ALGORITMO DE COLÔNIA DE FORMIGAS APLICADO À OTIMIZAÇÃO DE MATERIAIS COMPOSTOS LAMINADOS

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

PR

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

CAMPUS DE CURITIBA

DEPARTAMENTO DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

E DE MATERIAIS - PPGEM

RUBEM MATIMOTO KOIDE

ALGORITMO DE COLÔNIA DE FORMIGAS

APLICADO À OTIMIZAÇÃO DE MATERIAIS

COMPOSTOS LAMINADOS

CURITIBA

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RUBEM MATIMOTO KOIDE

ALGORITMO DE COLÔNIA DE FORMIGAS

APLICADO À OTIMIZAÇÃO DE MATERIAIS

COMPOSTOS LAMINADOS

Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Engenharia, do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Área de Concentração em Mecânica dos Sólidos e Vibrações, do Departamento de Pesquisa e Pós-Graduação, do Campus de Curitiba, da UTFPR.

Orientador: Prof. Marco A. Luersen, Dr. Eng.

CURITIBA

TERMO DE APROVAÇÃO

RUBEM MATIMOTO KOIDE

ALGORITMO DE COLÔNIA DE FORMIGAS

APLICADO À OTIMIZAÇÃO DE MATERIAIS

COMPOSTOS LAMINADOS

Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do título de mestre em engenharia, área de concentração em Mecânica dos Sólidos e Vibrações, e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais.

_________________________________ Prof. Giuseppe Pintaúde, Dr. Eng.

Coordenador de Curso

Banca Examinadora

______________________________ _________________________________ Prof. Marco Antônio Luersen, Dr. Eng. Prof. Pablo Andrés Muñoz-Rojas, Dr. Eng.

(UTFPR) (UDESC)

______________________________ _________________________________ Prof. Jucélio Tomás Pereira, Dr. Eng. Prof. Lauro César Galvão, Dr. Eng.

(UTFPR) (UTFPR)

iii

Dedico este trabalho a Deus que é a fonte de toda criação.

Aos meus pais Masaaki Koide e Fugico Matimoto Koide que iniciaram minha educação.

À minha esposa Ângela R. Kampa M. Koide e meu filho Rubem Kenzo Kampa Koide pelo apoio e compreensão.

iv

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus por tornar tudo possível.

Agradeço a minha família, em especial minha esposa Ângela, pelo incentivo, pela compreensão e apoio durante o curso.

Ao professor e orientador Marco Antonio Luersen por auxiliar na conquista deste desafio.

Aos professores do PPGEM por transmitirem seus conhecimentos.

Ao PPGEM e CITEC/LAMES pela infraestrutura e administrações disponibilizadas.

À centenária UTFPR pela infraestrutura física e administrativa.

Aos colegas do LAMES ao compartilhar as idéias e pela amizade.

Ao colega Gustavo Von Zeska de França pela colaboração na programação em MATLAB.

v

“Vá em frente, que a fé virá até você.” Conselho dado por D’Alembert a Laplace

vi

KOIDE, Rubem Matimoto, Algoritmo de colônia de formigas aplicado à

otimização de materiais compostos laminados, 2010, Dissertação (Mestrado em

Engenharia) - Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 113 p.

RESUMO

O algoritmo de colônia de formigas é uma heurística que foi formulada na década de 1990 por Marco Dorigo. A idéia foi inspirada no comportamento de formigas reais, relacionada às suas habilidades em encontrar o caminho mais curto entre o ninho e o alimento. Esta busca é efetuada através da exploração das trilhas de feromônio, substância química depositada pelas formigas durante seu percurso. Devido a este comportamento cooperativo e eficaz de busca, elas vão construindo alternativas melhores no caminho para encontrar o alimento. Este comportamento foi então simulado em algoritmos de otimização, conhecidos como otimização com colônia de formigas (ACO, do inglês Ant Colony Optimization). Assim, esta dissertação tem por objetivo estudar e aplicar o método de colônia de formigas à otimização de materiais compostos laminados. Tais materiais são formados pelo empilhamento de lâminas, sendo que uma lâmina é composta por uma matriz, geralmente polimérica, reforçada por fibras. Normalmente sua otimização está relacionada às melhores configurações dos ângulos de orientação das lâminas, e consequentemente das fibras. A variante Ant Colony System (ACS) é implementada na plataforma Matlab e aplicada a problemas de otimização de placas compostas laminadas como a maximização da resistência, a minimização do peso, a minimização do custo e a maximização da frequência fundamental. Este último problema foi também resolvido com uma interface com o programa de elementos finitos ABAQUS, possibilitando assim a otimização de problemas cuja resposta estrutural não possui solução analítica. Os testes numéricos realizados indicam que o método é competitivo, em relação às outras técnicas encontradas na literatura, para a otimização de materiais compostos laminados.

Palavras-chave: Otimização com colônia de formigas, Meta-heurística, Materiais

vii

KOIDE, Rubem Matimoto, Ant colony optimization applied to laminated

composite materials, 2010, Thesis (Master in Engineering) - Programa de

Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 113 p.

ABSTRACT

The ant colony algorithm is a heuristic formulated in the decade of the 1990s by Marco Dorigo. The idea was inspired by the behavior of real ants, related to their ability to find the shortest path between the nest and the food. This search is run by exploiting pheromone trails, a chemical substance deposited by the ants during their journey. Due to this cooperative behavior and effective search, they build better alternatives on the path to find food. This behavior was then simulated in optimization algorithms, called Ant Colony Optimization (ACO). Thus, this dissertation aims to study and apply the ant colony method to the optimization of laminated composite materials. This kind of material is made by stacking plies where each ply is composed by a usually polymeric matrix, reinforced by fibers. Usually, its optimization is related to the best settings of the orientation angles of the plies, and consequently the fibers. The variant Ant Colony System (ACS) is implemented and applied to laminated composite plate problems, such as the maximization of the strength, the minimization of the cost and the maximization of the fundamental frequency. This last problem was also solved using an interface with the finite element program ABAQUS, allowing the optimization of problems without analytical solution for the structural response. The numerical tests carried out indicate that the method is competitive compared to other techniques found in the literature for optimization of composite laminates materials.

viii

SUMÁRIO

RESUMO... vi

ABSTRACT ... vii

LISTA DE FIGURAS ... xi

LISTA DE TABELAS ...xiii

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ... xv

LISTA DE SÍMBOLOS... xvi

1 INTRODUÇÃO...1

1.1 Considerações Gerais ... 1

1.2 Objetivos e Organização do Trabalho ... 2

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ...4

2.1 Otimização e Problemas de Otimização... 4

2.2 Otimização Estrutural de Materiais Compostos... 5

2.3 Algoritmo de Colônia de Formigas Aplicado a Materiais Compostos Laminados... 10

3 CONCEITOS DA MECÂNICA DOS MATERIAIS COMPOSTOS LAMINADOS .13 3.1 Definições e Generalidades... 13

3.2 Comportamento Macromecâmico de uma Lâmina... 16

3.3 Comportamento Macromecânico dos Laminados via Teoria Clássica dos Laminados ... 21

3.3.1 Tensões e Deformações em Laminados... 22

3.3.2 Forças e Momentos Resultantes no Laminado ... 25

3.4 Critérios de Falha... 30

3.4.1 Teoria da Máxima Tensão ... 30

3.4.2 Teoria da Máxima Deformação ... 31

3.4.3 Teoria de Tsai-Hill... 31

3.4.4 Teoria de Hoffman ... 32

3.4.5 Teoria de Tsai-Wu ... 32

3.5 Frequência Natural e Carga Crítica de Flambagem de Laminados ... 32

3.5.1 Frequência Natural ... 33

3.5.2 Carga de Flambagem ... 34

3.6 Alguns Aspectos sobre o Projeto de Compostos Laminados... 35

ix

4.1 Origem dos Algoritmos de Colônia de Formigas ... 38

4.1.1 Algoritmo Ant System - AS ... 42

4.1.2 Algoritmos de Otimização de Colônia de Formigas (ACO) ... 44

4.2 Aplicações da Técnica de Otimização de Colônia de Formigas ... 49

4.3 Ant Colony System (ACS) Aplicado a Materiais Compostos Laminados... 50

4.4 ACO Associado ao Método dos Elementos Finitos (ABAQUS) ... 58

5 RESULTADOS NUMÉRICOS E DISCUSSÃO ...61

5.1 Caso 1 - Maximização do Fator Crítico de Carga... 61

5.2 Caso 2 - Minimização do Peso com Restrição na Carga de Flambagem para Laminado Híbrido... 69

5.3 Caso 3 - Minimização do Custo com Restrição na Carga de Flambagem e no Peso para Laminado Híbrido... 72

5.4 Caso 4 - Maximização da Frequência Fundamental de Placas Retangulares... 75

5.5 Maximização da Frequência Fundamental de Placas Quadradas e Retangulares com um Furo Central ... 79

5.5.1 Caso 5 - Placa Quadrada com Furo Central ... 80

5.5.2 Caso 6 - Placa Retangular com Furo Central... 82

6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ...85

PRODUÇÃO CIENTÍFICA NO PERÍODO (Março 2008 – Fevereiro 2010)...87

REFERÊNCIAS...88

APÊNDICE A – PRINCIPAIS ALGORITMOS de COLôNIA DE FORMIGAS ...95

APÊNDICE B – FLUXOGRAMA DO ALGORITMO ACO APLICADO AOS MATERIAIS COMPOSTOS LAMINADOS...100

APÊNDICE C – MODOS DE VIBRAÇÃO FUNDAMENTAL DE PLACAS APRESENTADAs NAS SEÇÕES 5.4 E 5.5 ...101

ANEXO A – TEORIA DOS GRAFOS ...105

A. INTRODUÇÃO...105

A.1 Definição ... 105

A.2 Representação do Grafo... 106

A.3 Exemplo do Grafo ... 106

A.4 Algumas Definições e Características dos Grafos ... 106

x

A.4.2 Peso do Grafo... 106

A.4.3 Grafo Direcionado... 107

A.4.4 Circuito Euleriano... 107

A.4.5 Grafo Euleriano... 107

A.4.6 Ciclo Hamiltoniano... 108

A.4.7 Grafo Hamiltoniano ... 108

A.4.8 Grafo Bipartido... 108

A.4.9 Grafo Valorado... 109

A.5 Grafo Aleatório... 109

A.6 Teorias de Probabilidade Estocástica ... 110

A.6.1 Probabilidade Condicional ... 110

A.6.2 Fórmula da Probabilidade Total... 110

A.6.3 Fórmula de Bayes... 110

xi

LISTA DE FIGURAS

Figura 3.1 - Material composto laminado. ...14

Figura 3.2 - Sistema de coordenadas principais do material...16

Figura 3.3 - Sistemas de coordenadas x-y e 1-2...20

Figura 3.4 - Deformação de um laminado segundo a TCL...23

Figura 3.5 - Geometria e definição das coordenadas ao longo das camadas do laminado...26

Figura 3.6 - Representação do sentido positivo das forças e momentos resultantes no laminado...27

Figura 3.7 - Acoplamentos dos termos das matrizes constitutivas...29

Figura 3.8 - Placa retangular sujeita a carregamentos compressivos. ...35

Figura 4.1 - Experimento da ponte dupla para trilha de formigas...39

Figura 4.2 - Formação da trilha de feromônio na busca do alimento. ...40

Figura 4.3 - Pseudocódigo do algoritmo ACO. ...45

Figura 4.4 - Representação de ACO aplicado a material composto laminado. ...51

Figura 4.5 - Representação esquemática do grafo para um laminado de 4 lâminas e 3 opções de orientações (0°, 45° ou 90°)...54

Figura 4.6 - Exemplo do grafo para um laminado [0, 45, 90,45]...55

Figura 4.7 – Exemplo de grafo para um laminado híbrido [₄₅mat1 ₀mat2 ₀mat1 ₉₀mat2 , , , ]. .56 Figura 4.8 - Pseudocódigo do ACO aplicado a material composto laminado...57

Figura 4.9 - Pseudocódigo para a busca local. ...58

Figura 4.10 - Fluxograma da integração do ACO, desenvolvido em Matlab, com o ABAQUS. ...60

Figura 5.1 - Placa quadrada com furo de diâmetro D. ...80

xii

Figura 5.3 - Primeiro modo de vibração da placa quadrada com furo de diâmetro D

= 0,08 m. ...82

Figura 5.4 - Primeiro modo de vibração da placa retangular com furo de diâmetro D = 0,06 m. ...84

Figura A.1 - Exemplo de grafo...105

Figura A.2 - Exemplo de grafo direcionado. ...107

Figura A.3 - Exemplo de grafo Euleriano (As pontes de Königsberg). ...107

xiii

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 - Influência dos parâmetros no projeto de compostos laminados (HAFTKA

e GÜRDAL, 1992). ...7

Tabela 3.1 - Número de possíveis soluções em função da quantidade de lâminas e de orientações...37

Tabela 3.2 - Número de possíveis soluções em função da quantidade de lâminas e de materiais...37

Tabela 4.1 - Correspondência entre a natureza e o ACO. ...41

Tabela 4.2 - Parâmetros para o ACS. ...49

Tabela 4.3 - Representação do ACO aplicado a materiais compostos laminados. ...52

Tabela 5.1 - Propriedades da lâmina de grafite/epóxi. ...63

Tabela 5.2 - Cargas aplicadas no laminado. ...63

Tabela 5.3 - Caso 1: Comparação de resultados entre ACO (presente trabalho) x ACO de AYMERICH e SERRA (2008)* para o carregamento 2. ...64

Tabela 5.4 - Ótimos práticos para o carregamento 1 (KOGISO et al., 1994a). ...65

Tabela 5.5 - Ótimos práticos para o carregamento 2 (KOGISO et al., 1994a). ...65

Tabela 5.6 - Ótimos práticos para o carregamento 3 (KOGISO et al.,1994a). ...66

Tabela 5.7 – Parâmetros adotados nos testes do caso 1 com ACO. ...67

Tabela 5.8 - Comparação do desempenho sem busca local do ACO x AG...68

Tabela 5.9 - Comparação do desempenho com busca local do ACO x AG...68

Tabela 5.10 - Propriedades das lâminas...69

Tabela 5.11 - Valores mínimos para o fator crítico de flambagem e cargas aplicadas no laminado...70

Tabela 5.12 - Caso 2: Comparação ACO (presente trabalho) x AG (GIRARD, 2006). ...72

xiv

Tabela 5.13 - Valor mínimo para o fator crítico de flambagem e cargas aplicadas no

laminado...73

Tabela 5.14 - Caso 3: Comparação ACO (presente trabalho) x AG (GIRARD, 2006). ...75

Tabela 5.15 - Características da placa de laminado. ...76

Tabela 5.16 - Propriedades do grafite/epóxi. ...77

Tabela 5.17 - Caso 4: Sequência ótima de empilhamento de placa retangular. ...77

Tabela 5.18 - Caso 4: Sequência ótima de empilhamento de placa retangular obtida via ACO/ABAQUS...79

Tabela 5.19 - Caso 5: Sequência de empilhamento ótima da placa quadrada com furo com ACO/ABAQUS...81

Tabela 5.20 - Sequência de empilhamento da placa retangular com furo com ABAQUS. ...83

Tabela 5.21 - Caso 6: Sequência ótima de empilhamento da placa retangular com furo (ACO/ABAQUS). ...83

xv

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ACO - Ant Colony Optimization

ACOR - Ant Colony Optimization for Contínuos Domains

ACS - Ant Colony System

AF - Avaliação da Função Objetivo

AG - Algoritmo Genético

AS - Ant System

ASRANK - Rank – Based Ant System

CAE - Computer Aided Design, Módulo do ABAQUS, extensão do

nome do arquivo

C-E - Carbono-Epóxi

DP - Desvio Padrão

MATLAB® - MATrix LABoratory - Programa de computação científica

MCLACA - Multi City-Layer Ant Colony Algorithm

MCLACAW1 - Multi City-Layer Ant Colony Algorithm Without Interchange

ME - Média

MEF - Método dos Elementos Finitos

MMAS - MAX-MIN Ant System

PSO - Particle Swarm Optimization

S-ACO - Simple Ant Colony Optimization

SIMPLE-ACO - Simple Ant Colony Optimization

TCL - Teoria Clássica dos Laminados

U - Unidade Monetária

xvi

LISTA DE SÍMBOLOS

a _{- Comprimento do laminado}

A - Conjunto das arestas dos nós do grafo ij

A _{- Matriz de rigidez extensional} mn

A _{- Coeficientes da série de Fourier da frequência natural}

b _{- Largura do laminado}

ij

B _{- Matriz entre flexão e membrana de acoplamento}

C - Conjunto dos componentes

bs

C - Comprimento do circuito da melhor solução da iteração ij

C - Coeficientes da matriz constitutiva do material

nn

C - Comprimento do circuito

D - Diâmetro ij

D _{- Componentes da matriz de flexão}

e - Espessura da lâmina

E - Módulo de Young (Subseção 3.2)

- Conjunto de arestas ou pares de vértices (Subseção A.1)

f - Função a ser minimizada

fBL - Solução gerada com a rotina de busca local fmin - A melhor solução da iteração

f ( x ) - Função objetivo f* - A melhor solução s F - Fator de segurança F( x ) - Função penalizada 12

F _{- Coeficiente de acoplamento do critério de Tsai_Wu}

g _{- Aceleração da gravidade}

j

g ( x ) - Funções de restrições de desigualdade

min

g - Soma mínima da restrição soma

xvii g( x ) - A restrição 1 g - Restrição para λ_cb 2 g - Restrição para W G - Módulo de cisalhamento G( n ) - Grafo aleatório com n vértices

G( N , A ) - Grafo dos nós N e arestas A

h

- Espessura do laminado

i

h ( x ) - Funções de restrições de igualdade

J - Variável randômica selecionada pela probabilidade pijk

k _{- Índice que indica o número da camada de laminado (Subseção 3.3.1)}

- Formiga (Subseção 4.1.1)

l - Candidato do conjunto de soluções

m - Material da lâmina (Seção 3.1)

- Modo de vibração da frequência natural (Subseção 3.5.1) - Quantidades de formigas artificiais do ACS (Subseção 4.1.2.1)

k

mat - Material correspondente a cada par de lâmina

x

M - Momento fletor resultante proveniente da distribução de tensões na

direção x

xy

M _{- Momento torsor resultante em relação ao plano xy}

y

M - Momento fletor resultante proveniente da distribuição de tensões na

direção y

n - Número de lâminas do laminado (Seção 3.1)

- Modo de vibração da frequência natural (Subseção 3.5.1) - Número de pontos no circuito das formigas (Subseção 4.1.2.1) - Número de pares de lâminas (Seção 5.1)

e

n - Número de restrições de igualdade

g

n - Número de restrições de desigualdade

N - Conjunto de nós do grafo (Subseção 4.1)

- Unidade de medida de força Newton (Seção 5.1) Νk

i - Conjunto das soluções das k-ésimas formigas

NI - Número de iterações NL _{- Número total de lâminas}

xviii

x

N _{- Força resultante (por unidade de comprimento) na direção x} y

N _{- Força resultante na direção y} xy

N _{- Força cisalhante resultante em relação ao plano xy}

p _{- Meia onda na direção x na equação para modo de flambagem} k

ij

p - Probabilidade da formiga k escolher o próximo nó j estando no nó

i

( )

P A - Probabilidade de ocorrência do eventoA

( )

P B - Probabilidade de ocorrência do evento B

(

)

P A / B - Probabilidade condicional de _A dado B

( )

P n - Propriedade do grafo aleatório

q - Meia onda na direção y na equação para modo flambagem

(Subseção 3.5.2)

q _{- Variável randômica entre 0 e 1 (Subseção 4.1.2.1)}

0

q - Parâmetro do ACS que indica a probabilidade do melhor movimento

₍

₎

0 1

0 ≤ q ≤

Q - Matriz constitutiva reduzida

ij

Q - Componentes da matriz constitutiva reduzida nas direções principais

do material

ij

Q - Componentes da matriz constitutiva reduzida em direções quaisquer

ℜn _{- Conjunto dos números reais n-dimensional} *

s - Solução ótima

S - Domínio das variáveis da função objetivo (Seção 2.1)

- Matriz de complacência (Subseção 3.2)

- Resistência mecânica ao cisalhamento no plano 1-2 (Subseção 3.4.1)

ij

S - Coeficientes da matriz de complacência

12

S _{- Tensão cisalhante no plano 1, 2}

ε

S _{- Deformação máxima cisalhante de falha}

t _{- Tempo}

bs

T - Conjunto com as melhores soluções das iterações u _{- Deslocamento na direção x}

xix

c

u _{- Deslocamento u no ponto c}

0

u _{- Deslocamento na direção x no plano médio da placa}

U - Unidade monetária

v _{- Deslocamento na direção y}

0

v _{- Deslocamento na direção y no plano médio da placa} V - Conjunto de vértices ou nós do grafo

1

V - Subconjunto de vértices ou nós do grafo do conjunto V 2

V - Subconjunto de vértices ou nós do grafo do conjunto V (V1≠V2)

w _{- Deslocamento na direção z}

0

w _{- Deslocamento na direção z no plano médio da placa}

W - Peso do laminado

max

W - Peso máximo do laminado

X - Resistência na direção longitudinal às fibras - Conjunto das soluções (Seção 4.3)

X - Conjunto das soluções factíveis

c

X - Resistência mecânica em compressão da lâmina na direção

longitudinal às fibras

εc

X - Deformação de falha à compressão da lâmina na direção longitudinal

das fibras

εt

X - Deformação de falha à tração da lâmina na direção longitudinal das

fibras

t

X - Resistência mecânica em tração da lâmina na direção longitudinal às

fibras

x, y - Coordenadas do plano x, y

Y _{- Resistência na direção transversal às fibras} c

Y _{- Resistência mecânica em compressão na direção transversal}

εc

Y - Deformação de falha à compressão da lâmina na direção transversal

às fibras

εt

Y - Deformação de falha à tração da lâmina na direção transversal às

fibras

t

Y _{- Resistência mecânica em tração na direção transversal} z - Direção perpendicular ao plano x, y (Seção 3.3)

- Índice da sequência de empilhamento das lâminas (Subseção 3.3.2)

c

z _{- Deslocamento na direção z do ponto c} k

xx 1 − k z _{- Espessura da lâmina k−1} 0

z _{- Espessura do laminado no ponto inicial}

1,2 - Coordenadas do plano 1, 2

% - Comentário no pseudocódigo

α - Parâmetro de controle de influência de feromônio (Seção 2.3) - Parâmetro de controle de influência de feromônio do AS (Subseção 4.1.1)

β _{- Ângulo, declive do laminado após deformação (Subseção 3.3.1)}

- Parâmetro de controle da informação heurística do AS (Subseção 4.1.1)

- Parâmetro de controle da informação heurística do ACS (Subseção 4.1.2.1)

γ - Deformação cisalhante

k

γ - Deformação cisalhante na direção principal da k-ésima lâmina

xy

γ _{- Deformação cisalhante no plano x, y}

0

γ_{xy - Deformação cisalhante xy no plano médio da placa}

xz

γ _{- Deformação cisalhante em relação ao plano x,z} γ_{yz - Deformação cisalhante em relação ao plano y,z}

u

γ - Deformação cisalhante admissível de falha

12

γ _{- Deformação cisalhante no plano 1,2}

b Δ - Valor de bonificação g Δ - Fator de relaxamento p Δ - Valor de penalização τ Δ k

- Quantidade de feromônio a depositar pela formiga k

τ

Δ bs

ij - Quantidade de feromônio para a melhor solução da iteração ε_j - Componentes de deformação

k

ε - Deformação normal na direção principal da k-ésima lâmina

u

ε - Deformação normal admissível de falha

ε_{x - Deformação normal na direção x} ε_{y - Deformação normal na direção y}

0

xxi

0

ε_{y - Deformação normal na direção y, atuando no plano médio da placa} εz - Deformação normal na direção z

2

ε _{- Deformação normal na direção 2}

η _{- Informação heurística ou valor heurístico}

f

n - Número total de avaliações da função objetivo

θ - Ângulo de orientação da fibra na lâmina (Seção 3.1) - Ângulo do eixo x, y para o eixo 1,2 (Seção 3.2) θk _{- Ângulo de orientação de duas lâminas contíguas}

κ_{x - Curvatura em x na superfície média após o deslocamento}

0

u κ_{y - Curvatura em y na superfície média após o deslocamento}

0

u κ_{z - Curvatura em xy na superfície média após o deslocamento}

0

u

λ

_c - Menor valor entre o fator crítico da carga de flambagem e o fator crítico de falha

λ

_cb - Fator crítico da carga de flambagem

λ

_cf - Fator crítico de falha

min

λ - Carga crítica mínima de flambagem

ν - Coeficiente de Poisson

ξ - Parâmetro da taxa de evaporação local de feromônio do ACS π _{- Número PI}

ρ _{- Parâmetro da taxa de evaporação de feromônio (Seção 2.3)}

- Densidade média ao longo da espessura (Subseção 3.5.1)

- Parâmetro da taxa de evaporação de feromônio do AS (Subseção 4.1.1)

- Parâmetro da taxa de evaporação global de feromônio do ACS (Subseção 4.1.2.1)

σ

_i - Componentes de tensão

x

σ _{- Tensão normal na direção x}

y

σ _{- Tensão normal na direção y}

1

σ

_{- Tensão normal na direção 1}

2

σ

_{- Tensão normal na direção 2}

τ

- Tensão cisalhante

xxii

xy

τ _{- Tensão cisalhante no plano x, y}

12

τ

_{- Tensão cisalhante no plano 1,2}

τ

_ij - Feromônio artificial

0

τ

- Valor inicial de quantidade de feromônio

ω

_{- Frequência natural}

ω

_max - Máxima frequência fundamental Ω - Restrições do problema (Seção 4.3)

Capítulo 1 Introdução ₁

1 INTRODUÇÃO

1.1 Considerações Gerais

Os materiais compostos laminados são usados atualmente em peças e componentes estruturais nas indústrias aeronáutica, automobilística, militar, espacial, principalmente devido às suas excelentes características de alta rigidez e baixo peso, e facilidade de adaptá-los às geometrias complexas. As aplicações têm se expandido também às indústrias de produtos esportivos, construção civil e de autopeças. Com o objetivo de melhorar o desempenho de compostos laminados via otimização de seu projeto estrutural, estuda-se qual a melhor configuração para a espessura das lâminas, os ângulos de orientação das fibras e diferentes tipos de materiais das lâminas. Geralmente estas variáveis têm valores discretos definidos em um espaço finito (por exemplo, comumentemente as opções de orientações das fibras são 0°, ±45º e 90º para um dado material onde a espessura da lâmina é pré-definida). A conjugação destes parâmetros visando a otimização da estrutura leva a um problema de otimização combinatória em função dessas variáveis discretas. Uma forma bastante eficiente de resolver problemas de otimização combinatória é através de meta-heurísticas (BLUM e ROLI, 2003). Diversas meta-heurísticas foram testadas e usadas com o objetivo de otimizar materiais compostos laminados, como por exemplo, algoritmos genéticos (AG), busca tabu, simulated annealing, entre outros.

Um dos mais atuais e promissores algoritmos heurísticos, que têm evoluído desde sua publicação na década de 1990 por Marco Dorigo (DORIGO e STÜTZLE, 2004), é o algoritmo denominado de otimização de colônia de formigas (ACO, do inglês Ant Colony Optimization). Ele baseia-se na simulação do comportamento real das formigas forrageiras que buscam seu alimento através das trilhas de feromônio e no comportamento denominado estimergia (em inglês stigmergy), que é o tipo de comunicação indireta entre as formigas, na qual elas rastreiam os melhores caminhos. Da aplicação deste conhecimento, via comportamento simulado com formigas artificiais, criou-se o algoritmo ACO. Este algoritmo busca melhores

Capítulo 1 Introdução ₂

soluções, nas trilhas em que se encontra maior quantidade de feromônio, com o controle de seu depósito e evaporação. Realizam-se também atualizações locais e globais de feromônio, melhorando assim a busca de resultados e alternativas por caminhos não trilhados.

O avanço desta técnica em diversos problemas de otimização combinatória tem-lhe creditado razões para que se amplie sua aplicação, especificamente no presente caso aos problemas de otimização de estruturas de materiais compostos laminados. Normalmente tais problemas de otimização visam o mínimo custo ou peso, ou a maximização da rigidez da estrutura, como é detalhado posteriormente neste texto.

1.2 Objetivos e Organização do Trabalho

Esta dissertação tem como objetivo a implementação e aplicação do método de colônia de formigas na otimização estrutural de materiais compostos laminados. Podem ser encontradas na literatura diversas técnicas de otimização aplicadas a compostos laminados como: algoritmos genéticos, simulated annealing, artificial

immune system, busca tabu, método de Nelder–Mead, entre outras. Entretanto, o

algoritmo de colônia de formigas ainda é pouco explorado para este tipo de aplicação. A proposta de sua implementação proporciona, assim, uma opção às técnicas já existentes, além de possibilitar seu estudo detalhado bem como a comparação com outros métodos.

Para fundamentar o estudo, é feita primeiramente uma revisão sobre otimização, alguns conceitos e definições, a qual é a base para as formulações dos problemas de otimização aqui estudados. As definições e teorias relacionadas ao comportamento mecânico dos materiais compostos laminados também são descritas e formuladas.

O algoritmo de colônia de formigas, sendo o objeto do presente estudo, é detalhado para a sua melhor compreensão. A origem e a construção do algoritmo são explicadas. As variantes do mesmo e a escolha pelo Ant Colony System (ACS) para a aplicação corrente também são detalhadas. As características fundamentais

Capítulo 1 Introdução ₃

do algoritmo, como a construção via grafos, o feromônio e suas atualizações em nível local e global de modo a tornar o algoritmo mais eficiente, também são descritas.

Partindo-se da construção do algoritmo de colônia de formigas particularizado para problemas de materiais compostos laminados, foram testados diversos casos encontrados na literatura, como a maximização da resistência, a minimização do custo, a minimização do peso e maximização da frequência fundamental considerando placas retangulares ou quadradas. Na sequência, associou-se o algoritmo de colônia de formigas ao programa de elementos finitos ABAQUS, para a otimização de geometrias complexas.

A dissertação está dividida em seis capítulos, os quais apresentam os assuntos descritos abaixo.

O Capítulo 1 contempla a introdução do trabalho focando principalmente o objetivo, bem como sua estruturação.

O Capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica de otimização e técnicas de otimização envolvidas nos problemas de compostos laminados.

O Capítulo 3 resume a teoria da mecânica dos materiais compostos laminados e os critérios de falha usualmente utilizados para estes materiais. Os conceitos mostrados neste capítulo servirão de base para a compreensão dos problemas de otimização estudados.

O Capítulo 4 está organizado de modo a descrever a origem do algoritmo de colônia de formigas, os procedimentos que compõem o mesmo e a justificativa de escolha pelo algoritmo Ant Colony System (ACS) dentre as diversas variantes. Os fundamentos do algoritmo de colônia de formigas aplicados aos materiais compostos laminados também são expostos.

O Capítulo 5 descreve os diversos problemas solucionados aplicando o algoritmo desenvolvido e implementado. Os resultados de testes numéricos são apresentados e discutidos.

Para finalizar, no Capítulo 6 são apresentadas as conclusões deste trabalho e as sugestões para futuras pesquisas complementares, e no Glossário alguns termos específicos relacionados com o tema do trabalho.

Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 4

2 REVISÃO

BIBLIOGRÁFICA

2.1 Otimização e Problemas de Otimização

Otimização refere-se, como define CASTRO (2006), aos conceitos, métodos e aplicações relacionadas com a determinação da melhor ou das melhores soluções para um dado problema. Envolve o estudo das condições ótimas, desenvolvimento e análise de algoritmos, aplicações e experimentações computacionais. Para resolver através de algoritmos um problema de otimização, é necessário desenvolver inicialmente a formulação matemática do problema. Em seguida descrever todos os aspectos do problema, o que proporcionará definir a função objetivo a minimizar ou a maximizar, respeitando os critérios de restrições impostas pelo problema, do qual se extraem as soluções factíveis e, a partir destas, as ótimas ou melhores soluções. Outro aspecto importante relativo aos algoritmos de otimização, que se baseiam em processos iterativos de busca da solução, diz respeito à convergência. Deve-se garantir as condições de convergência, velocidade de convergência para uma solução de boa qualidade.

Normalmente o objetivo da otimização de um projeto é melhorar a sua eficiência e diminuir seu custo. A otimização busca, portanto, determinar qual é o melhor projeto, sem que seja necessário computar todas as possíveis alternativas.

Os problemas de otimização podem ser representados por uma função objetivo, por vezes também denominada função custo ou de mérito, que é a função a ser avaliada, buscando a sua maximização ou minimização, sob determinadas restrições (ARORA, 2004). A função objetivo e as funções de restrições dependem das variáveis de projeto. As variáveis de projeto são aquelas que sofrem alterações durante o processo de otimização. As restrições são funções que estabelecem limites permitidos pelas variáveis.

Matematicamente a função objetivo pode ser escrita como

Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 5

onde x são as variáveis de projeto pertencentes ao domínio S destas variáveis.

Estas podem ser do tipo: reais, inteiras, mistas (reais e inteiras em um mesmo problema), discretas, contínuas, limitadas, etc.

As restrições são representadas por

hi(x) = 0 i=1,...,ne, gj(x) ≤ 0 j=1,...,ng,

Eq. 2.2

sendo que hi(x) são as funções de restrições de igualdade e gj(x) as funções de

restrições de desigualdade.

A otimização combinatória considera o problema dentro de um conjunto finito de variáveis, e a otimização contínua resolve o problema em um domínio infinito, pois as variáveis possuem variação contínua. As restrições determinam os campos das soluções factíveis e das infactíveis. As factíveis significam que as possíveis soluções candidatas respeitam as restrições, e as infactíveis é o conjunto de soluções que violam as condições impostas pelas restrições. Um problema de otimização busca sempre uma solução ótima factível (PHAM e KARABOGA, 2000).

Por vezes, alguns problemas de otimização são classificados como difíceis (do inglês hard). A interpretação para difícil diz respeito principalmente ao tempo computacional necessário para se encontrar a solução. Um problema difícil é definido por CORNE et al. (1999) como um problema que não garante a obtenção da melhor solução em um tempo aceitável. Além disso, não existe um método ou algoritmo de otimização que seja eficiente para todos os tipos de problemas. Os métodos estocásticos (processos de busca com algum elemento randômico) têm se destacado na solução de problemas em que outros métodos não conseguem apresentar bons resultados (SPALL, 2003).

2.2 Otimização Estrutural de Materiais Compostos

Estudos sobre a mecânica dos materiais compostos se intensificaram a partir de 1960, com pesquisadores como Dr. Stephen Tsai, Dr. Rozen, Dr. Broustman,

Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 6

Dow e outros, como relata CHAMIS (2007). Estes desenvolveram a base teórica da mecânica dos materiais compostos que considera a análise da micromecânica e da macromecânica, evoluindo da teoria clássica dos laminados, para o campo das estruturas dos compostos. Várias teorias foram desenvolvidas, também, para a análise de falhas em termos das tensões, como as teorias de Tsai-Hill, Tsai-Wu, Hoffmann, entre outras.

O projeto de estruturas de compostos laminados, como qualquer outro projeto estrutural, normalmente visa a redução de custo e peso, além de buscar uma maximização da resistência. Assim, os projetos de compostos reforçados podem se tornar muitas vezes um problema de otimização multiobjetivo, sendo necessário computar a espessura ótima do laminado, o ângulo das lâminas, o material de cada lâmina. Além disso, devido às restrições de fabricação, o ângulo e a espessura da lâmina são selecionados de valores discretos e o projeto torna-se um problema de otimização discreta (DEKA et al., 2005). Como descrevem BLOOMFIELD et al. (2009) a otimização do empilhamento é inerentemente um problema com variáveis discretas. Em projeto de laminados, a espessura da lâmina é geralmente fixada e as orientações das lâminas têm valores discretos. A determinação da sequência de empilhamento de uma placa de espessura dada usando as orientações das lâminas como variáveis de projeto é um problema combinatório. Outra restrição dos laminados está relacionada à quantidade de lâminas adjacentes de mesma orientação. A ocorrência de mais de quatro lâminas adjacentes com a mesma orientação pode deixar a matriz quebradiça, devido aos efeitos de tensões térmicas geradas durante o processo de cura (GÜRDAL et al., 1999).

Decidir o número de lâminas de orientação específica não é suficiente para definir o melhor laminado (HAFTKA e GÜRDAL, 1992), mas sim conhecer a sequência de empilhamento, as orientações para cada lâmina e os respectivos materiais. O que determinará a melhoria no projeto de laminados compostos são as escolhas dos valores das variáveis de projeto, o que significa projetar as propriedades do laminado (WIDMAIER, 2005). A Tabela 2.1 mostra a influência da variação dos parâmetros no projeto de compostos laminados.

Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 7

Tabela 2.1 - Influência dos parâmetros no projeto de compostos laminados (HAFTKA e GÜRDAL, 1992).

Parâmetros do projeto Influência principal

Ângulo de orientação da lâmina Direção da resistência Espessura da lâmina Resistência global

Sequência de empilhamento Rigidez e acoplamento entre as matrizes _{constitutivas}

Resumindo, um projeto eficiente de compostos laminados não computa somente a área e a espessura que determinada aplicação deve alcançar, mas também as propriedades global e local dos materiais através do uso seletivo da orientação, número e sequência de empilhamento das lâminas que constituem o laminado (HAFTKA e GÜRDAL, 1992). Assim, em função do número de variáveis de projeto, a otimização de compostos laminados torna-se complexa. Encontrar o melhor projeto, sem que se violem as restrições, é normalmente muito difícil e é onde muitas das soluções encontradas podem ser ótimos locais. Considerando, por exemplo, um laminado com 20 lâminas, sendo que cada uma dessas lâminas pode assumir 2 orientações (0° e 90°), há aproximadamente 220 ≈ 1.000.000 possíveis alternativas de soluções para o projeto (GÜRDAL et al., 1999).

O projeto de otimização de estruturas de compostos laminados é um problema de otimização global, com múltiplos ótimos locais e um espaço de projeto complexo, destaca ERDAL e SONMEZ (2005). A otimização com algoritmo determinístico pode tender para um ponto de ótimo local em vez de um ótimo global, dependendo do ponto inicial. Além disso, se o ponto inicial estiver em uma região infactível, ou seja, inviável, o algoritmo pode convergir para um ótimo local infactível. Muitos métodos de otimização também não são adequados para variáveis discretas, por exemplo, o número de lâminas do laminado ou valores discretos para as orientações das lâminas. Por estas razões, as técnicas de otimização estocásticas têm se destacado por não serem sensíveis ao ponto inicial, efetuando a busca em uma região grande, escapando de estagnar num ótimo local e poder tratar problemas em variáveis contínuas, discretas ou mistas com a mesma facilidade. Assim, recentemente, têm surgido métodos não determinísticos para a otimização de materiais compostos laminados, como os algoritmos heurísticos, que são algoritmos exploratórios não

Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 8

exatos e meta-heurísticos, que buscam solucionar problemas genéricos onde não se tem um algoritmo eficiente. Em uma meta-heurística utilizam-se estratégias guiadas por processos de busca heurística e estocástica na exploração do espaço da solução (CASTRO, 2006). A mesma utiliza técnica de busca de modo a escapar de um mínimo local.

Uma meta-heurística é um tipo de algoritmo exploratório inteligente onde técnicas de alto nível (meta = alto nível, do prefixo grego) são aplicadas nos procedimentos heurísticos (do grego heuriskein = descobrir). A mesma é usada para resolver problemas difíceis, para encontrar a melhor alternativa, a mais próxima da solução ótima, com menor custo computacional. Meta-heurísticas vêm sendo aplicadas na solução de problemas específicos dentre os quais problemas de otimização combinatória. Exemplos de meta-heurísticas são o simulated annealing, a busca tabu, algoritmos genéticos, algoritmo de colônia de formigas, entre outros.

Podem ser encontrados na literatura inúmeros trabalhos aplicando-se diferentes técnicas de solução a problemas de otimização de materiais compostos laminados, entretanto há predominância dos algoritmos genéticos. Dentre estes trabalhos evidenciam-se aqui os seguintes: LE RICHE e HAFTKA (1993) estudaram o uso de algoritmos genéticos para otimizar a sequência de empilhamento na maximização da carga de flambagem e analisaram também os efeitos das lâminas adjacentes como restrição; TODOROKI et al. (1996) otimizaram a sequência ótima de empilhamento com a técnica de decisão sequencial orientados a objeto e pelo método branch and bound; LIU et al. (2000) desenvolveram um algoritmo genético com novas características permutativas, a fim de obterem a sequência de empilhamento das lâminas, para resolver o problema da máxima carga de flambagem; GANTOVNIK et al. (2002) adotaram um algoritmo genético no qual incluíram uma memória para as variáveis contínuas, para a minimização do peso, e assim obterem a melhor sequência de empilhamento, neste caso com variáveis discretas e contínuas; SOREMEKUN et al. (2002) utilizaram um algoritmo genético para resolver o problema de minimização de peso e custo de estruturas com quantidades diferentes de lâminas; TERADA et al. (2001) maximizaram a carga de flambagem utilizando o método fractal branch and bound na otimização da sequência de empilhamento para uma placa retangular; SPALLINO e RIZZO (2002)

Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 9

otimizaram estruturas de compostos laminados utilizando estratégias evolucionárias e teoria dos jogos em problemas discretos multiobjetivos. LUERSEN e LE RICHE (2004) aplicaram o método Globalized Nelder-Mead na maximização da carga de flambagem; DEKA et al. (2005) combinaram algoritmos genéticos com o método de elementos finitos para a otimização multiobjetivo de minimização de custo e peso combinados; ZEHNDER e ERMANNI (2006) pesquisaram a técnica de algoritmos evolucionários na otimização de rigidez de estruturas; AKBULUT e SONMEZ (2008) investigaram a aplicação do algoritmo simulated annealing na minimização da espessura do laminado. LOPEZ et al. (2008) analisaram os efeitos dos critérios de falha na minimização do peso dos materiais compostos laminados. Estes pesquisadores também desenvolveram e aplicaram um algoritmo genético na otimização de materiais compostos híbridos (LOPEZ et al., 2009).

As soluções ótimas muitas vezes requerem um tempo elevado de processamento computacional em relação às partes heurísticas. Por outro lado, a inclusão de uma rotina de busca local muitas vezes tende a reduzir este tempo. Dessa forma, surgem os algoritmos híbridos, como por exemplo, um algoritmo genético com busca local, como apresentado por LEE et al. (2005).

De forma a complementar às técnicas de otimização, tem-se o método dos elementos finitos como ferramenta auxiliar no projeto e otimização de estruturas. Como avalia ACEVES et al. (2008), o avanço do método dos elementos finitos e sua combinação com algoritmos de otimização permitiu o seu uso como estratégia na otimização do projeto de estruturas de material composto com geometrias complexas.

Um aspecto importante destas estruturas está relacionado ao comportamento dinâmico das placas de laminados compostos. A melhoria do desempenho dinâmico do material composto está diretamente relacionada com a otimização dos valores das frequências naturais para diminuir os riscos da ressonância causada por excitações externas. Em função desta necessidade, muitos pesquisadores vêm realizando estudos desta natureza, adotando o método dos elementos finitos, incorporando ou analisando via programas comerciais, como citado a seguir. TESSLER et al. (1995) estudaram a vibração de placas finas de laminados compostos utilizando a técnica de elementos finitos com o ABAQUS, comparando

Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 10

com a solução analítica e com uma teoria de ordem superior para placas de laminados. LEE e KIM (1996) compararam os resultados analíticos da frequência fundamental com os resultados obtidos pelo ABAQUS. HU e JUANG (1997) utilizaram o método da programação linear sequencial em combinação com o ABAQUS para a otimização das orientações das fibras no problema de maximização da frequência fundamental. DANO et al. (2000) desenvolveram, via ABAQUS, um modelo em elementos finitos para análise de falha em laminados simétricos balanceados. Problemas de maximização de frequências fundamentais foram resolvidos por NARITA e HODGKINSON (2005) e NARITA e ROBINSON (2006) onde abordam a otimização considerando que as lâminas externas têm um maior efeito na rigidez em relação às internas. Assim, a sequência ótima de empilhamento pode ser obtida determinando-se a melhor orientação das fibras para cada camada ordenadamente de fora para dentro. Muitos pesquisadores têm desenvolvido trabalhos para analisar a vibração em laminados compostos utilizando teorias de ordem superior, como por exemplo, PRADYUMNA e BANDYOPADHYAY (2007), que analisaram o comportamento estático e dinâmico de laminados via elementos finitos de casca de ordem superior.

2.3 Algoritmo de Colônia de Formigas Aplicado a Materiais Compostos Laminados

Poucos trabalhos apresentam a aplicação do ACO em compostos laminados. Dentre estes se destacam os trabalhos de AYMERICH e SERRA (2008) e ABACHIZADEH e TAHANI (2009).

No primeiro artigo é utilizada a variante Ant System (AS) para otimizar a sequência de empilhamento de placas laminadas. Foi maximizada a carga de flambagem de uma placa retangular de espessura fixa, sujeita a forças de compressão biaxiais e restrições de resistência. Os resultados, comparados com aqueles obtidos com um algoritmo genético e busca tabu, foram semelhantes ou melhores. A seleção dos parâmetros do ACO apropriados que controlam o processo durante a busca são essenciais para melhorar o desempenho do algoritmo. Um valor alto de α , que é o parâmetro de controle de influência de feromônio, tende a aumentar a importância probabilística do conhecimento acumulado. Por outro lado, o

Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 11

aumento da taxa de evaporação ρ evita o acúmulo excessivo de feromônio, diminuindo o risco de estagnação do algoritmo e promove a procura por soluções em novas regiões. Os testes realizados por AYMERICH e SERRA (2008) conduziram a valores de α = 0,95 e ρ = 0,91. Outro ponto importante observado pelos autores acima diz respeito às restrições do problema. Elas foram introduzidas na construção das soluções viáveis no fim de cada iteração de processamento do algoritmo ACO. Os autores implementaram uma rotina de ação daemon, cujo termo significa um programa específico para executar uma determinada tarefa, para melhorar o desempenho do algoritmo com a introdução de uma rotina de busca local. O terceiro ponto considerado diz respeito à quantidade de formigas, sendo adotada apenas uma formiga por iteração. Isto para diminuir a complexidade computacional e limitar o número de parâmetros a serem observados que poderiam afetar ou aumentar os custos computacionais, como destacam os autores. Embora os mesmos ressaltem que evidências experimentais apontam que uma colônia de formigas apresente melhores resultados, o número de formigas a ser utilizado deve ser avaliado de acordo com o problema específico em análise.

O segundo artigo (ABACHIZADEH e TAHANI, 2009) trata da otimização da frequência fundamental e da minimização do custo de compostos laminados. O algoritmo implementado neste caso é o Ant Colony System, ACS, que é outra variante do ACO. As restrições são impostas através da penalização da função objetivo e os valores dos parâmetros do algoritmo foram adotados conforme as sugestões de DORIGO e STÜTZLE (2004). Os autores detectaram uma rápida convergência para um ótimo global nas primeiras iterações. Os resultados obtidos, quando comparados com algoritmos genéticos e simulated annealing, revelam que o ACO apresenta ótimos resultados e supera-os em determinados casos. Não foram adotadas as ações daemon para rastrearem uma busca localizada. Porque este algoritmo já atua com a atualização local e global de feromônio, melhorando o seu desempenho, além de considerar a evaporação e depósito nestas instâncias durante os percursos realizados pelas formigas.

Recentemente, BLOOMFIELD et al. (2009) analisaram e compararam um AG,

um ACO e um PSO (otimização por enxame de partículas, do inglês particle swarm

Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 12

restrições de resistência e flambagem de materiais compostos laminados. Estes pesquisadores concluíram que, para os problemas analisados, o ACO é um dos melhores métodos para determinar a sequência de empilhamento do laminado composto.

WANG et al. (2009) aplicaram o algoritmo de colônia de formigas na

maximização do fator crítico de carga e realizaram testes de desempenho do algoritmo comparando com trabalhos desenvolvidos em AG e ACO. A otimização da rigidez de painéis T e a sequência de empilhamento do laminado foram estudados por WANG et al. (2010) para a maximização da carga de flambagem sob restrição do peso utilizando um ACO.

Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados 13

3 CONCEITOS

DA

MECÂNICA

DOS MATERIAIS COMPOSTOS

LAMINADOS

3.1 Definições e Generalidades

Material composto, ou também chamado material compósito, significa a união de dois ou mais materiais que são combinados para formar um terceiro material (JONES, 1999). Ou, como define STAAB (1999), material composto é considerado um material que contenha dois ou mais constituintes com comportamentos macroscópicos significativamente diferentes, unidos para formar um terceiro material com comportamento diferente dos dois primeiros.

Os materiais compostos têm sido usados na natureza desde tempos remotos. Pode-se identificar seu uso através da história, como os tijolos, placas de madeira utilizadas pelos egípcios, fibras de plantas utilizadas pelos povos Maias e Incas e espadas dos samurais, fabricadas em multicamadas. Outros exemplos da natureza considerados como compostos são: bambu, tecido dos músculos e ossos, como exemplifica STAAB (1999).

Os materiais compostos têm evoluído principalmente devido aos avanços tecnológicos em diversas áreas como: espacial, aeronáutica e automobilística. As novas tecnologias têm levado estas indústrias a adotarem e projetarem estruturas com tais materiais, pois eles são ideais para aplicações onde são requeridas altas relações resistência-peso ou rigidez-peso (JONES, 1999).

A partir de 1960, estes materiais tiveram seu uso intensificado pela indústria militar, mas vêm sendo atualmente utilizados também em outras aplicações, tais como: raquetes de tênis e tacos de golfe, bicicletas, contêineres, na construção civil e em satélites.

Um caso particular dos materiais compostos são os compostos laminados, objeto do presente estudo. Eles são formados pela união (empilhamento) de várias lâminas, onde cada lâmina é composta pela matriz, que é sua fase contínua, e pelas fibras. Neste trabalho são consideradas que as fibras são contínuas, unidirecionais e paralelas, alinhadas segundo uma orientação. Este arranjo fornece um caráter

Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados 14

ortrotópico ao material, onde sua resistência e rigidez são muito maiores na direção das fibras do que na direção transversal (perpendicular) a elas. A Figura 3.1 apresenta, de forma esquemática, como é formado um material composto laminado. As fibras têm a função de reforço, aumentando a rigidez do conjunto. Como exemplo de fibras comumentemente utilizadas tem-se as fibras de vidro, carbono e boro. Já a matriz, tem a função de suportar e proteger as fibras e distribuir de forma homogênea o carregamento para estas. Ela possui normalmente baixa densidade, rigidez e resistência em relação às fibras. Como exemplo de materiais utilizados para matrizes tem-se o poliéster e o epóxi.

Figura 3.1 - Material composto laminado.

Os laminados podem ser compostos de diferentes lâminas com materiais e orientações diferentes. Assim, pode-se desenvolver elementos estruturais com características voltadas às necessidades específicas de cada aplicação.

A nomenclatura para a sequência de empilhamento do laminado apresenta uma notação padrão. Este padrão lista as orientações das diferentes lâminas em relação a um sistema de referência, iniciando da lâmina superior para a inferior, e é representado como

1 2 n

, , ,

⎡θ θ θ ⎤

Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados 15

Esta expressão indica a sequência de empilhamento de um laminado composto de

n lâminas, todas de um mesmo material e espessura, onde θ representa o ângulo i

de orientação da lâmina i. Os laminados podem ter diversas lâminas adjacentes com a mesma orientação. Nesses casos, para simplificar a notação, escreve-se o ângulo e a quantidade correspodente de lâminas que possuem a mesma orientação. Por exemplo, ⎡_⎣0₂ ,90 45₃, ⎤_{⎦ representa um laminado que possui um total de 6 lâminas, 2}

orientadas a 0°, 3 orientadas a 90° e uma orientada a 45°, cuja notação estendida é

[

0 0 90 90 90 45, , , , ,

]

.

Em alguns casos têm-se duas lâminas adjacentes onde uma é o par negativo da outra (+θ e −θ). Neste caso, o sinal ± é indicado na frente do ângulo que representa a orientação do par de lâminas. Por exemplo,

[

±45

]

indica duas lâminas, uma orientada a +45° e outra a -45°. Se cada lâmina do laminado possuir seu par negativo, não necessariamente em posição adjacente, o laminado é dito balanceado.

Os laminados também podem ser simétricos em relação a um plano de empilhamento, ou seja, apresentam a configuração das orientações espelhada abaixo e acima do plano médio, que é o plano de simetria. A letra s em subscrito representa a notação para simétrico. Por exemplo,

[

0 60,

]

_s , indica o empilhamento

de 4 lâminas, com as seguintes orientações: 0°, 60°, 60° e 0°.

No caso de material composto laminado híbrido (possui diferentes tipos de lâminas), a indicação dos diferentes materiais e suas respectivas espessuras é feita adicionando novos índices, normalmente superescritos, à sequência de empilhamento. Assim, o empilhamento é indicado por

1,m ,e 2,m ,e n ,m ,e

, , ,

⎡θ θ θ ⎤

⎣ … ⎦, Eq. 3.2

onde m representa o material e e a espessura das respectivas lâminas da

sequência de empilhamento.

A seguir são descritos os conceitos básicos do comportamento mecânico de laminados, baseados na Teoria Clássica dos Laminados (JONES, 1999 e GÜRDAL

Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados 16

et al. 1999). Isto permite um equacionamento analítico da resposta estrutural do

laminado, o qual é utilizado nos problemas propostos e solucionado no Capítulo 5.

3.2 Comportamento Macromecâmico de uma Lâmina

O comportamento mecânico do laminado está diretamente relacionado ao comportamento da lâmina. Dessa forma, para analisar o laminado, é necessário compreender primeiramente uma lâmina.

A lâmina (do tipo matriz-fibra) é estudada aqui do ponto de vista macromecânico, onde ela é presumida homogênea e os efeitos dos materiais constituintes são detectados como uma média das propriedades do composto. Devido à sua constituição, a lâmina pode ser considerada ortotrópica e assim apresenta diferentes propriedades mecânicas em 3 direções mutualmente perpendiculares (JONES, 1999). Uma dessas direções é dada pelo eixo na direção longitudinal às fibras, outra pelo eixo na direção transversal às fibras e a terceira pelo eixo ortogonal aos dois anteriores. Tais direções são representadas por 1, 2 e 3, respectivamente, como mostrado na Figura 3.2 e designadas por direções principais do material ou direções de ortotropia.

Figura 3.2 - Sistema de coordenadas principais do material.

Partindo da relação tensão-deformação elástica-linear (lei de Hooke generalizada), que em notação compactada pode ser escrita como

Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados 17 6 1 1 6 i ij j j C , i ,..., , σ = =

∑

ε = Eq. 3.3

onde σ_i são as componentes de tensão, C a matriz constitutiva do material e _ij ε as _j

componentes de deformação. Para o caso de material completamente anisotrópico, a matriz C é simétrica e a relação tensão-deformação pode ser escrita na forma _ij

explícita como 1 11 12 13 14 15 16 1 2 12 22 23 24 25 26 2 3 13 23 33 34 35 36 3 14 24 34 44 45 46 23 23 15 25 35 45 55 56 31 31 16 26 36 46 56 66 12 12 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C σ σ σ ε ⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ _{⎥ ε}⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ε⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎢ ⎥ ⎨ ⎬_τ ⎨_γ ⎬ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪_τ ⎪_γ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ τ ⎢ ⎥ γ ⎪ ⎪ ⎣ ⎦⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ , ⎪ ⎪ ⎪ Eq. 3.4

onde σi, neste caso, representam as tensões normais, τij as tensões cisalhantes, εi

as deformações longitudinais e γ_ij as deformações cisalhantes.

Quando o material apresenta o plano de simetria (z = 0) é chamado monoclínico, e sua equação constitutiva fica

1 11 21 31 16 1 2 12 22 32 26 2 3 13 23 33 36 3 44 45 23 23 45 55 31 31 16 26 36 66 12 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C ε ⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ _{⎥ ε}⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ε⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎢ ⎥ ⎨ ⎬_τ ⎨_γ ⎬ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪_τ ⎪_γ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ τ ⎢ ⎥ γ ⎪ ⎪ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ σ σ σ . Eq. 3.5

Finalmente, para material ortotrópico (três planos de simetria mutualmente perpendiculares), tem-se

Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados 18 1 11 21 31 1 2 12 22 32 2 3 13 23 33 3 44 23 23 55 31 31 66 12 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C ε ⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ _{⎥ ε}⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ε⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎢ ⎥ ⎨ ⎬_τ ⎨_γ ⎬ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪_τ ⎪_γ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ τ ⎢ ⎥ γ ⎪ ⎪ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ σ σ σ Eq. 3.6

A relação inversa da lei de Hooke é expressa como

6 1 1 6 i ij j j S σ , i ,..., = ε =

∑

= Eq. 3.7

onde S é matriz de complacência. _ij

Similarmente, pode-se obter as formas matriciais para a relação deformação-tensão. A relação deformação-tensão para material anisotrópico é expressa como

1 11 12 13 14 15 16 1 2 12 22 23 24 25 26 2 3 13 23 33 34 35 36 3 14 24 34 44 45 46 23 23 15 25 35 45 55 56 31 31 16 26 36 46 56 66 12 12 S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S ε ⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪_ε ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ε ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪_{= ⎢} ⎪ ⎪ ⎥ ⎨_γ ⎬ ⎨ ⎬_τ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪_γ ⎪ ⎪_τ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ γ ⎢ ⎥ τ ⎪ ⎪ ⎣ ⎦⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ σ σ σ ⎪ ⎪ ⎪ Eq. 3.8

A matriz de complacência pode ser escrita em termos das constantes de engenharia. Estas constantes são medidas por testes de tensão uniaxial ou testes de cisalhamento puro. Tais constantes são o módulo de elasticidade ou módulo de Young, E, o coeficiente de Poisson, ν e o módulo de cisalhamento, G.

Considerando um material ortotrópico, a matriz de complacência pode ser escrita como

Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados 19

[ ]

1 21 2 31 3 12 1 2 32 3 13 1 23 2 3 23 31 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/E - /E - /E - /E 1/E - /E - /E - /E 1/E 1/G 1/G 1/G ν ν ⎡ ⎤ ⎢ _{ν ν} ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ν ν ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Eq. 3.9

Como será visto na Seção 3.3, sob as hipóteses da Teoria Clássica dos Laminados, pode-se considerar a lâmina e o laminado em um estado plano de tensões. Assim, particulizando-se as relações deformação-tensão para este estado de tensões, 1 11 21 1 2 21 22 2 66 12 12 0 0 0 0 σ σ ε ⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪_{ε =}⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎨ ⎬ _{⎢ ⎥}⎨ ⎬ ⎪ ⎪_{γ ⎢⎣ ⎥⎦}⎪ ⎪_τ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ S S S S S Eq. 3.10 e 3 23 31 3 13 1 23 2 23 31 0 0 0 0 0 S S σ σ σ = τ = τ = ε = + γ = γ = Eq. 3.11

Invertendo-se a Eq. 3.10, obtém-se a relação tensão-deformação, expressa como 1 11 12 1 2 12 22 2 66 12 12 0 0 0 0 σ σ ε ⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪₌⎢ ⎥⎪ ⎪_ε ⎨ ⎬ _{⎢ ⎥}⎨ ⎬ ⎪ ⎪_{τ ⎢⎣ ⎥⎦}⎪ ⎪_γ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Q Q Q Q Q Eq. 3.12

onde Q são os componentes da matriz constitutiva, que em termos das constantes _ij

Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados 20 1 11 12 21 21 1 12 12 21 2 22 12 21 66 12 1 1 1 = − ν ν ν = − ν ν = − ν ν = E Q E Q E Q Q G Eq. 3.13

Como as direções principais do material no plano da lâmina (1-2) nem sempre coincidem com as direções das coordenadas de referência x-y, é necessário realizar uma transformação de coordenadas de um sistema para outro. A expressão desta transformação é dada em função do ângulo θ , que é o ângulo que relaciona o sistema x-y com o sistema 1-2 (ver Figura 3.3). Para a relação tensão-deformação ortotrópica, em estado plano de tensões, tem-se (JONES, 1999)

2 2 1 2 2 2 2 2 12 σ σ σ σ τ ⎧ ⎫ ⎡ θ θ θ θ ⎧ ⎫⎤ ⎪ ⎪ ⎢_{= θ θ θ θ} ⎥ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ _{⎢ ⎥}⎨ ⎬ ⎪ ⎪_{τ ⎢ θ θ − θ θ θ − θ⎥}⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ x y xy

cos sen -2sen cos

sen cos 2sen cos

sen cos sen cos cos sen

. Eq. 3.14

Figura 3.3 - Sistemas de coordenadas x-y e 1-2.

Substituindo a relação tensão-deformação no sistema principal do material (Eq. 3.12) na Eq. 3.14, obtem-se