Um fato bastante conhecido na ´area de finan¸cas ´e a dificuldade em prever cota¸c˜oes de moedas. Conforme mencionado em Back (2009), obter o drift de um ativo ´e uma tarefa bastante complicada, especialmente quando o mesmo apresenta uma volatilidade consi- der´avel (este argumento est´a mais ligado aos aspectos pr´aticos de estima¸c˜ao e simula¸c˜ao, uma vez que o d´olar ´e provavelmente o ativo que mais se assemelha ao comportamento err´atico esparado de um movimento Browniano geom´etrico). Em seu famoso trabalho, Messe e Rogof (1983) mostraram que modelos complexos eram superados em sua ca- pacidade de previs˜ao por um simples random walk, resultado que ficou conhecido como “MR puzzle”. Desde ent˜ao, diversas estudos que tinham como objetivo entender melhor a dinˆamica das taxas de cˆambio foram realizados. Podemos citar, por exemplo, Evans e Lyons (2002), e alguns estudos aplicados diretamente ao mercado brasileiro, entre eles o de Mar¸cal e Junior (2016). No entanto, o modelo simples de random walk permanece um advers´ario formid´avel e dif´ıcil de ser superado, principalmente para horizontes de tempo mais longos. Tendo isto em mente, o random walk, com e sem drift, aparecem como escolhas naturais de benchmarks.
Utilizaremos a abordagem das distribui¸c˜oes emp´ıricas para simular os retornos do d´olar. As distribui¸c˜oes ser˜ao constru´ıdas condicionando-se a distribui¸c˜ao dos retornos em t + 1 ao retorno observado em t. Explicitamente, seja rt o retorno mais recente observado,
de modo que queremos simular o retorno em t + 1. Vamos denotar por {r} a s´erie de retornos hist´oricos do d´olar. Definimos:
= max{r} min{r}
10 , (46)
A pr´oxima etapa consiste em buscar na s´erie hist´orica todos os retornos que pertencem ao intervalo rt± /2, e ent˜ao coletar todos os retornos que ocorreram no dia seguinte a
estas observa¸c˜oes. Por exemplo, suponha que nossa observa¸c˜ao mais recente, em t = 100, ´e r100 = 0, 005, com /2 = 0, 001. Observando a s´erie hist´orica, notamos que em t = 10
temos um retorno r10= 0, 0055, dentro do intervalo desejado. Assim, coletamos o retorno
do dia seguinte, r11 e damos prosseguimento `a busca na s´erie. Ao final do processo,
possu´ımos um conjunto de retornos e podemos construir uma distribui¸c˜ao emp´ırica dos retornos subsequentes poss´ıveis, condicionados a uma observa¸c˜ao presente no intervalo 0, 005±0, 001. Somos ent˜ao capazes de sortear um retorno empregando o m´etodo descrito
anteriormente. Uma vez realizado o sorteio, o processo se repete. No entanto, apenas retornos hist´oricos s˜ao utilizados na constru¸c˜ao de distribui¸c˜oes emp´ıricas; os retornos simulados n˜ao s˜ao contabilizados na constru¸c˜ao da distribui¸c˜ao, servindo apenas para definir o intervalo r± /2.
Nosso crit´erio para avaliar a qualidade da simula¸c˜ao ser´a realizar um backtest8: vamos
utilizar os dados de 2015 para simular o d´olar durante diferentes horizontes de tempo e comparar com as cota¸c˜oes que efetivamente ocorreram em 2016. A m´etrica utilizada para determinar a qualidade da simula¸c˜ao ser´a o erro quadr´atico m´edio,
Erro =E[(x xobs)2], (47)
ondex representa a vari´avel simulada e xobs a observada. Os benchmarks de compara¸c˜ao
ser˜ao dois random walks, um com drift igual a m´edia hist´orica dos retornos e volatilidade calculada a partir do desvio padr˜ao usual dos retornos em 2015, e o outro com drift nulo e a mesma variˆancia.
Conforme mencionado no Item 3.4, os v´ertices da curva de Cupom Cambial Sujo ser˜ao condicionados aos v´ertices da curva Pr´e e ao d´olar. Para construir a distribui¸c˜ao emp´ırica, utilizaremos o log-retorno (a dificuldade de usar o YTM est´a nas taxas obtidas do cupom cambial, especialmente para v´ertices mais curtos). Nosso crit´erio de compara¸c˜ao ser˜ao as propriedades estat´ısticas (m´edia, variˆancia etc) dos dados simulados em rela¸c˜ao aos observados, para diferentes horizontes de tempo de simula¸c˜ao.
8Backtest ´e o processo de confrontar um modelo de simula¸c˜ao ou an´alise com dados hist´oricos, de modo
a avaliar sua qualidade. Por exemplo: podemos simular a cota¸c˜ao do d´olar utilizando algum modelo em janeiro de 2016 e ent˜ao comparar os resultados da simula¸c˜ao com o que realmente aconteceu.
5
Resultados
O modelo proposto nesse trabalho foi aplicado ao mercado brasileiro, utilizando dados hist´oricos de modo a calibrar o modelo de simula¸c˜ao com dados da curva Pr´e, curva de Cupom Cambial Sujo e d´olar.
Neste cap´ıtulo est˜ao apresentados os resultados das simula¸c˜oes e sua utiliza¸c˜ao para gerar distribui¸c˜oes de pre¸cos de ativos. Tamb´em apresentamos a aplica¸c˜ao do modelo no problema de tomada de decis˜ao abordado nos itens anteriores.
5.1
An´alise do PCA
Uma vez obtidas as taxas spot interpoladas a partir dos futuros de DI, calculamos ent˜ao as taxas forward entre os v´ertices desejados (no nosso caso, 1, 21, 42, 63, 126 e 252 dias ´uteis). Os resultados, ent˜ao colocados em uma planilha de Excel, s˜ao importados no programa RStudio, e utilizamos a biblioteca Stats e o comando prcomp para realizar a decomposi¸c˜ao em componentes principais.
A an´alise realizada utilizando-se a curva constru´ıda a partir dos futuros de DI para 2015 est´a apresentada na Tabela 3.
Tabela 3: PCA, 2015
PC1 PC2 PC3
Propor¸c˜ao da variˆancia 0,91468 0,07095 0,00742 Propor¸c˜ao acumulada 0,91468 0,98563 0,99305
De acordo com a tabela, apenas trˆes componentes s˜ao suficientes para explicar a maior parte da variˆancia, sendo isto condizente com o esperado. Como diversos outros trabalhos j´a realizaram extensas an´alises a respeito das propriedas da curva (entre eles Nojima (2014), Suzuki (2015) e Lueska (2016)) e nosso foco ´e a integra¸c˜ao dos modelos de simula¸c˜ao, n˜ao iremos fazer uma an´alise hist´orica extensa neste trabalho.