5 RESULTADOS NUMÉRICOS E DISCUSSÃO
5.1 Caso 1 Maximização do Fator Crítico de Carga
O problema solucionado nesta seção também foi investigado por vários pesquisadores, entre eles KOGISO et al. (1994a) através da otimização via algoritmos genéticos (AG), e AYMERICH e SERRA (2008) e WANG et al. (2009) utilizando ACO. Ele consiste em encontrar a sequência de empilhamento ótima que maximize o fator de carga crítica, que corresponde ao menor valor entre o fator crítico da carga de flambagem e o fator crítico de falha por deformação para uma placa retangular simplesmente apoiada, submetida a carregamentos compressivos. As orientações possíveis para as lâminas são 0°, +45°, -45° e 90°.
Considerou-se como restrição o número máximo de lâminas adjacentes com a mesma orientação igual a quatro, e o laminado simétrico e balanceado. Para respeitar a condição de simetria, opera-se somente com a metade das lâminas do laminado, a outra metade possuindo orientações simétricas. Para o balanceamento considera-se sempre empilhamento feito por duas lâminas contíguas, cujas orientações possuem sinais opostos (por exemplo, +45° e -45°, designadas por ±45). Note que para os ângulos de 0° e 90°, seus respectivos pares negativos são iguais. Portanto, o número de variáveis (orientações dos pares de lâminas) será igual ao número total de lâminas dividido por 4. A restrição de número máximo de lâminas
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão 62
contíguas foi levada em conta durante a construção da solução, rejeitando-se uma solução infactível.
O problema de otimização é então formulado como
Obter: θk, θk∈
{
02,±45 90, 2}
, k =1a n, Maximizar:λ
c =min(λ λ
cb, cf )Sujeito a: - Máximo número de lâminas adjacentes com a mesma orientação = 4
- Laminado simétrico e balanceado
Eq. 5.1
onde
θ
k representa as orientações de um par de lâminas contíguas,n é o número
total de pares de lâminas,
λ
c é o menor valor entreλ
cb eλ
cf , sendoλ
cb o fator crítico da carga de flambagem dado pela Eq. 3.48,λ
cf o fator crítico de falha dado pela Eq. 5.2.O fator crítico de falha por deformação,
λ
cf , é expresso como1 2 12 1 2 12 u u u cf k k k k s s s min min , , F F F ε ε γ λ ε ε γ ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎢ ⎜ ⎟⎥ = ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ Eq. 5.2 onde u i
ε , i = 1,2 e γ12u são as deformações de falha, k i
ε , i = 1,2 e γ12k são as
deformações normais e cisalhante, respectivamente nas direções principais do material da k-ésima lâmina e F o fator de segurança. Para o cálculo do fator crítico s
de falha
λ
cf foi considerado os valores das deformações máximas de falha levando- se em conta um fator de segurança F de 1,5. sO material das lâminas é grafite/epóxi, cujas propriedades são apresentadas na Tabela 5.1.
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão 63
Tabela 5.1 - Propriedades da lâmina de grafite/epóxi. Propriedades elásticas do material Deformações admissíveis E1 (GPa) E2 (GPa) G12 (GPa) υ12 1
u ε ε2u 12 u γ 127,59 13,03 6,41 0,30 0,008 0,029 0,015
O laminado é composto por um total de 48 lâminas onde cada lâmina tem uma espessura e = 0,127 mm. A placa laminada possui comprimento a = 0,508 m e
largura b = 0,127 m e está sujeita a um carregamento biaxial compressivo Nx e Ny,
conforme representado na Figura 3.8. Três casos de carregamento foram considerados, sendo o valor de Ny dado em função de Nx, conforme apresentado
na Tabela 5.2.
Tabela 5.2 - Cargas aplicadas no laminado.
Carregamento 1 2 3 x N (N/m) y N (N/m) x N (N/m) y N (N/m) x N (N/m) y N (N/m) 175 Nx/8 175 Nx/4 175 Nx/2
Uma análise preliminar foi realizada para o carregamento 2, fixando em 3500 o número de avaliações da função objetivo. Os parâmetros utilizados no ACO desta análise são aqueles mostrados na Tabela 4.2. Os resultados das melhores sequências de empilhamento e fatores de carga encontrados são comparados com aqueles obtidos por AYMERICH e SERRA (2008) e estão relatados na Tabela 5.3. A melhor sequência de empilhamento não foi a mesma obtida por AYMERICH e SERRA (2008), mas apresentam valores muito próximos para os fatores críticos de flambagem e para os fatores críticos de falha por deformação.
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão 64
Tabela 5.3 - Caso 1: Comparação de resultados entre ACO (presente trabalho) x ACO de AYMERICH e SERRA (2008)* para o carregamento 2.
Sequência de empilhamento Referências Fator de carga
cb λ λcf [±452, 902, ±453, 02, ±45, 04, ±45, 02]s AYMERICH e SERRA (2008) 12743,45 12678,78 [±45, 902, ±454, (02, ±45, 02)2]s AYMERICH e SERRA (2008) 12725,26 12678,78 [902, ±455, (02, ±45, 02)2]s AYMERICH e SERRA (2008) 12674,85 12678,78 [±453, 904, ±452, 02, ±45, 04]s Presente trabalho 12459,75 12690,69 [902, ±454, (02, ±45)3, 02]s Presente trabalho 12418,12 12690,69 [±452, 902, ±452, 02, ±452, 02, ±45, 04]s Presente trabalho 12634,43 12690,69
* problema baseado no trabalho de KOGISO et al. (1994a) usando AG.
Para medir o desempenho e a qualidade do algoritmo ACO implementado foram realizados testes para os três carregamentos. Os indicadores de desempenho e do custo computacional do processo de busca estão baseados em solucionar o problema um determinado número de vezes, por exemplo, executá-lo 100 vezes e em seguida obter: o “preço”; a “solução ótima prática”; a “confiabilidade prática” e o “preço normalizado” para um número fixo de avaliações da função objetivo (AYMERICH e SERRA, 2008).
O conceito de “solução ótima prática” é definido como uma fração específica da solução ótima global de modo a avaliar a qualidade de um projeto. A “confiabilidade prática” é definida como a probabilidade de alcançar um ótimo prático, isto é, a relação entre o número de execuções em que foi encontrado um ótimo prático e o número total de execuções. Por exemplo, se o algoritmo foi executado 100 vezes, e em 80 delas obteve-se um ótimo prático, a confiabilidade prática é de 0,80 (WANG
et al., 2009). O “preço normalizado” é a média do número de avaliações da função
objetivo para alcançar um ótimo prático, chamado também de “preço”, dividido pela confiabilidade prática (KOGISO et al., (1994b), WANG et al., (2009)).
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão 65
Para a definição de uma solução ótima prática foi considerada uma variação de 0,1% da solução ótima global (AYMERICH e SERRA, 2008). As soluções ótimas práticas obtidas por KOGISO et al. (1994a) e utilizadas como padrão estão apresentadas na Tabela 5.4, Tabela 5.5 e Tabela 5.6 para os carregamentos 1, 2 e 3, respectivamente.
Tabela 5.4 - Ótimos práticos para o carregamento 1 (KOGISO et al., 1994a). Sequência de empilhamento Fator de carga
Flambagem λcb Falha λcf [±455, 04, ±45, 04, 902, 02]s 14659,58 13518,66 [±455, 04, 902, 04, ±45, 02]s 14610,85 13518,66 [±452, 902, ±45, (±45, 04)2, ±45, 02]s 14421,31 13518,66 [±454, 02, ±45, 04, ±45, 04, 902]s 14284,15 13518,66 [±454, 02, ±45, 04, 902, 04, ±45]s 14251,66 13518,66
Tabela 5.5 - Ótimos práticos para o carregamento 2 (KOGISO et al., 1994a). Sequência de empilhamento Fator de carga
Flambagem λcb Falha λcf
[±452, 902, ±453, 02, ±45, 04, ±45, 02]s 12743,45 12678,78
[±45, 902, ±454, (02, ±45, 02)2]s 12725,26 12678,78
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Tabela 5.6 - Ótimos práticos para o carregamento 3 (KOGISO et al.,1994a). Sequência de empilhamento Fator de carga
Flambagem λcb Falha λcf [902, ±452, (902, ±45)2, ±455]s 9998,20 10398,14 [902, ±452, (902, ±45)2, ±454, 902]s 9997,61 10187,94 [(902, ±452)2, (902, ±45)2, ±452]s 9997,61 10187,94 [(902, ±45)2, ±452, (±45, 902, ±45)2]s 9994,84 10187,94 [±45, 904, ±452, 902, ±454, 902, ±45]s 9994,84 10187,94 [(±45, 902)2, 902, ±454, 902, ±452]s 9994,84 10187,94 [904, ±457, 902, ±452]s 9994,69 10398,14 [904, ±456, (±45, 902)2]s 9994,11 10187,94 [(902, ±45)2, ±453, (902, ±45)2, ±45]s 9994,11 10187,94 [±45, 904, (±452, 902, ±45)2, ±45]s 9994,11 10187,94 [904, ±457, 904, ±45]s 9990,61 10187,94 [±45, 904, ±453, 904, ±454]s 9990,61 10187,94 [902, ±453, 904, ±45, 902, ±454]s 9990,61 10187,94
De forma similar ao realizado por AYMERICH e SERRA (2008), os parâmetros de influência de feromônio α e a taxa de controle de evaporação local de feromônio
ξ foram examinados para identificar quais os melhores valores para um custo computacional menor possível e uma convergência para uma boa solução. Assim o algoritmo ACO foi executado 100 vezes para diferentes pares de α e ξ para cada um dos três carregamentos. Para α foram atribuídos os valores: 0,5; 0,75 e 1,0. A taxa de controle de evaporação ξ recebeu os valores: 0,1; 0,5 e 0,75. O critério de parada foi de 1000 avaliações da função objetivo, de modo a determinar o “preço”, cujo desempenho seja atingido com uma “confiabilidade prática” mínima de 0,85, ou seja uma probabilidade de 85% de alcançar um ótimo prático. A média dos melhores valores alcançados, correspondentes aos menores preços e que superam uma “confiabilidade prática” de 0,85 considerando os três carregamentos foi α = 0,82 e
ξ = 0,35.
Em seguida, com valores fixos dos parâmetros, foi realizada a análise de desempenho. O preço, o preço normalizado e a confiabilidade prática foram obtidos também com 100 execuções do ACO com 1000 avaliações em cada execução
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão 67
adotando os seguintes valores dos parâmetros: m= 5; α = 0,82; ξ = 0,35; β = 2; 0
q = 0,90 e ρ = 0,1. KOGISO et al. (1994a) realizaram testes semelhantes com um
AG e AYMERICH e SERRA (2008) e WANG et al. (2009) realizaram também esses testes com um ACO. AYMERICH e SERRA (2008) consideraram os parâmetros m=
1, α = 0,95, ρ = 0,91. WANG et al. (2009) desenvolveram algoritmos de colônia de formigas denominados MCLACAW1 e MCLACA, sem busca local e com busca local respectivamente. Os parâmetros do ACO utilizados por estes pesquisadores foram:
m= 10; α = 0,5; q = 0,8; 0 ξ = 0,8; ρ = 0,6. A Tabela 5.7 apresenta os valores
adotados neste teste.
Tabela 5.7 – Parâmetros adotados nos testes do caso 1 com ACO.
Parâmetros ACO (presente trabalho) ACO (AYMERICH e SERRA, 2008) ACO (WANG et al., 2009) m 5 1 10 α 0,82 0,95 0,5 ξ 0,35 - 0,8 β 2 - - 0 q 0,90 - 0,8 ρ 0,1 0,91 0,6
Os resultados comparativos do desempenho dos algoritmos sem a utilização de uma busca local são apresentados na Tabela 5.8. Os valores para o preço do ACO do presente trabalho apresentam números próximos ou melhores, entretanto, neste caso sem busca local, a confiabilidade prática é inferior aos valores encontrados nas outras referências. A Tabela 5.9 apresenta os testes realizados com a utilização da rotina de busca local e observa-se que ocorre uma melhora na confiabilidade prática e no preço, porém, para o carregamento 2, o algoritmo apresenta um desempenho pior que os demais.
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão 68
Tabela 5.8 - Comparação do desempenho sem busca local do ACO x AG.
Carregamento Algoritmo Preço Confiabilidade prática
Preço normalizado
GA (KOGISO et al., 1994a) 294 0,84 350 ACO (AYMERICH e SERRA, 2008) 199 0,99 201 MCLACAW1 (WANG et al., 2009) 157 0,52 301 1
ACO (presente trabalho) 206 0,98 210 GA (KOGISO et al., 1994a) 975 0,78 1250 ACO (AYMERICH e SERRA, 2008) 697 0,92 758
MCLACAW1 (WANG et al., 2009) 625 0,53 1179 2
ACO (presente trabalho) 416 0,11 4157 GA (KOGISO et al., 1994a) 674 0,81 832 ACO (AYMERICH e SERRA, 2008) 487 0,71 686 MCLACAW1 (WANG et al., 2009) 474 0,36 1316 3
ACO (presente trabalho) 466 0,34 1374 GA (KOGISO et al., 1994a) 639 0,81 789 ACO (AYMERICH e SERRA, 2008) 452 0,87 518 MCLACAW1 (WANG et al., 2009) 418 0,47 889 Média
ponderada*
ACO (presente trabalho) 284 0,48 596 * média ponderada pela confiabilidade prática.
Tabela 5.9 - Comparação do desempenho com busca local do ACO x AG.
Carregamento Algoritmo Preço Confiabilidade prática
Preço normalizado
GA (KOGISO et al., 1994a) 154 0,80 193 ACO (AYMERICH e SERRA, 2008) 125 0,93 134 MCLACA (WANG et al., 2009) 148 1 148 1
ACO (presente trabalho) 141 0,99 142 GA (KOGISO et al., 1994a) 352 0,81 435 ACO (AYMERICH e SERRA, 2008) 291 0,56 519 MCLACA (WANG et al., 2009) 502 0,96 523 2
ACO (presente trabalho) 531 0,21 2586 GA (KOGISO et al., 1994a) 994 0,45 2209 ACO (AYMERICH e SERRA, 2008) 785 0,87 902
MCLACA (WANG et al., 2009) 445 0,83 536 3
ACO (presente trabalho) 375 0,78 481 GA (KOGISO et al., 1994a) 416 0,69 605 ACO (AYMERICH e SERRA, 2008) 407 0,79 518 MCLACA (WANG et al., 2009) 358 0,93 385 Média
ponderada
ACO (presente trabalho) 275 0,66 416 * média ponderada pela confiabilidade prática.
Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão 69
Na análise de busca pelos melhores parâmetros, tomou-se como base o trabalho de AYMERICH e SERRA (2008), assim variou-se somente α e ξ. No entanto o ACS (variante do ACO utilizada no presente trabalho) utiliza os parâmetros (m,α ξ β, , , q ,0 ρ), e somente a combinação de dois deles foram utilizados para a
análise do desempenho. Acredita-se que para a obtenção de valores melhores para os parâmetros é necessário processar a combinação e variação de todos eles. Por exemplo, variar o número de formigas de 1 a 10 com intervalos unitários, e para os demais parâmetros iniciando em 0,1 até 1,0, com intervalos decimais. Desta forma poderia se obter uma melhor correlação e influência de cada parâmetro no problema a ser resolvido.
5.2 Caso 2 - Minimização do Peso com Restrição na Carga de Flambagem