umaeumasóvezem adalinha e oluna.