Apresentação do DFLPG - Um algoritmo evolucionário para o problema dinâmico de localização de f

riáveis no modelo exponencialmente, tornando-o muito mais complexo de ser resolvido otimamente em um período razoável de tempo.

2.1.4 Aplicações

A aplicação de modelos dinâmicos e/ou modulares é ampla. Num contexto do setor público, Antunes & Peeters (2001) apresentam uma aplicação para localização de esco- las em que os módulos seriam uma ou um grupo de salas de aula. Já Brotcorne et al. (2003) tratam da localização de ambulâncias como um problema de cobertura em que a realocação das ambulâncias tem um papel fundamental quando ocorre incidentes e pontos estratégicos ficam temporariamente sem ambulâncias disponíveis.

O contexto mais comum da aplicação destes modelos no setor privado é no projeto de redes de cadeias de suprimento. Ulstein et al. (2006) mostram um modelo aplicado numa grande empresa de distribuição de silício e ferrosilício onde decisões sobre dimen- sionamento de capacidade das suas fábricas são tomadas em cenários estocásticos, sendo possível fechar, adquirir novas fábricas e aumentar o investimento em equipamentos de produção. Van Ommeren et al. (2006) projetam a cadeia de suprimentos de lojas de reparo de forma a minimizar os níveis de estoque de peças nas lojas através do gerenciamento da quantidade de servidores instalados no local.

A aplicação que inspirou o modelo deste trabalho, em Jena et al. (2015b), trata de realocação de capacidade num contexto de exploração de recursos florestais. Trailers que hospedam trabalhadores nos acampamentos onde os recursos coletados são depositados são deslocados periodicamente de acordo com novos locais de exploração. O objetivo é determinar a posição e a quantidade ótima de trailers nos pontos de exploração de modo a minimizar custos relacionados à construção e funcionamento dos acampamentos e deslo- camento dos recursos coletados. A seção a seguir apresentará a classificação na literatura e o modelo deste problema.

2.2 Apresentação do DFLPG

O complexo modelo apresentado por Jena et al. (2015b) em seu estudo de caso foi simplificado em Jena et al. (2015a) de modo a representar a estrutura de custo de mu- dança do nível de capacidade l1 para l2em um nível mais detalhado usando uma matriz

de custo de mudança de módulos. Este problema foi denominado então Problema de Lo- calização Dinâmica de Facilidades com Capacidades Modulares, ou DFLPG, pois retrata uma generalização de vários problemas de localização encontrados na literatura.

2.2.1 Classificação

Com base no que foi apresentado, o DFLPG pode ser classificado na literatura de FLPs nas seguintes categorias:

16 CAPÍTULO 2. REVISÃO DA LITERATURA • Discreto: Como na classificação em Daskin (2008) e Revelle et al. (2008), as facilidades podem ser localizadas em um conjunto de pontos discretos predeterminados; • Objetivo MinSoma: O objetivo do problema é minimizar a somatória dos custos de

transporte de mercadorias e de localização das facilidades;

• Capacidade modular: As facilidades são representadas por módulos, que são estruturas com um custo de instalação e uma capacidade atribuídos a cada uma, permi- tindo ao modelo considerar cenários com diversas estruturas de custo representando de forma mais realista problemas práticos;

• Camada única: Decisões de localização são tomadas num único nível da rede e esta camada representa os pontos de suprimento (facilidades) a partir de onde as mercadorias serão transportadas;

• Alocação múltipla: Não há restrições de alocação, de forma que cada cliente pode ser servido por qualquer facilidade, desde que abertas;

• Dinâmico: O modelo permite a representação de variações nas demandas e nos custos do problema ao longo de um período de tempo finito e também possibilita que decisões de ajuste nas localizações sejam feitas em cada período do horizonte de planejamento sem restrições na quantidade de ajustes feitos;

• Determinístico: Os parâmetros de entrada do modelo são todos conhecidos previa- mente.

2.2.2 Modelo

O DFLPG foi formulado em Jena et al. (2015a) como um modelo de programação inteira mista referido como Generalized Modular Capacities (GMC).

Parâmetros

Dado um grafo (

_V

_A

), em que

_I

⊂

_V

é o conjunto de clientes e

_J

⊂

_V

é o conjunto de potenciais locais onde podem ser instaladas as facilidades. Os conjuntos

_I

_J

não são necessariamente iguais. Os arcos direcionados

_A

representam as conexões entre nós facilidades a nós clientes. L é a quantidade máxima de módulos que podem ser instalados em j∈

_J

_L

= {0, . . . , L} representa o conjunto destes módulos.

_T

= {1, . . . , T } representa os períodos de tempo no horizonte de planejamento de tamanho T em que as decisões de localização serão tomadas.

Cada cliente em i ∈

_I

possui uma demanda a ser atendida dt_i no período t ∈

_T

dada em unidades da mercadoria. ct_{i jl} são os custos unitário de alocação de uma unidade de mercadoria no período t de uma facilidade em j operando com o módulo l instalado para servir um cliente em i. A dependência do tamanho da facilidade neste parâmetro permite uma representação de custos mais complexa. Os custos de alocação c podem englobar custos de diferentes naturezas, como custos oriundos do transporte das mercadorias aos clientes e custos de produção das mercadorias nas facilidades. Os custos de produção geralmente estão associados à capacidade da facilidade. Quando os custos unitários de produção decrescem com o aumento da capacidade das facilidades, dizemos que há uma economia de escala, ou seja, uma economia nos custos proporcionada pela produção em maior escala. Economias de escala são representadas no modelo quando ct_{i jl} > ct_{i j(l+1)} ∀

2.2. APRESENTAÇÃO DO DFLPG 17 l∈

_L

. Vale destacar que operar com um módulo em l é o mesmo que dizer que todos os módulos até l estão instalados na facilidade de acordo com a representação horizontal de módulos mostrada na Figura 2.1 (a).

Uma facilidade em j operando com um módulo l tem capacidade ujl. Os parâmetros

et_jl1l2 representam o custo de uma facilidade em j que operava com o módulo l1no período

t− 1 passar a operar com o módulo l2no período t. lj representa o módulo instalado na

facilidade em j no início do horizonte de planejamento, portanto l1= ljno período 1. Os

parâmetros e podem ainda representar estruturas de custo mais detalhadas. Em Jena et al. (2015a) custos de operação e fechamento e abertura de módulos são imbutidos nestes pa- râmetros no modelo ER-GMC. Quando custos de fechamento temporário e reabertura de facilidades são também considerados o modelo é chamado de CR-GMC. A representação de realocações só é possível nesta estrutura matricial dos custos quando houver realoca- ções completas de facilidades. Das quatro maneiras de ajustar capacidades num problema dinâmico apresentadas na seção 2.1.3, apenas as realocações parciais exigiria uma refor- mulação no modelo de forma que ele fosse capaz de rastrear os módulos existentes na rede.

De acordo com os parâmetros descritos, quando uma facilidade estiver equipada com o módulo zero, ou seja, quando estiver fechada, os custos de transporte ct_{i j0}e as capacidades uj0necessariamente serão iguais a zero.

Variáveis de decisão

Dois tipos de decisões devem ser tomadas pelo modelo: decisões de localização e de alocação. As decisões de localização são representadas pelas variáveis de decisão binárias

y. yt_jl1l2é igual a 1 se a facilidade em j muda seu módulo de l1para l2e opera em l2durante

o período t, e 0 caso contrário. É importante ressaltar que mesmo quando l1= l2, yt_jl1l2

pode ser igual a 1. Se isto acontecer, o módulo em j não foi alterado entre os períodos t− 1 e t, e o único custo incorrido será, se houver, o custo de operação de j com este módulo neste período.

Já as alocações são representadas pelas variáveis xt_{i jl}, em que x representa a fração da demanda do cliente i no período t servida pela facilidade j equipada com o módulo l. Modelagem matemática

A função objetivo (2.13) minimiza o custo total da rede composto pelos custos de transporte e de mudança de módulos. Restrições (2.14) garantem o atendimento das demandas dos clientes. Restrições (2.15) são de capacidade das facilidades em cada período de tempo. Restrições (2.16) ligam as variáveis de mudança de módulos em períodos de tempo consecutivos, garantindo que em cada período de tempo seja tomada alguma deci- são sobre o próximo estado da facilidade. Restrições (2.17) garantem que algum módulo seja escolhido no início do horizonte de planejamento, mesmo que seja o próprio mó- dulo lj. Restrições (2.18) definem o domínio das variáveis de transporte e (2.19) o das variáveis de mudança de módulos.

Uma observação sobre as restrições (2.16) é que para cada facilidade j e tempo t, yt_jl

1l2

é representada por uma matriz de dimensões (L + 1) × (L + 1), sendo L o número máximo de módulos que é somado ao módulo zero. Nesta matriz apenas um dos elementos será igual a um, sendo este o da linha do módulo aberto em t − 1 e coluna do módulo atual. Todos os outros elementos da matriz deverão ser necessariamente iguais a zero. Desta forma, graças às restrições (2.17), cada lado da equação sempre terá soma igual a um.

Dois conjuntos de desigualdades válidas tradicionais na literatura dos FLPs foram adicionadas por Jena et al. (2015a) ao modelo a priori para facilitar a solução do GMC. As inequeções fortes

xt_{i jl}≤

_∑

2.3. MÉTODOS DE SOLUÇÃO DOS FLPS 19

No documento Um algoritmo evolucionário para o problema dinâmico de localização de facilidades com capacidades modulares (páginas 35-39)