Um algoritmo evolucionário para o problema dinâmico de localização de facilidades com capacidades modulares

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(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE. U NIVERSIDADE F EDERAL DO R IO G RANDE DO N ORTE C ENTRO DE T ECNOLOGIA P ROGRAMA DE P ÓS -G RADUAÇÃO EM E NGENHARIA E LÉTRICA E DE C OMPUTAÇÃO. Um Algoritmo Evolucionário para o Problema Dinâmico de Localização de Facilidades com Capacidades Modulares. Allyson Fernandes da Costa Silva. Orientador: Prof. Dr. Daniel Aloise. Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação da UFRN (área de . concentração: Engenharia de Computação) como parte dos requisitos para obteção do título de Mestre em Ciências. Número de ordem PPgEE: M495 Julho 2016, Natal, Brasil.

(2) Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede. Silva, Allyson Fernandes da Costa. Um algoritmo evolucionário para o problema dinâmico de localização de facilidades com capacidades modulares / Allyson Fernandes da Costa Silva. - 2017. 105 f.: il. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação. Natal, RN, 2017. Orientador: Prof. Dr. Daniel Aloise.. 1. Localização dinâmica de facilidades - Dissertação. 2. Capacidade modular - Dissertação. 3. Metaheurística híbrida Dissertação. 4. Algoritmo Genético - Dissertação. 5. Variable Neighborhood Search - Dissertação. I. Aloise, Daniel. II. Título. RN/UF/BCZM. CDU 004.

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(5) Resumo. Problemas de localização buscam determinar as melhores posições onde devem ser instaladas facilidades de modo a atender demandas existentes. Pela vasta aplicabilidade da área, diversas características já foram importadas aos modelos para melhor representar situações práticas. Uma delas generaliza os modelos clássicos para situações em que decisões de localização devem ser tomadas periodicamente. Outra, permite que modelos tratem do dimensionamento das capacidades como uma variável do problema. O Problema Dinâmico de Localização de Facilidades com Capacidades Modulares unifica estas e outras características presentes em problemas de localização num único e generalizado modelo. Este problema foi recentemente formulado na literatura, onde uma abordagem exata foi introduzida e aplicada a instâncias derivadas de um estudo de caso no contexto da exploração de recursos florestais. Neste trabalho será apresentado um método alternativo para resolver o mesmo problema. O método escolhido utiliza a estrutura da metaheurística Algoritmo Genético e a hibridiza com uma rotina de Descida em Vizinhança Variável com três vizinhanças de busca adaptadas de vizinhanças aplicadas a outros problemas de localização. Experimentos atestaram a efetividade da metaheurística híbrida desenvolvida em comparação à aplicação dos métodos puros. Na comparação com o método exato, a heurística se mostrou competente ao chegar a soluções até 0,02% de distância do ótimo na maioria das instâncias testadas. Palavras-chave: localização dinâmica de facilidades, capacidade modular, metaheurística híbrida, Algoritmo Genético, Variable Neighborhood Search.

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(7) Abstract. Location problems aim to determine the best positions where facilities should be installed in order to meet existing demands. Due to its wide applicability, several characteristics have already been appended to the models to better represent real situations. One of them generalizes classical models to the case that location decisions should be taken periodically. Another allows models to deal with capacity sizing as a problem variable. The Dynamic Facility Location Problem with Modular Capacities unifies these and other characteristics present in location problems in a single and generalized model. This problem was recently formulated in literature where an exact approach was introduced and applied to instances of a case study in the context of the forestry sector. We present an alternative method to solve the same problem. The method chosen uses a Genetic Algorithm metaheuristic framework and hybridizes it with a Variable Neighborhood Descent routine with three neighborhoods adapted from others applied to location problems. Experiments attested the effectiveness of the hybrid metaheuristic developed in comparison to the use of those methods purely. Compared to the exact approach, the heuristic proved to be competent by finding solutions up to a gap of 0,02% to the global optimum in the majority of the instances tested. Keywords: dynamic facility location, modular capacity, hybrid metaheuristic, Genetic Algorithm, Variable Neighborhood Search.

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(9) Sumário. Lista de Figuras. iii. Lista de Tabelas. v. Lista de Algoritmos. vii. Lista de Nomenclaturas e Símbolos. ix. 1. Introdução. 1. 2. Revisão da Literatura 2.1 A localização de facilidades na teoria de localização 2.1.1 Classificações dos modelos de FLP . . . . 2.1.2 CFLP e a classe de modelos capacitados . . 2.1.3 DFLP e a classe de modelos dinâmicos . . 2.1.4 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Apresentação do DFLPG . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Classificação . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Métodos de solução dos FLPs . . . . . . . . . . . 2.3.1 Métodos heurísticos . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Busca em vizinhança . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Metaheurísticas . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Discussão da literatura . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. 7 7 8 9 11 15 15 15 16 19 20 21 23 24. Descrição do algoritmo 3.1 Visão geral sobre o Algoritmo Genético . . 3.2 Estruturas do AG+VNDi . . . . . . . . . . 3.2.1 Estrutura do indivíduo . . . . . . . 3.2.2 Avaliação do indivíduo . . . . . . . 3.2.3 População inicial . . . . . . . . . . 3.2.4 Operadores do Algoritmo Genético 3.2.5 Vizinhanças . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 Elitismo . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7 Reinício da população . . . . . . . 3.3 Pseudo-código do AG+VNDi . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 25 25 26 27 28 29 30 34 43 44 44. 3. i. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . ..

(10) 3.4 4. 5. Outras considerações sobre o AG+VNDi . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Experimentos computacionais 4.1 Ordem de exploração das vizinhanças . . . . . . . . 4.2 Configuração dos parâmetros . . . . . . . . . . . . . 4.3 Análise de convergência . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Análise de impacto de outras estruturas do algoritmo 4.4.1 Tabela hash . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Critérios de aceitação de indivíduos . . . . . 4.4.3 Listas de soluções do VND . . . . . . . . . . 4.5 Comparação com um método exato . . . . . . . . . 4.6 Análise de complexidade do algoritmo . . . . . . . . Considerações Finais. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 45 49 50 52 54 55 55 56 58 59 63 67. Referências bibliográficas. 69. A Resultados dos experimentos. 77.

(11) Lista de Figuras. 1.1 1.2. Problema de Weber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Função escada do custo de instalação de módulos . . . . . . . . . . . . .. 2 4. 2.1. Representação de módulos (a) horizontais e (b) verticais . . . . . . . . .. 14. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10. Representação do indivíduo . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemplo de grafo gerado para o FCM . . . . . . . . . . . Operador de seleção de indivíduos para nova geração . . . Operador de cruzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operador de mutação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operação 3: Corte vertical de segmentos de genes . . . . . Operações 4 e 5: Corte vertical e horizontal de facilidades Iterações da BL1 - adição de um segmento a facilidade . . Iterações de troca de segmentos da BL2 . . . . . . . . . . Operações da BL3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 27 28 31 32 34 35 35 37 38 41. 4.1. Convergência da melhor solução por tempo de execução do AG e do AG+VNDi nas instâncias (a) 10/20, (b) 10/50 e (c) 50/50 . . . . . . . . . Crescimento do tamanho da tabela hash . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quantidade de novas chaves adicionadas a THASH em cada geração . . . . Variação em P da quantidade de chaves em THASH . . . . . . . . . . . . .. 55 64 65 66. 4.2 4.3 4.4. iii. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . ..

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(13) Lista de Tabelas. 3.1 3.2. Atributos dos arcos no grafo do FCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operações de vizinhança realizadas nas buscas locais . . . . . . . . . . .. 29 36. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8. Resultados computacionais da aplicação de vizinhanças isoladas no VND Resultados computacionais da aplicação de pares de vizinhanças no VND Resultados computacionais da aplicação das três vizinhanças no VND . . Resultados computacionais da configuração dos parâmetros . . . . . . . . Combinação de parâmetros dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados computacionais de ajuste da taxa de mutação . . . . . . . . . Comparação do AG+VNDi com e sem uso de THASH . . . . . . . . . . . Comparação do AG+VNDi com e sem critério de aceitação de indivíduos diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparação do AG+VNDi com diferentes parâmetros como critério de aceitação de indivíduos em termos de seus custos de localização . . . . . Comparação do AG+VNDi com e sem uso de listas de soluções encontradas nas vizinhanças exploradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados do AG+VNDi comparados às instâncias resolvidas a otimalidade pelo método exato de Jena et al. (2015a) . . . . . . . . . . . . . . . Comparação entre o AG+VNDi e o método de Jena et al. (2015a) nas instância não-resolvidas a otimalidade pelo método exato . . . . . . . . . Tamanho da tabela hash ao final da execução do AG+VNDi . . . . . . . .. 50 51 51 52 53 53 56. A.1 Resultados dos experimentos para L = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Resultados dos experimentos para L = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Resultados dos experimentos para L = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77 80 83. 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13. v. 57 58 59 61 62 63.

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(15) Lista de Algoritmos. 1 2 3 4 5 6. Estrutura básica do VND . . . . . Estrutura básica do AG . . . . . . Mutação . . . . . . . . . . . . . . Deslocamento de módulos na BL3 Elitismo . . . . . . . . . . . . . . Pseudocódigo do AG+VNDi . . .. . . . . . .. vii. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 23 26 33 42 45 48.

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(17) Lista de Nomenclaturas e Símbolos. Nomenclaturas AG. Algoritmo Genético. AG+VNDi Algoritmo Genético com Descida em Vizinhança Variável iterada BL. Heurística de busca local. BL1. Busca Local 1. BL2. Busca Local 2. BL3. Busca Local 3. CFLP. Problema de Localização de Facilidades Capacitadas. DFLP. Problema Dinâmico de Localização de Facilidades. DFLPG. Problema Dinâmico de Localização de Facilidades com Capacidades Modulares. FCM. Fluxo a Custo Mínimo. FLP. Problema de Localização de Facilidades. GMC. Generalized Modular Capacities. HC1. Heurística Construtiva 1. HC2. Heurística Construtiva 2. MCFLP. Problema de Localização de Facilidades com Capacidades Modulares. MIP. Programação inteira mista. PO. Pesquisa Operacional. UFLP. Problema de Localização de Facilidades Não-capacitadas. VND. Descida em Vizinhança Variável. WP. Problema de Weber ix.

(18) Símbolos %mut. Parâmetro de probabilidade do operador de mutação ser executado num indivíduo gerado no cruzamento. α. Porcentagem do total de indivíduos que compõe a classe A da geração. β. Porcentagem do total de indivíduos que compõe a classe B da geração. I. Conjunto de clientes. J. Conjunto de potenciais locais para instalação de facilidades. L. Conjunto de módulos potenciais de uma facilidade. Nn (•). n-ésima vizinhança de uma solução •. Pg. Conjunto de indivíduos (população) vivos na geração g. T. Conjunto de períodos de tempo no horizonte de planejamento. ρ. Distância máxima da pior solução que pode ser encontrada pelo algoritmo aproximativo. C. Comprimento de um segmento de módulos. cti jl. Custo unitário de transporte da facilidade j operando com l módulos para o cliente i no período t. dit. Demanda do cliente i no período t. etjl1 l2. Custo da decisão de mudança do módulo l1 para l2 numa facilidade j no período t. f (•). Custo (aptidão) da solução •. GR. Parâmetro da quantidade de gerações para realizar um reinício da população. G jt. Gene do indivíduo que representa o módulo aberto na facilidade j no período t. gajt. Custo fixo de abertura de facilidade no DFLP. f. g jt. Custo fixo de fechamento de facilidade no DFLP. GV ND. Parâmetro de quantidade de gerações para se realizar um elitismo. Hj. Altura da facilidade j representada pelo seu maior módulo aberto no horizonte de planejamento. hCut(l). Corte horizontal no módulo l.

(19) lj. Módulo instalado na facilidade antes do início do horizonte de planejamento. Ln. Lista contendo soluções resultantes após a execução da busca local n. N. Quantidade de vizinhanças definidas de uma solução. P. Parâmetro de tamanho da população. R. Parâmetro da quantidade de reinícios da população em cada execução do AG+VNDi j. Stit f. Segmento de genes do indivíduo que representa se um módulo em j permanece aberto entre os períodos ti e t f. THASH. Tabela hash que armazena as soluções encontradas pelo algoritmo de FCM. tmax. Parâmetro de tempo máximo de execução do AG+VNDi. u jl. Capacidade total instalada na facilidade j quando aberto o módulo l. vCut(t). Corte vertical no período t. xti jl. Variável de decisão das alocações. ytjl1 l2. Variável de decisão das decisões de localização.

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(21) Capítulo 1 Introdução. Em uma rede logística, a decisão de localização de facilidades consiste em determinar posições ideais onde serão instalados os recursos que darão suporte ao funcionamento da rede. É uma importante decisão gerencial a nível estratégico no planejamento da rede de distribuição em organizações de todos os setores econômicos, tanto públicas (escolas, hospitais, etc.) quanto privadas (bancos, fábricas, escritórios, etc.) [Owen & Daskin 1998]. Para escolher adequadamente o local onde as facilidades serão instaladas, os decisores devem levar em consideração as características da rede na qual as facilidades servirão de suporte. As características mais comuns são relacionadas às exigências dos clientes que serão servidos pela empresa, como distância ou tempo para entrega. Dependendo do sistema, também pode ser relevante considerar atributos relacionados aos fornecedores das matérias-primas, aos bens ou serviços ofertados, à infraestrutura existente, às empresas concorrentes, aos aspectos ambientais, entre outros. O Problema de Localização de Facilidades (FLP, Facility Location Problem) é um problema bem estabelecido com uma vasta literatura de livros e artigos escritos sobre o tema que faz parte da área de otimização de sistemas na Pesquisa Operacional (PO). Drezner & Hamacher (2001) e Farahani & Hekmatfar (2009) são alguns dos livros que abordam o tema no contexto da PO apresentando uma coletânea de modelos e aplicações já publicados. A terminologia adotada neste trabalho será voltada a aplicações na logística de distribuição de cargas e gerenciamento de cadeias de suprimentos. Porém, pode ser convertida a outras aplicações como Drezner & Hamacher (2001) apresentam, como na robótica e nas telecomunicações. A PO busca aplicar métodos analíticos para ajudar os decisores a tomarem uma decisão que atenda às necessidades da companhia. Um dos métodos é a otimização matemática do problema formulado através de um modelo matemático que represente as características mais relevantes do sistema em questão. Um modelo matemático na PO é constituído por elementos relacionados às decisões a serem tomadas pelo decisor (variáveis de decisão), ao objetivo do problema (funções objetivo) e às suas restrições. Especificamente na literatura dos FLPs, as variáveis de decisão são relacionadas às localizações das facilidades e aos fluxos da rede. Já a função objetivo busca otimizar o sistema de acordo com a estratégia de negócios da empresa, sendo o mais comum a minimização de custos do sistema. Uma infinidade de restrições podem ser consideradas no modelo,.

(22) 2. CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. sendo a mais trivial o atendimento às exigências dos clientes. Além do desafio de formular modelos de FLPs bem representativos para cada caso em estudo, um fator que motiva o desenvolvimento das pesquisas na área é a dificuldade de resolver otimamente estes problemas. Em aplicações reais, é normal encontrar problemas de tamanho absurdamente gigante com relação ao número de variáveis - especificamente de variáveis inteiras [Revelle et al. 2008] - e restrições. Em certas situações, encontrar manualmente uma solução viável num FLP requer recursos (financeiro, mão-de-obra, temporal, etc.) que não estão prontamente disponíveis aos decisores. Nestes casos, não há alternativa senão recorrer ao auxílio da automatização para a tomada da decisão. A escolha do método mais adequado é definida pelo balanceamento entre a qualidade da solução capaz de ser encontrada e a quantidade de recursos necessários para obtê-la. De maneira geral, o melhor método é aquele que encontra as melhores soluções dada as restrições de recursos disponíveis do decisor. O estudo analítico de decisão da localização de facilidades vem sendo tratado formalmente na literatura pelo menos desde meados do século XX, quando Alfred Weber [Weber 1929] popularizou o clássico problema geométrico da mediana espacial. O Problema de Weber (WP) é um problema de localização de facilidades simples que consiste em determinar o ponto ótimo em um espaço Euclideano para instalar uma única facilidade de modo a minimizar custos de transporte proporcionais às distâncias entre a facilidade e os pontos de demanda (clientes). Este ponto ótimo é chamado de mediana espacial, ou mediana geométrica, por estar localizada na mediana dos pontos de demanda. Em relação aos vértices de um quadrado, como na Figura 1.1, a mediana espacial está localizada exatamente no centro quando os pesos dos vértices são iguais. Desde então, novos modelos tem extendido o WP ao tentar incorporar as diversas características das situações reais dos FLPs.. Figura 1.1: Problema de Weber Localizar uma facilidade o mais próximo possível dos clientes tem o atrativo de reduzir os custos de alocação proporcionais à distância percorrida para ou pelos clientes. Esta é uma boa estratégia, por exemplo, na localização de escolas primárias que atendam a um público restrito ao bairro em que ela está localizada. Neste caso, minimizar a distância, e, possivelmente, o tempo, que seus alunos têm de percorrer para chegar até ela é um.

(23) 3 fator relevante para o seu sucesso. Porém, nem sempre esta estratégia é economicamente melhor. Uma extensão popular do WP nos FLPs é a consideração de custos relacionados diretamente ao local onde poderá ser construída uma nova facilidade. Um exemplo seria localizar um aeroporto em meio a um centro urbano, o que geraria incômodo sonoro nos locais residenciais próximos, maior risco de colisões das aeronaves com os edifícios, dentre outros problemas. Embora os potenciais clientes do aeroporto possam morar nestas zonas residenciais, localizar a facilidade muito próxima deles geraria uma penalidade maior que o benefício da redução do deslocamento dos passageiros até lá. Nestes casos, uma penalidade em forma de custo de localização é atribuída a um potencial local indesejado, ou menos desejado, no modelo. Melo et al. (2009) apresentam características que geralmente são consideradas num problema de localização de facilidades no contexto da gestão de cadeias de suprimentos. São conhecidos os conjuntos de clientes distribuídos num espaço e de potenciais locais onde facilidades podem ser instaladas para servir suas demandas. Distâncias, tempos ou custos entre clientes e facilidades são medidos por uma dada métrica. O modelo deve ser capaz de responder pelo menos às seguintes questões: "Quais facilidades devem ser abertas e quais clientes devem ser servidos por estas de modo a minimizar o custo total do sistema?". Variações destas questões, ou mesmo novas questões, devem ser respondidas pelo modelo quando novas configurações são acrescentadas. Antes de apresentar ao leitor o problema tratado neste estudo é preciso introduzir duas das classes de FLPs mais conhecidas em que o problema se enquadra: os FLPs capacitados e os FLPs dinâmicos. Os Problemas de Localização de Facilidades Capacitadas (CFLP) consideram que as facilidades a serem localizadas possuem um limite de capacidade de atendimento das demandas. Estes limites são representados nos modelos como restrições de capacidade. Modelos mais elaborados flexibilizam estas restrições, permitindo, por exemplo, que as capacidades das facilidades sejam dimensionáveis. Nestes casos, além de decidir onde uma facilidade será localizada, o modelo responde também qual a capacidade a ser instalada nela. Ao localizar uma facilidade deve ser levado em consideração seus custos de construção e produção. Economias de escala ocorrem em facilidades que o custo de produção unitário reduz a medida em que a facilidade expande. Jena et al. (2015a) explicam que este conceito é importante na representação de estruturas de custos de ajuste de capacidades na prática, especialmente em aplicações de grande escala, onde adicionar capacidade a uma facilidade se torna mais barato até o limite máximo de capacidade possível. A configuração de capacidades pode ser representada por variáveis contínuas (qualquer tamanho é possível) ou discretas (através de uma função escada). Neste caso, uma das formas de representar nos modelos as possibilidades de ajuste de capacidade nas facilidades é através de estruturas modulares. Um módulo é representado por um índice atrelado às variáveis de decisão de localização e possui um custo de instalação e uma capacidade incremental. Uma função escada representando o custo total de instalação de módulos numa facilidade é mostrada na Figura 1.2. A função de custo de instalação, assim como a de capacidade incrementada, não necessariamente cresce de forma linear em relação ao número de módulos instalados, o que permite a representação de módulos com.

(24) 4. CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. diferentes parâmetros nos modelos.. Figura 1.2: Função escada do custo de instalação de módulos A representação em matrizes das estruturas dos módulos permite a criação de modelos mais flexíveis. Deste modo, uma facilidade pode ter sua capacidade expandida ou reduzida apenas alterando a variável que representa o número de módulos instalados. Este caso especial dos CFLPs torna muito mais abrangente a aplicação de modelos de localização. Os Problemas Dinâmicos de Localização de Facilidades (DFLP), ou multiperíodos, consideram a passagem do tempo como uma característica relevante para a configuração da rede. Nesta classe, são levadas em conta variações nos parâmetros do problema, como custos e demandas, ao longo do horizonte de planejamento, permitindo que decisões sejam tomadas a cada período de tempo de modo a readequar a rede aos novos parâmetros. Um DFLP deve ser capaz de responder não apenas onde localizar as facilidades mas também quando as abrir, mover ou fechar. Existem outras diversas classes de FLPs na literatura (hierarquia, hubs, concorrentes, estocásticas, etc.), porém a discussão detalhada de cada uma delas foge do escopo deste trabalho. Há ainda modelos de localização de facilidades que não são relacionados ao Problema de Weber, como os problemas de cobertura, de centro, dentre outros. Descrições dos diversos tipos de FLPs são mostradas nos livros de Farahani & Hekmatfar (2009) e de Arabani & Farahani (2012). Este estudo lidará com o Problema Dinâmico de Localização de Facilidades com Capacidades Modulares (DFLPG, Dynamic Facility Location Problem with Generalized Modular Capacities). Este problema foi introduzido por Jena et al. (2015b) e foi formulado como um problema de programação inteira mista (MIP), sendo uma generalização de modelos existentes na literatura do CFLP num contexto dinâmico. A modelagem do DFLPG foi inspirada num projeto industrial de uma madeireira que deveria decidir a localização de campos de exploração para acolher trabalhadores envolvidos em atividades de coleta de madeira, otimizando os custos logísticos de localização e de transporte. A descrição detalhada do problema é encontrada no referido trabalho em.

(25) 5 que foi introduzido. Em resumo das características consideradas, o DFLPG trata de um problema em que facilidades com estrutura modular devem ser localizadas de modo a atender demandas conhecidas minimizando os custos de instalação dos módulos e de distribuição das mercadorias. Tudo isto num contexto dinâmico que permita que as decisões de localização (construção, ampliação, redução ou fechamento de facilidades) e de alocação (facilidadecliente) sejam tomadas periodicamente. Adicionalmente, o modelo é flexível o bastante para considerar estruturas de custo de instalação de módulos complexas, sendo definidas para cada par de níveis de capacidade em uma matriz de custos, como na função escada mostrada na Figura 1.2. Em uma extensão à primeira pesquisa sobre o DFLPG, Jena et al. (2015a) desenvolvem um modelo robusto de MIP e provam a sua dominância sobre modelos existentes adaptados ao problema. Instâncias com até 100 locais potenciais para instalação das facilidades servindo a até 1000 clientes foram utilizadas em seus testes e serão usadas neste trabalho como benchmarking para avaliação do método aqui desenvolvido. A maioria dos FLPs, incluindo os CFLPs, estão na classe dos problemas NP-difíceis, que, na teoria da complexidade computacional, são problemas que nenhum algoritmo conhecido consegue resolver otimamente em um tempo computacional de ordem polinomial. Entretanto, graças ao avanço da PO, problemas complexos como estes estão cada vez mais tratáveis devido ao melhor entendimento da estrutura dos problemas de otimização combinatória, bem como o desenvolvimento de algoritmos especializados para resolução. Tanto técnicas para encontrar resultados ótimos quanto métodos aproximativos tem sido vastamente pesquisados na literatura. Farahani & Hekmatfar (2009) revisam diversos métodos já publicados para resolver problemas nas diferentes classes de FLPs. Como mostrado anteriormente, a escolha do método mais adequado depende da natureza da aplicação. Métodos exatos, ou seja, que garantidamente encontram a solução ótima do problema, costumam ser atrativos para aplicações de menor escala (poucas restrições e variáveis de decisão) ou para instâncias pequenas de aplicações complexas. Quando o problema se torna complexo demais, recorre-se aos métodos heurísticos. Estes buscam encontrar soluções de forma mais rápida que satisfaçam as necessidades do decisor sem a garantia de otimalidade. Na ciência da computação, as heurísticas são técnicas desenvolvidas para serem rápidas em suas execuções de modo a encontrar soluções próximas à ótima. Heurísticas são especialmente atrativas em problemas dinâmicos devido à incerteza de parâmetros futuros, como mudanças nas demandas. Nestes casos, obter uma solução ótima para o problema não tem valor prático maior que uma solução aproximativa. Um algoritmo de execução mais rápida permite que o decisor teste diferentes simulações de cenários numa situação em que os dados sejam imprecisos ou desconhecidos. No estudo feito por Jena et al. (2015b) foi desenvolvido um método exato para resolver o DFLPG. O MIP apresentado mostrou-se dominante e bastante eficiente quando comparado com outros dois métodos exatos. Porém, o modelo teve dificuldade para resolver parte das instâncias testadas dentro de um limite de tempo de seis horas de execução. A principal contribuição deste trabalho é apresentar um método heurístico alternativo ao modelo exato capaz de tratar o DFLPG de forma rápida e eficaz. Para isto foi escolhido.

(26) 6. CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. o Algoritmo Genético (AG), uma metaheurística inspirada no processo de seleção natural pertencente à classe dos algoritmos evolucionários e com várias aplicações nas mais variantes classes de FLPs. Para melhorar a qualidades das soluções o AG periodicamente passa por uma fase de Descida em Vizinhança Variável (VND, Variable Neighborhood Descent), quando são aplicadas sequencialmente diversas heurísticas de busca local (BL) desenvolvidas a partir de adaptações de BLs eficazes em outros problemas de localização. Algoritmos evolucionários híbridos como este já foram aplicados com sucesso para outros FLPs, como em Wollenweber (2008) e Fernandes et al. (2014). O restante do trabalho está organizado como descrito a seguir. No capítulo 2 será mostrada uma revisão da literatura de localização de facilidades e a descrição do problema tratado. Métodos heurísticos relacionados ao desenvolvido serão apresentados ao fim do capítulo. No capítulo 3 será feita uma breve apresentação da estrutura básica de Algoritmos Genéticos para, a partir dela, serem descritos e analisados os operadores criados para o DFLPG, incluindo as buscas locais utilizadas no VND iterado. No capítulo 4 serão mostrados os resultados dos experimentos computacionais feitos. Os experimentos definem a ordem de exploração das vizinhanças no VND e a configuração dos parâmetros do algoritmo. Eles ainda atestam a qualidade de algumas das estruturas implementadas no algoritmo e da hibridização com o VND. Por fim a comparação com o método exato é realizada e a complexidade do algoritmo é analisada. O capítulo 5 encerra este trabalho com as considerações finais sobre o estudo..

(27) Capítulo 2 Revisão da Literatura. Este capítulo inicia apresentando como os problemas de localização de facilidades são abordados na Pesquisa Operacional para situar melhor o leitor quanto à maturidade da área. As classes de FLPs mais relevantes relacionadas ao problema trabalhado nesta dissertação são brevemente discutidas, bem como exemplos de aplicações destes métodos. Em seguida, o DFLPG é classificado e seu modelo matemático é mostrado conforme apresentado na literatura. Por fim, métodos de solução dos FLPs serão debatidos convergindo até o método heurístico escolhido para resolver o problema desta dissertação.. 2.1. A localização de facilidades na teoria de localização. Na teoria de localização quando se fala em "localização de facilidades"estamos nos referindo a modelagem, formulação e resolução de uma classe de problemas que podem ser resumidos a localizar facilidades em um dado espaço [Farahani & Hekmatfar 2009]. O objetivo dos problemas de localização é determinar a melhor posição onde devem ser instaladas facilidades de modo a atender um conjunto de requerimentos desejados, geralmente demandas de clientes espalhados numa área. Pelo menos dois agentes com diferentes interesses são identificados neste problema. Empresas buscam localizar facilidades de forma a maximizar seus lucros enquanto que clientes escolhem localizações que lhes ofereçam o melhor nível de serviço. Na visão da firma, maximização de lucro pode significar aumento de market share em mercados competitivos ou redução de custos tornando as operações mais eficientes. Na visão do cliente, o nível de serviço é atribuído a algum valor que for adicionado ao serviço baseado na localização da facilidade. O valor mais comumente considerado é relacionado à distância entre a facilidade e o cliente. Outros aspectos também podem ser considerados dependendo do tipo de serviço ofertado, como o tempo de deslocamento necessário para o produto chegar ao cliente, ou o estado da rota a ser percorrida neste deslocamento. Estes fatores podem ainda ser transformados em uma função de custo utilizada como medida da eficiência da rede. A decisão de localização é um elemento crucial no planejamento estratégico das empresas. Os seus impactos afetam diretamente decisões futuras a níveis tático e operacional. Os altos custos associados à construção de facilidades e aquisição de propriedades fazem com que projetos de localização e realocação de facilidades sejam investimentos de longo prazo. Desta forma, tomadores de decisão devem ser cautelosos quanto às decisões.

(28) 8. CAPÍTULO 2. REVISÃO DA LITERATURA. tomadas para garantir o sucesso duradouro dos negócios. O estudo analítico da localização de facilidades iniciou-se formalmente em 1909 quando o economista alemão Alfred Weber, em seu estudo Über den Standort der Industrien (Sobre a Localização de Indústrias, em tradução livre), considerou um problema em que uma única facilidade deveria ser posicionada de modo a minimizar a distância ponderada total entre ela e os pontos de demanda. O Problema de Weber [Weber 1929], como ficou popularizado, é uma generalização do problema geométrico da mediana espacial e do problema do Ponto de Fermat formulados no século XVII. O WP deu origem a um extraordinário número de generalizações, extensões e modificações [Drezner & Hamacher 2001]. Revisões deste clássico podem ser encontradas em Wesolowsky (1993) e Drezner et al. (2002). Uma extensão bem conhecida do WP que requer a localização de p facilidades numa área contínua é o problema de localização das p-medianas, introduzido por Hakimi (1964). Kariv & Hakimi (1979) provam que o problema das p-medianas é NP-difícil. Mladenovi´c et al. (2007) fazem uma revisão do problema e das instâncias mais usadas na literatura até então, e apresentam uma série de estudos com heurísticas e metaheurísticas para resolvê-lo. Uma abordagem mais próxima ao contexto de localização de facilidades foi introduzida por Balinski (1965) a partir do problema das p-medianas. Nela, são considerados custos de construção das facilidades, bem como eliminada a exigência da existência de p facilidades, tornando o número de facilidades a serem localizadas endógeno, ou seja, uma variável do problema. O problema descrito é amplamente conhecido como Problema de Localização de Facilidades Simples, ou Não-capacitadas (UFLP, Uncapacitated Facility Location Problem). Bons levantamentos da literatura deste problema são relatados em Cornuéjols et al. (1983) e Krarup & Pruzan (1983). O UFLP é provavelmente o mais simples na literatura dos FLPs que considera a natureza real e os desafios da localização de facilidades. À medida em que versões mais complexas foram sendo apresentadas foi surgindo a necessidade de organizar a área através de classificações dos modelos e revisões da literatura. A seguir mostraremos duas das classificações propostas e indicaremos ao leitor algumas das revisões mais recentes.. 2.1.1. Classificações dos modelos de FLP. Devido à vastidão de problemas apresentados na área, diversos pesquisadores buscaram formas de classificar os modelos de localização de facilidades. Uma delas é apresentada por Daskin (2008) e Revelle et al. (2008). Eles dividem os modelos de localização de facilidades em quatro tipos de acordo com a topologia dos agentes de interesse. São eles: • Modelos analíticos - são os modelos de localização mais simples em que demandas são distribuídas de forma contínua em uma área e facilidades são localizadas em qualquer lugar nesta área. Estes modelos são tipicamente resolvidos usando técnicas de cálculo ou outras técnicas mais simples; • Modelos contínuos - diferenciam-se dos analíticos por assumirem que as demandas existem apenas em pontos discretos. O Problema de Weber é um exemplo de um.

(29) 2.1. A LOCALIZAÇÃO DE FACILIDADES NA TEORIA DE LOCALIZAÇÃO. 9. modelo contínuo; • Modelos em rede - assumem que demandas existem e facilidades podem ser localizadas apenas em uma rede composta por nós e arcos. Geralmente demandas estão nos nós enquanto facilidades podem ser localizadas tanto nos nós quanto nos vértices. O principal foco da literatura deste grupo é encontrar algoritmos com tempo polinomial capazes de resolver o problema em tipos específicos de redes (e.g., árvores); • Modelos discretos - diferenciam-se dos em rede por as facilidades poderem ser localizadas apenas em um conjunto discreto de pontos na rede, chamados de nós candidatos.. Uma outra forma interessante e mais abrangente de classificar os modelos de localização é apresentada por Klose & Drexl (2005). Eles classificam os modelos de localização de facilidades em nove categorias. São elas: a topografia da rede, o objetivo do problema, a presença de restrições de alocação e de capacidade, a hierarquia dos fluxos, o número de mercadorias, a elasticidade da demanda, o tamanho do horizonte de planejamento, as incertezas dos dados e o roteamento dos fluxos. Outras classificações podem ainda ser encontradas nos diversos livros e revisões de literatura já escritos sobre os FLPs como em Owen & Daskin (1998), Drezner & Hamacher (2001), Revelle & Eiselt (2005), Daskin (2008), Melo et al. (2009), Farahani & Hekmatfar (2009), Smith et al. (2009), Arabani & Farahani (2012), Farahani et al. (2012) e Laporte et al. (2015). A partir deste ponto do trabalho aprofundaremos nas classes de modelos mais relevantes em que o problema tratado nesta dissertação se enquadra, a dos modelos capacitados e dinâmicos. Ao final desta seção serão mostradas algumas aplicações encontradas durante o estudo que se utilizaram destes modelos para resolver problemas reais.. 2.1.2. CFLP e a classe de modelos capacitados. Uma extensão natural do UFLP é introduzida adicionando restrições de capacidade de serviço às facilidades. No Problema de Localização de Facilidades Capacitadas (CFLP) valores exógenos, predeterminados, são considerados para o número máximo de mercadorias que facilidades podem suportar. O CFLP é um problema que vem sendo estudado há mais de 50 anos [Sá 1969, Davis & Ray 1969] e é um problema fortemente NP-difícil [Cornuéjols et al. 1991]. Dado um grafo (V , A ), sejam I ⊂ V o conjunto de nós representando os clientes a serem atendidos e J ⊂ V o conjunto de nós candidatos a receberem uma facilidade. Sejam os parâmetros ci j o custo de transportar uma unidade de produto para um cliente localizado em i ∈ I a partir de uma facilidade em j ∈ J , di a demanda do cliente i e e j e u j , respectivamente, o custo de construir e a capacidade ao se instalar uma facilidade em j. Por fim, sejam xi j as variáveis de decisão de transporte e y j as variáveis de localização. A formulação clássica do CFLP pode ser representada, como em Sridharan (1995), por.

(30) 10. CAPÍTULO 2. REVISÃO DA LITERATURA (CFLP) min ∑ ∑ ci j xi j + ∑ e j y j i∈I j∈J. (2.1). j∈J. sujeito a. ∑ xi j = di,. ∀i ∈ I. (2.2). j∈J. ∀j ∈ J. (2.3). xi j ≥ 0, ∀i ∈ I , j ∈ J y j ∈ B, ∀ j ∈ J .. (2.4) (2.5). ∑ xi j ≤ u j y j ,. i∈I. A função objetivo (2.1) busca minimizar o custo total da rede composto pelos custos de transporte de mercadorias e os custos de construção das facilidades. As restrições (2.2) garantem que todas as demandas sejam atendidas. As restrições (2.3) são as restrições de capacidade. Por fim, as restrições (2.4) e (2.5) definem o domínio das variáveis de decisão. A literatura do CFLP é extremamente vasta e detalhar todas as suas variantes seria conteúdo suficiente para um trabalho inteiro. Entre estudos publicados mais recentemente que lidam com este problema em sua versão mais clássica estão Klose & Görtz (2007) e Rahmani & MirHassani (2014). Focaremos neste momento em uma das variantes em que os modelos permitem que as capacidades das facilidades sejam configuráveis. Dimensionamento da capacidade e estrutura de custos Na configuração da cadeia de suprimentos uma empresa pode optar por diferentes políticas de localização e dimensionamento de facilidades. É melhor construir vários centros de distribuição pequenos com atuação regional ou poucas instalações maiores com atuação mais abrangente? O tamanho da facilidade, expresso em unidades relacionadas a capacidade de produção, de armazenamento ou de serviço, e o seu custo de instalação são grandezas diretamente proporcionais mas não necessariamente linearmente proporcionais. De fato, quando o crescimento marginal do custo é menor que o da capacidade dizemos que houve uma economia de escala [Feldman et al. 1966, Correia & Captivo 2003]. Do contrário, ou seja, quando o custo unitário passa a aumentar com o incremento de mais capacidade, chamamos de deseconomia de escala [Harkness & ReVelle 2003, Lu et al. 2014]. Para representar estes conceitos em modelos, pesquisadores adicionaram o dimensionamento da capacidade como uma variável dos FLPs. O domínio do dimensionamento da capacidade de uma facilidade pode ser definido num contínuo [Verter & Dincer 1995], quando qualquer quantidade de capacidade é válida, ou em pontos discretos [Shulman 1991]. Este segundo caso levou à criação de uma subclasse de problemas capacitados chamada de Problema de Localização de Facilidades com Capacidades Modulares (MCFLP). Nas telecomunicações um módulo pode ser um dispositivo qualquer instalado em.

(31) 2.1. A LOCALIZAÇÃO DE FACILIDADES NA TEORIA DE LOCALIZAÇÃO. 11. um nó EDGE [Addis et al. 2012], nos serviços de saúde pode ser uma estrutura física composta por salas de consulta e de espera com enfermeiros, médicos, etc. [Correia & Captivo 2003], já na aviação um módulo pode ser uma aeronave que faz uma ponte aérea entre dois aeroportos [Jaillet et al. 1996]. De maneira geral, podemos definir um módulo como sendo uma parte de uma facilidade que possui como parâmetros uma capacidade incremental e um custo de instalação. O k-CFLP, conhecido problema da literatura de FLPs em que até k cópias da facilidade original podem ser abertas no mesmo local [Arya et al. 2004], é um caso especial do MCFLP quando todos os módulos possuem custo e capacidade iguais. Além de dimensionamento da capacidade nos nós há também modelos capacitados nos arcos [Yaman & Carello 2005]. O modelo do CFLP apresentado anteriormente pode ser facilmente adaptado a um MCFLP genérico adicionando um segundo índice às variáveis de localização y jl e um terceiro às de alocação xi jl e, similarmente, aos parâmetros e jl e ci jl . Sendo que l ∈ L = {0, . . . , L} define o módulo instalado e L representa o conjunto de módulos que podem ser instalados em um local potencial. Feitas as devidas modificações basta adicionar ao modelo as restrições. ∑ y jl = 1,. ∀j ∈ J,. (2.6). l∈L. garantindo a escolha de um módulo em todas as facilidades, inclusive quando l = 0. Outras formas de representar módulos nos modelos de localização de facilidades é discutida em Jena et al. (2015a). Assumindo u jl < u j(l+1) , i.e., módulos maiores representam capacidades maiores, economias de escala são representadas quando e j(l+1) − e jl e jl − e j(l−1) > , u jl − u j(l−1) u j(l+1) − u jl. (2.7). ou seja, quando o custo unitário de produção decresce ao expandir a capacidade da facilidade. O MCFLP pode ser abordado em contextos estáticos [Agar & Salhi 1998, Correia & Captivo 2003, Gouveia & Saldanha-da Gama 2006] ou dinâmicos. Antes de apresentar os estudos já publicados neste segundo caso primeiro será feita uma revisão geral da classe de modelos dinâmicos.. 2.1.3. DFLP e a classe de modelos dinâmicos. Decisões de localização tem um efeito duradouro para a empresa. Ao construir uma facilidade, a companhia deve levar em consideração não só a configuração presente, mas também previsões futuras. Mudanças nos custos de instalação e nas demandas acontecem ao longo do tempo de forma que uma configuração ótima para a situação atual não seja necessariamente a melhor num médio ou longo prazo. Na prática, um projeto de uma.

(32) 12. CAPÍTULO 2. REVISÃO DA LITERATURA. rede logística começa com a identificação de potenciais locais para a instalação de uma nova facilidade e a capacidade requerida. Então, uma grande quantidade de capital é investida nesta nova facilidade. Devido ao alto nível de investimento inicial é esperado que a nova facilidade opere por um longo período de tempo até que as mudanças ocorridas nos parâmetros do sistema tornem esta localização custosa demais para ser mantida em relação a uma nova instalação melhor localizada [Melo et al. 2009]. Problemas Dinâmicos de Localização de Facilidades (DFLP) são bastante utilizados na configuração de cadeias de suprimentos devido a sua maior capacidade de simular a realidade. Ballou (1968) foi um dos primeiros trabalhos a levar em consideração o tempo na análise de localização de armazéns numa rede em hierarquia. Wesolowsky (1973), Wesolowsky & Truscott (1975) e Sweeney & Tatham (1976) são outros estudos pioneiros com DFLPs. Modelos dinâmicos também são conhecidos na literatura como multiperíodos [Nickel & da Gama 2015]. Alguns autores [Arabani & Farahani 2012] usam o termo dinâmico num sentido mais amplo, englobando também aspectos estocásticos. Todos os problemas de localização estáticos podem ser transformados de algum modo em problemas dinâmicos [Arabani & Farahani 2012]. Os autores ainda classificam os modelos dinâmicos em duas categorias. Os modelos dinâmicos explícitos permitem que facilidades sejam abertas, fechadas, realocadas, etc. em tempos e localizações específicos. Já os modelos dinâmicos implícitos supõem que facilidades sejam abertas no início do horizonte de planejamento e permeneçam abertas durante todo o período. Matematicamente, o aspecto temporal nos modelos é representado pela adição do índice t às variáveis. Sejam T períodos de tempo e T = {0, 1, . . . , T } o conjunto dos f períodos em que decisões devem ser tomadas, custos fixos gajt e g jt de abertura e fechamento das facilidades são adicionados e custos de operação etj também são considerados. A abertura de uma facilidade y no tempo t é representada quando ocorre a sequência t−1 t t yt−1 j = 0 e y j = 1. No caso inverso, y j = 1 e y j = 0, a facilidade foi fechada. A configuração inicial da rede é dada pelas variáveis y0j . Se y0j = 0 ∀ j ∈ J , significa que nenhuma facilidade está aberta antes do horizonte de tempo considerado. Um modelo dinâmico genérico, capacitado, baseado no apresentado em Klose & Drexl (2005), é dado por (DFLP) ! T. min ∑. f. (2.8). ∀i ∈ I ,t ∈ T. (2.9). t−1 t t a ∑ ∑ cti j xti j + etj ytj + g jt yt−1 j (1 − y j ) + g jt (1 − y j )y j. j∈J t=1. i∈I. sujeito a. ∑ xti j = dit ,. j∈J. ∑ xti j ≤ u j ytj ,. i∈I xti j ≥ 0, ytj ∈ B,. ∀ j ∈ J ,t ∈ T. (2.10). ∀i ∈ I , j ∈ J ,t ∈ T. (2.11). ∀ j ∈ J,t ∈ T .. (2.12). A função objetivo (2.8) minimiza o custo total da rede. O primeiro termo está relacio-.

(33) 2.1. A LOCALIZAÇÃO DE FACILIDADES NA TEORIA DE LOCALIZAÇÃO. 13. nado aos custos de transporte, o segundo aos custos de operação das facilidades e os dois últimos aos custos de fechamento e abertura. Vamos analisar as quatro possíveis decisões que podem ser tomadas para cada facilidade em cada período com relação aos últimos três termos da função objetivo. t • Facilidade fechada permanece fechada (yt−1 j = 0 e y j = 0): todos os três termos são desativados, portanto nenhum custo incorrerá relacionado à facilidade; = 0 e ytj = 1): os primeiro e terceiro termos são • Facilidade fechada é aberta (yt−1 j ativados, então ocorrerão apenas os custos de operação e abertura da facilidade; = 1 e ytj = 1): apenas o primeiro termo é • Facilidade aberta permanece aberta (yt−1 j ativado, ou seja, apenas o custo de operação da facilidade será considerado; • Facilidade aberta é fechada (yt−1 = 1 e ytj = 0): apenas o segundo termo é ativado, j o que significa que apenas o custo de fechamento será contabilizado.. As restrições são equivalentes às do CFLP, sendo (2.9) restrições de atendimento de demandas, (2.10) restrições de capacidade, com (2.11) e (2.12) correspondendo ao domínio das variáveis. Klose & Drexl (2005) apontam algumas das dificuldades ao considerar o uso de modelos dinâmicos. A primeira é que não existe um tamanho certo de horizonte de planejamento em aplicações reais, cabendo ao decisor escolher o tamanho que lhe for conveniente. Outra é que a quantidade de dados requerida nestes modelos é enorme e certas vezes inestimáveis. Eles também mostram que modelos desagregados são mais sensíveis a ajustes de parâmetros que modelos dinâmicos. A complexidade destes modelos é bem maior que a de modelos estáticos quanto mais integrados forem as decisões em função do tempo dificultando a resolução do problema com métodos exatos. Realocações de facilidades e redimensionamento da capacidade Devido à necessidade de grandes investimentos para construção de facilidades, há certas situações em que ajustar capacidades das facilidades existentes seja mais favorável que construir novas facilidades do zero [Owen & Daskin 1998]. Melo et al. (2006) consideram realocações unitárias de capacidade entre facilidades abertas em seu modelo. Uma outra abordagem para expansão de capacidade é utilizando módulos com capacidades e custos predefinidos, assim como apresentado nos modelos capacitados estáticos. Blocos de capacidade podem ser representados em modelos como sendo múltiplas facilidades localizadas num mesmo local. A Figura 2.1 mostra duas representações extremas de módulos, sendo (a) a representação horizontal e (b) a vertical. Na representação horizontal expansões são representadas empilhando módulos de forma que a capacidade total instalada numa facilidade é dada pela soma das capacidades dos módulos empilhados. Na representação vertical, os módulos não são empilhados. Assim, uma expansão de uma facilidade é representada pela retirada do módulo atual seguida do acréscimo de um novo módulo com capacidade maior. Outras representações intermediárias também são possíveis. Modelos com estas representações não permitem que os parâmetros dos blocos sejam modificados ao longo do horizonte de planejamento. Entretanto, eles permitem múltiplas facilidades de diferentes tamanhos no mesmo local, o que é equivalente a ajustes de.

(34) 14. CAPÍTULO 2. REVISÃO DA LITERATURA. Figura 2.1: Representação de módulos (a) horizontais e (b) verticais. Fonte: Adaptado de Jena et al. (2015a) capacidade total instalada ao longo do tempo [Jena et al. 2015a]. Troncoso & Garrido (2005) modelam um problema como no caso (a) e Jena et al. (2015a) como no (b). Dias et al. (2007) mostram uma modelagem em que variáveis binárias do tipo y jl1 l2 indicam se uma facilidade j mudou sua capacidade de um módulo l1 para um módulo l2 em que l1 e l2 ∈ L . Jena et al. (2015a) aponta diferentes maneiras de ajustar capacidades dentro de um horizonte de tempo planejado: • Construção ou fechamento de uma facilidade num certo período de tempo; • Expansão ou redução de capacidade de uma facilidade existente; • Fechamento temporário de uma facilidade e reabertura em um período de tempo futuro; • Realocação de capacidade de um local a outro. Em situações reais, quando demandas perenes surgem em regiões distantes da área de atuação da infraestrutura existente da empresa, a opção de construção de novas facilidades é desejável. Similarmente, quando demandas acabam a empresa deve optar pelo fechamento das facilidades que as serviam. Expansões e reduções são desejáveis quando tendências de mudança das demandas são observadas na região atendida pela facilidade. O desafio nestes casos é determinar o momento certo de redimensionar a capacidade da facilidade. A opção de fechar temporariamente uma facilidade tem a vantagem de evitar os custos de operação durante um período. Pode ser vantajoso quando a facilidade lida com demandas cíclicas ou sazonais, em que a utilização da facilidade é economicamente inviável devido aos custos de operação demasiadamente altos nas estações de baixa demanda. Outra alternativa para lidar com demandas cíclicas é a realocação de facilidades. Neste caso, além de baixas demandas temporárias, também é necessário que haja uma demanda nãoatendida num outro local para onde a facilidade, ou parte dela, será realocada. Modelos com realocações possuem custos específicos para estes ajustes associados ao transporte da estrutura de um local a outro e a economia de possuir previamente a estrutura. A quantidade de mudanças de capacidade também é uma característica importante dos modelos dinâmicos. Estudos como Van Roy & Erlenkotter (1982) e Hinojosa et al. (2008) permitem que facilidades sejam abertas e fechadas apenas uma vez, enquanto que Chardaire et al. (1996), Canel et al. (2001), dentre outros, não restringem a quantidade.

(35) 2.2. APRESENTAÇÃO DO DFLPG. 15. de mudanças. Apesar destes serem mais genéricos, eles aumentam a quantidade de variáveis no modelo exponencialmente, tornando-o muito mais complexo de ser resolvido otimamente em um período razoável de tempo.. 2.1.4. Aplicações. A aplicação de modelos dinâmicos e/ou modulares é ampla. Num contexto do setor público, Antunes & Peeters (2001) apresentam uma aplicação para localização de escolas em que os módulos seriam uma ou um grupo de salas de aula. Já Brotcorne et al. (2003) tratam da localização de ambulâncias como um problema de cobertura em que a realocação das ambulâncias tem um papel fundamental quando ocorre incidentes e pontos estratégicos ficam temporariamente sem ambulâncias disponíveis. O contexto mais comum da aplicação destes modelos no setor privado é no projeto de redes de cadeias de suprimento. Ulstein et al. (2006) mostram um modelo aplicado numa grande empresa de distribuição de silício e ferrosilício onde decisões sobre dimensionamento de capacidade das suas fábricas são tomadas em cenários estocásticos, sendo possível fechar, adquirir novas fábricas e aumentar o investimento em equipamentos de produção. Van Ommeren et al. (2006) projetam a cadeia de suprimentos de lojas de reparo de forma a minimizar os níveis de estoque de peças nas lojas através do gerenciamento da quantidade de servidores instalados no local. A aplicação que inspirou o modelo deste trabalho, em Jena et al. (2015b), trata de realocação de capacidade num contexto de exploração de recursos florestais. Trailers que hospedam trabalhadores nos acampamentos onde os recursos coletados são depositados são deslocados periodicamente de acordo com novos locais de exploração. O objetivo é determinar a posição e a quantidade ótima de trailers nos pontos de exploração de modo a minimizar custos relacionados à construção e funcionamento dos acampamentos e deslocamento dos recursos coletados. A seção a seguir apresentará a classificação na literatura e o modelo deste problema.. 2.2. Apresentação do DFLPG. O complexo modelo apresentado por Jena et al. (2015b) em seu estudo de caso foi simplificado em Jena et al. (2015a) de modo a representar a estrutura de custo de mudança do nível de capacidade l1 para l2 em um nível mais detalhado usando uma matriz de custo de mudança de módulos. Este problema foi denominado então Problema de Localização Dinâmica de Facilidades com Capacidades Modulares, ou DFLPG, pois retrata uma generalização de vários problemas de localização encontrados na literatura.. 2.2.1. Classificação. Com base no que foi apresentado, o DFLPG pode ser classificado na literatura de FLPs nas seguintes categorias:.

(36) 16. CAPÍTULO 2. REVISÃO DA LITERATURA • Discreto: Como na classificação em Daskin (2008) e Revelle et al. (2008), as facilidades podem ser localizadas em um conjunto de pontos discretos predeterminados; • Objetivo MinSoma: O objetivo do problema é minimizar a somatória dos custos de transporte de mercadorias e de localização das facilidades; • Capacidade modular: As facilidades são representadas por módulos, que são estruturas com um custo de instalação e uma capacidade atribuídos a cada uma, permitindo ao modelo considerar cenários com diversas estruturas de custo representando de forma mais realista problemas práticos; • Camada única: Decisões de localização são tomadas num único nível da rede e esta camada representa os pontos de suprimento (facilidades) a partir de onde as mercadorias serão transportadas; • Alocação múltipla: Não há restrições de alocação, de forma que cada cliente pode ser servido por qualquer facilidade, desde que abertas; • Dinâmico: O modelo permite a representação de variações nas demandas e nos custos do problema ao longo de um período de tempo finito e também possibilita que decisões de ajuste nas localizações sejam feitas em cada período do horizonte de planejamento sem restrições na quantidade de ajustes feitos; • Determinístico: Os parâmetros de entrada do modelo são todos conhecidos previamente.. 2.2.2. Modelo. O DFLPG foi formulado em Jena et al. (2015a) como um modelo de programação inteira mista referido como Generalized Modular Capacities (GMC). Parâmetros Dado um grafo (V , A ), em que I ⊂ V é o conjunto de clientes e J ⊂ V é o conjunto de potenciais locais onde podem ser instaladas as facilidades. Os conjuntos I e J não são necessariamente iguais. Os arcos direcionados A representam as conexões entre nós facilidades a nós clientes. L é a quantidade máxima de módulos que podem ser instalados em j ∈ J e L = {0, . . . , L} representa o conjunto destes módulos. T = {1, . . . , T } representa os períodos de tempo no horizonte de planejamento de tamanho T em que as decisões de localização serão tomadas. Cada cliente em i ∈ I possui uma demanda a ser atendida dit no período t ∈ T dada em unidades da mercadoria. cti jl são os custos unitário de alocação de uma unidade de mercadoria no período t de uma facilidade em j operando com o módulo l instalado para servir um cliente em i. A dependência do tamanho da facilidade neste parâmetro permite uma representação de custos mais complexa. Os custos de alocação c podem englobar custos de diferentes naturezas, como custos oriundos do transporte das mercadorias aos clientes e custos de produção das mercadorias nas facilidades. Os custos de produção geralmente estão associados à capacidade da facilidade. Quando os custos unitários de produção decrescem com o aumento da capacidade das facilidades, dizemos que há uma economia de escala, ou seja, uma economia nos custos proporcionada pela produção em maior escala. Economias de escala são representadas no modelo quando cti jl > cti j(l+1) ∀.

(37) 2.2. APRESENTAÇÃO DO DFLPG. 17. l ∈ L . Vale destacar que operar com um módulo em l é o mesmo que dizer que todos os módulos até l estão instalados na facilidade de acordo com a representação horizontal de módulos mostrada na Figura 2.1 (a). Uma facilidade em j operando com um módulo l tem capacidade u jl . Os parâmetros etjl1 l2 representam o custo de uma facilidade em j que operava com o módulo l1 no período t − 1 passar a operar com o módulo l2 no período t. l j representa o módulo instalado na facilidade em j no início do horizonte de planejamento, portanto l1 = l j no período 1. Os parâmetros e podem ainda representar estruturas de custo mais detalhadas. Em Jena et al. (2015a) custos de operação e fechamento e abertura de módulos são imbutidos nestes parâmetros no modelo ER-GMC. Quando custos de fechamento temporário e reabertura de facilidades são também considerados o modelo é chamado de CR-GMC. A representação de realocações só é possível nesta estrutura matricial dos custos quando houver realocações completas de facilidades. Das quatro maneiras de ajustar capacidades num problema dinâmico apresentadas na seção 2.1.3, apenas as realocações parciais exigiria uma reformulação no modelo de forma que ele fosse capaz de rastrear os módulos existentes na rede. De acordo com os parâmetros descritos, quando uma facilidade estiver equipada com o módulo zero, ou seja, quando estiver fechada, os custos de transporte cti j0 e as capacidades u j0 necessariamente serão iguais a zero.. Variáveis de decisão Dois tipos de decisões devem ser tomadas pelo modelo: decisões de localização e de alocação. As decisões de localização são representadas pelas variáveis de decisão binárias y. ytjl1 l2 é igual a 1 se a facilidade em j muda seu módulo de l1 para l2 e opera em l2 durante o período t, e 0 caso contrário. É importante ressaltar que mesmo quando l1 = l2 , ytjl1 l2 pode ser igual a 1. Se isto acontecer, o módulo em j não foi alterado entre os períodos t − 1 e t, e o único custo incorrido será, se houver, o custo de operação de j com este módulo neste período. Já as alocações são representadas pelas variáveis xti jl , em que x representa a fração da demanda do cliente i no período t servida pela facilidade j equipada com o módulo l.. Modelagem matemática Definidos os parâmetros e as variáveis, o problema foi modeladopor Jena et al. (2015a) como (GMC) min ∑ ∑. ∑ ∑ cti jl dit xti jl + ∑ ∑ ∑ ∑ etjl1l2 ytjl1l2. i∈I j∈J l∈L t∈T. j∈J l1 ∈L l2 ∈L t∈T. (2.13).