Classes Laterais e T eorema de Lagrange

Denição2.3.1 ( lasse lateralà esquerdae à direita)). Seja

H

umsubgrupo dum grupo

G

. Ao sub onjunto de

G

aH =_{{ah, h ∈ H}}

hama-se lasselateral à esquerdade

H

que ontém

a

, e a

Ha ={ha, h ∈ H}

hama-se lasselateral à direitade

H

que ontém

a

aH

Ha

hamam-se também, respe tivamente, lasselateral à esquerdamódulo

H

e, lasse lateral à direita módulo

H

. Ir-se-á provar que, para

G

umgrupo multipli ativo e

H

um seu subgrupo, o onjunto das lasse laterais esquerdas de

H

ontendo

a

∈ G

onstitui umapartição de

G

. Far-se-á re urso à denição de partição. Umresultado análogo poderá serenun iadopara as lasse laterais àdireita.

Proposição2.3.2. Sejam

H

umsubgrupodumgrupo

G

a, b∈ G

aH = bH

então

b

−1

_{aH =}

H

Demonstração. Sejam

a, b∈ G

,tais que

aH = bH

. Prove-se que

b

−1

_aH

_{⊆ H}

H⊆ b

−1

_aH

Prove-seem primeirolugar que

b

−1

_aH

_{⊆ H}

. Seja

y∈ b

−1

_aH

. Então

y = b

−1

_ah

,para algum

h_{∈ H}

. Mas, omo

aH = bH

ah = bh

1

,paraalgum

h

1

∈ H

. Assim,

y = b

−1

ah = b

−1

(ah) = b

−1

(bh

1

) = (b

−1

b)h

1

= h

1

∈ H.

Prove-se agoraque

H⊆ b

−1

_aH

. Seja

y

∈ H

. Então,

y = (b

−1

a)(b

−1

a)

−1

y.

Mas,

(b

−1

a)

−1

y = a

−1

by = a

−1

(ah

2

),

paraalgum

h

2

∈ H

, pois por hipótese

by

∈ bH = aH

. Assim,

(b

−1

_a)

−1

_{y = h}

2

∈ H

. Logo,

y_{∈ b}

−1

aH

Teorema 2.3.3. Sejam

H

um subgrupo dum grupo

G

a, b∈ G

. Então:

1. Os sub onjuntos

aH

bH

oin idem se e só se

b

−1

_a_{∈ H;}

2. Se

b

−1

_{a /}_{∈ H}

então

aH∩ bH = ∅;

∪

a∈G

aH = G

Demonstração. 1. Ir-se-á provar que

aH = bH

se e só se

b

−1

_a

_{∈ H}

. Condição Ne essária:

Pelaproposição 2.3.2 tem-se

b

−1

_{aH = H}

. Claramente

b

−1

_a_{∈ H}

pois

b

−1

a∈ b

−1

aH

⊆ H.

CondiçãoSu iente: Prove-se agoraque se

b

−1

_a_{∈ H}

então

aH = bH

, ou seja

aH

⊆ bH

bH⊆ aH

. Prove-se emprimeiro lugar que

aH

⊆ bH

. Seja

y∈ aH

. Tem-se

y = ah,

paraalgum

h∈ H

. Mas, por denição deelemento neutro,

y = eah,

paraalgum

h∈ H

. Novamentepor deniçãode elemento inverso e pelaasso iatividade,

y = b(b

−1

a)h,

paraalgum

h∈ H

. Maspor hipótese,

b

−1

_a_{∈ H}

. Como

H≤ G

então

(b

−1

_a)h_{∈ H}

. Assim,

y = bh

′

,

paraalgum

h

′

_{∈ H}

. Prove-se agora que

bH⊆ aH

. Seja

y∈ bH

. Tem-se

y = bh,

paraalgum

h∈ H

. Pelosargumentos usadosanteriormente,

y = (aa

−1

)bh,

paraalgum

h∈ H

. Pelaproposição 2.2.7 e pelaasso iatividade,

y = a(b

−1

a)

−1

h,

para algum

h

∈ H

. Por hipótese,

b

−1

_a_{∈ H}

. Como

H

≤ G

então

(b

−1

_a)

−1

_{∈ H}

e também

(b

−1

a)

−1

h∈ H

. Assim,

y = bh

⋆

,

para algum

h

⋆

_{∈ H}

. 2. Pretende-se mostrar que se

b

−1

_{a /}_{∈ H}

então

aH

∩ bH = ∅

. Por redução aoabsurdo, suponha-seque setem

Assim,existe

c∈ aH ∩ bH

. Por denição de interse ção de onjuntos tem-se,

c_{∈ aH}

c∈ bH.

Logo,existem

h

1

, h

2

∈ H

tais que

c = ah

1

= bh

2

,

ouseja,

b

−1

ah

1

= h

2

,

ouaindaporque

H≤ G

b

−1

ah

1

h

−11

= h

2

h

−11

,

ouseja

b

−1

a = h

2

h

−11

,

oquesigni a que

b

−1

a∈ H,

oqueé absurdo. Provou-se entãoquese,

b

−1

a /∈ H

então

aH∩ bH = ∅.

3. Pretende-se provar que

∪

a∈G

aH = G

. Ain lusão

∪

a∈G

aH

⊆ G

é óbvia, por denição de

aH

. Prove-se ain lusão re ípro a,

G⊆ ∪

a∈G

aH.

Ora,paratodo

a∈ G

a∈ aH,

pois

a = ae, e∈ H.

Daquisaio resultado.

Teorema 2.3.4. Seja

H

um subgrupo dum grupo

G

. Considere-se a relação

∼

e

denidaem

G

por

a_∼

e

b

see sóse

b

−1

_a_{∈ H.}

Considere-se a relação

∼

d

denidaem

G

por

a_∼

d

b

se e só se

ab

Asrelaçõesanterioressãorelaçõesdeequivalên iaem

G

. Mais,paraarelaçãodeequivalên ia

∼

e

(análogo para

∼

d

)

a = aH,∀a ∈ G.

Demonstração. Provar-se-áapenaso resultadopara arelação

∼

e

. Relaçãoreexiva: Seja

a∈ G

. Então

a

−1

_{a = e}

e∈ H

pois

H

≤ G

. Assim,

a∼

e

a

. Relaçãosimétri a: Suponha-seque

a∼

e

b

. Então

b

−1

_a_{∈ H}

. Como

H

≤ G, (b

−1

_a)

−1

_{∈ H}

(b

−1

_a)

−1

_{= a}

−1

_b

. Assim,

a

−1

_b_{∈ H}

b∼

e

a

Relação transitiva: Sejam

a

∼

e

b

∼

e

c

. Então

b

−1

_a

_{∈ H}

c

−1

_b

_{∈ H}

. Como

H

_{≤ G, (c}

−1

b)(b

−1

a) = c

−1

a_{∈ H}

a∼

e

c

. Prove-se agoraa segundaparte doteorema. Seja

a_{∈ G}

a

=

_{{x ∈ G : x ∼}

e

a}

,por deniçãode lassede equivalên ia,

=

{x ∈ G : a

−1

_x_{∈ H}}

,por deniçãode

∼

e

. Mas,

a

−1

_x

_{∈ H}

see só se

a

−1

_{x = h}

, para algum

h

∈ H

, ou de forma equivalentese e sóse

x = ah

,paraalgum

h∈ H

Assim,a lassede equivalên ia que ontém

a∈ G

é dada pelo onjunto

{ah : h ∈ H} = aH.

Observe-se que a relação de equivalên ia

∼

e

determina em

G

uma partição e que os elementos dessa partiçãosão pre isamente as lasses laterais à esquerda de

H

. Mais,tendo em atenção o anterior es reve-se

G = a

1

H

⊕ a

2

H

⊕ · · ·

onde

a

i

H, i

∈ I

, representam as lasses laterais à esquerdarelativamente a

H

. Analogamentepodeusar-se a mesmanotação onsiderando lasses laterais àdireita.

Exemplo 2.3.5. Es reva as lasses laterais à esquerda e direita do subgrupo

3Z

em relação a

Z

. Note-se que neste exemplo a notação onsiderada é a aditiva. Assim,a lasse lateral à esquerdade

3Z

que ontémum inteiro

m

é dada por

m + 3Z.

Tomando

m = 0

, pode observar-se que

éuma lasselateral àesquerdade

3Z

que ontémoelemento

0

. Para obteroutra lasselateral à esquerda de

3Z

, sele iona-se outro elemento de

Z

(que não esteja em

3Z

), por exemplo

1

e onsidere-se a lasselateral à esquerda de

3Z

que ontém

1 1 + 3Z =_{{ . . . , −8, −5, −2, 1, 4, 7, 10, . . . }.}

Observe-se que a reunião destes dois onjuntos

3Z

1 + 3Z

ainda não é o onjunto

Z

, por exemploo inteiro

2

nãoestáemqualquer umdestes onjuntos. A lasselateralà esquerda de

3Z

que ontém

2

é dada por

2 + 3Z =_{{ . . . , −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, . . . }.}

Claramentea reunião destestrês onjuntosé

Z

e assimpodedizer-se que

Z

estáparti ionado nestastrês lassesàesquerdade

3Z

. Como

Z

éabeliano, as lasseslateraisàesquerda

m+3Z

eàdireita

3Z + m

oin ideme portantoapartiçãodeem lasseslateraisàdireitaéa mesma.

Paraumsubgrupo

H

dumgrupoabeliano

G

,apartiçãode

G

em lasseslateraisàesquerda de

H

e a partiçãode

G

em lasses laterais à direitareferida anteriormente é pre isamente a mesma.

Tendo em atenção a denição de relação de ongruên ia módulo

p

, onde

p

∈ N

, pode observar-se que a relação de equivalên ia

∼

d

para o subgrupo

pZ

Z

é pre isamente a relaçãode ongruên ia módulo

p

. De fa to, sejam

h, k

∈ Z

,tais que

h

≡ k(mod p)

. Tem-se

h_{− k}

é divisívelpor

p

. Mas issoéequivalentea que

h + (−k) ∈ pZ

,ou seja

h∼

d

k

. Assim, apartiçãode

Z

emsub onjuntosde

pZ

é apartiçãode

Z

em lasses residuaismódulo

p

. Por vezes,naliteratura hamam-se aos sub onjuntos destaspartiçãosub onjuntosmódulo

p

Exemplo 2.3.6. O grupo

Z

6

é abeliano. En ontre a partição de

Z

6

em sub onjuntos do subgrupo

H ={0, 3}

. Claramenteum sub onjunto é o próprio

H

. O sub onjunto que ontém o

1 1 +{0, 3} = {1, 4}

. O sub onjunto que ontém o

2 2 +{0, 3} = {2, 5}

. Umavez que a reunião dos onjuntos

{0, 3}, {1, 4}

{2, 5}

é todo o onjunto

Z

6

então estes são todos os sub onjuntos pretendidos.

Proposição 2.3.7. Sejam

H

um subgrupo dum grupo

G

g∈ G

. Então a apli ação

φ : H

_{→ gH}

h

_→

gh

,

Demonstração. Sejam

h

1

, h

2

∈ H

tais que,

φ(h

1

) = φ(h

2

).

Então,por denição de

φ

gh

1

= gh

2

.

Como em

G

éválida alei do orte,tem-se

h

1

= h

2

.

Asobreje tividade ará omoexer í io

éóbvio quesepode deniruma apli açãoinje tiva de

H

Hg

,deforma análoga. Oresultado anteriorpermite on luir queas lasses lateraisà direitaouà esquerdade

H

têm omesmo número de elementosque

H

Teorema 2.3.8 (Teorema de Lagrange). Seja

H

um subgrupo dum grupo nito. Então a ordem de

H

é um divisordaordem de

G

Demonstração. Sejam

n

m

as ordens de

G

H

respe tivamente. Pela Proposição 2.3.7

toda a lasse lateral de

H

tem o mesmo número de elementos que

H

. Seja

r

o número de sub onjuntosnapartiçãode

G

em lasseslateraisàesquerdade

H

. Então

n = rm

eportanto

m

é umdivisorde

n

Corolário 2.3.9. Todoo grupo

G

de ordem prima é gerado apenas por um elemento.

Demonstração. Seja

p

aordemprimade

G

. Seja

a∈ G\{e}

e onsidere-seosubgrupogerado por

a

< a >

. Este subgrupo tem pelo menos dois elementos,

e

a

. Pelo Teorema 2.3.8 , a ordem

m≥ 2

< a >

deverá dividir

p

. Mas

p

é primo então

m = p

< a >= G

Denição 2.3.10. (índi e de

H

G

) Seja

H

um subgrupo dum grupo

G

. O número de lasses laterais à esquerda de

H

G

é hamadoíndi e de

H

G

e denotado por

[G : H]

O índi e de

H

G

poderá ser nito ou innito. Claramente se

G

for nito tem-se o seguinte orolário.

Corolário 2.3.11. O índi e deum subgrupo

H

dum grupo nito

G

[G : H]

, é dado por

[G : H] =

|G|

|H|

2.3.1 Exer í ios

1. Sejam

(G, .)

umgrupoabeliano e

H

K

subgruposde

G

. Proveque

< H∪ K >= HK

2. Prove o seguinteteorema:

Teorema: Sejam

H

umsubgrupo de

G

a, b

elementos quaisquerde

G

3. Mostre que 3.1. Os omplexos

aH

bH

oin idem see sóse

b

−1

_a_{∈ H;}

3.2. Se

b

−1

_{a /}_{∈ H}

então

aH

∩ bH = φ;

3.3.

∪

a∈G

aH = G

4. Ilustre oresultado anterior om

G = Z

H = 3Z

5. Determine todasas lasses lateraisde

4Z

omosubgrupode

5.1.

Z

5.2.

2Z

6. Para ada

r∈ R

,seja

A

r

={(x, y) ∈ R × R : y = 3x + r}

6.1. Mostre que

A

0

é umsubgrupo (aditivo) de

R× R.

6.2. Mostre que

{A

r

: r∈ R}

é umafamília de lasses laterais de

R× R

relativamente a

A

0

6.3. Prove que

{A

r

}

r∈R

é uma partição de

R× R

e des reva-a geometri amente. In- dique também a orrespondente relação de equivalên ia.

Classes Laterais e T eorema de Lagrange

H

G

G

aH ={ah, h ∈ H}

H

a

Ha ={ha, h ∈ H}

H

a

aH

Ha

H

H

G

H

H

a

∈ G

G

H

G

a, b∈ G

aH = bH

b

−1

aH =

H

a, b∈ G

aH = bH

b

−1

aH

⊆ H

H⊆ b

−1

aH

b

−1

aH

⊆ H

y∈ b

−1

aH

y = b

−1

ah

h∈ H

aH = bH

ah = bh

1

h

1

∈ H

y = b

−1

ah = b

−1

(ah) = b

−1

(bh

1

) = (b

−1

b)h

1

= h

1

∈ H.

H⊆ b

−1

aH

y

∈ H

y = (b

−1

a)(b

−1

a)

−1

aH =_{{ah, h ∈ H}}

_{aH =}

_aH

_{⊆ H}

_aH

_aH

_{⊆ H}

_aH

_ah

h_{∈ H}

_aH

_a)

_{y = h}

y_{∈ b}

_a_{∈ H;}

_{a /}_{∈ H}

_a

_{∈ H}

_{aH = H}

_a_{∈ H}

_a_{∈ H}