Ant Colony System (ACS) Aplicado a Materiais Compostos Laminados

As características e vantagens do ACS, descritas na Subseção 4.1.2.1, determinaram sua escolha para a investigação do presente trabalho, qual seja, a aplicação a problemas de otimização de materiais compostos laminados. Segundo DORIGO e STÜLZLE (2004) o ACS possibilita resolver problemas de otimização com variáveis discretas, com tempo computacional menor em relação às outras variantes, com atualizações locais e globais de feromônio para evitar estagnação em mínimos locais. Além disso, é uma das variantes que evoluiu positivamente em relação ao primeiro ACO.

A obtenção da melhor sequência de empilhamento de um laminado composto é um problema de otimização combinatória cuja solução via ACO está representada na Figura 4.4.

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Figura 4.4 - Representação de ACO aplicado a material composto laminado.

A otimização de estruturas e componentes de materiais compostos laminados geralmente recai em problemas de minimização do peso ou do custo e maximização da rigidez, ou da carga de flambagem, além de possíveis conjugações multiobjetivos como: peso e custo, peso e flambagem, etc. As restrições normalmente são os critérios de falha e as características geométricas do laminado. A Tabela 4.3 apresenta uma correlação do ACS com problemas de otimização de materiais compostos laminados.

Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas 52

Tabela 4.3 - Representação do ACO aplicado a materiais compostos laminados. Características do

problema

Mapeamento do problema Aplicação em laminados

Conjunto dos

componentes C C=

{

c ,c ,...,c1 2 nc

}

Possibilidades de ângulos de orientação da lâmina, por exemplo:

{

02, 15 30 45 60 75 902

}

C= ± ,± ,± ,± ,± , Conjunto das soluções X

(

)

(

)

(

)

i j i h j h c ,...,c , c ,...,c ..., x c ,...,c ,... =

Todas as soluções candidatas para n

lâminas

Subconjunto S de X S⊆X Soluções candidatas para n lâminas Restrições Ω Ω - Simetria e balancemento do laminado;

- Máximo número de lâminas contíguas com a mesma orientação;

- Falha da primeira lâmina; - Carga máxima de flambagem Conjunto das

soluções factíveis X

x∈X Sequências de empilhamento factíveis, isto é, que respeitem as restrições Solução ótima _s* _s*∈_X Sequência ótima de empilhamento

Função objetivo _f(x) - Peso (a ser minimizado); - Custo (a ser minimizado); - Carga de flambagem (a ser maximizada);

- Resistência (a ser maximizada).

Inicialmente, os caminhos de k formigas são gerados aleatoriamente. Cada

formiga constrói uma solução factível aplicando repetidamente a regra estocástica (regra de transição de estado) dada pela Eq. 4.4. Enquanto está construindo a solução, a formiga também modifica a quantidade de feromônio nas arestas visitadas aplicando a regra de atualização de feromônio local.

As formigas movem-se através de um espaço de busca multidimensional onde a dimensão do espaço de busca é igual ao número de lâminas multiplicadas pelas quantidades que podem variar em cada lâmina. Se todas as lâminas forem de um mesmo material, o espaço será igual ao número de lâminas. Quando houver possibilidade de escolha de mais de um material, além da orientação, a dimensão do espaço será duas vezes o número de lâminas. A cada iteração, cada formiga seleciona um caminho (empilhamento) o qual muda de acordo com a sua própria

Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas 53

experiência e também com a experiência das outras formigas da colônia. No fim do caminho, o percurso ou o empilhamento, é avaliado usando a função de avaliação, e cada formiga deposita feromônio nas arestas (posição de uma dada lâmina) que tenha sido visitada (BLOOMFIELD et al., 2009).

Na construção da solução, via representação por grafo, a função feromônio tem valores para cada par de elementos ou para cada par de elementos localizado no espaço de solução. Uma sequência utilizando todos, ou alguns, destes elementos, é a solução final para o problema. Os elementos são caracterizados baseados na natureza do problema (ABACHIZADEH e TAHANI, 2009).

A execução do algoritmo ACS aqui implementado é baseada nos três procedimentos descritos na Subseção 4.1.2.1. O valor inicial do feromônio τ₀ é informado no início do algoritmo. Sua quantidade, para o caso de laminados, foi obtida baseada na Eq. 4.6. Tal equação tem uma relação com a quantidade de nós, que no presente caso é dada pela quantidade de orientação dos ângulos das fibras multiplicados pela quantidade de material das lâminas. Como as aplicações de materiais compostos em estruturas buscam frequentemente a redução de peso, o valor relativo a esta variável também tem importância na quantidade de feromônio. Assim, o valor do feromônio inicial τ₀ é adotado como

0

1

, N W

τ = Eq. 4.9

onde N é o número de nós, o qual é obtido pela quantidade de orientações dos

ângulos multiplicada pela quantidade de materiais da lâmina, e W o peso inicial do

laminado, obtido com uma sequência aleatória do laminado.

A informação (ou matriz) heurística η_ij tem uma relação com o problema a ser resolvido com o ACO. Para o caso dos laminados que são formados de lâminas que podem ter espessuras diferentes e formados com materiais também diferentes, a informação heurística ou matriz heurística proposta no presente trabalho é dada por

Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas 54 1 ij j j e

η

ρ

= Eq. 4.10

onde e é a espessura da lâmina e _j ρ_j a densidade do material da lâmina.

Os demais parâmetros para o ACS estão detalhados na Tabela 4.2, sugeridos por DORIGO e STÜLZLE (2004).

O ACO é baseado em um grafo G( N , A ), definindo N como o conjunto dos

componentes, ou seja, os ângulos das orientações das fibras, e A como a

combinação entre estes componentes, que resultará na sequência de empilhamento dos ângulos. Uma representação esquemática do grafo mostrando todas as possibilidades para um laminado de 4 lâminas e 3 opções de orientações para as lâminas pode ser visualizada na Figura 4.5.

ij

τ

Figura 4.5 - Representação esquemática do grafo para um laminado de 4 lâminas e 3 opções de orientações (0°, 45° ou 90°).

Para um laminado nas mesmas condições anteriores e cuja sequência de empilhamento é [0, 45, 90, 45] o respectivo grafo está representado na Figura 4.6.

Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas 55 0 ij τ τ + 0 ij τ τ + 0 ij τ +τ

Figura 4.6 - Exemplo do grafo para um laminado [0, 45, 90,45].

O grafo G( N , A ) da Figura 4.6 é formado pelo conjunto de nós N = {{0, 45,

90}1, {0, 45, 90}2, {0, 45, 90}3, {0, 45, 90}4}, onde os índices 1, 2, 3 e 4 indica o

número da lâmina e pelo conjunto das arestas destes compontes A = {(0, 45), (45, 90), (90, 45)}, resultante da sequência de empilhamento das lâminas do laminado.

A matriz de feromônio, τij, é atualizada partindo de um valor inicial τ0 igual

para todas as opções, e à medida que a formiga encontra uma lâmina melhor, o nível de feromônio é atualizado. Para o exemplo em questão, se a sequência de empilhamento construída θi_{= [0, 45, 90, 45] for uma boa solução, um valor adicional}

de feromônio é somado nas ligações selecionadas, conforme está representado na Figura 4.6.

No caso de material composto híbrido as possíveis soluções das orientações dos ângulos e materiais da sequência de empilhamento têm a sua complexidade com a adição de diferentes materiais. Para um laminado de 4 lâminas com 3 possíveis orientações [0°, 45°, 90°] e dois materiais, mat e ₁ mat , o grafo da sequência de ₂

empilhamento [₄₅mat1 ₀mat2 ₀mat1 ₉₀mat2

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Figura 4.7 – Exemplo de grafo para um laminado híbrido [₄₅mat1 ₀mat2 ₀mat1 ₉₀mat2

, , , ].

De forma resumida, o pseudocódigo do ACO aplicado aos materiais compostos laminados, considerando somente as orientações como variáveis, está apresentado na Figura 4.8. Neste pseudocódigo f representa a função a ser minimizada, m o

número de formigas, θi _{o ângulo de orientação da lâmina}

i, NI o número total de iterações, n o número total de lâminas, % comentário, f* a melhor solução obtida,

min

f a melhor solução da iteração, l as soluções obtidas pelas formigas durante a

busca. Uma rotina de busca local foi desenvolvida, a qual é solicitada, caso o problema a resolver utiliza-a. Esta se resume em construir uma nova solução a partir de uma boa solução encontrada pelas formigas em uma dada iteração, f_min, via perturbação do ângulo da sequência de empilhamento. O seu pseudocódigo está representado na Figura 4.9, onde BL

f é a solução construída com a busca local. No

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Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas 58

Figura 4.9 - Pseudocódigo para a busca local.

No documento ALGORITMO DE COLÔNIA DE FORMIGAS APLICADO À OTIMIZAÇÃO DE MATERIAIS COMPOSTOS LAMINADOS (páginas 74-82)