Considere um portf´olio formado por dois ativos, o qual acompanharemos por um horizonte de tempo de 21 dias ´uteis. Os dois ativos escolhidos ser˜ao uma opera¸c˜ao pr´e- fixada a 15% a.a. e uma opera¸c˜ao indexada a 120% do CDI. Ao ´ultimo ser´a atribu´ıdo o t´ıtulo de “arriscado” por possuir um maior potencial de valoriza¸c˜ao conforme observado nos histogramas anteriores, sendo o pr´e-fixado o ativo “seguro”. Tal distin¸c˜ao se faz necess´aria para implementar o modelo de ´arvore descrito anteriormente.
Uma raz˜ao para a escolha espec´ıfica deste par deve-se `a sua natureza complementar. Um deles est´a atrelado a uma taxa fixa, enquanto que o outro a uma taxa flutuante; varia¸c˜oes nas condi¸c˜oes de mercado os afetam de maneira oposta. Valoriza¸c˜ao de um implica em desvaloriza¸c˜ao do outro, conforme pode ser observado na sua distribui¸c˜ao conjunta de probabilidade (Fig 4).
Aqui fica evidente a utilidade de utilizarmos o modelo HJM (na verdade simula¸c˜oes de Monte Carlo em geral): somos capazes de gerar um n´umero enorme de cen´arios poss´ıveis, e portanto uma distribui¸c˜ao para os pre¸cos dos ativos. A partir da densidade de proba- bilidade conjunta, somos capazes de estimar as probabilidades e os valores esperados nos n´os finais da ´arvore.
A escolha dos estados s1 e s2 n˜ao ´e ´unica, sendo a parti¸c˜ao evidenciada na Tabela 9.
Figura 3: Histogramas contendo os resultados das simula¸c˜oes dos pre¸cos de mercado dos ativos, 21 DU.
Figura 4: Densidade de probabilidade conjunta do MtM dos ativos 21 dias ´uteis ap´os a data de referˆencia.
Tabela 9: Densidade de probabilidade conjunta
S2 S1 S+ 2 S2 S1+ S1 Pr´e 15% / 120% CDI 1,023497323 1,023504054 1,023510786 1,023517517 1,023524248 1,02353098 1,023537711 1,023544443 1,023551174 1,023557905 1,011102822 0 0 0 0 0 0 0 0 0,002 0,002 1,011139123 0 0 0 0 0 0 0,002 0,006 0,002 0 1,011175425 0 0 0 0 0,002 0,004 0,036 0,026 0 0,002 1,011211727 0 0 0 0 0,008 0,048 0,076 0,024 0 0 1,011248029 0 0 0 0,004 0,086 0,12 0,05 0,002 0,002 0 1,011284331 0 0 0,004 0,054 0,128 0,05 0,008 0,002 0 0 1,011320633 0 0,004 0,032 0,068 0,044 0,004 0 0 0 0 1,011356934 0 0,018 0,044 0,018 0 0 0 0 0 0 1,011393236 0,006 0,004 0,002 0,002 0 0 0 0 0 0 1,011429538 0,004 0 0 0 0 0 0 0 0 0
o ativo 120% CDI como referˆencia para definir os estados. Os n´umeros da Tabela 10 exibem a probabilidade correspondente ao intervalo [x, x + x) e [y, y + y), sendo x a
linha e y a coluna.
Nestas condi¸c˜oes, ´e poss´ıvel calcular o valor esperado de cada ativo em cada estado final da ´arvore.
At´e este ponto, utilizamos o modelo de simula¸c˜ao proposto apenas para simular pre¸cos de ativos e a partir destes resultados construir distribui¸c˜oes de probabilidade. Note que esta an´alise deste tipo n˜ao depende de hip´oteses adicionais. Pois bem, agora que possu´ımos as caracter´ısticas dos estados finais podemos aplicar nossa varia¸c˜ao do modelo apresentado por Grill, Lang e Smith (2017). Nosso principal objetivo ser´a observar como as aloca¸c˜oes ideais variam conforme variamos os parˆametros que determinam as restri¸c˜oes.
Na Tabela 12 apresentamos os pesos que maximizam o lucro para um dado conjunto de parˆametros; variamos os requerimentos de capital e o valor de ⇢, e observamos como
Tabela 10: Probabilidades de estados Probabilidade P (s1) 0,468 P (s2) 0,532 P (s+1 | s1) 0,021367521 P (s1 | s1) 0,978632479 P (s+2 | s2) 0,932330827 P (s2 | s2) 0,067669173
Tabela 11: Valores esperados
Ativo s+1 s1 s+2 s2
CDI 120% 1,023558141 1,023536964 1,023518641 1,023501547
Pr´e 15% 1,011174821 1,011253655 1,011338516 1,011422905
os pesos mudam. Os parˆametros que maximizam o lucro s˜ao encontrados atrav´es de uma busca simples, uma vez que, dados todos os parˆametros (⇢, requerimentos, entre outros) o lucro se torna uma fun¸c˜ao de uma vari´avel: o peso de um dos ativos (note que o outro est´a determinado pelo v´ınculo de que a soma dos dois totaliza 1).
Tabela 12: Resultados do modelo. As duas primeiras colunas referem-se ao requerimento de capital necess´ario para cada R$ investido no ativo, enquanto que a terceira refere-se ao requerimento de capital de alavancagem.
kf loat/R$ kP re/R$ klev/R$ Custo c ⇢ Peso 120% CDI Peso Pr´e 15% Lucro esperado
0,03 0,01 0,02 0,01 0,0122 0,6181 0,3819 0,003893952 0,025 0,01 0,02 0,01 0,0122 0,6183 0,3817 0,003896576 0,02 0,01 0,02 0,01 0,0122 0,6183 0,3817 0,003896576 0,015 0,01 0,02 0,01 0,0122 0,6183 0,3817 0,003896576 0,01 0,01 0,02 0,01 0,0122 0,6183 0,3817 0,003896576 0,03 0,01 0,015 0,01 0,0122 0,6181 0,3819 0,003893952 0,025 0,01 0,015 0,01 0,0122 0,6183 0,3817 0,00389738 0,02 0,01 0,015 0,01 0,0122 0,6186 0,3814 0,003900809 0,015 0,01 0,015 0,01 0,0122 0,6192 0,3808 0,003902127 0,01 0,01 0,015 0,01 0,0122 0,6192 0,3808 0,003902127 0,03 0,01 0,015 0,01 0,0166 0,6136 0,3864 0,003794957 0,025 0,01 0,015 0,01 0,0166 0,6150 0,3850 0,003811988 0,02 0,01 0,015 0,01 0,0166 0,6164 0,3836 0,003829058 0,015 0,01 0,015 0,01 0,0166 0,6192 0,3808 0,003835589 0,01 0,01 0,015 0,01 0,0166 0,6192 0,3808 0,003835589
Ao observar a Tabela 12 de perto, podemos notar algumas caracter´ısticas interessantes do modelo. Nas primeiras cinco linhas notamos que variar o requerimento de capital do ativo arriscado enquanto mantemos o requerimento de capital de alavancagem constante
em 0,02 quase n˜ao afeta as aloca¸c˜oes, ao passo em que quando este requerimento ´e reduzido de 0,02 para 0,015 nas 5 linhas seguintes notamos que as aloca¸c˜oes finais passam a ser mais sens´ıveis a mudan¸cas no kf loat. Desse modo, podemos observar que se o requerimento de
capital do ativo arriscado ´e baixo, somos estimulados a aumentar o seu peso no portf´olio, uma vez que existe uma exigˆencia m´ınima de capital (alavancagem). Assim, conforme observado na an´alise te´orica realizada por Grill, Lang e Smith (2017) e agora em um exemplo pr´atico, a regula¸c˜ao proposta por Basil´eia na verdade gera um incentivo para tomar uma certa quantidade de risco, esta relacionada ao valor de klev.
Outro aspecto interessante do modelo pode ser notado observando-se as dez ´ultimas linhas da tabela, ao variamos o ⇢, que determina quanto do lucro deve ser redirecionado aos acionistas, mantendo klev fixo. Note que quando o requerimento de capital do ativo
arriscado, kf loat, ´e baixo, somos estimulados a aumentar sua quantidade independente do
valor de ⇢: o peso fica 0,6192 nestas situa¸c˜oes. No entanto, se o requerimento de capital do ativo arriscado ´e grande um ⇢ alto n˜ao nos estimula a aumentar sua quantidade, pelo contr´ario: a posi¸c˜ao ideal ´e ligeiramente menor. Logo, a decis˜ao ideal n˜ao ´e necessari- amente tentar um “all in”, mas sim alocar de maneira mais conservadora, diminuindo ligeiramente o tamanho da posi¸c˜ao e jogando de maneira mais conservadora, de modo a minimizar as perdas. De maneira simples, o que o modelo nos diz ´e: se temos que devolver um percentual maior do lucro aos acionistas e o ativo arriscado ´e uma aposta cara, seu custo-benef´ıco piora; ´e mais vantajoso apostar mais em um ativo seguro, com uma melhor garantia de retorno e menor custo, do que arriscar mais, compromentendo uma parte maior do capital com a raz˜ao de alavancagem. Este ´e um aspecto sutil das decis˜oes que o modelo ´e capaz de capturar.
Os gr´aficos desta se¸c˜ao tˆem como objetivo tornar mais visual o que foi discutido nos par´agrafos anteriores. A Figura 5 mostra como o lucro se comporta quando variamos o peso do ativo arriscado (e consequentemente do ativo mais seguro) mantendo os outros parˆametros fixados. O formato da curva mostra que claramente existe um ponto m´aximo, sendo sua concavidade um bom indicador de que este problema de otimiza¸c˜ao ´e est´avel. Na Figura 6 enfatizamos a varia¸c˜ao no peso do ativo arriscado, para diferentes klev e um
mesmo ⇢, variando-se o requerimento de capital kf loat. Se o klev ´e muito baixo, o n´ıvel
em que o peso do ativo se estabiliza se d´a em um patamar superior, passando a ser pouco relevante.
Figura 5: Lucro esperado como fun¸c˜ao do peso ativo 120% CDI. Os parˆametros utilizados foram kf loat= 0, 025, kP re= 0, 01, klev= 0, 015 e ⇢ = 1, 0122.
Figura 6: Peso no ativo 120% CDI como fun¸c˜ao do seu requerimento de capital, para diferentes requerimentos de alavancagem. Os parˆametros utilizados foram kf loat = 0, 025, kP re=
0, 01, e ⇢ = 1, 0122. Em azul, klev= 0, 02; em laranja, klev = 0, 015.
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Conclus˜oes
O presente trabalho teve como objetivo a implementa¸c˜ao de um modelo de simula¸c˜ao que integra o framework HJM e distribui¸c˜oes emp´ıricas para simular pre¸cos de ativos. Os resultados s˜ao ent˜ao aplicados em um problema de aloca¸c˜ao, uma forma do “problema de decis˜ao dos bancos”, aos moldes do enunciado em Grill, Lang e Smith (2017).
A estrutura de volatilidade da estrutura a termo da taxa de juros foi estimada atrav´es de PCA, utilizando dados hist´oricos do DI Futuro durante o ano de 2015. Conforme observado em diversos trabalhos anteriores, trˆes fatores foram suficientes para capturar a variˆancia (praticamente) inteira. Na etapa seguinte, o d´olar foi simulado utilizando-se
distribui¸c˜oes emp´ıricas de retornos, sendo estas condicionadas aos retornos do dia ante- rior. Os resultados foram satisfat´orios de acordo com a m´etrica e o benchmark utilizado, o random walk. Finalmente, utilizando-se distribui¸c˜oes emp´ıricas condicionadas e os re- sultados do HJM e da simula¸c˜ao do d´olar, simulamos a curva de Cupom Cambial Sujo, durante o ano de 2015.
Diferentemente de trabalhos anteriores (Nojima (2014), Suzuki (2015), Lueska(2016)), nosso objetivo era aplicar o modelo integrado em um contexto mais voltado ao aspecto gerencial de um portf´olio, saindo do foco usual de modelos como o HJM, que ´e a preci- fica¸c˜ao de derivativos. Ap´os simular diferentes curvas de juros e o d´olar, fomos capazes de simular ativos de renda fixa amplamente utilizados no mercado brasileiro com boa precis˜ao. Ainda no aspecto de gest˜ao de portf´olios, partimos do formalismo proposto por Grill, Lang e Smith (2017) para construir um modelo de aloca¸c˜ao sujeito a restri¸c˜oes, estas propostas por Basil´eia III, tendo como objetivo otimizar o lucro de uma institui¸c˜ao financeira sujeita a requerimentos de capital. A principal novidade apresentada aqui foi utilizar uma distribui¸c˜ao de probabilidades para os estados finais da ´arvore obtida a par- tir dos resultados das nossas simula¸c˜oes. Desta forma, mostramos como construir um modelo de simula¸c˜ao integrado, utilizando poucas hip´oteses, e n˜ao s´o precificar, mas a partir do mesmo abordar um problema de gest˜ao de ativos e passivos sujeito a restri¸c˜oes regulat´orias.
Por se tratar de uma abordagem inicial, podemos mencionar algumas poss´ıveis me- lhorias. Em primeiro lugar, seria poss´ıvel tentar empregar m´etodos mais sofisticados para construir as distribui¸c˜oes de probabilidade emp´ıricas. Ao inv´es de utilizar interpola¸c˜ao linear, outros m´etodos como mistura de normais ou combina¸c˜ao de diferentes distribui¸c˜oes para modelar caudas e corpo da distribui¸c˜oes podem ser testadas. Al´em disso, um ponto que n˜ao foi abordado diretamente foi a quest˜ao da n˜ao-arbitragem; embora naturalmente presente no modelo HJM, uma poss´ıvel melhoria seria extender este tipo de restri¸c˜ao para as simula¸c˜oes como um todo, mas esta tarefa estava al´em do escopo desta disserta¸c˜ao. Fi- nalmente, a incorpora¸c˜ao de dados macroeconˆomicos ao modelo poderia enriquecer tanto o modelo de simula¸c˜ao quanto a sua utiliza¸c˜ao em problemas de gest˜ao de ativos e passivos.
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